Сокулер_Лекции по философии Витгенштейна. Лекция 1 формирование мировоззрения

• Название: Лекция 1 формирование мировоззрения
• Дата: 01.04.2021
• Размер: 1.45 Mb.
• Имя файла: Сокулер_Лекции по философии Витгенштейна.pdf
• Тип: Лекция; #190394
• страница: 8 из 19

ис-
тинное математическое существование. При этом идея о том, что мате- матическим понятиям соответствуют особые абстрактные сущности,
вытекает, по утверждению Витгенштейна, из неправильного представ- ления о значении.
Так, стремление дать определение числа вытекает из неправильного представления о том, что такое значение слова. Считается, что сущес- твительное должно обозначать какой-то определенный предмет или мыс- ленный образ. В математических рассуждениях, в отличие от обыден- ных, числа ведут себя как существительные. Если в обыденной жизни мы скажем: «У меня пять я б л о к, у тебя три я б л о к а, у меня больше я б л о к , чем у тебя», то в арифметике этому будет соответ- ствовать предложение: «5 больше, чем 3». Первое предложение было о яблоках, второе — о числах. Поэтому начинаются поиски того пред- мета, который соответствует числу и является его значением, подобно тому как значением слова «яблоко» является реальное яблоко. Пос- кольку ничего подходящего найти не удается, делается вывод, что зна- чениями слов, обозначающих числа, являются абстрактные предметы.
Фреге и Рассел предлагают в качестве таковых классы эквивалентных множеств. Но, как объясняет Витгенштейн, данное определение не объясняет природы натуральных чисел. Ибо основной способ установ- ления эквивалентности конечных множеств — это, их пересчет.
Где же искать выход? Как нам понять, что такое число? О чем
82
говорит арифметика? Затруднение, полагает Витгенштейн, объясняет- ся еще и тем, что математика окружена особым ореолом значительнос- ти. Поэтому он предлагает начать разговор не о математике, а о шах- матах. Попробуем вместо вопроса: «О чем арифметика?» — спросить:
«О чем шахматы?»
Что такое шахматная фигура? Очевидно, что не кусочек дерева или слоновой кости, а нечто большее, для чего фигурка выступает только знаком. В то же время мы хорошо понимаем, что она не является знаком какого-то идеального объекта. Шахматная фигура, знаком кото- рой выступает данная фигурка, определяется через ее роль в системе правил шахматной игры. Никакого самостоятельного значения она не имеет. То же самое можно сказать и о любом математическом понятии.
Его значение — это его употребление в соответствующей математичес- кой теории.
Однако шахматы не имеют применений, а арифметика или геомет- рия имеют. Поэтому люди относятся к первым и вторым по-разному и не замечают, что проблема их значения решается в данном случае аналогично.
В том же духе, как мы видели, Витгенштейн трактует и значение математических предложений. Оно определяется их местом в системе утверждений данной математической теории. А последнее устанавлива- ется только благодаря доказательству.
Витгенштейн уделяет много внимания одной ложной языковой ана- логии, которая, как он считает', во многом ответственна за мнение,
будто математика описывает до нее и независимо от нее существующие объекты. Аналогия связана со словом «искать». Можно искать свою расческу, а можно искать смысл жизни. Возникает много путаницы,
когда один вид поиска понимается по аналогии с другим. Тогда и смысл жизни понимается как уже определенная вещь, которая безус- ловно присутствует где-то рядом, но запропастилась и в нужную ми- нуту не попадается на глаза. Впрочем, данный пример не принадле- жит самому Витгенштейну. Он обычно приводил такую ложную анало- гию: между поисками решения математической проблемы и поисками
Северного полюса полярной экспедицией. Когда экспедиция отправля- ется в путь, она знает, что представляет собой Северный полюс, где его искать и как. Смысл утверждений о Северном полюсе не зависит от того, удается экспедиции найти его или нет. Когда математик ищет решения своей проблемы, он еще не знает, каким будет то, что он
83

должен найти. Если бы только он это знал, проблема была бы практи- чески решена. Для Витгенштейна это служит верным признаком того,
что объект поиска не существует независимо от поиска. Математик не открывает его, но изобретает, конструирует (даже если его конструиро- вание неконструктивно с точки зрения интуицконистрв и конструкти- вистов).
