Сокулер_Лекции по философии Витгенштейна. Лекция 1 формирование мировоззрения
 Скачать 1.45 Mb.
|
|
ложным аналогиям, например, аналогиям: — между математикой и эмпирической наукой; » - между доказательством и экспериментом; — между конечными и бесконечными совокупностями. 2. Опровержения ложной аналогии между математикой и эмпирической наукой, доказательством и экспериментом Витгенштейн постоянно проводит мысль об отличии математического вычисления или доказательства от проведения эксперимента. Это отли- чие наглядно проявляется в реакции на неожиданный результат. Если мы проводим математическое вычисление и его результат расходится с тем, что мы можем наблюдать, то делаем вывод, что некорректно не вычисление, а наблюдение. Например, если мы складываем два яблока и еще два яблока и, пересчитав кучку, обнаруживаем, что у нас три яблока, мы не скажем: «Значит, 2 + 2 не всегда равно 4». Мы просто скажем: «Одно яблоко пропало, хотя мы не успели этого заметить». Данный пример показывает фундаментальную разницу между мате- матическими и эмпирическими (экспериментальными) предложениями. Она состоит не в формулировке, не в используемых понятиях, но в употреблении соответствующих предложений. Математические пред- ложения так же не могут опровергаться экспериментами, как и предложение: «В 1 метре 100 сантиметров». 74 Математические предложения 1 , как станет видно из дальнейшего, используются как правила для формулировки и проверки эмпиричес- ких предложений. Раз математические предложения не могут опровергаться фактами реальности, значит, они ничего не говорят о ней. Поэтому, утверждает Витгенштейн, математические предложения не могут быть названы предложениями, ибо не могут быть истинными либо ложными. Это — правила. Их неумолимость связана как раз с такой их характеристи- кой. Мы можем предсказать результаты вычисления (измерения, взве- шивания и пр.), потому что, осуществляя эти процедуры, следуем тем правилам, на которых основаны наши предсказания. Итак, математические теории не описывают какой-либо реальности, соответствие которой делает математические предложения истинными, и потому они не являются предложениями в собственном смысле слова. Просто математические теоремы указывают на допустимые словосоче- тания. Когда входящий в них термин начинает использоваться за пред- елами математики, то они дают возможность определить, какие фразы с этим термином осмысленны, а какие — нет. Геометрия не описывает кубы, существующие в реальности, и не является наукой, изучающей и описывающей идеальные кубы. Тогда что же она делает? Она, отве- чает Витгенштейн, определяет смысл слова «куб». Она дает правила использования этого слова, показывает, что можно осмысленно сказать о кубе. В самом деле, если нам скажут: «У этого куба оказалось 13 , ребер», то мы, не рассматривая его, можем заявить: «Это невозможно. Либо у него 12 ребер, либо это не куб». Надо обратить особое внимание на случаи, когда одни и те же слова (например, «куб», «число», «прямая») встречаются и в математичес- ких теориях, и в эмпирических науках или в обыденном языке. Витген- штейн неоднократно повторяет, что «связь геометрии с предложениями обыденной жизни, в которых речь идет о черточках, границах цветовых пятен, гранях, углах и проч., состоит вовсе не в том, что геометрия говорит о подобных, но только идеальных гранях, углах и проч. Эта связь состоит в отношении предложения к грамматике... Применяемая геометрия есть грамматика высказываний о пространственных пред- метах» [37, С.319]. Геометрические предложения являются постулатами 1 В то же время предложение может выглядеть как математическое, но использоваться Г ак экспериментальное. Например, мы затрудняемся в вычислении n + m и вместо этого, кажем, взвешиваем (п + m) кг и полученный результат объявляем суммой n +m. 75 о видах и способах описания фактов и тем самым — предложениями синтаксиса. Аналогично — «арифметические предложения ничего не говорят о числах, но определяют, какие предложения о числах имеют смысл, а какие — нет» [Витгенштейновская трактовка математических предложений застав- ляет по-новому посмотреть на значение и функции доказательства. Если считать, что математические теоремы описывают какую-то особую ма- тематическую реальность, то доказательство будет играть роль гаранта или обоснования истинности подобного описания. Оно требуется, если утверждение теоремы не очевидно. А для чего служит доказательство, если доказываемое предложение не может быть ни истинным, ни лож- ным? Оно служит для установления смысла доказываемого предложе- ния. Одновременно оно позволяет формулировать новые языковые правила. Например, доказательство неосуществимости некоторых пос- троений с помощью циркуля и линейки показывает, что известные вещи не являются аналогичными. Так, проблема трисекции угла не анало- гична проблеме бисекции угла, а задача построения правильного семи- угольника не аналогична задаче построения правильного пятиугольни- ка, ибо последние можно выполнить с помощью циркуля и линейки, а первые — нельзя. Следовательно, об этих задачах нельзя рассуждать одинаковым способом. О диагонали квадрата нельзя говорить так, как о его стороне, и т.