Isbn 9785358173804Ерганжиева, Л. Н
 Скачать 0.57 Mb.
|
|
§ 16. ЗАДАЧИ СО СПИЧКАМИ(1 ч) Предметные результаты: конструировать фигуры из спичек; исследовать и описывать свойства фигур, исполь- зуя эксперимент, наблюдение, моделирование; создавать образ, осуществлять мысленный перенос элементов об- раза, реконструировать образ. Метапредметные результаты: развитие конструктив- ных способностей, комбинаторных способностей, спо- собности предвидеть результат. Личностные результаты: развитие интереса к геомет- рической деятельности, формирование усидчивости, на- стойчивости, гибкости мышления. КОММЕНТАРИИ. Задачи этого параграфа не являются для учеников незнакомыми. Они весьма распростране- ны среди школьников, причем не воспринимаются ими как геометрические, что позволяет снять напряжение, возникающее у некоторых учеников при решении мате- матических задач. Они относятся к так называемому математическому фольклору, популярному во все вре- мена. Никаких специальных знаний для их решения не 81 требуется. Важна лишь сообразительность, способность к мысленному предвосхищению результата. Для учителя важно выбрать форму проведения урока. Можно, начав с фронтальной работы, показывающей всем ученикам решение и процесс его поиска, перейти к индивидуальной работе, когда ученики работают каж- дый в своем темпе. Учителю при этом важно поощрить каждого ученика, похвалить его за самостоятельность и оригинальность. В конце урока, разбирая решения со всем классом, учитель может остановиться на том, как ученик догадал- ся до такого решения, что его на это натолкнуло, какие особенности конфигурации сыграли решающую роль в выборе пути решения. Подобная работа позволит ре- ализовать большой логический потенциал подобных задач, в которых логика на первый взгляд «не работает». Такие вопросы учат школьников анализировать ситу- ацию, проводить сравнение и аналогию, что весьма важно при решении геометрических задач. Также здесь срабатывает прием включения объекта в различные свя- зи, что является необходимым при решении геометри- ческих задач. Урок решения задач со спичками во многом напоми- нает ученикам игру. Завершить впечатление игры и со- ревнования учителю поможет вручение призов от- личившимся на уроке школьникам. Это могут быть модели многогранников, красочно оформленные кар- тинки геометрического содержания, изображения не- возможных объектов и т. п., подготовленные старше- классниками. § 17. ЗАШИФРОВАННАЯ ПЕРЕПИСКА(1 ч) Основные понятия:поворот на заданный угол в задан- ном направлении. Предметные результаты: осуществлять поворот фигу- ры на заданный угол в заданном направлении; манипули- ровать мысленным образом. Метапредметные результаты: приобретение опыта экспериментирования с объектом. 82 Личностные результаты: развитие самостоятельности, поддержание познавательной активности, интереса к предмету, воспитание усидчивости и аккуратности. КОММЕНТАРИИ. Рассмотрение этого параграфа при- ходится на один из последних уроков наглядной геомет- рии 5 класса. Конец года, ученики устали, поэтому трудно надеяться на усвоение серьезного теоретическо- го материала. Предлагается провести урок пропедев- тики понятия «поворот». Изготавливая шифровальную решетку, распределяя «окошечки» по определенному правилу, сформулированному учителем, ученики долж- ны проявить и самостоятельность, и умение пользовать- ся некоторым предписанием, и способность к понима- нию дедуктивных рассуждений учителя. После объясне- ния правила вырезания «окошечек» учитель может еще раз спросить учеников, почему нужно вырезать окошеч- ки с разными номерами. Если ученик смог объяснить это, можно надеяться, что интуитивное понятие пово- рота сформировано. Прием и метод рассуждений при объяснении того, что разных решеток можно составить больше 4 милли- ардов, в дальнейшем встречается при решении задачи № 10 из § 18 о количестве способов прочтения слова «шалаш». Учитель может только лишь рассказать, как подсчитывается это количество, и провести подсчет, не требуя повторения от учеников, так как уровень разви- тия дедуктивного мышления учащихся еще недостаточ- но высок. Если ученик вспомнил прием при решении этой задачи, даже не сумев его применить, учитель мо- жет считать, что добился немалых результатов в разви- тии его мышления. По организации урока можно сделать следующие за- мечания. Начать урок лучше с показа ученикам «полу- ченной» учителем шифровки и поиска способа дешиф- ровки. Лучше, если текст будет каким-либо образом касаться учащихся