Математический объект или факт конструируется доказательством,
которое включает их в определенную теоретическую систему и тем самым дает им жизнь. Витгенштейн подчеркивает, что доказательство не уточняет старые понятия, но просто создает новые. Доказательство определяет также правила употребления математического утвержде- ния. До доказательства математический объект или факт просто не существуют, подобно тому как шахматные фигуры не существовали до того, как появились правила шахматной игры. А математические теоремы до доказательства — это правила, о которых еще не извес- тно, из какой они игры, т.е. нечто, не обладающее смыслом. Смысл будет создан доказательством. Новые методы доказательства изменяют его.
Парадоксальным следствием витгенштейновских рассуждений ока- зывается вывод, что доказательство всегда доказывает не то, что соби- рались доказать. Результат — это осмысленное математическое утвер- ждение, а доказывалось предположение; оно является всего лишь це- почкой символов, вызывающих у математиков определенные ассоциа- ции. Как это ни странно на первый взгляд, я думаю, что, освоившись с витгенштейновской идеей, ее можно счесть очень тонким наблюдени- ем, соответствующим действительности. Математическое предположе- ние, которое еще надо доказать, есть просто некий замысел, сочетание определенных ассоциаций и т.п.
Для Витгенштейна оказывается очень важной мысль, что доказа- тельства бывают разными. Как он разъясняет, слово «доказательство»
подобно в этом отношении таким словам, как «народ», «король», «ре- лигия». Все доказательства связаны отношением «семейного сходства»,
но нет общего свойства, которое принадлежало бы всем доказательст- вам без исключения. Более того, «каждое новое доказательство расши- ряет в математике понятие доказательства» [38, с.10], «никакая черта доказательства не является несущественной» [38, с.115].
Рассмотрим, например, такой тип доказательств, как доказательст- ва существования. Интуицконисты и конструктивисты утверждали, что
94
последние должны состоять в построении того объекта, существование которого доказывается, иначе они не имеют смысла. Но почему, спра- шивает Витгенштейн, доказательства существования должны быть пос- троениями? Откуда подобное должествование? Защитники такого мне- ния убеждены, что знают, в чем состоит сущность математического существования, и поэтому могут судить, какие из доказательств явля- ются доказательствами существования. Но «если бы была такая вещь,
как существование... тогда можно было бы говорить, что каждое дока- зательство существования должно делать то-то и то-то. Вейль говорит так, как будто у него есть ясная идея существования, независимо от доказательства, как будто какая-то «естественная история доказа- тельств» обнаружила, что только доказательства такого-то вида дока- зывают существование», однако «каждое доказательство существова- ния отличается от другого и каждая «теорема существования» имеет свой смысл, соответствующий тому, может или не может быть постро- ено то, существование чего доказывается» [38, с. 117]. «В действитель- ности существование — это то, что доказывается теоремами, называе- мыми теоремами существования» [38, с.374]. Отрицание неконструк- тивных доказательств опирается на своего рода «натурализм» в пони- мании математических объектов. Как будто это что-то определенное и независимое от наших теорий и определений; как будто его можно непосредственно узреть, а потом отобрать доказательства, которые доказывают именно существование, а не что-то другое.
Итак, Витгенштейн утверждает, что для понимания любого матема- тического утверждения надо обратиться к'его доказательству. Резуль- таты доказательств или вычислений формулируются в языке как са- мостоятельные предложения, и это опасная языковая ловушка, способ- ная порождать мифы относительно смысла таких предложений. Поэто- му нельзя абсолютизировать формулировку теоремы и рассматривать ее как описание некоторого независимого факта. «Если ты захочешь знать, что означает выражение «непрерывность функции», посмотри на доказательство ее непрерывности; оно покажет тебе, что было дока- зано» [37, с.369-370]. Но не надо всматриваться для этого в результат,
особенно если он переформулирован на языке, отражающем принципы какого-то из направлений в основаниях математики, например, в рас- селовской символике. Тогда мистификация и путаница становятся просто неизбежными. Витгенштейн постоянно подчеркивает, что в математике «средства и результат — это одно и то же. Как только я
85

начинаю различать средства и результат, это уже не математика» [39,
с.53].
