Isbn 9785358173804Ерганжиева, Л. Н
 Скачать 0.57 Mb.
|
|
§ 13. ОКРУЖНОСТЬ(1 ч) Основные понятия:окружность, круг, радиус, диаметр, дуга, градусная мера дуги, вписанные фигуры. Предметные результаты: строить окружность с по- мощью циркуля и от руки, делить окружность на равные части, изображать правильные многоугольники, вписан- ные в окружность; пользоваться транспортиром, со- здавать образ по памяти и манипулировать им: вращать, расчленять, достраивать. Метапредметные результаты: приобретение опыта исследовательской работы, развитие логических умений: выделение существенных признаков понятия, формули- рование определений, применение приемов абстраги- рования, обобщения. Личностные результаты: развитие наблюдательности, умения видеть геометрию окружающего мира: развитие познавательной активности, общекультурное развитие учащихся, эстетическое воспитание. 70 Внутрипредметные и межпредметные связи: плани- метрия (окружность, дуга окружности и измерение дуги, вписанные и описанные фигуры). КОММЕНТАРИИ. Окружность и треугольник составля- ют основу планиметрии, поэтому данный параграф можно считать одним из основных в пропедевтическом курсе геометрии. Основная цель изучения — понять, а не просто формально запомнить определение окруж- ности, увидеть ее основное свойство и научиться его ис- пользовать, научиться делить окружность на равные части с использованием транспортира и циркуля. Кроме того, учащиеся приобретают чертежные навыки работы с циркулем, рисуя орнаменты. Начать можно с логического упражнения в констру- ировании различных определений. Определяя различ- ные понятия, не обязательно математические, ученики под руководством учителя подходят к пониманию опре- деления как предложения, в котором перечисляются ос- новные свойства данного понятия, позволяющие отли- чить его от остальных понятий. Чтобы их перечислить, эти свойства должны быть сначала обнаружены. — Чем отличается треугольник от других фигур? [Тем, что он состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.] — Чем отличается окружность? — Как определить это понятие? Учитель может использовать простую модель, со- стоящую из круга, закрепленного в центре и вращаю- щегося вокруг него на плоскости. Круг обведен яркой краской. На окружности отмечена какая-либо точка. При вращении круга видно, что эта точка скользит по нарисованной окружности. Значит, окружность — это линия, которая «скользит» сама по себе, вращаясь во- круг центра. Можно провести радиус круга, соединяющий эту точку с центром, и выяснить с учениками, на каком рас- стоянии выбранная точка находится от центра круга. Аналогичная модель делается и с правильным треуголь- ником, закрепленным в центре. Ученики замечают раз- ницу: в треугольнике выбранная точка скользит не по контуру треугольника, а по некоторой окружности. 71 Сравнив расстояния от различных точек окружности до центра и расстояния от различных точек треугольника до центра, приходим к определению окружности. Окружность — это линия, все точки которой распо- ложены на одном расстоянии от одной точки плоскос- ти, называемой центром окружности. Непосредственно после формулировки определения можно задать ученикам вопросы. — Почему колеса делают круглыми? — Почему для вычерчивания окружности применяют циркуль? — Как нарисовать окружность с помощью веревочки или шнурка? Часто школьники подменяют термин «окружность» термином «круг», не различая их. На этом следует остановиться отдельно. Мы рекомендуем и здесь ис- пользовать модель — веревочку, связанную в кольцо. Это кольцо, положенное на плоскость, ограничивает некоторую площадь, причем, в зависимости от формы, которую мы придаем кольцу, эта площадь будет раз- личной. Если кольцо принимает форму окружности, то ограниченная им фигура будет иметь наибольшую пло- щадь, эта фигура — круг. Итак, разница окружности и круга в том, что окружность — это линия, ее величина характеризуется длиной, а круг — плоская фигура, ха- рактеризуется площадью. Учащиеся на этом уроке также должны запомнить термины «радиус» и «диаметр». Лучшему запоминанию поможет знание школьниками перевода этих слов как «спица в колесе» и «поперечник». Изобразительно-графические умения школьников