д. Подобные результаты противодействуют нашей склонности к обобщению'и проведению аналогий при игнорировании различий. Математическое предложение не имеет никакого определенного смысла до того, как оно доказано. Пониманию данного обстоятельства, полагает Витгенштейн, мешает ложная аналогия: эксперимент верифи- цирует истинность физической гипотезы, а доказательство — теоремы. «Ни одно воззрение не сыграло такой роковой для философского по- нимания роли, как мнение, что доказательство и опыт являются дву- мя различными, но сравнимыми методами верификации» [37, с.361]. Когда мы убеждаемся, что некоторое эмпирическое предложение ис- тинно (или ложно), это не влияет на его смысл, а просто добавляет какую-то внеязыковую информацию. Совсем по-другому обстоит дело с математическими предложениями. Здесь доказательство влияет на словоупотребление. Мы можем осмысленно говорить о кентаврах и единорогах, даже зная, что их не существует. Но когда мы узнаем, что с помощью циркуля и линейки угол нельзя разделить на три равные 76 части, то фраза: «Я разделил этот угол на три равные части с по- мощью циркуля и линейки» — будет не ложной, а бессмысленной. Естественная реакция на нее: «Вы что-то путаете или не понимаете смысла данной задачи». Следовательно, доказательства влияют на использование языка. Они 'создают новые языковые правила. Так, когда была доказана основная теорема алгебры (что уравнение'степени n имеет в точности n корней), то фактически было создано новое исчисление. Данная теорема может показаться открытием независящей от нас истины об уравнениях, но это было бы иллюзией, ибо теорема зависит от решения математиков и введения символики для комплексных чисел. Однако чтобы обнару- жить это, надо посмотреть на доказательство. Оно вписывает данное математическое предложение в систему других предложений и благо- даря этому формирует его смысл, которого не может быть вне системы, тем самым превращая предложение в новое языковое правило. Пос- леднее далее как бы складывается в архив языка, подобно эталону метра, хранящемуся в Париже. Итак, Витгенштейн убеждает нас в том, что математические пред- | ложения — это не идеализированные описания эмпирической реальнос- ти и не образы особой умопостигаемой реальности. Они суть грамма- тические нормы, управляющие нашими описаниями реальности. С этим поначалу очень трудно согласиться. В самом деле, ведь реальность упорно подтверждает правила арифметики, алгебры, гео- метрии и прочих разделов математики. Например, часто ли приходит- ся сталкиваться с ситуацией, когда мы сложим два яблока и еще два и обнаружим, что их у нас не'четыре, а три или пять? Можно ли даже вообразить себе подобное? Как же мы можем после этого не верить, что в арифметике и геометрии заключается положительное знание о физической реальнос- ти, что в них получают выражения фундаментальные свойства устой- чивых объектов? Представление, что предложения школьной арифме- тики и геометрии суть наиболее бесспорная часть физики твердых ма- териальных тел, как бы само собой навязывается нам. Недаром Кант объявил их врожденными формами человеческого восприятия. Так и кажется, что мы не можем не видеть, как окружающие нас предметы подчиняются этим законам. Представить противоположное оказывает- ся невозможным. Как же можно объявить такие законы чем-то вроде лингвистических конвенций? 77 Чтобы продемонстрировать конвенциональность принятой арифме- тики, Витгенштейн пытается показать возможность других способов счета или измерения. Он утверждает, например, что можно вообразить себе, что все линейки делаются из эластичного, тянущегося материала. «Но ведь они будут давать ложные результаты!» — так и хочется воз- разить ему. Однако у Витгенштейна готов ответ: разве есть такая вещь, как «истинная» длина? Длина является результатом выбора опреде- ленной единицы и процедуры измерения. Коль скоро они фиксированы, то относительно их становится возможным говорить о правильных или неправильных результатах. Однако говорить так о самих процедурах и единицах измерения бессмысленно. Они могут быть только удобными и неудобными. Мы склонны объявить эластичные линейки неудобными. Более того, нам