Isbn 9785358173804Ерганжиева, Л. Н
 Скачать 0.57 Mb.
|
|
§ 33. ОДНО ВАЖНОЕ СВОЙСТВО ОКРУЖНОСТИ (2 ч) Основные понятия:понятие геометрической фигуры и ее свойства. Предметные результаты: решать задачи на нахожде- ние длины отрезка, периметра многоугольника, величины угла, площади фигуры и объема куба; выполнять рисунок по условию задачи, использовать чертежные инстру- менты; проводить простейшие доказательства, вос- 125 принимать чертеж как целое и получать информацию из чертежа. Личностные результаты: развитие коммуникативных умений и познавательной активности, формирование ин- тереса к геометрии. Внутрипредметные и межпредметные связи: плани- метрия (окружность). КОММЕНТАРИИ. Важные свойства окружности, ко- торым посвящен данный параграф, касаются углов, впи- санных в окружность. Первое свойство — вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90q — можно об- наружить опытным путем в соответствии с построения- ми, выполненными в № 1. Необходимость логического обоснования вытекает из того, что вывод о величине по- строенного угла получен в результате индукции и, вооб- ще говоря, пока является лишь гипотезой (ведь все слу- чаи рассмотрены быть не могут, их бесконечно много). Доказательство проводит учитель, не торопясь и стара- ясь добиться от учеников понимания хода логического рассуждения. Подробный анализ задачи № 2 достаточен для того, чтобы ученики смогли выполнить построение само- стоятельно. В случае затруднений все построения мож- но провести на доске. Дальнейшая работа обобщает результат задачи № 1 на случай любого вписанного угла и связывает вписан- ный угол с соответствующим центральным. Восприя- тию этого факта очень помогает хорошо выполненный рисунок и предварительная работа с ним. Заметим, что предлагаемые для решения задачи весь- ма непросты, и если работа над ними не доступна уче- никам, можно ограничиться только разбором условия, построением чертежа и его анализом, т. е. вычленением отдельных элементов рисунка, включением этих эле- ментов в различные связи и отношения. Это особенно касается задач № 7 и 8, которые непросты и для девяти- классников. Решения этих задач даны в учебнике. Напомним, что основным умением, которым школь- ники должны овладеть, является умение изображать угол, вписанный в окружность, находить его на чертеже 126 и находить вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу окружности. Но и это умение, повторяем, не яв- ляется обязательным для шестиклассников. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 2. В решении задачи важен анализ. — Что значит построить прямую, проходящую через точку А перпендикулярно прямой l? [Это означает, что нужно построить прямой угол с вершиной в точке Атак, чтобы одна из сторон лежала на данной прямой.] — Какой факт относительно прямого угла выведен в ходе решения задачи № 1? [Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр этой окружности. Этот факт используем в решении. Требуется построить окружность, проходящую через точку А (чтобы угол был вписанным) и пересекающую прямую l в какой-нибудь точке, отличной от точки А.] — Важно ли, где будет находиться центр этой окруж- ности и каких размеров эта окружность должна быть? [Нет, это не важно, так как свойство угла, опирающего- ся на диаметр, справедливо для любой окружности.] После того как окружность будет построена, для вы- яснения положения второй стороны вписанного прямо- го угла нужно изобразить ее диаметр. Имея центр и вторую точку пересечения прямой l с окружностью, проводим диаметр. 3. Решение задачи начинается со свойства квадрата. У квадрата все углы прямые. Вписанный прямой угол опирается на диаметр окружности, значит, отрезок АС является диаметром (на него опирается угол АВС). Но на этот же отрезок опирается и угол АМС. Вывод: угол АМС — прямой. Далее можно, сказав о том, что верши- ны квадрата разбили всю окружность на четыре равные части, сравнить углы АМD и СМD. Они оказываются равными как вписанные и опирающиеся на равные ду- ги, следовательно, каждый из них равен половине угла АМС, т. е. 45q. Угол ВМС состоит из трех равных углов по 45q каждый, значит, его величина равна 45 u 3 = 135q. 4. Рассуждения при решении задачи похожи на пре- дыдущие, начинать их нужно с выяснения величин уг- лов правильного треугольника. 