пополняются умением от руки изображать окружность на клетчатой бумаге, что бывает часто нужно при вы- полнении набросков или рисунков к планиметриче- ским задачам. Это правило окружности можно условно назвать «3—1, 1—1, 1—3» (три вправо, одна вниз; одна вправо, одна вниз; одна вправо, три вниз). Далее основная нагрузка приходится на деление ок- ружности на равные части. Это очень трудоемкое заня- тие для пятиклассников, требующее умения работать с транспортиром и циркулем. Кроме того, ученики долж- 72 ны понять соответствие между градусной мерой цент- рального угла (угол, образованный радиусами) и мерой дуги (заключенной между его сторонами). Затем предлагается рассмотреть в учебнике рисунки 91—94. Учитель может также применять и другие мате- риалы, отражающие использование окружности в ар- хитектуре и искусстве. Эти примеры должны подвести учеников к проблеме деления окружности на равные части. Самая простая и наглядная модель окружности, раз- деленной на равные части, — это круглый циферблат часов и стрелки как радиусы. Сделав полный оборот, стрелка описывает угол в 360q (этого вопроса ученики уже касались при рассмотрении транспортира и градус- ной меры угла, и мы надеемся, что им нетрудно будет вспомнить это). Значит, треть окружности составляет 120q. Надо начертить три угла с вершиной в центре ок- ружности по 120q каждый. Стороны этих углов разделят окружность на три равные части. Точки деления соеди- няем отрезками и получаем вписанный в окружность треугольник. Далее учитель предлагает ученикам сделать необхо- димые расчеты для того, чтобы разделить окружность на 5, 6, 8 частей и вписать соответствующий много- угольник. Затем учитель может объяснить ученикам способ де- ления окружности на 6 равных частей без транспортира. Объяснение лучше провести самому учителю, так как уровень логического мышления учащихся еще недоста- точно высок для проведения доказательств подобного рода, да и приемов рассуждения учащиеся еще не знают. Конечно, требовать повторения учениками этого рас- суждения не нужно. Это доказательство в данном случае играет роль примера логических рассуждений, но усво- ить способ деления окружности на 6 частей они долж- ны. Закрепить его они могут при выполнении орнамен- та «цветок» (рис. 96 учебника). Предлагается выделить время для вычерчивания ор- наментов одним циркулем. Ученики должны быть пре- дупреждены заранее о том, чтоим понадобятся цвет- 73 ные карандаши, если набор цветных карандашей не ис- пользуется на уроках постоянно. По теме «Окружность» следует повторить все основ- ные понятия, приемы вычерчивания, рассмотреть орна- менты, нарисованные учащимися. Учитель не должен забывать о необходимости наглядного раздаточного материала, о работе с ножницами при решении задач на разрезание фигур, об играх-инсценировках задач. Инс- ценировать можно задачи № 10—12. Для этого пона- добится веревка, ее учитель приготовит заранее. Такие практические решения требуют большого простора, и их лучше проводить не в классе, а в рекреации или в другом просторном помещении. Завершить урок можно несколькими задачами параг- рафа, например № 3—5. Задачи № 1 и 2 полезно решить дома. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 1. При разборе задачи полезно сравнить свойства квадрата и основное свойство окружности и найти принципиальное отличие, используя определение ок- ружности. 2. Задача требует неординарности мышления, реше- ние очень неожиданно — сгибание круга вместе с поло- сой, его трудно найти с помощью логических рассужде- ний. Но даже если ученики не додумаются сами, реше- ние учителя должно поразить их своей простотой и оригинальностью, а также запомниться как возможный метод решения. 3. Задача, аналогичная задачам на складывание че- тырех треугольников из шести спичек и шести квадра- тов из 12 спичек, решение которых возможно только при выходе из плоскости в пространство. 4. Задача продолжает серию «невозможных фигур». 5. Решение задачи трудно найти, если в рассуждени- ях использовать квадрат и пытаться разрезать его на час- ти. Проще в предлагаемых фигурах выделять части, из которых после разрезания можно сложить квадрат со стороной 6 клеток. Полезно также внимательно рас- смотреть контуры фигур и выяснить, какие части могут быть вдвинуты друг в друга после разрезания. 