Статистика лекции. Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины курс Статистика состоит их трех разделов Теория статистики

• Название: Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины курс Статистика состоит их трех разделов Теория статистики
• Анкор: Статистика лекции.pdf
• Дата: 24.04.2018
• Размер: 2.08 Mb.
• Имя файла: Статистика лекции.pdf
• Тип: Методические рекомендации; #18440
• страница: 5 из 23

Тема 5. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВАРИАЦИИ
5.1. ПОНЯТИЕ И СИСТЕМА ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВАРИАЦИИ
Условия, в которых находится каждый из изучаемых объектов, а также особенности их собственного развития (социальные, экономические и пр.) выражаются конкретными количественными или атрибутивными уровнями статистических показателей. Таким образом, вариация, т.е.
несовпадение уровней одного и того же показателя у разных объектов, имеет объективный характер и помогает познать сущность изучаемого явления.
Для измерения вариации количественных признаков применяют несколько способов. Наиболее простым является расчет показателя размаха вариации (Н) как разницы между максимальным
(Х
max
) и минимальным (X
min
) наблюдаемыми значениями признака:
Н = Х
max
– X
min
.
В показателе размаха вариации учитываются лишь крайние значения признака. Более точными характеристиками являются показатели колеблемости признака относительно среднего уровня.
Простейший показатель такого типа – среднее линейное отклонение (Л) как среднее арифметическое значение абсолютных отклонений признака от его среднего уровня.
Л
∑
−
=
n
X
X
i
При повторяемости отдельных значений Х применяют формулу средней арифметической взвешенной
2
:
(
)
·
Л
∑
∑
−
=
i
i
i
m
m
X
X
Показатель линейного отклонения нашел широкое применение на практике. С его помощью анализируются, например, ритмичность производства, равномерность поставок материалов,
разрабатываются системы материального стимулирования. Но этот показатель плохо согласуется с вероятностными расчетами и усложняет применение методов математической статистики. Поэтому в статистических исследованиях для измерения вариации чаще всего используют показатель
дисперсии и среднего квадратического отклонения (см. п. 5.2).
Для сопоставления вариаций по нескольким признакам в одной и той же совокупности объектов или вариации одного и того же показателя по разным совокупностям характеристики вариации
2
Напомним, что алгебраическая сумма отклонений от среднего уровня равна нулю.

32
приводятся к относительному виду. Достигается это сравнением размаха вариации (Н), среднего линейного (Л) или среднего квадратического отклонения ( σ ) со средним уровнем того же признака.
Получаемые величины называются коэффициентами вариации. Значения коэффициентов вариации обычно указывают в процентах. В статистике совокупности, имеющие коэффициент вариации больше
30–35%, принято считать неоднородными
3
. Формулы коэффициентов имеют вид:
( )
100
·
σ
;
100
·
Л
;
осциляции)
нт
(коэффицие
100
·
v(σ(
Л)
v v(H)
X
К
X
К
X
H
К
=
=
=
5.2. ПОКАЗАТЕЛЬ ДИСПЕРСИИ, СВОЙСТВА И СПОСОБЫ РАСЧЕТА
Дисперсия признака –
2
σ – определяется на основе средней квадратической степенной:
(
)
(
)
σ
или
σ
2 2
2 2
∑
∑
∑
−
=
−
=
i
i
i
i
m
m
X
X
n
X
X
Показатель σ , равный
2
σ , называется средним квадратическим отклонением. В теории статистики показатель дисперсии является оценкой одноименного показателя теории вероятностей и
(как сумма квадратов отклонений) оценкой дисперсии в математической статистике, что позволяет использовать положения этих теоретических дисциплин для анализа социально-экономических процессов. Простыми преобразованиями могут быть получены формулы расчета дисперсии методом моментов:
( )
( )
σ
;
σ
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
X
X
m
m
X
m
m
X
X
X
n
X
n
X
i
i
i
i
i
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
Здесь X – среднее значение признака (начальный момент первого порядка);
– средняя величина квадратов значений признака (начальный момент второго порядка). Дисперсию признака еще называют центральным моментом второго порядка. Формула метода моментов используется достаточно часто. На ней основываются, например, методы статистического имитационного моделирования.
Рассмотрим некоторые свойства показателя дисперсии.
Величина дисперсии не зависит от начала отсчета, т.е. все индивидуальные значения признака можно увеличить или уменьшить на одно и то же число. Это свойство очевидно, ибо с увеличением или уменьшением значений признака Х аналогично изменяется и показатель среднего уровня.
Численное значение дисперсии зависит от масштаба измерения X. При увеличении (или уменьшении) всех значений признака в С раз показатель дисперсии нового, увеличенного (или уменьшенного) признака будет больше (или меньше) дисперсии прежних значений в С
2
раз, т.е.
2
σ (Х – C) = C
2
·
2
σ (X).
Эти свойства ускоряют расчеты, особенно если первичные данные представлены в сгруппированном виде с равными интервалами. Вводя вместо прежних значений признака Х новые,
полученные по формуле
i
Χ ′ = (X
i
– A) / h,
убеждаемся, что
( )
( )
'
σ
σ
2 2
'
2 2
2 2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
′
−
⋅
=
⋅
=
X
X
h
X
h
X
3
У такого способа оценки вариации есть и существенный недостаток. Действительно, пусть, например,
исходная совокупность рабочих, имеющих средний стаж 15 лет, со средним квадратическим отклонением
σ
= 10 лет, «состарилась» еще на 15 лет. Теперь
X
= 30 лет, а среднеквадратическое отклонение будет по- прежнему равно 10 лет. Совокупность, ранее бывшая неоднородной
)
7
,
66 100
·
15
/
10 100
·
/
σ
(
0 0
v
=
=
=
X
К
со временем оказывается, таким образом, вполне однородной (10/30 – 100 = 33,3%).