127 5. Как и в № 4, в задаче определяют величину дуги, на которую опирается угол АDС, а затем находят вели- чину соответствующего вписанного угла. 6. В задаче отрезок АВ необходимо связать с ради- усом окружности, так как никаких иных линейных эле- ментов заданной длины нет, поэтому следует соединить точки А и В с центром окружности и сосредоточиться на полученном треугольнике. Какого он вида? [Он равно- бедренный, так как две его стороны равны как радиусы окружности.] Что еще можно сказать о нем? Можно ли определить величину центрального угла? [Для этого не- обходимо знать, сколько градусов в дуге АВ.] Есть ли элемент, позволяющий это определить? Что еще не ис- пользовали в решении? [Угол АСВ.] Ученики с по- мощью учителя добрались до начального пункта реше- ния, теперь можно оформлять решение. § 34. ЗАДАЧИ, ГОЛОВОЛОМКИ, ИГРЫ(1 ч) Предметные результаты: выделять в условии задачи данные, необходимые для решения; делать рисунок к за- даче; строить логическую цепочку рассуждений; сопос- тавлять полученный результат с условием задачи. Метапредметные результаты: развитие воображе- ния, интуиции, нестандартного мышления, приобретение опыта поисковой деятельности. Личностные результаты: формирование положитель- ного отношения к занятиям геометрией, развитие комму- никативных умений, эстетическое воспитание. КОММЕНТАРИИ. Рекомендуется рассмотреть решения отдельных задач, наиболее трудных в методическом от- ношении. Заметим при этом, что в учебнике даны отве- ты и решения практически ко всем задачам. Хотя задачи в учебнике и снабжены решениями, тем не менее следует предлагать ученикам работать над ни- ми самостоятельно, не глядя в ответы. Последний урок в 6 классе желательно отвести на проведение зачетного урока, планирование которого осуществляет учитель с учетом уровня освоения мате- риала курса в классе. 128 УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 1. У шестигранного карандаша 8 граней, если он не отточен. Если же рассматривать подточенный каран- даш, то ответ зависит от способа заточки. Задача пока- зывает необходимость дополнения условия для получе- ния однозначного ответа. 2. Задачу можно решить практически, раздав учени- кам бумажные цепочки из трех колец. Возможно, что предметное решение для них будет проще. 3. В решении используется свойство симметрии ок- ружности относительно любого своего диаметра. 5. Возможно, что решению поможет следующее дей- ствие учителя: он «стирает» одну из «стен» и таким обра- зом убирает 4 башни. Теперь нужно найти новое поло- жение этой стены такое, что башни образуются на пере- сечении с оставшимися стенами. 6. Обратите внимание на сходство ответа с решением № 5 и проведите аналогии. 8. Можно сначала выяснить, какова площадь данно- го прямоугольника. Такая же площадь будет и у искомо- го квадрата. Отсюда получаем, что сторона квадрата должна быть равна 6 единицам, значит, линия разреза должна быть ступенчатой. 9. Подсказкой может служить замечание, что одна сторона искомого треугольника должна быть вдвое меньше высоты треугольника, а вторая должна равнять- ся стороне треугольника, к которой эта высота прове- дена. 11. Заметим, что в звезде нужно оставить неразре- занной как можно большую часть, причем так, чтобы эта часть стала частью искомого параллелограмма. 12. Для упрощения решения можно расчертить фи- гуры на более мелкие квадраты и треугольники соответ- ственно. 15. Деля лунный серп на части, нужно заметить, что пересечение линий разреза внутри серпа дает дополни- тельные кусочки. 16. Перед выполнением задания можно вспомнить, всегда ли подобные задачи имеют решения, и, подсчи- тав количество четных и нечетных узлов, начать реше- ние с нечетного узла, если таковой имеется. 129 18. Решение можно осуществить предметно, сделав из клетчатой бумаги цилиндр и нанеся на него рисунок в соответствии с условием задачи. 20. Можно вспомнить решение задачи № 7 из § 1, где четыре страны соседствовали друг с другом. Решение данной задачи аналогичное. 24. Решение задачи можно проводить без предвари- тельного анализа, метод решения — перебор вариантов. 25. Треугольник необходимо разделить на части, а эти части дополнить до прямоугольников (равные тре- угольники пронумерованы одинаково). 26. Для решения достаточно вспомнить тему «Окружность», в которой с помощью замкнутой вере- вочки получали фигуры разной формы. 27, 28. Задачи можно решить предметно, если уче- ник испытывает затруднения с оперированием образа- ми. 29. Упростить решение можно, пронумеровав точки, как в задачах № 21 и 22 из § 18. 31. Задача решается путем раскраски доски в два цвета, так как костяшка домино состоит из двух клеток (см. решение аналогичных задач в § 22). 33, 34. Решения задач могут быть найдены в ходе практических работ с разными многоугольниками. Важ- но, чтобы многоугольники были различной формы. 