74 12. При решении задачи в кружок становятся учени- ки (четное или нечетное число) и каждые двое соседей начинают вращаться в разные стороны после того, как будет выяснен смысл работы шестеренок. Ученики за- мечают разницу и дают ответ на поставленный вопрос. 13. Определенную трудность может составить реше- ние задачи о бревнах и лежащей на них платформе. Сра- зу напрашивается ответ 5 м, который является не- верным, так как не учитывается, что движется не только платформа, но и бревна. Платформа передвинется на 5 м относительно бревен, а бревна — на 5 м относи- тельно земли. Таким образом, передняя часть платфор- мы передвинется на 5 + 5 = 10 (м). Облегчить решение задачи можно моделированием ситуации с помощью цилиндрических карандашей и плоского тяжелого пе- нала, положенного на них. Не забудьте на стол поло- жить линейку и сделать соответствующие замеры! 14. При решении задачи можно использовать резуль- тат задачи № 10 о козьем пастбище, когда кольцо ошей- ника козы оказывается около колышка. Время в задаче играет роль веревки, ограничивающей передвижение козы. § 14. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ТРЕНИНГ(1 ч) Основные понятия:теорема, теорема Пифагора. Предметные результаты: распознавать геометриче- ские фигуры в сложных конфигурациях; целостно восп- ринимать объект, вычленять из чертежа отдельные эле- менты; создавать и манипулировать мысленным образом, обосновывать найденную закономерность. Метапредметные результаты: развитие опыта поис- ковой предметной деятельности, коммуникативных уме- ний. Личностные результаты: развитие познавательной ак- тивности, интереса к занятиям геометрией; воспитание целеустремленности, настойчивости, смелости в приня- тии решения. Внутрипредметные и межпредметные связи: плани- метрия (теорема Пифагора). 75 КОММЕНТАРИИ. Вслед за насыщенным новыми поня- тиями параграфом «Окружность» предлагается провес- ти урок, ставящий своей основной целью развитие геометрического зрения. Среди упражнений тренинга: задание на формирование умения целостно восприни- мать объект, на умение вычленять отдельные части ри- сунка, включать отдельный элемент рисунка в различ- ные связи, задания, требующие манипулирования обра- зом по памяти, создания образа воображения. Задания № 10—12 требуют от учеников работы логического ха- рактера на обоснование замеченного свойства, на срав- нение, на формулировку свойств. Среди заданий тренинга выделяются № 8 и 9, кото- рые, кроме того что развивают геометрическое зрение, а именно прием включения объекта в различные связи и восприятие геометрической фигуры как части некото- рого объекта (другой фигуры), также являются иллюст- рацией приема, который можно условно назвать «кодированием точек». Он состоит в том, что точки пе- ресечения отрезков или прямых нумеруются или назы- ваются буквами (нумерация облегчает работу, так как числа привычнее для детей, чем латинские буквы, кро- ме того, числами можно обозначить любое, даже боль- шое, количество точек). Обозначив таким образом точ- ки, можно начинать перечисление фигур указанием их вершин (например, решение № 1). Можно проводить рассуждения и другого рода, как, например, при реше- нии задачи № 5. После изучения площадей, когда уче- ники разбирали вопрос о выборе единицы измерения — квадратной или треугольной — и решали задачу о деле- нии треугольника на 4 равных треугольника, им этот способ может быть понятен. Задачи № 10 и 12 требуют от учеников наблюдатель- ности, а также знания темы «Площади», в их решении могут помочь задачи на разрезание, поэтому полезно вспомнить на этом уроке какие-нибудь задачи на раз- резание и складывание, например игра «Танграм», ко- торые не вызывают затруднений и нравятся школь- никам. 76 УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 1. Решение задачи начнем с перечисления отрезков с концом в точке А, это АК, AM, AB (три отрезка); теперь с концом в точке К. АК уже посчитали, значит, КМ и KB — два отрезка; теперь — в точке М: AM и КМ уже уч- ли, остается MB; никаких неучтенных отрезков с кон- цом в точке В нет, значит, на рисунке всего 6 отрезков. О т в е т: 6 отрезков. 