данного класса. Затем учитель пока- зывает дешифровальную решетку и рассказывает о ее изготовлении. После этого пятиклассники приступают к самостоятельному изготовлению решеток, предвари- тельно проконсультировавшись с учителем, правильно ли выбраны клетки для «окошек». При этом учитель мо- 83 жет выяснить степень понимания учениками сущности поворота. Можно предложить учащимся работу в парах или в малых группах, которые делают одинаковые ре- шетки, таким образом, игра может быть продолжена вне класса, летом на каникулах. § 18. ЗАДАЧИ, ГОЛОВОЛОМКИ, ИГРЫ(1 ч) Предметные результаты: исследовать и описывать свойства фигур, используя эксперимент, наблюдение, из- мерение, моделирование. Метапредметные результаты: приобретение опыта поисковой деятельности, формирование познавательной активности, развитие коммуникативных умений. Личностные результаты: привитие вкуса к умственной работе. КОММЕНТАРИИ. В последнем параграфе, предложен- ном для рассмотрения в 5 классе, собраны различные задачи и головоломки из разных разделов. Есть задачи, аналогичные рассмотренным в течение года, а также за- дачи, встречающиеся ученикам впервые. Они различны и по уровню сложности, но среди них есть такие, кото- рые под силу любому школьнику. Ко всем задачам в учебнике даны ответы или решения. В задаче № 1 на расстановку стульев, если ответ не получается методом проб и ошибок, полезно провести некоторые рассуждения, как, например, в № 1 (а). УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 1 (а). В задаче поставим вдоль одной стены 6 стульев. Остается еще 6 стульев, но требуется получить два ряда по 4 стула, и кажется, что двух стульев не хватает. Эти два стула нужно «позаимствовать» из уже расставлен- ных, но так, чтобы все они остались в одном ряду. Зна- чит, эти недостающие стулья должны принадлежать и тому ряду, в котором они стояли, и тому, в который мы хотим их поставить, т. е. они должны быть угловыми. 1 (б). В задаче «недостает» четырех стульев, значит, поставим в каждом углу комнаты по стулу и добавим вдоль каждой стены по два. 84 1 (в). В задаче после размещения двух стульев посе- редине комнаты остается 10 стульев. Их нужно размес- тить поровну вдоль четырех стен. 10 на 4 нацело не де- лится, но делится 8. Поставим по два стула около каждой стены, а два оставшихся — в углах так, чтобы их можно было отнести к двум парам противолежащих сто- рон. 2. Задача является иной формулировкой задачи 1 (в). 3. Задачу можно переформулировать: соединить 20 точек ломаной линией так, чтобы она прошла через все точки и была длиной 19 см (расстояние между точ- ками равно 1 см). 4. При решении задачи лучше пользоваться схема- тичным изображением туфель, выделив лишь шнуров- ку. Это задание на восстановление невидимой части чертежа, аналогичное приему построения чертежа в сте- реометрии. Учитель может варьировать задания, пред- лагая ученикам различные варианты шнуровки. 5. При решении задачи учитель может использовать предметную модель, т. е. квадраты, вырезанные в соот- ветствии с условием задачи. Начало объяснения учитель в таком случае сопровождает показом этих квадратов и процесса наложения их друг на друга. На втором-треть- ем шаге учитель прекращает демонстрацию модели, и дальнейшие преобразования ученики проводят в уме, зарисовывая на бумаге лишь конечный результат. Как и задачу № 4, эту задачу можно варьировать, изменяя правило или последовательность действий. Например, можно укладывать квадраты, чередуя цвет и совмещая верхние левые углы, или совмещая центры и т. п. Мож- но также предложить ученикам составить с помощью таких квадратов рисунки, а затем сделать выставку. 6. Задача является очень трудной для пятиклассни- ков: нужно суметь увидеть пробку с разных сторон. Пробка должна быть такой, чтобы разными ее проек- циями были квадрат, треугольник и круг. Чтобы пробка могла закрыть круг и квадрат, она должна быть цилинд- рической формы, причем диаметр основания должен быть равен высоте. При этом одна проекция (вид сверху) — круг, а вторая (вид сбоку) — квадрат. Но как быть с треугольником? Для того чтобы одна из проек- 85 ций была треугольником, достаточно у квадрата «сре- зать уголки», т. е. от цилиндра нужно отрезать две части, проведя секущие плоскости через центр верхнего осно- вания и диаметрально противоположные точки окруж- ности нижнего основания. Таким образом, получилась пробка, внешний вид которой изображен в ответе к за- даче. Заметим, что выше приведенные рассуждения весьма сложны и опираются на понятия, которые уче- никам еще не известны (например, понятие «сечение»), но цель учителя состоит не в том, чтобы ученики усво- или ход решения. Возможно, ответ будет получен уча- щимися интуитивно, если предложить им предметное решение, например с использованием пластилина. В любом случае, задача полезна для развития простран- ственного мышления подростков. 