Витгенштейн показывает, что рассмотрение результата в абстрак- ции от породившего его процесса приводит к фантастическим пред- ставлениям в случае, когда результат не имеет самостоятельного физи- ческого существования, а существует лишь как элемент определенной системы норм и правил. Тогда реальные связи разрываются и заменя- ются мистифицированными. Например, отделение математического ут- верждения от его доказательства приводит к идеалистическим концеп- циям особых видов бытия и особых сверхчувственных способностей со- зерцания этого бытия (математическая интуиция). При этом математи- ка начинает пониматься как «физика умопостигаемого мира», а логи- ка, если вспомнить выражение Б. Рассела, — как зоология, описываю- щая, какие виды сущностей населяют этот умопостигаемый мир идей.
Такого рода представления сочетаются обычно с присущим логике и математике стремлением к обобщениям и аналогиям. Вследствие этого установление аналогий или введение обобщений начинает восприни- маться как открытие каких-то особых сущностей.
Вот пример обобщения такого рода.
vB.
R
Данный чертеж показывает, что прямая AB пересекает окружность/?.
R
В
Что же показывает данный чертеж? Утверждается, что и в этом случае прямая AB пересекает окружность R. Сначала это может про- извести ошеломляющее впечатление, настолько оно противоречит тому,
что мы видим собственными глазами. Но речь идет о том, что AB
пересекает R в бесконечно удаленной точке. Введение этого понятия существенно меняет смысл «пересечения». Мы имеем теперь уже не одно, а два различных понятия.«пересечения», принадлежащих раз- ным системам. Чтобы обнаружить это, надо смотреть на доказательст- ве во. Иначе формулировка типа «любая прямая пересекает любую ок- ружность» может показаться открытием какой-то скрытой и порази- тельной сущности отношения пересечения, о которой мы даже и не могли подозревать вначале.
/ * .
3. Витгенштейн о противоречиях
в основаниях математики
Парадоксы канторовской теории множеств показали, что в математи- ческой теории могут быть противоречия. Тот факт, что пока они не обнаружились, не дает никаких гарантий. Скрытое противоречие мо- жет выявиться в любой момент, и тогда работа многих математиков окажется напрасной, ибо какой же смысл имеют результаты, получен- ные в противоречивой системе? Исследования по основаниям матема- тики были направлены на то, чтобы найти гарантии от появления противоречий в будущем. Витгенштейн, как уже говорилось выше, скеп- тически относился к этому замыслу. Он называл страх математиков перед скрытыми противоречиями «суеверным».
Утверждение о существовании «скрытого противоречия», с его точки зрения, бессмысленно, если нет никакого метода обнаружения противоречий.
Страх математиков перед «скрытым противоречием» объясняется мнением, будто, если в теории выявилось противоречие, то вся работа в ней идет насмарку. Чтобы показать, что это не так, Витгенштейн занимается прояснением понятия противоречия. Под ним можно пони- мать сам закон недопустимости противоречия или некоторое формаль- ное выражение, например 0

1. Страх перед «скрытым противоречи- ем» — это страх перед нарушением закона. Однако Витгенштейн убеж- дает, что это совсем не страшно: когда выявляется противоречие меж- ду правилами игры, тогда надо просто ввести новое правило, запреща- ющее ситуацию, в которой приходят в столкновение правила системы.