33
Для приведенного ранее примера получаем
X
j
'
–2
–1 0
1
m
j
0,09 0,18 0,24 0,49
(X
'
j
)
2
·mj
0,36 0,18 0
0,49
Таким образом,
( )
03
,
1 2
'
=
∑
∑
j
j
j
m
m
X
Так как
( )
2 2
13
,
0
=
′
X
, то
2
σ = 52(1,03 – 0,0169) = 25,3275.
Непосредственный расчет по исходным данным оказывается более трудоемким.
Если вариация оценивается по небольшому числу наблюдений, взятых из достаточно большой генеральной совокупности, то математическое ожидание расчетной величины дисперсии оказывается смещенным в сторону уменьшения. Для получения несмещенной оценки рекомендуется дисперсию,
полученную по приведенным ранее формулам, умножить на величину n/(n – 1). В итоге при малом числе наблюдений (n < 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле:
(
)
1
σ
2 2
−
−
=
∑
n
X
X
i
или
( )
1
σ
2 2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
X
X
n
n
Обычно уже при n > (15–20) расхождение смещенной и несмещенной оценки становится несущественным. По этой же причине обычно не вводят поправку и в формулу сложения дисперсий.
5.3. ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ ДИСПЕРСИЙ
Если первичные данные по признаку Х разделить на группы, то дисперсия признака может быть определена как традиционным способом по первичным данным, так и как сумма межгрупповой
дисперсии (
2
σ
м.гр.
) и средней величины дисперсий внутригрупповых –
2
δ , т.е.
δ
σ
σ
2 2
2
+
=
гр
м
Межгрупповая дисперсия оценивает вариацию средних значений в каждой группе относительно общего среднего уровня:
(
)
,
σ
1 1
2 2
∑
∑
=
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
−
=
k
i
i
k
i
i
i
гр
м
m
m
X
X
где k – количество групп, на которые разбита вся совокупность;
m
i
– количество объектов, наблюдений, включенных в группу i;
i
X – среднее значение признака по группе i;
X – общее среднее значение признака.
Среднее значение внутригрупповых дисперсий рассчитывается по формуле
(
)
( )
δ
где
;
·
δ
δ
2 1
2 1
2 2
1 1
2 2
j
j
m
i
ij
j
m
j
j
ij
j
k
j
j
j
k
j
j
X
m
X
m
X
X
m
m
j
j
−
=
−
=
=
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
Подставляя
2
σ
м.гр.
и в формулу сложения дисперсий, выходим на расчет дисперсии методом м
моментов, что и подтверждает правило сложения.
Свойство сложения дисперсий используется для измерения взаимосвязи признаков X и Y. Так,
если в группах, сформированных по уровням или интервалам признака X, определить средние значения для признака Y, то степень связи признака Y и признака X можно оценить эмпирическим коэффи-
циентом детерминации как отношения межгрупповой дисперсии признака Y к его общей дисперсии:
).
(
σ
/
)
Y
(
σ
η
2 2
2
Y
гр
м
=
Величина η носит название эмпирического корреляционного отношения.

