Isbn 9785358173804Ерганжиева, Л. Н
 Скачать 0.57 Mb.
|
|
§ 20. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ(2 ч) Основные понятия:параллельные и перпендикулярные прямые и отрезки и их свойства; скрещивающиеся прямые. Предметные результаты: распознавать взаимное рас- положение прямых (пересекающихся, параллельных, перпендикулярных) в пространстве; приводить примеры расположения прямых на модели куба; строить парал- лельные и перпендикулярные прямые с помощью чертеж- ных инструментов и на глаз; называть взаимное располо- жение прямых на плоскости и в пространстве. Метапредметные результаты: формирование прие- мов исследовательской деятельности. Личностные результаты: воспитание аккуратности, об- щекультурное развитие учащихся. Внутрипредметные и межпредметные связи: стерео- метрия (параллельность; перпендикулярность; взаимное расположение прямых в пространстве). КОММЕНТАРИИ. Рассматриваемые в параграфе поня- тия являются одними из центральных в пропедевтиче- ском курсе геометрии, и на их изучение следует обра- тить большое внимание. Учащиеся в результате изуче- ния материала параграфа должны знать термины «параллельность» и «перпендикулярность», узнавать взаимное расположение прямых на плоскости и в про- странстве, уметь изображать параллельные и перпенди- кулярные отрезки с помощью различных чертежных ин- струментов и на глаз, узнавать их прообразы в реальной жизни. Если учащиеся запомнят основные свойства па- раллельных и перпендикулярных прямых, их за это сле- дует похвалить, но требовать обязательного знания этих 93 свойств не нужно, в систематическом курсе геометрии к этому ученики вернутся на более высоком уровне стро- гости. Основная нагрузка при изучении данной темы ло- жится на формирование изобразительно-графических умений школьников. Предлагаемая теория должна вво- диться через работу с чертежными инструментами. У каждого ученика на уроке должны быть линейка и угольник. Урок начинается с построения прямого угла с по- мощью угольника. Продолжаем стороны прямого угла за его вершину, получаем две пересекающиеся прямые. Угол между ними равен 90q. Такие прямые называют- ся перпендикулярными. Встает вопрос: «Где в жизни встречаются перпендикулярные прямые?» Ученики с помощью учителя находят эти объекты в окружающей обстановке. Работа проводится в пространстве, т. е. го- ворится о свойствах перпендикулярных прямых в про- странстве, и модели должны представлять собой про- странственные объекты — каркасные модели прямых и наклонных параллелепипедов, стереометрический на- бор со спицами и пластилином. Для проведения пер- пендикулярных прямых и проверки перпендикуляр- ности учащиеся пользуются треугольником. С его по- мощью ученики обнаруживают основные свойства перпендикулярных прямых, учитель направляет их ра- боту вопросами: «Сколько прямых, перпендикулярных данной прямой, можно провести через точку на этой прямой? А если точка не принадлежит данной прямой? Пересекаются ли на плоскости два перпендикуляра, проведенные к одной и той же прямой?» От этого последнего свойства учитель переходит к рассмотрению параллельных прямых, введению терми- на и значка для обозначения. Определение параллельных прямых, в отличие от оп- ределения перпендикулярных прямых, не дает способа построения таких прямых. Однако все необходимое для отыскания этого способа ученики уже знают и имеют. Это третье свойство перпендикулярных прямых, от ко- торого учитель перешел к изучению параллельности. Вопрос: «Как при помощи линейки и угольника, зная третье свойство перпендикулярных прямых, рассмот- 94 ренное на этом уроке, построить параллельные пря- мые?» Наверняка часть учеников найдет способ по- строения, изображенный в учебнике на рисунке 176. Для закрепления рассмотренных понятий можно вы- полнить задания № 1 и 3 на отыскание параллельных и перпендикулярных прямых в окружающей обстановке и на рисунке. Следующий этап урока — построение изученных прямых с применением циркуля. Следует помнить, что в этом учебном году ученики еще не работали с цирку- лем, поэтому навык требует восстановления, не нужно торопить учеников в работе. В заключение, когда основные понятия учениками усвоены, можно перейти к взаимному расположению прямых в пространстве. Лучшая демонстрационная модель — каркасный куб с обозначенными вершинами (обозначение вершин поможет восприятию и выделе- нию найденных отрезков). После работы по отысканию параллельных и перпендикулярных ребер куба учитель обращает внимание учеников на ребра, которые не пе- ресекаются, но тем не менее не являются параллельны- ми. Это скрещивающиеся отрезки, через них нельзя провести плоскость, в отличие от параллельных отрез- ков. Далее, выписывая