После этого система сохраняется, и работа в ней вовсе не оказывается напрасной. Часто говорят, что работа в противоречивой системе бес- смысленна, ибо из противоречия следует все, что угодно. Но у Витген- штейна есть ответ на это: он предлагает ввести правило, запрещающее вывод из противоречия. Противоречие — это значит: дальше нельзя,
дальше заблокировано. И мы принимаем решение, как быть. В час- тности, мы можем принять, что из противоречия следует все, что угодно,
87

например, 2x2 = сколько хотите. Если вести расчеты по такому принципу, то, конечно, могут рушиться мосты, построенные по подо- бным расчетам. Однако в этом будем виноваты мы и принятая нами стратегия обращения с обнаруживающимися противоречиями, а вовсе не некие «скрытые противоречия» системы. Противоречие, по Витген- штейну, не ведет к выводу ложных утверждений из истинных, потому что оно просто вообще никуда не ведет (в принятой у нас логике). Оно сопоставимо со знаком «стоп». Поэтому его нельзя не заметить, оно не может быть скрытым.
Поэтому можно смело пользоваться математическими системами и видоизменять их, когда обнаружатся противоречия. Это не обесценит шагов, которые были сделаны ранее. Аксиомы математических теорий суть наши правила игры, а вовсе не описания какой-то реальности.
Потому-то бессмысленны скептические сомнения в них.
В современной логике активно разрабатываются исчисления, не со- держащие принципа, согласно которому из противоречия следует все,
что угодно. К критике этого принципа и отказу от него подошли реле- вантная и паранепротиворечивая логики. Таким образом, логика на- ших дней подтверждает идеи Витгенштейна. «Когда противоречия по- являются, — говорит Витгенштейн, — тогда и наступает время их эли- минировать» [39, с.210]. Противоречие можно локализовать, чтобы оно не разрушило всю теорию, хотя в каждом конкретном случае остается сложная проблема, как это сделать.
Что касается поисков такого доказательства непротиворечивости,
которое раз и навсегда абсолютно надежно гарантировало бы, что в теории не обнаружатся противоречия, то позиция Витгенштейна состо- ит в том, что гарантии нет и не может быть, ибо противоречивость не есть свойство, присущее теории самой по себе. Она определяется ла- шим употреблением (теории, системы правил) и тем, какие операции мы осуществляем в ней, а какие — нет. Витгенштейн поясняет свою мысль на примере, который является скорее притчей с определенной моралью. Представим себе, говорит он, тюрьму, построенную с целью не допускать контактов между заключенными. В ней есть сложные коридоры для прогулок, но они должны быть устроены так, чтобы заключенные не могли встретиться. Предположим далее, что эта тюрь- ма функционирует успешно, и ее заключенные действительно никогда не видели друг друга, хотя могли бы встретиться, если бы во время прогулок по лабиринту коридоров все время поворачивали направо.
88
Но ни один заключенный этого не делает: существует обычай не пос- тупать таким образом. Смысл этого примера сводится к тому, что
употребление системы важнее, чем ее строение. На это можно было бы возразить, что существенная разница — между наличием стены и на- личием привычки (или обычая) не .сворачивать направо. Стена дает какую-то гарантию, а обычай — нет. Как тут можно получить гарантию против всех нежелательных употреблений? Никак, отвечает Витген- штейн. Причем гарантий не дают ни обычай, ни стена. Если будут перестроены коридоры, нет гарантий, что заключенные не воспользу- ются для сообщения дымоходами, вентиляцией и пр. Трудно предста- •
вить себе предел их изобретательности. Имеет ли смысл задача: найти и предотвратить все возможные, но пока никем не придуманные спо- собы? Нет, утверждает Витгенштейн, задача поиска потенциальных способов общения заключенных, поиска всех «скрытых» противоречий и т.п. не имеет смысла, поскольку нельзя предвидеть все возможные употребления. Ведь они не существуют потенциально в мире идей, а создаются людьми. И пока они не созданы, их нет.
Разбирая далее вопрос о том, почему мы так боимся противоре- чий, Витгенштейн различает проблему противоречий в описаниях,
приказах и проч., и проблему противоречивой логики. Мы стараемся избегать противоречий, потому что не знаем, как вести себя в случае противоречивых описаний, как реагировать на противоречивые при- казы или просьбы. Сталкиваясь с подобными явлениями, мы, естес- твенно, испытываем затруднения, ибо для нас противоречие бессмысленно. Более того, представляется, что противоречие должно
быть бессмысленным, что это есть некий объективный закон и что логика и математика не могут ничего другого, кроме как этот закон отразить.