кажется, что их неудобство зависит не от наших конвенций, но от устройства самой реальности: Твердые линейки более соответствуют реальности, и это дает нам право говорить, что наша процедура изме- рения правильна, а придуманная Витгенштейном в данном примере - неправильна. Что он способен ответить на такие возражения? Это, ко- нечно, важно для оценки его философской позиции. Однако за него трудно ответить однозначно. Представляется, что здесь Витгенштейн занимает довольно осторожную позицию. Он и сам иногда апеллирует к подобному доводу; то, что мы придерживаемся именно таких теорий, методов, приемов, играем именно в такие, а не другие «языковые игры», связано с устройством самой реальности. Но ничего более кон- кретного по этому поводу он не говорит, что не случайно. Для него, в любом конкретном случае остается неопределенным, в устройстве ли реальности дело или в наших привычках, определяемых социально принятыми правилами, согласно которым мы действуем. В конечном счете реальность остается для Витгенштейна слишком «эластичной», сложной и неуловимой, чтобы можно было говорить, что ей соответствует, а что — нет. Например, он допускает, что эластичные линейки только кажутся нам несоответствующими реальности и непри- менимыми. Может быть, законам природы вовсе не противоречит до- пущение, что существует социум, использующий эластичные и текущие измерительные эталоны. И люди приспособились к этому так же, как и мы приспособились ко многим изменчивым факторам нашей жизни, например к тому, что один и тот же товар имеет разную цену. Конечно, в этом воображаемом обществе будет применяться иная арифметика, 78 разовьются иные наука и культура. Но что можно сказать на основа- нии этого о самой реальности? Витгенштейн утверждает также, что возможна арифметика, в кото- рой 2 + 2 = 3 или 5. Но она будет неприменима! — воскликнем мы. Она не будет применима тем же способом, к а к и м применяется п р и в ы ч н а я арифметика, поправит нас Витгенштейн. Но возможно, что она будет применяться по-другому, например при пересчете предметов, которые могут испаряться, сливаться с соседними или, наоборот, раздваиваться. Наша арифметика рассчитана не на такие объекты, а на твердые, четко различимые и устойчивые предметы вроде палочек или кубиков, на которых нас всех учили считать в детстве. Поэтому, если результаты счета вдруг не согласуются с реальностью, мы не подвергаем сомне- нию арифметику, но заключаем,.что пересчитываемые предметы слиш- ком отличаются от парадигмальных твердых неисчезающих объектов счета. Однако отсюда не следует, что не может быть другого счета и других способов обучения. Наша процедура счета опирается на определенное расчленение пе- ресчитываемого, на то, как мы выбираем единицу пересчета, опреде- ляем различие между одним и двумя. В большинстве случаев мы де- лаем такой выбор, не задумываясь. Акт выбора не замечается, потому что он уже предопределен нашим обучением и воспитанием, т.е. при- нятыми в нашей культуре стандартами. Витгенштейн старается подобрать примеры, когда этот выбор не предопределен и не однозначен, скажем, пересчет разноцветных пятен на поверхности, особенно если у них нет четких граней и цвета пере- ходят один в другой. Или, например, глядя на рисунок, надо ответить, сколько точек нарисовано, 6 или 5? Ответ зависит от того, как мы будем считать. Указанием на возможность иного — иных подходов, принципов, ариф- метик и образов мира — Витгенштейн показывает нам: то, что мы привыкли считать незыблемыми истинами о мире,таковыми не являются. Они зависят от принятого образа действий. Но разве можно считать совсем по-другому? Дело в том, отвечает 79 Витгенштейн, что мы не назовем другой образ действий счетом, а не в том, что наша процедура счета является единственно правильным отражени- ем некоей реальности: умопостигаемого универсума чисел и их отношений или «количественного аспекта материальной реальности». Счет является важной частью нашей жизненной активности. Он применяется. Но это, как постоянно подчеркивает Витгенштейн, не дает оснований говорить о его истинности. Поясняя свою мысль, он даже предлагает такой пример: в некотором племени принято осуществлять известные действия, напри- мер, начинать (или не начинать) войну в зависимости от результата шахматной партии. Тут шахматы тоже применяются. Но это не изменяет их природы. Шахматные правила суть конвенции. Но разве одни математические предложения не.