Сокулер_Лекции по философии Витгенштейна. Лекция 1 формирование мировоззрения
 Скачать 1.45 Mb.
|
|
4. Проблема бесконечности Проблема бесконечности является едва ли не самой захватывающей и мучительной проблемой философии математики, причем не только для философов, но, как показал кризис в основаниях математики, и для самих математиков. Лекарство от этих мучений -заключается в том, чтобы «подчеркивать различия там, где обычно замечают сходство» [39, с.15]. «Причина того, почему философы сбивают математику с правильного пути, состоит в том, что в логике, в отличие от естествен- ных наук, нельзя заниматься обоснованием общих утверждений час- тными случаями. Здесь каждый отдельный случай имеет свое значение, но все исчерпывается конкретным случаем, и отсюда нельзя извлечь никакого общего вывода (т.е. просто никакого вывода)» [37, с.369]. Для философской грамматики, утверждает Витгенштейн, нет несу- щественных различий. Следуя этому принципу, он, например, фикси- рует внимание на различиях между периодическими и непериодичес- кими бесконечными дробями. Пытается ли он тем самым выступать против тенденций развития самой математики, стремящейся к единой трактовке всех чисел? Нет, подобная цель ему чужда. Однако он по- лагает, что такая тенденция может привести в результате к серьезным недоразумениям, если будет сопровождаться укоренением неявного убеждения, что рациональные и иррациональные числа имеют одну и 9/ ту же «природу» и что, например, утверждения о равенстве рацио- нальных и утверждения о равенстве иррациональных чисел имеют один и тот же смысл 3 Затруднения здесь связаны с оборотом «и так далее до бесконечнос- ти» и его грамматикой. Когда мы продолжаем «до бесконечности» периодическую дробь, то, едва определив период, уже можем делать предсказания относительно ecefo бесконечного продолжения. Напри- мер, мы можем сказать, что в десятичном разложении дроби '/ 3 нигде не встретится двойка. Как это возможно? Как нам дано знание того, что произойдет в бесконечности? Неужели мы наделены способ- ностью постигать бесконечный ряд цифр как завершенную совокуп- ность? Ответ на подобный вопрос нашелся бы без труда, если бы не меша- ла аналогия с продолжением в бесконечность иррационального числа. Из-за нее мы начинаем представлять себе дело так, как будто речь идет о бесконечности в одном и том же смысле. Тогда наша способность предсказывать, какие цифры будут появляться в бесконечном продол- жении периодических дробей, начинает выступать как свидетельство того, что бесконечный процесс является завершенным, и божественный разум может обозреть его целиком в любом случае, а мы — только тогда, когда имеем дело с периодическими дробями. При этом еще не выполненное разложение (например, разложение числа n до стомиллионного знака) рассматривается как уже существующее. Игнорирование специфики различных употреблений выражения «и так далее до бесконечности» способно породить иллюзию, что невычисленные члены бесконечной последовательности уже имеются и подразумевают- ся. Вообще говоря, некоторые способы выражений сначала оказывают- ся вредными, но потом их использование нормализуется. Так, в XVIII в. выражение «мнимые числа» многих сбивало с толку, а теперь никто Не обращает на него внимания. Данное наименование стало безопас- ным, потому что теперь все понимают, что свойства комплексных чисел определяются на основе соответствующих аксиом (соответствующего исчисления), а не путем проникновения в их таинственную «мнимую» сущность. 3 Самый лучший способ убедиться, что о = Ь имеет разный смысл для случаев, когда а и Ь рациональны и когда они иррациональны, — посмотреть на способы проверки равенства в обоих случаях. 92 В настоящее время к ошибочным представлениям может приводить выражение «бесконечное продолжение», хотя эта ошибочность и не от- ражается на самих математических вычислениях. Однако она вызыва- ет путаные философские представления и заставляет математиков му- читься неразрешимыми и бессмысленными проблемами. Слово «беско- нечность» имеет разные употребления, которые не надо путать или отождествлять. Например, сказать, что в бесконечном разложении дроби '/ 3 не встретится цифра 2, значит сказать, что ее нет в периоде: и это все содержание данного утверждения. Иррациональные числа являются процессами. Мы не можем сказать, какая цифра стоит на стомиллионном месте в десятичном разложении числа л не потому, что наш разум не может, подобно божественному, обозревать завершен- ную бесконечную совокупность, а потому, что этого разложения пока еще нет, оно не осуществлено. В аналогичном ключе Витгенштейн анализирует общие арифмети- ческие предложения типа: «Для всякого х. Ах». Он подчеркивает, что грамматика подобных предложений различна в зависимости от того, пробегает ли х по конечным или бесконечным областям. Чтобы убе- диться в этом, надо опять-таки обратить внимание на употребление предложения, и прежде всего на способы его проверки: «Прежде чем говорить обо «всех этих объектах» или «совокупности этих объектов», я обязан хорошенько поразмыслить над тем, каким условиям должно удовлетворять в этом случае употребление слов «все» и «совокупность» [37, с.457]. Бытует ложное представление, что процедура проверки общих бесконечных предложений аналогична проверке конечных и состоит в последовательной проверке всех единичных предложений А(1), А(2), А(3)... и т.