9. В задаче требуется поставить 24 стула в 6 рядов по 5 в каждом. При умножении 5 на 6 получаем 30, шести стульев не хватает. Значит, эти шесть стульев — «угло- вые», принадлежащие двум рядам. Таким образом, по- лучается как бы шестиугольная комната, вдоль стен ко- торой расставляются стулья, аналогично задаче № 1. 10. В условии задачи не оговорено, могут ли совпа- дать первая и последняя буквы в слове «шалаш». Пусть эти буквы могут совпадать, тогда ходов «шал» — 12, об- ратных «лаш» тоже 12. Значит, всего 12 · 12 = 144 хода. Добавляя условия в задачу, например, что первая и последняя буквы не совпадают, получаем другие ответы. В этом случае обратных ходов не 12, а 11, поэтому всего 12 · 11 = 132 способа. Если же потребовать, чтобы ника- кие буквы в слове не повторялись, то количество вари- антов еще уменьшится,их станет всего 100. 12. При решении задачи помощью ученикам может стать словесное объяснение места, где находятся колод- цы: «в уголках треугольника и посередине», и тогда они вспомнят рисунки о делении треугольника на равные части, встречавшиеся им ранее. 13. Если решение вызовет затруднения, можно под- сказать ученикам, что линии соединения точек могут выходить за пределы квадрата, обозначенного данными точками. 86 15. В задаче № 15 (а) следует обратить внимание уче- ников на то, что искомый треугольник — прямоуголь- ный, это говорит о том, что один из углов данного пря- моугольника может стать прямым углом. Попытка до- рисовать недостающую часть треугольника натолкнет на решение задачи. Решение задачи № 15 (б) опирается на свойство сим- метричности равнобедренного треугольника. Он состо- ит из двух равных частей, поэтому и прямоугольник нужно разделить на две равные части. Задача № 15 (в) — посложнее. Предложите ученикам поискать подсказку. 16. Полезно начинать решение задачи с подсчета площади данной фигуры и выяснения того, какую пло- щадь должна иметь четвертая часть фигуры. А какую форму? 19. При рассмотрении рисунков, изображающих свернутую из бумаги трубочку, нужно обратить внима- ние на наклон (правый или левый) закручивающегося края бумаги и на то, какой это край — ровный или нет. Один из вариантов сворачивания трубочки можно про- демонстрировать ученикам, иначе многим ребятам мо- жет быть непонятно условие задачи. 21, 22. При выполнении этих заданий полезно вспомнить, как решали задачи № 8 и 9 в § 14. Используя прием кодирования точек, выписывали всевозможные квадраты в № 8 или правильные треугольники в № 9. Теперь ученикам предстоит «отбросить» наиболее часто встречающиеся в записи вершины так, чтобы остальные не являлись вершинами квадрата (треугольника). Решим задачу № 22. Пронумеруем точки и выпишем вершины всех правильных треугольников: 1—2—3, 2—4—5, 3—5—6, 4—5—7, 5—6—8, 5—7—8, 7—8—9, 1— 4—6, 4—6—9, 2—6—7, 3—4—8. Теперь остается вычерк- нуть наиболее часто встречающиеся вершины. Вычер- чивание вершины 5 делает невозможным построение шести треугольников. Теперь вычеркнем, например, вершину 4, она встречается три раза в оставшихся тре- угольниках, остается три треугольника. В них дважды встречается вершина 2. Вычеркнем ее, останется один 87 треугольник 7—8—9. Отбросим любуюиз этих трех то- чек и таким образом выполним требование задачи. 24, 25, 26, 36. Задачи можно считать шутками из математического фольклора. Подобные задачи решают все дети, начиная с дошкольного возраста, проявляя при этом изобретательность, юмор, находчивость. На- верняка, ученики смогут предложить для решения в классе и свои задачи, от которых не следует отказывать- ся: повеселитесь на уроке, это так полезно, особенно в конце учебного года. 28. К верному решению поможет прийти анализ ри- сунка к задаче. Домики № 2 и 3 расположены так, что соединение их с соответствующими калитками по пря- мым неизбежно дает пересечение дорожек, значит, про- ведя одну дорожку напрямую, например, от домика № 3, дорожку к домику № 2 нужно провести «в обход». Для этого есть единственная возможность: нужно обойти домик № 3 сзади. После этого шага становится видно, что дорожка к домику № 1 должна вначале про- ходить между второй и третьей дорожками, т. е. тоже ид- ти за домик № 3. Теперь обогнуть домик № 2 не соста- вит труда. 