пары скрещивающихся ребер, ученики закрепляют это понятие. Безусловно, наличие каркасного куба у каждого ученика или хотя бы на каж- дой парте значительно облегчило бы работу — ученики могли бы не только увидеть, но и потрогать скрещиваю- щиеся отрезки, что дает большее ощущение пространст- ва, нежели рассматривание демонстрационной модели; кроме того, не следует забывать, что немалая часть уче- ников имеет плохое зрение. Задание № 4 можно дать на дом, напомнив, что при его выполнении можно использовать знания, получен- ные в 5 классе в § 3. На следующем уроке при проверке домашнего зада- ния учитель формулирует замеченную закономерность о величинах углов, образующихся при пересечении двух параллельных прямых третьей. Эта работа не будет вы- глядеть инородной на следующем уроке, посвященном изучению четырехугольников, имеющих параллельные и перпендикулярные стороны. 95 § 21. ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ(1 ч) Основные понятия:параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат и их свойства; золотое сечение. Предметные результаты: моделировать параллель- ность и перпендикулярность прямых с помощью листа бумаги; исследовать и описывать свойства ромба, прямо- угольника (квадрата), используя эксперимент, наблюде- ние, измерение, моделирование; изображать параллело- грамм с помощью чертежных инструментов и от руки; строить золотой прямоугольник, формулировать опреде- ления. Метапредметные результаты: формирование прие- мов исследовательской деятельности: составление плана исследования и его осуществление, оформление резуль- татов, умение делать индуктивные выводы. Личностные результаты: общекультурное и эстетиче- ское развитие, привитие вкуса к исследовательской деятельности. Внутрипредметные и межпредметные связи: плани- метрия (четырехугольник, параллелограмм). КОММЕНТАРИИ. Логически данный параграф является продолжением § 20. В нем рассматриваются способы получения параллельных и перпендикулярных прямых путем перегибания листа бумаги и четырехугольники с параллельными и перпендикулярными сторонами. По- этому учителю не следует разделять рассмотрение этих вопросов во времени. Начать урок можно с показа шар- нирной модели параллелограмма. Именно шарнирная модель очень наглядно демонстрирует, что прямоуголь- ник тоже является параллелограммом, что ромб и квад- рат тоже параллелограммы. Что объединяет эти четы- рехугольники? [У всех рассмотренных фигур проти- воположные стороны параллельны, поэтому они называются параллелограммами.] Учитель делит слово на две части, вторая часть указывает на то, что это фигу- ра, а первая дает основное отличие этой фигуры от дру- гих — наличие параллельных сторон. Итак, четырехугольник, стороны которого попарно параллельны, есть параллелограмм. Это определение параллелограмма. В определении мы указали, к какому роду относится данная фигура и какие у нее отличитель- 96 ные особенности, позволяющие узнать или изобразить эту фигуру. Учитель объясняет учащимся, как строятся определения, а затем проводится работа по формулиро- ванию определений прямоугольника, ромба, квадрата. Можно еще раз показать структуру определения: термин — это род, у которого есть видовое отличие. Для экономии времени можно заранее заготовить «модель определения» — плакат, на котором прорезаны окошечки и написаны связующие слова «это» и «у которого». А также набор табличек, вставляющихся в «окошечки»: «параллелограмм», «ромб», «квадрат», «прямоугольник», «все стороны равны», «все углы пря- мые». Использование этой модели позволит визуализи- ровать определения, показать четкую их структуру. Далее логические упражнения сменяются заданиями практического характера на отыскание свойств квадра- та. Поисковая предметная деятельность учащихся на- правляется учителем, который вначале показывает, как с помощью только листка бумаги, без линейки, уголь- ника и карандаша получить перпендикулярные и па- раллельные прямые. Затем ученикам предлагается толь- ко лишь перегибанием бумаги получить прямоугольник и вырезать его. Из прямоугольника получить квадрат. Каким свойством квадрата можно воспользоваться для этого? [Равенством всех сторон.] Процесс получения квадрата из прямоугольного листа бумаги известен каждому ученику, хотя он не отдает себе отчета, на чем основан этот способ; теперь же его действия становятся более осмысленными. Какие свойства квадрата можно обнаружить и на- глядно продемонстрировать при помощи перегибов бу- маги? С этого вопроса учителя начинается исследование школьниками квадрата. Можно предложить ученикам записать обнаружен- ные свойства, если они работают самостоятельно, а за- тем обсудить результаты исследования. Такая