34
5.4. ОЦЕНКА СРЕДНЕГО ЗНАЧЕНИЯ И ВАРИАЦИИ
АЛЬТЕРНАТИВНЫХ ПРИЗНАКОВ
Под альтернативным признаком понимается такой признак, который принимает одно из двух взаимоисключающих значений (пол – мужской или женский; изделие – годное или негодное; план по выпуску продукции – выполнен или не выполнен; заказ – выполнен менее чем на 90% или более чем на 90% и т.д.). Обычно считают, что если признак Х принял интересующее нас значение, то его величина равна 1, в противном случае Х = 0. В результате в n
1
наблюдениях имеем интересующее нас явление (когда Х = 1), а в n
2
случаях оно отсутствует (когда Х = 0).
Таким образом,
(
) (
)
(
)
,
0 1
1 2
1 1
2 1
2 1
W
n
n
n
n
n
n
n
n
n
X
w
=
=
+
=
+
⋅
+
⋅
=
т.е. среднее значение альтернативного показателя равно частоте (точнее, частости) его появления (W = n
1
/n).
Аналогично
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
1 1
1 0
1
σ
2 2
2 1
2 2
1 2
2
W
W
W
W
W
W
n
n
n
W
n
W
W
−
=
−
⋅
+
⋅
+
=
+
⋅
+
+
⋅
−
=
т.е. диспер- сия альтернативного показателя равна произведению частоты (частости) его появления на частоту
(частость) его отсутствия.
Контрольные вопросы
1. Определение вариации, причины вариации.
2. Показатели вариации.
3. Показатель дисперсии, свойства, способы расчета.
4. Правило сложения дисперсий.
5. Оценка вариации альтернативных признаков.
Тема 6. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
6.1. ПОНЯТИЕ ВЫБОРОЧНОГО НАБЛЮДЕНИЯ,
ОТБОР ЕДИНИЦ В ВЫБОРОЧНУЮ СОВОКУПНОСТЬ
Выборочный метод применяется, когда проведение сплошного наблюдения невозможно или экономически нецелесообразно. Так, проверка качества отдельных видов продукции может быть связана с ее уничтожением (оценка крепости нити на разрыв, дегустация продуктов питания и т.п.);
в других случаях совокупности настолько велики, что физически невозможно собрать данные в отношении каждой из единиц (изучение пассажиропотоков, цен на рынках, исследования бюджетов семей и т.д.). Выборочное наблюдение используют также для проверки результатов сплошного наблюдения.
Единицы, которые отобраны для наблюдения, принято называть выборочной совокупностью, а всю совокупность, из которой производится отбор, – генеральной. Качество выборочного наблюдения зависит от того, насколько выборка репрезентативна (представительна), т.е. насколько состав выборки представляет генеральную совокупность. Для репрезентативности необходимо соблюдение принципа случайности отбора единиц.
Рассмотрим способы формирования выборочной совокупности.
Собственно случайный отбор, или случайная выборка, осуществляется с помощью жеребьевки либо по таблице случайных чисел. В первом случае элементам генеральной совокупности присваиваются порядковые номера, которые в виде шаров или карточек-фишек помещаются в ящик,
а затем отбираются на удачу. Во втором случае производится выбор случайных чисел (например, из специальных таблиц), по которым образуют порядковые номера объектов (единиц) для отбора.
Формирование случайных чисел и определение очередного номера продолжается, пока не будет получен заданный объем совокупности в выборке
Механический отбор. На практике очень часто применяют механическое формирование выборочной совокупности, не связанное с процедурами получения случайных чисел. При этом способе отбирается каждый (n/N)-й элемент генеральной совокупности. Например, если имеется совокупность из 100 тыс. единиц, и требуется выборка в 1000, то в нее попадет каждый сотый элемент. Если единицы в совокупности не ранжированы относительно изучаемого признака, то первый элемент выбирается наугад, произвольно, а если ранжированы, то из середины первой сотни. Этот способ отбора близок к собственно случайному при условии, что список не составлен таким образом, что какие-то единицы совокупности имеют преимущества попадания в выборку. Так, использование 25%