д. до бесконечности. При этом считается, что проверка бесконечных предложений отличается от проверки конечных только практической невозможностью осуществить бесконечный пере- бор из-за нехватки времени и бумаги. При этом «то, что называется «логической невозможностью», смешивается с физической невозмож- ностью» [37, с.452]. То есть присутствует представление, что «бесконеч- ное» — это чрезвычайно большое, так что трудность, связанная с про- веркой бесконечного числа единичных предложений, в принципе не отличается от затруднения при проверке очень большого, но ограни- ченного числа высказываний и упирается только в нехватку времени и бумаги. Игнорирование этого различия укрепляет веру в то, что бесконеч- 93 ное лежит в одном ряду с конечным, только дальше; бесконечное начи- нается тогда, когда кончается конечное, а это очень-очень далеко. А теперь вспомним упоминавшееся выше сравнение Дж. Харди: матема- тик подобен путешественнику, который наблюдает и описывает горную цепь. Ему просто описать то, что он видит ясно, но с самыми отдален- ными вершинами могут возникать затруднения. А тогда, если продол- жить сравнение Харди, насколько значительными будут затруднения при описании бесконечно удаленных вершин! Ведь это так далеко! В такой дали, конечно же, наше умственное зрение плохо различает контуры математических фактов и может подвести нас, как это пока- зали парадоксы теории множеств. Парадоксы начинают воспринимать- ся как свидетельство того, что в бесконечности мы «плохо различаем» и можем ошибиться. Отсюда у математиков возникает чувство страха и неуверенности. В связи с этим рассуждения Витгенштейна преследу- ют терапевтическую цель: внести успокоение.. Для этого он стремится отделить математическое понятие бесконечности от ассоциаций с чем- то предельно большим или крайне удаленным: «Представление о бес- конечности как о чем-то огромном производит очень, сильное впечатле- ние на некоторых людей, и их интерес связан именно с такой ассоци- ацией... Без ассоциации с чем-то огромным никто и внимания не обра- тил бы на бесконечность» [38, с. 194]. Но «бесконечность вообще не связана с размером» [там же, с.189], она связана с оперированием определенными символами по определен- ным правилам, и в самом этом оперировании нет ничего бесконечного. Например, вычисление предела функции /(х) при х ->°° есть мани- пулирование формулами по определенным правилам и не имеет никакого отношения к ассоциациям между <*> и «чем-то огромным». Математикой, как замечает Витгенштейн, занимаются иногда из-за особого эстетического наслаждения, доставляемого ею. Такое наслаж- дение сопровождает работу с исчислениями, имеющими определенное практическое значение (применяющимися в физике, инженерных рас- четах или других разделах математики). Однако бывает и так, что исчисление вообще строится только ради эстетических переживаний. Тогда это может привести к серьезным искажениям. Возникают лож- ные интерпретации, имеющие особое очарование. Один пример резуль- тата, имеющего «особое очарование», приводился выше, когда рас- сматривалось утверждение, что любая прямая пересекает любую ок- ружность. Это очарование, как объясняет Витгенштейн, проистекает из 94 некоторого рода головокружения, вызываемого подобными открытиями [39, с. 14 и ел.]. Лекарство от головокружения состоит в том, чтобы не принимать это за открытие. Здесь на самом деле происходит введение нового исчисления, новой системы языковых правил. А видимость голо- вокружительного открытия порождается уподоблением двух различ- ных случаев. Если избежать такого уподобления, то «головокружение», а вместе с ним и «очарование» исчезнет, и останется работа в опреде- ленных математических теориях, имеющих определенное практическое значение. В таком ключе Витгенштейн анализирует и затруднения, связанные с использованием понятия бесконечности. Тут тоже «головокружение» связано с неправомерным уподоблением различных случаев. Поэтому он подчеркивает; что сама «грамматика», т.