органи- зация возможна в подготовленном классе, в котором ученики быстро пишут и могут сформулировать свои мысли. В слабом классе запись свойств лишь только от- влечет учеников от сути задания, они сосредоточатся на записях, и урок не даст ожидаемых результатов. В таком 97 классе можно порекомендовать пошаговое выполнение задания под контролем учителя, который руководит ра- ботой с помощью системы вопросов и заданий. Резуль- таты каждого задания должны быть проверены непо- средственно по его выполнении. Далее можно вспомнить определения изученных многоугольников и их основные свойства, решить зада- чу учебника о проверке утверждения: вырезанный уче- никами четырехугольник является квадратом, что помо- жет вспомнить и закрепить свойства квадрата и перейти к изучению золотого сечения. Порядок рассмотрения в классе вопроса о золотом сечении и золотом прямоугольнике тот же, что предло- жен в учебнике: 1) практическая работа с бумагой; 2) рассмотрение картинок учебника; 3) измерение отрезков, на которые делится каждая из пяти линий, составляющих правильную пятиконечную звезду, нахождение их отношения; 4) построение золотого прямоугольника с помощью циркуля и линейки. Последний этап этой работы рекомендуется органи- зовать как с а м о с т о я т е л ь н у ю р а б о т у с книгой, когда ученики в работе руководствуются схема- ми и лишь в случае затруднений прибегают к помощи учителя. Это подготовит их к изготовлению фигурок оригами. Далее можно посвятить время отработке понятий «перпендикулярность» и «параллельность» и формиро- ванию изобразительно-графических умений учащихся, что необходимо будет на последующих уроках при изу- чении координат. На дом предлагается задание: исследовать аналогич- ным образом прямоугольник, ромб и произвольный па- раллелограмм (по вариантам) и, сравнив полученные результаты со свойствами квадрата, сделать вывод. Этот вывод должен отражать тот факт, что у всех рассмотрен- ных фигур есть общие свойства (это свойства парал- лелограмма) и специфические, присущие только дан- ным объектам. 98 § 22. КООРДИНАТЫ, КООРДИНАТЫ, КООРДИНАТЫ...(1 ч) Основные понятия:система координат, декартова и по- лярная системы координат, метод координат, метод раскраски. Предметные результаты: находить координаты точки и строить точку по ее координатам на прямой и плос- кости; пользоваться методом координат на прямой, на плоскости и в пространстве; использовать метод рас- краски для решения геометрических задач. Метапредметные результаты: самостоятельное за- полнение карты объектами и описание их расположения с помощью координат, формирование коммуникативных умений. Личностные результаты: развитие инициативы и фан- тазии. Внутрипредметные и межпредметные связи: алгебра (метод координат), география. КОММЕНТАРИИ. Основной целью изучения координат на этом этапе обучения является первоначальное овла- дение методом координат на плоскости, включающее: — знание терминов (оси координат, начало коорди- нат, координаты точки, координатная плоскость); — умение задавать координатную плоскость, изобра- жая оси координат и выбирая на осях единичные от- резки; — умение находить координаты точки и отмечать на плоскости точку по заданным ее координатам. Дополнительными можно считать знания о поляр- ной системе координат и декартовой системе координат в пространстве. На достижение этих целей направлена вся работа над параграфом. Алгоритмичность основных заданий дела- ет уроки похожими на обычные уроки математики, поэтому для привлечения внимания школьников учите- лю следует максимально акцентировать занимательную сторону изучения материала. Этому может способст- вовать связь с курсом географии, опора на который вы- брана авторами пособия в начале параграфа, игра в «Морской бой» и игра «Остров сокровищ». 99 Учитель начинает урок с рассмотрения любой геогра- фической карты. Ученики вспоминают известные им термины «широта» и «долгота», смысл, вкладываемый в эти понятия, находят на карте экватор и гринвичский меридиан, обращая внимание на то, что эти условные линии являются началами отсчета широты и долготы соответственно. При этом учитель должен обязательно обратить внимание учеников на тот факт, что место- положение любого географического объекта характери- зуется двумя координатами, причем эти координаты должны указываться в строго определенном порядке. Усвоению этих важнейших фактов поможет обращение к роману Жюля Верна «Дети капитана Гранта», в кото- ром поиски пропавшего капитана опирались на знание широты того места, где находился капитан Грант. Не- знание долготы этого места потребовало от участников поисковой экспедиции осуществления кругосветного путешествия по