4. При выполнении задания занумеруем точки пере- сечения отрезков и начнем выписывать треугольники, начиная, например, с левого нижнего уголка. Сначала все треугольники с вершиной 1: 1—2—9, 1—3—8, 1—4—7. Затем все не записанные еще треугольники с вершиной 2: 2—3—10, 2—4—6, 2—9—10 и т. д. Таким образом, получим 13 треугольников. 5. Сначала мы подсчитываем число единичных тре- угольников — самых маленьких. Их 4 · 4 = 16. Затем — количество треугольников, которые состоят из 4 ма- леньких, их площади больше в 2 · 2 = 4 раза. Таких треугольников 7 штук, они частично перекрывают друг друга. Затем — число треугольников со сторонами, втрое большими, чем у единичных. Они составлены из 3 · 3 = 9 маленьких. Три треугольника со сторонами втрое большими, чем у единичных, и они тоже частично перекрывают друг друга. И, наконец, последний тре- угольник — самый большой. Итак, всего 16 + 7 + 3 + 1 = 27 треугольников. 9. Пронумеруем точки числами от 1 до 9 и выпишем коды всех треугольников по порядку: 1—2—3, 1—4—6, 2—4—5, 2—3—5, 2—6—7, 3—4—8, 3—5—6, 4—5—7, 4—6—9, 5—6—8, 5—7—8, 7—8—9. Всего 12 равносторон- них (именно равносторонних, а не произвольных) тре- угольников. 11. Из всех задач параграфа эта задача является са- мой сложной. Хотя ее решение полностью приведено в ответах, ученики едва ли смогут разобраться самостоя- тельно, поэтому учителю следует показать и объяснить решение этой задачи. Ученики должны понять, почему ввели соответствующие обозначения, почему достаточ- но рассмотреть только четверть всей фигуры и почему 77 получается уравнение 2х + 2а = 2а + х + у, из которого следует равенство х и у. Если для учеников подобные рассуждения еще сложны, можно не требовать от них повторения этих рассуждений. Учитель при решении этой задачи просто демонстрирует новый прием, осно- ванный на составлении уравнения (алгебраический прием решения геометрической задачи). § 15. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ОПЫТЫ(1 ч) Основные понятия :топология, поверхность, лист Меби- уса, графы, уникурсальные кривые. Предметные результаты: строить геометрические фи- гуры от руки; исследовать и описывать свойства фигур, используя эксперимент, наблюдение, измерение, моде- лирование; использовать приемы дедуктивного мыш- ления при решении задач с помощью графов, рисовать графы, соответствующие задачной ситуации; создавать и манипулировать мысленным образом. Метапредметные результаты: формирование прие- мов исследовательской деятельности при обнаружении свойств листа Мебиуса. Личностные результаты: формирование интереса к са- мостоятельному поиску знаний, фантазии, инициативы, аккуратности, эстетического восприятия геометрии. КОММЕНТАРИИ. Логически данный параграф делится на две части: опыты с бумагой и вычерчивание кривых без отрыва руки. Учитель может построить занятия соответственно: сначала рассмотреть лист Мебиуса и его особенности и организовать выполнение опытов с различными кольцами и лентами, а затем рассказать о задаче Эйлера и уникурсальных кривых. Изучение темы строится в соответствии с учебником. Одно лишь замечание можно сделать по началу урока. Данный материал не традиционен для современной школы, и ученики наверняка не встречались с ним. По- этому учитель может привлечь внимание учеников к изучению фокусом. Сначала взять в руки простое, не перекрученное кольцо и спросить учащихся, что получится, если его разрезать посередине вдоль. Ученики без труда дадут 78 верный ответ: получатся два одинаковых кольца, вдвое тоньше исходного. Затем учитель на виду у школьников склеивает новое кольцо (лист Мебиуса), перекрутив по- лосу бумаги один раз, задает тот же вопрос и, вероятно, получит аналогичный ответ: получатся два одинаковых перекрученных кольца. Так ли это? Разрезав кольцо вдоль, учитель показывает результат разрезания — одно перекрученное кольцо вдвое длиннее и вдвое тоньше исходного. Не схитрил ли учитель? А что получится у школьников? И далее проводятся опыты с перекручен- ными кольцами. В зависимости от собранности класса учитель может по-разному организовать работу. Он может контролировать каждый шаг и после каждого опыта подводить