30. Процесс решения этой сложной задачи сводится к последовательному выяснению длин сторон квадра- тов, начиная с закрашенного. Его сторона равна 1. Сле- дующий по величине квадрат, прилегающий к закра- шенному, со стороной 2. Теперь идем против часовой стрелки: третий по величине квадрат имеет сторону 2 + 1 = 3. Квадрат над ним — сторону 3 + 1 = 4. Далее, 4 + 1 = 5. Мы подошли к первому квадрату со знаком вопроса. Его сторона равна стороне пятого квадрата без единицы, т. е. 4. Теперь ясно, что левый верхний квад- рат имеет сторону 5 + 4 = 9, левый нижний 9 + 4 = 13, и больший квадрат со знаком вопроса — со стороной 13 + 2 = 15. 32. Разъяснить невозможность переплетения каран- дашей способом, предложенным в учебнике на рисунке 159, можно с использованием понятий «выше», «ниже». Так, если рассмотреть вертикальный желтый и горизон- тальный коричневый и серый карандаши, то желтый ле- жит ниже указанных серого и коричневого. В то же вре- 88 мя наклонный бежевый карандаш лежит под желтым и над серым, т. е. ниже желтого, но выше коричневого и серого карандашей, что невозможно: получается, что бежевый карандаш как бы огибает желтый снизу, как петля. Ученики могут не проводить подобных рассужде- ний, достаточно, если они увидят «невозможность» этой картинки. 33. Объяснение ученика может быть подобным сле- дующему: двигаясь вдоль стороны треугольника, спичка поворачивается так, что, возвратившись в исходное положение, ее головка оказывается повернутой в проти- воположную сторону, т. е. спичка повернулась на 180q. Ее поворот происходил на углы, равные углам треуголь- ника, значит, сумма этих углов 180q. Итак, последний параграф в 5 классе пройден. Учи- тель может подвести некоторые итоги, выделив для этого урок. На зачетном уроке можно дать ученикам ра- боту, аналогичную выполненной ими в сентябре на пер- вом уроке, и сравнить результаты. Большего воспита- тельного воздействия можно добиться, если сохранить сентябрьские работы. Их сравнение наглядно проде- монстрирует положительные результаты обучения. 6 класс Предполагается, что основы геометрической дея- тельности учащихся заложены в 5 классе, и поэтому второй год изучения наглядной геометрии насыщен практическими работами, при выполнении которых учащимся необходимо владеть чертежно-измерительны- ми инструментами, уметь мысленно представить кон- фигурацию и мысленно изменить ее, видеть глубину пространства в плоскостном изображении пространст- венных тел. Основные теоретические вопросы изложены в § 20 «Параллельность и перпендикулярность», § 21 «Парал- лелограммы», § 22 «Координаты» и § 28—31, касающих- ся вопросов симметрии, параллельного переноса, пово- рота. Напомним, что как в 5 классе, так и в 6 классе не следует требовать от учащихся заучивания форму- лировок, достаточно владения терминами, умения узна- 89 вать объект, использовать его свойства в простых ситу- ациях. Большую нагрузку в развитии образного мышления, геометрического видения несут § 19 «Фигурки из куби- ков и их частей», § 23 «Оригами», § 25 «Кривые Дра- кона», § 26 «Лабиринты». Практические навыки геомет- рической деятельности учащиеся приобретают при рас- смотрении § 27 «Геометрия клетчатой бумаги» и § 32 «Симметрия помогает решать задачи». Выходы за пре- делы школьной программы открывает § 24 «Замечатель- ные кривые». § 19. ФИГУРКИ ИЗ КУБИКОВ И ИХ ЧАСТЕЙ(2 ч) Основные понятия:равенство пространственных тел, проекция, метод трех проекций, сечение тела плоско- стью. Предметные результаты: конструировать тела из ку- биков; выделять и называть сечения пространственных фигур, получаемые путем предметного моделирования; соотносить пространственные фигуры с их проекциями на плоскость; изображать объемные геометрические тела на плоскости, применять метод трех проекций; оперировать мысленным образом: вращать, совмещать, переносить точку наблюдения; целостно воспринимать объект. Метапредметные результаты: развитие конструктив- ных способностей. Внутрипредметные и межпредметные связи: стерео- метрия (многогранники, сечение многогранника плос- костью, параллельная проекция). КОММЕНТАРИИ. Первое занятие после летних кани- кул обычно бывает сложным для учеников: многое за- быто, нет былых изобразительно-графических навыков, трудно вспоминается терминология. Поэтому учитель должен дать ученикам возможность восстановить уме- ния и навыки, приобретенные в прошлом году. Можно начать с разминки — решения несложных задач