соответствующей параллели. Переходом от географической координатной сетки, на которой неизбежны искажения за счет кривизны земной поверхности, к абстрактной математической де- картовой системе координат служит игра «Морской бой». Учитель напоминает учащимся правила игры и вносит в них необходимые ему изменения, а именно: вместо привычных школьникам букв для обозначения столбцов будут использоваться числа, как и для обозна- чения строк, причем первым числом в паре координат будет номер столбца, а вторым — номер строки. Лучше сразу принять единый способ оформления игрового по- ля: номера столбцов отмечать по нижнему краю поля слева направо, а номера строк — по левому краю сверху вниз. Затем ученики, разбившись на пары, начинают игру. В течение 10—15 минут ученики играют, записы- вая свои ходы парами чисел в круглых скобках. Таким образом, учитель организует первоначальное закрепле- ние материала. Запись учениками ходов-выстрелов по- зволяет учителю проконтролировать усвоение и при необходимости исправить ошибку. По истечении вре- мени игра прерывается, выигравшим в паре считается ученик, поразивший наибольшее количество целей. 100 Следующий этап урока — решение задач № 1—4. За- дачи № 1—2 решаются обычными рассуждениями уче- ников, основным моментом которых является тот факт, что каждый корабль по правилам должен быть окружен пустыми клеточками, чтобы не соприкасаться с сосед- ним кораблем. Выслушивая ответы учеников, учитель должен быть максимально внимателен к каждому, не перебивать их, давать возможность высказать свое мне- ние, просить аргументировать ответ, по окончании от- вета стараться резюмировать, оформляя ответ ученика более логично и четко. Подобные упражнения не только развивают умение мыслить, но и умение аргументиро- ванно излагать свою точку зрения (одно из основных коммуникативных умений). Метод раскраски, применяемый при решении задач № 3 и 4, является одним из самых красивых методов комбинаторной геометрии, он очень нагляден и вполне доступен шестиклассникам. В предлагаемых задачах по- ле раскрашивается в 4 цвета, так как линкор состоит из 4 клеток. Далее, в зависимости от усвоения материала и темпа работы на уроке, предлагаемые задачи можно распреде- лить таким образом: в классе решить задачи № 1 и 3, на дом дать задачи № 2 и 4, разобрав или наметив план решения в классе. Продолжение темы включает рассмотрение коорди- нат в одно-, двух- и трехмерном пространстве. От коор- динатной оси, на которой откладываются числа, даты, расстояния и т. п., переходят к координатной плоскости и повторяют термины: координатная плоскость, оси ко- ординат, начало координат, координаты точки. Учитель может рассказать ученикам немного о Рене Декарте, французском ученом, чье имя носит рассматриваемая система координат. Далее, не закрепляя умение рабо- тать на координатной плоскости, можно «выйти в про- странство» и построить систему координат в простран- стве. Использование аналогий упростит объяснение ма- териала, а применение наглядных пособий поможет образному его восприятию. Наглядное пособие изготав- ливается очень просто. Когда учитель разбирает с уче- никами понятие координатной оси, он демонстрирует 101 спицу, на которой цветной краской отмечены точки 0 и 1. Переходя к системе координат на плоскости, учи- тель к имеющейся спице под прямым углом присоеди- няет еще одну такую же спицу, совмещая 0 и закрепляя спицы в этой точке, например пластилином. Постро- ение системы координат в пространстве требует присо- единения в нулевой отметке еще одной такой же спицы под прямым углом к каждой из уже построенных. Пре- красной иллюстрацией трехмерной системы координат также является каркасный куб с нанесенными на трех его ребрах, выходящих из одной вершины, единичными отметками. На такой модели решается задача № 9, тре- бующая работы с трехмерной системой координат. Формирование умения работать с координатной плоскостью осуществляется с помощью игры «Остров сокровищ», описанной в учебнике, и задач № 5 и 6. Затем повторяются полученные знания и рассматри- вается полярная система координат. Также может быть проведена проверочная работа — материал является основным в пропедевтическом курсе геометрии, и учи- тель должен быть уверен в его усвоении всеми ученика- ми. Можно также организовать выставку карт игры «Остров сокровищ», составленных учениками дома. Учащиеся при этом рассказывают об объектах и их ко- ординатах на карте, что также позволяет учителю судить о степени усвоения материала. УКАЗАНИЯ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ УЧЕБНИКА 1. Рассмотрим возможные варианты решения зада- чи. В этой задаче ученик должен сделать серию безоши- бочных выстрелов