следуют из других с логической необходимостью? Разве нет истины, соответствующей логи- ческому выводу? Подобный вопрос Витгенштейн парирует контр вопро- сом: а с чем мы вступим в противоречие, если сделаем иной вывод? Каким образом, например, мы вступаем в конфликт с истиной, используя эластичные линейки? Конечно, в этом случае будут получаться другие результаты. Но разве есть «истинные» размеры? Конечно, понятия «длины» и «измерения» будут иметь в этом случае другое значение. Однако они всегда использовались так, что обнимали целое семейство случаев. Для пояснения этой мысли Витгенштейна я приведу такие простые и известные всем примеры. Математики прошлого были убеждены, что результата вычисления 3 — 5 не может быть. Сейчас мы делаем это вычисление и пишем —2. Подобно этому, математика прошлого счита- ла, что у уравнения х 2 + I = 0 нет корней, тогда как современная математика утверждает, что у него есть два «мнимых» корня. Выводы, таким образом, изменились. Но где же здесь столкновение с реаль- ностью? Его нет. Есть просто разные исчисления, имеющие разные применения. Поэтому Витгенштейн с полным правом говорит, что переход от одного математического предложения к другому в ходе математическо- го вывода просто опирается на принятые правила, которые, в принци- пе, могли бы быть другими. Здесь нет никакой особой, «оккультной», как он выражается, связи между самими предложениями в цепочке вывода. Предложения следуют друг из друга не сами по себе, а пото- му, что у нас принята система, в которой есть правило, позволяющее осуществлять такой вывод. Ложная аналогия между математикой и эмпирической наукой при- водит к убеждению, что математика сообщает нам.истины о какой-то реальности. Но тогда становится необъяснимым, почему математичес- кие предложения неопровержимы. Почему нельзя представить себе опыт или эксперимент, проверяющий,математическую теорему подо- бно тому, как проверяются научные теории? Неопровержимость математики составляет главную проблему для философии математики. Она не менее актуальна и для логики. Почему, в самом деле, неопровержим вывод «Если всякий объект обладает свойством А, то и этот данный объект обладает свойством Л»? Мы чувствуем, что здесь есть некая необходимая связь. Мы не можем представить себе, чтобы было по-другому. Витгенштейн объясняет это тем, что мы выучивали значение слова «всякий», переходя от «всякий» к «любому». Данный вывод неопровержим, потому что является частью значения слова «всякий», как мы его выучили. Витгенштейн рассматривает и такое утверждение: «Белое светлее, чем черное». Оно необходимо. Невозможно даже вообразить себе ка- кой-то опровергающий пример. В то же время оно относится к реаль- ности. Как же можно понять его природу? Как объяснить источник его неопровержимости? Очень просто: мы выучиваем знамения слов «тем- нее», «светлее», используя различные образцы. Среди них важное место занимают образцы, на которых мы выучиваем значения слов «белое» и «черное». Понятие «светлое» внутренне связано с понятием «белое», ибо мы выучиваем их употребление совместно. Таким образом Витгенштейн развеивает туман, окутывающий необ- ходимые связи между понятиями и превращающий их в нечто таин- ственное и непостижимое. За ними не стоит никаких «оккультных» связей. За ними стоят признаваемые нами языковые правила. Данные рассуждения направлены также на подтверждение той мысли, что математические предложения суть грамматические пра- вила. Их, статус подобен статусу предложения «Белое светлее, чем черное». Осознать это мешает вера в то, что математические предло- жения, подобно утверждениям опытных наук, суть истины, описыва- ющие реальность. Аналогия между математикой и опытными науками приводит и к вере в то, что математика описывает определенные объекты. Выше мы говорили об этой черте «стихийной философии математики». Но в на- чале XX в такая вера подверглась суровому испытанию из-за обнару- жения парадоксов теории множеств. Ведь противоречивые объекты, с точки зрения математики, не существуют. Однако выяснилось, что те- ория множеств допускала и множества с противоречивыми свойства- ми. Значит, она не справлялась с задачей адекватного описания уни- версума математических объектов, ибо не смогла отличить существую- щие в нем объекты от таких, которые существовать не могут. Эта ситуация породила различные попытки определения того, что такое математическое существование. Велась активная полемика между фор- малистами, для которых математическое существование было равно- сильно непротиворечивости, и интуиционистами, для которых можно было говорить о существовании математического объекта, только если доказательство этого существования предоставляло эффективный спо- соб его построения. Они отвергали все доказательства существования «от противного». Размышления Витгенштейна приводили его к выводу о неправоте обеих сторон. Неправомерны сами попытки определить, что такое |