е. система пра- вил, регулирующих употребление выражений для конечных и беско- нечных совокупностей различна. И это необходимо отразить в адекват- ном символизме, в котором просто не должно быть возможности для формулировки вопроса, является ли некоторая совокупность конечной или бесконечной. Бесконечность, говорит Витгенштейн, вообще не явля- ется количеством. Поэтому грамматика слова «бесконечное» отличает- ся от грамматики слов, обозначающих числа [см. 37]. Замечание Витгенштейна об исчислениях, которые строятся по пре- имуществу ради получения особых эстетических переживаний, «голо- вокружений», и о таящейся в этом опасности, раскрывает его отноше- ние к теории множеств Г. Кантора и ее поразительным результатам (например, различению бесконечностей различной мощности и установ- лению того факта, что бесконечности, подобно натуральным числам, можно упорядочить по величине). Витгенштейн выступает не против теории Кантора как некоторого формализма (верный своему принци- пу, что философия не должна пересматривать существующую матема- тику), а против той ее интерпретации, в которую верил Кантор. Интерпретации, которые сами математики дают своим символиз- мам, Витгенштейн называл «прозой», и считал, что именно эта «проза» создает концептуальную путаницу и порождает затруднения, требую- щие философского вмешательства. «Проза» Кантора состояла в том, что он принимал некую онтологическую аналогию между натуральны- ми и трансфинитнымй числами. Для Кантора, трансфинитные числа были реальны точно в том же смысле, что и обычные натуральные. Однако эта «проза» не определяет построенную им систему, ибо у него 95 трансфинитные числа представляют собой бесконечные последователь- ности следующих друг за другом единиц, т.е. явно принадлежат иной грамматической категории, нежели натуральные числа. Поэтому Кан- тор просто не имеет права употреблять понятия «больше» и «равно» одновременно и для конечных, и для трансфинитных чисел, ибо они имеют различный смысл в первом и во втором случае. Если отказаться от уподобления двух этих случаев, то исчезает видимая головокружи- тельность результатов Кантора, например, открытие того, что мощ- ность совокупности точек отрезка [О, 1] «равна» мощности совокупнос- ти точек квадрата со стороной [О, 1]. Некоторые интерпретаторы, не вдумавшись в рассуждения Витген- штейна, отнесли его к «финитистам». Финитизм — это весьма радикаль- ное направление в основаниях математики, считающее обоснованными и надежными только рассуждения о конечных совокупностях. Оно не имеет_личего общего с установкой Витгенштейна. Он, как мы уже го- ворили, не учит тому, какое основание математики является достаточно надежным. Он хочет показать ненужность, излишность самих попыток найти для математики какое-то особое основание. Для этого он разру- шает определенную философскую доктрину о математике. Он показы- вает, что известные интерпретации математических теорий совершенно произвольны (например, интерпретации теории Кантора). Но взамен он не предлагает никаких «более правильных» интерпретаций, будь они финитистскими или какими-то еще. Существует мнение, что разделение труда между математиками и философами таково: математики строят исчисления и доказывают тео- ремы, а философы дают объяснения смысла их утверждений. Но, как говорит Витгенштейн, он сам не собирается делать этого, ибо не счита- ет, что математические исчисления должны быть окружены, как неким газовым облаком, их интерпретациями и объяснениями. «Я, — говорит Витгенштейн, — буду при случае строить новые интерпретации, но не для того, чтобы выдавать их за правильные, а для того, чтобы показать, что они столь же произвольны, как и прежние интерпретации. Я... буду использовать новый газ, чтобы вытеснить старый» [39, с. 14]. Думаю, что «газ», о котором говорит здесь Витгенштейн, — это та «стихийная философия математики», которую мы описывали в начале данной лекции. Очищенная от «газового облака» интерпретаций и философских ис- толкований, математика выглядит у Витгенштейна примерно следую- 96 щим образом. Она есть человеческая конструкция, человеческое изо- бретение. Она свободна в том смысле, что не детерминируется никакой реальностью — ни материальной, ни идеальной. По отношению к естественным наукам и повседневным рассуждени- ям математика является частью — причем существенной — их «грам- матики». Она дает правила, которым должны подчиняться осуществля- емые в них рассуждения о реальности. Невозможно говорить о соответ- ствии или несоответствии этих правил и реальности, ибо они как раз являются частью того концептуального каркаса, в рамках которого только и можно ставить вопрос о соответствии или несоответствии ре- альности тех или иных фрагментов человеческого знания. В то же время деятельность любого математика несвободна в том смысле, что подчиняется принятым математическим правилам, кото- рые носят достаточно жесткий характер. Можно сказать, что для Вит- генштейна математика — это оперирование с языковыми символами, подчиняющееся определенным правилам. Обсуждая проблемы математических теорий, Витгенштейн постоян- но употребляет термин Kalkül, который в зависимости от контекста надо понимать как «исчисление» или «вычисление». Вычисление — это манипулирование с математическими формулами по определенным правилам. Поэтому для Витгенштейна любая математическая деятель- ность выступает как вычисление. Инженер по первоначальному обра- зованию, Витгенштейн