и поразить один авианосец, состоя- щий из трех клеток, два крейсера по две клетки и четыре катера по одной клетке, размещенные на поле 5 × 5. Возможны различные способы решения задачи. Один из наиболее приемлемых для шестиклассников — метод проб и ошибок. В таком случае ученик делает серию практически беспорядочных выстрелов, опираясь на интуицию, опыт и, возможно, некоторые рассуждения. Решение находится случайно или не находится. Другой возможный способ состоит в проведении логических рассуждений с рассмотрением всех возможных вариан- 102 тов расположения кораблей на поле и достаточно пол- ным обоснованием этих рассуждений. Заметим, что этот способ решения задачи может быть применен лишь некоторыми учащимися, у которых логическое мышле- ние превалирует над образным и в достаточной мере развито. Ниже мы приведем один из вариантов рас- суждений. Итак, на поле 5 × 5 должны располагаться 7 кораб- лей, причем они не должны соприкасаться друг с дру- гом. В таком случае обязательно должны быть заняты угловые клетки: именно угловые клетки «экономят» по- ле наибольшим образом, их с двух сторон не нужно ок- ружать пустыми клетками. Выстреливаем по этим клет- кам. О том, какой корабль поражен выстрелом, одно- значно можно сказать только о катере. Будем опираться на это суждение. Среди кораблей в угловых клетках мо- жет быть один, два или три катера (четыре катера зани- мают слишком много клеток, и не остается места для авианосца и двух крейсеров). Пусть в углах поля расположены 3 катера. В таком случае должны быть заняты клетки, расположенные в серединах сторон поля: они не соприкасаются с угловы- ми и «экономят» клетки, их окружающие. Стреляем по этим клеткам. Среди пораженных кораблей должен быть один катер, он располагается между двумя угловы- ми катерами (в противном случае не остается места для остальных кораблей). Два раненных корабля на проти- воположных сторонах поля — это крейсеры, вторые по- ловины которых направлены к центру поля. Поражаем соответствующие клетки. Авианосец теперь определяет- ся однозначно. Пусть в углах поля два катера. Они могут быть в со- седних или в противоположных углах. Если это проти- воположные клетки, то один из угловых — трехкле- точный авианосец или двухклеточный крейсер. И в том, и в другом случае для оставшихся кораблей не хватает места. Если это соседние клетки, то в противоположных углах расположены катера, повернутые друг к другу. За- нимаем эти клетки. Остается симметричное поле, на ко- тором клетки — середины сторон должны быть заняты. Стреляем по этим клеткам. Катера находятся сразу, ос- тавшийся корабль — авианосец. 103 Пусть теперь среди угловых клеток только один ка- тер. В этом случае обязательно должна быть занята сере- динная клетка поля, причем это тоже катер. Стреляем в клетки — середины сторон, прилежащие к угловому ка- теру. Среди пораженных клеток одна обязательно — ка- тер (не обе, так как две заняли бы много поля). Вторая клетка принадлежит авианосцу. На оставшемся поле нужно поместить один катер и два крейсера, которые располагаются однозначно: две угловые клетки принад- лежат крейсерам, повернутым друг к другу. Оставшаяся незанятая середина — последний катер. Вот таким может быть логическое решение задачи. Видно, что рассуждения длинны и достаточно запутан- ны. Возможно, учитель возьмет лишь часть этих рассуж- дений в качестве образца, если позволит уровень разви- тия класса. Если нет, в логическом решении задачи на этом этапе обучения нет необходимости. 2. В решении задачи также используется тот факт, что катер, стоящий в угловой клетке, «экономит» боль- ше клеток поля, он должен быть окружен только тремя клетками. Таким образом, все поле разбивается на части по 4 клетки, в каждой из которых размещается один ка- тер. Поэтому на поле 10 u 10 можно разместить 25 кате- ров (100 : 4 = 25), но не больше. 3. Раскрасим поле в 4 цвета. Каждый линкор содер- жит клетки всех четырех цветов, поэтому для попадания в него достаточно поразить хотя бы одну клетку како- го-либо цвета. Подсчитаем количество клеток: 25 пер- вого цвета, 26 второго цвета, 25 третьего цвета и 24 чет- вертого. Наличие «лишней» клетки второго цвета ука- зывает на то, что наименьшее количество необходимых для поражения линкора выстрелов — 26, причем огонь нужно вести по клеткам второго цвета. 4. При решении задачи, раскрасив поле в 4 цвета и подсчитав количество клеток разного цвета, замечаем, что их неодинаковое количество. Если бы поле можно было разрезать на линкоры, содержащие клетки разных цветов, то окрашенных по-разному клеток было бы рав- ное количество, что противоречит нашей раскраске. Следовательно, разрезать поле на линкоры нельзя. |