35
механической выборки при обследовании городского населения может привести к тому, что для каждого этажа при 4-квартирных площадках будет выбран один и тот же тип квартир (например,
только трехкомнатные).
Стратифицированный отбор. Используется для отбора единиц из неоднородной совокупности.
В этом случае генеральную совокупность предварительно разбивают на однородные группы с помощью типологической группировки, затем производят отбор единиц из каждой группы случайным или механическим способом так, чтобы единицы разных групп (слоев) включались в выборку пропорционально численности групп в генеральной совокупности или пропорционально удельному весу групп в общей дисперсии.
Серийный (гнездовой) отбор. Это такая форма отбора, при которой в случайном или механическом порядке выбирают не единицы, а определенные районы, серии (гнезда), внутри которых производится сплошное наблюдение.
Особенности обследуемых объектов определяют две методики отбора единиц – повторная и бесповторная. При повторном отборе каждая попавшая в выборку единица или серия возвращается в генеральную совокупность и может попасть в выборку вторично. При этом вероятность попадания в выборочную совокупность всех единиц генеральной совокупности остается одинаковой. Беспов-
торный отбор означает, что каждая отобранная единица (или серия) в генеральную совокупность не возвращается, т.е. не может подвергнуться вторичной регистрации; поэтому для остальных единиц вероятность попасть в выборку увеличивается. Бесповторный отбор дает, следовательно, более точные результаты по сравнению с повторным и более желателен в статистической практике. Только в тех случаях, когда бесповторный отбор провести нельзя, используется повторная выборка (при обследовании потребительского спроса, пассажирооборота и т.п.).
6.2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОШИБОК ВЫБОРКИ
Итогом выборочного наблюдения является расчет обобщающих статистических характеристик
(среднего значения, дисперсии и т.п.). Разность между показателями в выборочной и генеральной совокупности называется ошибкой выборки. Ошибки выборки подразделяются на ошибки регистрации и ошибки репрезентативности. Ошибки регистрации возникают из-за неправильных или неточных сведений. Источниками ошибок могут быть непонимание существа вопроса, невнимательность регистратора, пропуск или повторный счет некоторых единиц совокупности, описки при заполнении формуляров и т.д. Среди ошибок регистрации выделяются систематические, обусловленные причинами, действующими в каком-то одном направлении и искажающими результаты работы
(например, округление цифр, тяготение к полным пятеркам, десяткам, сотням и т.д.), и случайные,
проявляющиеся в различных направлениях, уравновешивающие друг друга и лишь изредка дающие заметный суммарный итог.
Ошибки репрезентативности также могут быть систематическими и случайными. Систе- матические ошибки репрезентативности возникают из-за неправильного, тенденциозного отбора единиц, при котором нарушается основной принцип научно организованной выборки – принцип случайности. Случайные ошибки репрезентативности означают, что, несмотря на принцип случайности отбора единиц, все же имеются расхождения между характеристиками выборочной и генеральной совокупности. Изучение и измерение случайных ошибок репрезентативности и является основной задачей выборочного метода.
Отличие выборочных и генеральных характеристик рассмотрим на условном примере. Известно,
что в генеральной совокупности 1000 студентов средний балл успеваемости
58
,
3
=
X
Далее были проведены две 10% выборки. Обнаружилось, что по первой выборке средний балл
;
65
,
3

1
=
X
по второй –
54
,
3

2
=
X
Разность между показателями выборочной и генеральной совокупности и будет случайной ошибкой репрезентативности. Ошибки репрезентативности:
1) для первой выборки
;
07
,
0 58
,
3 65
,
3

1
+
=
−
=
− X
X
2) для второй выборки
04
,
0 58
,
3 54
,
3

2
−
=
−
=
− X
X
Если известно, что доля студентов, получивших оценки «4» и «5», составляет по генеральной совокупности p = 0,60 или 60%, по первой выборке W
1
= 0,64, или 64%, по второй выборке W
2
= 0,59, или
59%, то ошибки репрезентативности окажутся W
1–p
= 0,64 – 0,6 = +0,04; W
2–p
= 0,59 – 0,6 = –0,01.

36
Как видно из расчетов, выборочная средняя и выборочная доля являются величинами, которые могут принимать различные значения в зависимости от того, какие единицы совокупности попали в выборку. Размер их отклонения от генеральных значений случаен и оценивается посредством так называемой средней и предельной ошибки выборки. Средняя ошибка выборки ( μ ) определяется как среднее квадратическое отклонению показателя, деленое на квадратный корень из численности выборки. Величина среднего квадратического отклонения оценивается опять-таки по результатам проведенного выборочного наблюдения:
для средней величины
;
σ
σ
μ
2
n
n
x
x
x
=
=
для доли
)
1
·(
μ
n
W
W
W
−
=
При бесповторном отборе подкоренное выражение умножается на величину (1 – n/N), которая всегда меньше единицы. Поэтому величина средней ошибки выборки при бесповторном отборе оказывается меньшей, чем при повторном. В тех случаях, когда доля выборки незначительна и множитель (1 – n/N) близок к единице, поправкой можно пренебречь.
Понятие предельной ошибкой выборки связано с гарантирующим ее уровнем вероятности.
Уровень вероятности задается через нормированное отклонение t, и наоборот. Значения t даются в таблицах нормального распределения вероятностей. Чаще всего используют следующие сочетания:
t
P
1 0,683 2,0 0,954 3,0 0,997
Так, если t = 1, то с вероятностью 0,683 можно утверждать, что разность между выборочными и генеральными показателями не превысит одной средней ошибки. Предельные ошибки выборки
)
(
Δ определяются по формулам (табл. 6.1). Размер предельной ошибки Δ зависит от вариации признака (прямая связь), численности выборки (обратная связь), доверительной вероятности (прямая связь), метода отбора. На основе предельных ошибок, находят доверительные интервалы для генеральных показателей. Для X это
).