постоянно подчеркивает этот операциональный, деятельностный характер математики. «Математика целиком состоит из вычислений», — говорит он [37, с.468]. Математика видится ему как пестрая совокупность разнообразных техник. Поэтому она ничего не описывает. Его концепцию зачастую путают с интуиционизмом или конструктивизмом, что совершенно неверно. Интуиционисты и конструктивисты требуют перестройки математики, чтобы ее понятия и теоремы приобрели конструктивный характер. А Витгенштейн предлагает не реконструировать математику, но по-другому посмотреть на ту, которая у нас есть. Исследования по основаниям математики мотивировались желани- ем выяснить природу математики, обосновать ее истинность, подтвер- дить, что математика есть образец достоверности и основа достовернос- ти научного знания вообще. За всем этим стоит вера в то, что матема- т и к а — это особая наука, имеющая специфический предмет. Витген- штейн же утверждал: после Эйнштейна ясно, что геометрия есть син- 97 таксис, т.е. система логических правил, формулирующих грамматику описания феноменов. И в «Трактате», и в более поздних заметках Вит- генштейн проводил мысль, что математические предложения —это вовсе не тавтологии, а правила, по которым формулируются описания явле- ний и осуществляется переход от одних описаний к другим. Правила ничего не говорят о мире, они конвенциональны. Достоверность математических предложений состоит в том, что в них нельзя сомневаться. Не потому, что они имеют абсолютно незыбле- мое философское обоснование, а потому, что правила — неподходящий объект для сомнения. Математика есть система правил, она нормативна, и этим объясня- ется ее природа, а также дается решение «проблемы обоснования». Математика достоверна, ибо не подлежит сомнению. Но ее достовер- ность имеет совсем иную природу, нежели -достоверность эмпирических наук. 5. Особенности витгенштейновского подхода к философским проблемам математики Итак, мы познакомились с тем, что говорит Витгенштейн по поводу философии математики и ее оснований. Перенесем теперь фокус внима- ния с того предмета, о котором он рассуждает, на то, как он к нему подходит. Это покажет нам, как изменилось в 30-х годах его представ- ление о философской деятельности и о языке. Философия по-прежнему представляется ему деятельностью по про- яснению мыслей. При этом, как он настойчиво подчеркивает, она не требует никаких специальных знаний, открытия каких-то до того неиз- вестных фактов и обстоятельств. Даже проблемы философии математи- ки можно прояснить, не выходя за пределы того, что известно всем. Достаточно знания математики в пределах средней школы и использо- вания понятий, широко применяющихся в обычной разговорной речи, таких, как «доказательство», «число». Обсуждения, требующие специ- альных знаний, не являются философскими, подчеркивает Витгенштейн. Философы должны отдавать себе отчет в этом и не вмешиваться не в свое дело. Прояснение мыслей играет «терапевтическую» роль. Оно устраняет такие неприятные состояния, как страх перед скрытыми противоречи- ями теории; «головокружение», вызываемое неожиданными математи- 98 В ческими результатами, обладающими, как кажется, смыслом, который никак не удается постичь; неуверенность в основаниях принятых тео- рий и т.д. Отмечу, что признаком путаницы мыслей выступает для Витген- штейна ощущение особой глубины и значительности фактов, которые, как кажется, мы вот-вот схватим в своем понимании, но которые тем не менее все снова и снова ускользают от нас. Путаница часто бывает связана с тем, что одно и то же слово входит в разные системы, где имеет разную логическую грамматику. Методи- ка прояснения состоит тогда в указании на специфику употребления слова во всех этих случаях. При этом демонстрируются такие языко- вые факты, которые известны всем, но упускаются из виду как незна- чительные в погоне за более общей и глубокой сущностью. Путаницу часто порождают такие тенденции, как стремление к обоб- щению; заставляющее видеть аналогию там, где не лишне было бы помнить о различиях, или стремление за каждым именем существи- тельным видеть объект, ему соответствующий. Для прояснения путаницы полезно смотреть на то, как употребля- ются слова в разных системах, в частности, на то, каким образом люди выучивают их значения. Идея, что одно и то же слов.о может входить в,разные языковые системы, иметь разную грамматику, разные употребления, играет, как мы видели, важную роль в предлагаемом Витгенштейном прояснении философских проблем математики. Эта идея, очевидно, несовместима с тем образом языка, который Витгенштейн нарисовал в «Логико-фило- софском трактате». В 30-40-е годы Витгенштейн разрабатывает принципиально иной подход к языку, несовместимый с его ранней концепцией. Для самостоятельной подготовки из списка Рекомендуемой ли- тературы необходимо воспользоваться следующими источниками: [14, с.81-85]; (29, гл. 4, 5], а также [39\, [41]. |