Витгенштейн же стремится дать другое объяснение. Противоречие бессмысленно для нас потому, что правила нашего языкового поведе- ния не предусматривают никакой определенной реакции на противоре- чивое сообщение или приказания. Но разве это случайно? Мы склонны считать это не случайным, но видеть здесь отражение определенных черт реальности — материальной реальности или универсума логичес- ких и математических сущностей. Однако Витгенштейн стремится по- казать, что подобная черта нашего языка конвенциональна: «Логика без противоречий — это просто особенность нашего использования выражений. Кто-то сказал бы, что если в .исчислении есть противоре-
89

чие, то оно неприменимо. Но это. зависит от того, какое применение вы имеете в виду» [39, с.214].
Сразу поясним, чтобы не возникло неправильного представления,
будто Витгенштейн — не владеющий логикой, абсурдный и противоре- чивый мыслитель, который сам не мог рассуждать строго и всех при- зывал к путанице и противоречиям. Представлять дело таким образом
— значит ничего не понять в проблеме, которую обсуждает Витген- штейн. Он прекрасно владел логикой и не призывал к противоречиям з рассуждениях, ибо правилами нашего языка не предусмотрено опре- деленной реакции на них. Он признавал, что когда противоречие вы- является, его,надо устранить. Но он выступал против того, чтобы пе- реносить эту черту нашего языкового поведения непосредственно на саму реальность. В данном случае, как и во всех других, он учитывает гибкость и сложность реальности, а также непрямой и неоднозначный характер связи между ней и языком.
Витгенштейн пытается очертить сферу того, что относится к нашим способам говорить о реальности. Он последовательно и жестко прово- дит дихотомию «логического», или «грамматического», т.е. того, что относится к правилам языка, и эмпирического, несущего внеязыковую информацию. В его системе наложено табу на смешение этих двух категорий. Табу должно предотвратить смешение языковых форм и самой реальности.
В 1939 г. витгенштейновские лекции по философии математики по- сещал Алан Тьюринг, который и вступил с ним в спор по поводу противоречий [см. 39]. Тьюринг заявил, что опасность противоречий выявится, когда противоречивая система начнет применяться. Из-за этого, например, могут обрушиться мосты, сделанные по ее расчетам.
Витгенштейн ответил, что, если мосты обрушатся, значит, при расчетах были использованы ошибочные физические законы и ошибочные физи- ческие константы, а противоречия тут ни при чем. Это звучит бездо- казательно, но заметим, что Витгенштейн здесь фактически прав. Па- радоксы в основаниях математики никак не отразились на устойчивос- ти мостов. Более того, как показали классические исследования А. Тар- ского, естественный язык плюс обычная двузначная логика уже обра- зуют противоречивую систему
2
. Тем не менее, из-за этого мосты не обрушиваются. Дело в том, что в инженерных расчетах никто не поль-
' Ибо в естественном языке можно сформулировать «парадокс Лжеца», а обычная двузначная логика содержит правило, что из противоречия следует все что угодно.
90
зуется формулируемым в естественном языке парадоксом Лжеца, что- бы по законам двузначной логики вывести отсюда все, что угодно.
Поэтому данное противоречие оказывается безвредным и к катастро- фам не приводит. Оно обезврежено принятым употреблением языка.
Витгенштейн доказывает, что могли бы существовать и применять- ся различные логики, арифметики и проч. Логические и математичес- кие системы не являются ни отражениями материальной реальности,
ни описаниями умопостигаемого мира идей. Они суть наши конструк- ции. Последнее слово является ключевым для понимания витгенштей- новской «психотерапии» страха перед скрытыми противоречиями.
Люди, как правило, понимают, что их конструкции несовершенны и всегда нуждаются в доработке, усовершенствовании. Возможности сбоев заложены в любой человеческой конструкции, будь то космичес- кий корабль или теория множеств. Но осознание этого, как правило, не парализует человеческую волю и способность действовать.