(
x
X
Δ
±
Для Р это о
).
(
W
W
Δ
±
Значения t, а следовательно, и
Δ определяются природой изучаемого явления. Увеличение степени достоверности результатов требует большего значения t, т.е. увеличивает предельную ошибку. Менее достоверные результаты получаются при небольших предельных ошибках.
Т а б л и ц а 6.1
Расчет предельных ошибок выборки
Предельные ошибки индивидуального отбора
Метод отбора для средней для доли
Повторный
n
t
2
σ
=
Δ
n
w
w
t
)
1
(
−
=
Δ
Бесповторный
)
1
(
σ
2
N
n
n
t
−
=
Δ
)
1
(
)
1
(
N
n
n
w
w
t
−
−
=
Δ
При стратифицированном отборе в выборку обязательно попадают представители всех групп и обычно в тех же пропорциях, что и в генеральной совокупности. Поэтому ошибка выборки в данном случае зависит главным образом от средней из групповых дисперсий
.)
δ
(
2
По правилу сложения дисперсий
,
σ
δ
σ
2 2
2
=
+
гр
м
т.е. ошибка выборки для стратифицированного отбора всегда будет меньше, чем для собственно случайного.
При серийном (гнездовом) отборе мерой колеблемости будет межгрупповая дисперсия
).
(
.гр
м
2
σ

37
6.3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВЫБОРОЧНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ
Распространение выборочных оценок на генеральную совокупность состоит в определении характеристик генеральной совокупности на основе характеристик выборочной. Применяются два способа распространения выборочных данных:
1) способ прямого пересчета;
2) способ поправочных коэффициентов.
При первом способе средние величины и доли, полученные в результате исследования выборочной совокупности, переносятся на генеральную. Если известна численность генеральной совокупности,
то можно оценить общий объем признака и возможные интервалы этого объема.
Например, если средняя выборочная урожайность на n = 10 га зерновых культур равна 20 ц/га,
а предельная ошибка урожайности (ошибка выборки)
Δ = 2,5 ц/га, то при известной посевной площади в N = 2000 га можно установить ожидаемый объем валового сбора:
ВС = 20 · 2000 = 40000 ц.
Пределы возможного валового сбора оцениваются по величине дисперсии этого показателя.
Допустим, что предельная ошибка выборки была оценена при доверительной вероятности равной
0,954, т.е. t = 2. Тогда, используя формулу предельной ошибки выборки
,
)
1
·(
t·
2
N
n
n
−
=
Δ
σ
заключаем,
что выборочная дисперсия показателя урожайности 1 га была
)
1
(
·
σ
2 2
2
N
n
n
t
−
Δ
=
Или
).
га
/
(
704
,
5 2
2
ц
1
σ
=
Таким образом, дисперсия возможного валового сбора оценивается как 15,704 · 2000 = 31407 ц
2
. (Здесь использовано то положение, что дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий каждой случайной величины.) Среднее квадратическое отклонение для всего валового сбора составляет ц
2
,
177 31407
=
Следовательно, с вероятностью 0,997 (т.е. практически всегда) валовой сбор со всей площади ожидается в пределах 40000 ц плюс-минус 3 средних квадратических отклонения, т.е. от 40000 – 532 =
= 39,5 тыс. ц до 40000 + 532 = 40,5 тыс. ц.
Второй способ используется для уточнения данных сплошного наблюдения. Так, если выборочное наблюдение показало, что недоучет величины исследуемого явления составил 0,5%, то эту последнюю величину (поправочный коэффициент) распространяют на результат, полученный при сплошном наблюдении, путем увеличения его на 0,5%.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение выборочного наблюдения, объясните его преимущества и необходимость.
2. Опишите способы формирования выборочной совокупности.
3. Дайте определение средней и предельной ошибок выборки.
4. Объясните разницу между повторным и бесповторным отбором.
5. Распространение выборочных данных на генеральную совокупность.