из § 18 и 34, а затем переходить к материалу § 19. С одной стороны, для выполнения заданий этого па- раграфа не нужно никаких специфических знаний, а с другой стороны, необходимы хорошо развитые про- 90 странственные представления и умение мысленно ма- нипулировать образом (в основном переносить точку наблюдения). Работа на клетчатой бумаге облегчает рисование фигур, да и фигуры подобраны так, что они являются либо квадратами, либо кубами, либо их час- тями. Обязательно на уроке должны быть модели куба — каркасные, полукаркасные, прозрачные. Хорошо, если для иллюстрации метода трех проекций учитель пока- жет на уроке какую-либо деталь и ее изображение в про- екциях (такое пособие, наверняка, имеется в кабинете черчения или в школьной мастерской). Основной прием, используемый при построении проекции, — это мысленный перенос точки наблюде- ния или вращение образа. Вспомнить его поможет зада- ние № 1. Задания № 6—9 на сечение куба плоскостью. Поня- тие сечения является для учеников новым, а потому лучше учителю начать с показа модели куба и процесса проведения сечения. Удобнее всего использовать плас- тилиновый куб, в таком случае легко провести аналогию с разрезанием хлеба ножом. Учащиеся могут путать понятие «сечение» с отсекаемой частью тела. Так, на вопрос, какое сечение получится, если от куба отрезать «уголок», ученики нередко отвечают, что получится пи- рамида. С целью предотвращения такой ошибки учи- тель должен подчеркнуть, что сечение — это плоская фигура, можно сказать, «поверхность разреза». Решив задачу № 9, можно продолжить, спросив, по- чему в сечении куба плоскостью не может получиться семи-, восьми- и т. д. угольник. Ученики должны заме- тить, что в сечении получается многоугольник, стороны которого являются линиями пересечения плоскости с гранями куба. У куба 6 граней, следовательно, макси- мальное число сторон многоугольника, получаемого в сечении, тоже шесть. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 1. В задании ученикам нужно выбрать пары одина- ковых объектов на рисунке. Учащимся может показать- ся, что для ответа на вопрос достаточно подсчета ко- 91 личества кубиков, составляющих фигуру. Учитель дол- жен напомнить, что в пространстве важна ориентация объекта. 2. В задании требуется по изображению пространст- венной ломаной, навитой на куб, нарисовать три проек- ции (три вида), что проще, так как переходить от пространственного тела к плоскому легче, это действие привычнее для нас: воспринимая объемное тело, мы изображаем его на плоскости. Кроме того, в этом зада- нии происходит вычленение элемента из целого. 3. В этом задании, обратном № 2, наоборот, необхо- димо осуществить синтез деталей, воспроизвести целое из частей. Для этого нужно удерживать в памяти три различных образа, причем расположенных в простран- стве. Это задание, на первый взгляд кажущееся невы- полнимым для шестиклассников, однако, выполняется ими практически без ошибок, если отработано уп- ражнение № 2, которое, при достаточно серьезных за- труднениях, можно делать с использованием модели. 4. Это задание проще предыдущих, в нем не требует- ся изображать фигуру, а только узнать части одного це- лого. Мысленно поворачивая образ одной из частей и совмещая с другой, ученики выполняют задание в уме. Возможно, некоторым ученикам легче искать сходства и различия частей, анализируя рисунки. В таком случае можно спросить, как они рассуждают при выполнении упражнения. Объяснения подобного рода развивают речь и умение стройно и логично мыслить. 10. Задание самое сложное. В нем требуется изобра- зить не только проекции тел, но и нарисовать стерео- метрические рисунки, соответствующие виду данного тела с различных точек наблюдения. Не думаем, что все ученики справятся с заданием, но попробовать выпол- нить его стоит. Это задание может открыть учителю способных к черчению школьников, у которых хорошо развиты изобразительные умения и пространственные представления. Облегчить выполнение упражнения мо- жет раскраска данного тела в разные цвета или работа с пластилиновой фигурой. 11. Задача является пространственным аналогом уп- ражнения на изготовление деталей игры «Пентамино»: 92 на плоскости равные квадраты присоединялись друг к другу целыми сторонами, в пространстве же присоеди- няются равные кубы. Как и на плоскости, задание мож- но выполнять в определенной последовательности: сна- чала в первом ряду 4 кубика, затем 3 и различные ва- рианты расположения четвертого кубика, потом 2 и, наконец, 1. |