итог, выясняя особенности. В более организованном классе ученики могут самостоятельно, лишь с помощью учебника и индивидуальной помощью учителя, выполнить опыты и заполнить таблицу, а затем обсудить результаты и сделать выводы. Безусловно, никаких обоснований полученного результата учитель не может дать ученикам. Общий вывод, к которому при- ходят ученики, состоит в том, что в мире, и в геометрии в частности, есть множество удивительных и интерес- ных вещей, которые еще предстоит открыть для себя школьникам. Далее можно выполнить упражнение с алфавитом. Сначала учитель немного рассказывает о топологии — разделе геометрии, в котором изучаются такие свойства фигур, которые не изменяются при всяческих деформа- циях, не допускающих разрывов и склеиваний. Таким деформациям будут подвергаться буквы алфавита. Представим буквы алфавита сделанными из мягкой проволоки, которую можно сгибать и разгибать, но нельзя разрывать и склеивать. Какие буквы можно сде- лать из «А»? Например, вытянув «ножки» буквы в сторо- ны и затем, загнув концы книзу, можно получить букву «Д». С точки зрения топологии эти буквы одинаковые. Далее ученики преобразовывают другие буквы алфави- та, оформляя результаты в таблице, или, например, с помощью стрел. Ученики должны в уме выполнить операцию рекон- струкции, выдать готовый результат и изобразить его. 79 Если задание вызывает затруднения, оно выполняется предметно, с использованием модели (даже простой ри- сунок может помочь учащемуся, если реконструкцию заменить рисованием как бы в движении). Далее выполняются задачи § 1 на вычерчивание за- крытого и открытого конвертов без отрыва руки. Учени- ки вспоминают, что одна из них не имела решения. Чем отличаются эти задачи? Ответ на этот вопрос будет дан на этом уроке. Затем учитель обращается к знаменитой задаче Эйле- ра о семи кенигсбергских мостах. Объяснение ее реше- ния, приведенное в параграфе, обязательно нужно сопровождать показом рисунков. Лучше, если они будут заранее увеличены или нарисованы на доске. Ученики должны следить за рассказом учителя и не терять нить рассуждений. От рисунков учитель переходит к сети кривых (их можно нарисовать под рисунком к задаче о мостах), объясняя, что при схематическом изображении острова и берега заменяем точками — узлами графа, а мосты — кривыми или сторонами графа. Узлы бывают двух видов — четные и нечетные. Четным назовем узел, в котором сходится четное число сторон, а нечетным — узел, в котором соединяется нечетное число сторон. Подсчитывается количество четных и нечетных узлов графа (или сети кривых), и учитель формулирует усло- вие, при котором данную сеть (граф) можно вычертить без отрыва руки: нечетных узлов должно быть не больше двух (два или ни одного). УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 1, 2. Закрепление задачи о семи мостах проводится при решении задач, аналогичных разобранной. Их ре- шение сводится к построению графа и подсчету количе- ства нечетных узлов. Не следует забывать, что мосты (или другие пути и дорожки) — это стороны графа, а острова, комнаты и т. п. — это узлы, в которых пути сходятся. Графы удобно вычерчивать, сначала расставив узлы, а затем соединяя их в соответствии с количеством дорожек, дверей, мостов и т. п. 3, 5, 6. Задачи решаются аналогично № 1 и 2. Осо- бенность задачи № 3 в том, что построенный граф будет 80 пространственным: это будет каркасный куб, модель которого может помочь ученикам найти решение зада- чи. 4. Перед выполнением задания можно сначала убе- диться, что предлагаемые фигуры можно начертить без отрыва руки, а затем уже браться за вычерчивание. Ученики должны заметить, что начинать всегда нужно с нечетного узла, если он есть, тогда путь заканчивается тоже в нечетном узле. Предложите ученикам объяснить, почему так происходит. Задание на дом. 1) Подумать, почему любой граф либо содержит четное число нечетных узлов, либо вооб- ще их не имеет. При этом ученикам можно показать прием рассуждений: проставить около каждого узла число, соответствующее количеству выходящих из этого узла путей, затем подсчитатьих сумму и сделать вывод. 2) Придумать интересные фигуры, которые можно или нельзя начертить без отрыва руки. |