35. Задача решается методом подбора контрпримера. Учитель может ее сформулировать именно в таком виде, чтобы ученикам потребовалось найти два треугольника с тремя равными углами и двумя равными сторонами. 40. Решение основано на свойстве вписанного в ок- ружность угла, опирающегося на диаметр. 43 (а). Полезно соединить точки таким образом, чтобы получился треугольник, и определить вид этого треугольника. 46. Задачу можно решить практически, если прило- жить два равных прямоугольных треугольника с острым углом в 30q друг к другу, совместив большие катеты. По- лучаем правильный треугольник, у которого одна сторона разделена пополам, что и «доказывает» утверж- дение задачи. 47. Полезно вспомнить, что для замощения плоскос- ти в § 31 сначала были получены полоски. 130 48. Задача является обратной к задаче на деление треугольника на 4 равные части, где использовалось свойство средней линии. Теперь по «внутреннему» тре- угольнику надо достроить в 4 раза больший тре- угольник. 55. На решении этой задачи учитель показывает уче- никам один из способов решения задач комбинаторной геометрии. Решение полностью приведено в учебнике. 131 СОДЕРЖАНИЕ Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Рабочая программа «Математика. Наглядная геометрия. 5—6 классы» к учебнику И. Ф. Шарыгина, Л. Н. Ерганжиевой Пояснительная записка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Планируемые результаты освоения курса . . . . . . . . . 11 Содержание курса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Тематическое планирование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6 класс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Темы учебных проектов и исследований . . . . . . . . . . 35 Описание учебно-методического и материально-технического обеспечения образовательной деятельности . . . . . . . . . . . . . . . 35 Методические комментарии к параграфам учебника 5 класс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 § 1. Первые шаги в геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 § 2. Пространство и размерность . . . . . . . . . . . . . . . 40 § 3. Простейшие геометрические фигуры . . . . . . . . . 44 § 4. Конструирование из «Т» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 § 5. Куб и его свойства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 § 6. Задачи на разрезание и складывание фигур . . . . 51 § 7. Треугольник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 § 8. Правильные многогранники. . . . . . . . . . . . . . . . . 58 § 9. Геометрические головоломки . . . . . . . . . . . . . . . . 59 § 10. Измерение длины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 § 11. Измерение площади и объема . . . . . . . . . . . . . . . 63 132 § 12. Вычисление длины, площади, объема. . . . . . . . 66 § 13. Окружность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 § 14. Геометрический тренинг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 § 15. Топологические опыты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 § 16. Задачи со спичками. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 § 17. Зашифрованная переписка . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 § 18. Задачи, головоломки, игры . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6 класс. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 § 19. Фигурки из кубиков и их частей . . . . . . . . . . . . . 89 § 20. Параллельность и перпендикулярность . . . . . . 92 § 21. Параллелограммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 § 22. Координаты, координаты, координаты... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 § 23. Оригами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 § 24. Замечательные кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 § 25. Кривые Дракона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 § 26. Лабиринты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 § 27. Геометрия клетчатой бумаги . . . . . . . . . . . . . . . . 110 § 28. Зеркальное отражение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 § 29. Симметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 § 30. Бордюры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 § 31. Орнаменты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 § 32. Симметрия помогает решать задачи . . . . . . . . . 122 § 33. Одно важное свойство окружности . . . . . . . . . . 124 § 34. Задачи, головоломки, игры . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 |