Статистика лекции. Методические рекомендации по изучению учебной дисциплины курс Статистика состоит их трех разделов Теория статистики
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
Тема 8. ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ ОБЩЕСТВЕННЫХ ЯВЛЕНИЙ 8.1. РЯДЫ ДИНАМИКИ. КЛАССИФИКАЦИЯ Ряд динамики (хронологический, динамический, временной ряд) представляет собой последова- тельность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. Любой ряд динамики включает, следовательно, два обязательных элемента: во-первых, время и, во-вторых, конкретные значения показателя, или уровни ряда. Ряды динамики различаются по признакам. 1. По времени – моментные и интервальные ряды. Интервальный ряд динамики – после- довательность, в которой уровень явления относится к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени. Таковы, например, ряды показателей объема продукции по месяцам года, количества отработанных человеко-дней по отдельным периодам, объем реализации за период и т.д. Если же уровень ряда показывает фактическое наличие изучаемого явления в конкретный момент времени, то совокупность уровней образует моментный ряд динамики. Примерами моментных рядов могут быть последовательности показателей численности населения на начало года, величины запаса какого-либо материала на начало периода и т.п. Важное аналитическое отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда дает вполне реальный показатель – общий выпуск продукции за год, общие затраты рабочего времени, общий объем продаж и т.д. Сумма же уровней моментного ряда обычно не имеет реального содержания (хотя иногда и подсчитывается). 2. По форме представления уровней – ряды абсолютных, относительных и средних величин. 3. По расстоянию или интервалам времени между датами выделяют полные (равно- отстоящие) и неполные хронологические ряды. В полных рядах динамики даты регистрации или моменты времени следуют друг за другом через равные интервалы. Неполные – когда принцип равных интервалов не соблюдается. 4. По числу показателей можно выделить изолированные и комплексные (многомерные) ряды динамики. Если ведется анализ во времени одного показателя, имеем изолированный ряд динамики (табл. 8.1 и 8.2). Комплексный ряд динамики имеет место, когда в хронологической последовательности дается система показателей, связанных между собой единством процесса, явления (табл. 8.3). 46 Т а б л и ц а 8.1 Объем продаж долларов США на ММВБ, млн долл. Дата 10.01.94 г. 11.01.94 г. 12.01.94 г. 13.01.94 г. Объем продаж 126,750 124,300 148,800 141,400 Т а б л и ц а 8.2 Индекс инфляции в 1993 г. (на конец периода, % к декабрю 1992 г.) Период Январь Февраль Март Апрель Май Июнь Индекс инф ляции 126 162 190 221 264 310 Т а б л и ц а 8.3 Потребление основных продуктов питания на одного члена семьи, кг/год Продукты 1980 г. 1985 г. 1990 г. 1991 г. 1992 г. 1993 г. Мясо и мясопродукты 80,0 78,4 74,1 68,3 58,7 63,2 Молоко и молочные продукты 411,2 389,6 378,9 345,4 280,4 285,6 Хлебные продукты 101,2 91,6 85,7 91,8 98,0 105,8 8.2. ПРАВИЛА ПОСТРОЕНИЯ РЯДОВ ДИНАМИКИ При составлении ряда динамики следует выполнить ряд требований: 1. Периодизация развития, т.е. расчленение ряда во времени на однородные этапы, в пределах которых показатель подчиняется одному закону развития. По существу, это типологическая группировка во времени. Периодизация может осуществляться несколькими методами: А. Исторический метод. Периодизация осуществляется на основе «узаконенной» структуры динамики, при этом обращают внимание на значимые даты и события, а именно: время принятия управленческих решений по данному показателю, смену хозяйственного механизма, смену руководства, войны и т.п. Недостаток этого метода в том, что точные временные границы периодов путем теоретического анализа удается получить крайне редко. Б. Метод параллельной периодизации. Идея этого метода заключается в следующем. Пусть Y – анализируемый показатель, развернутый в динамический ряд {Y t }, где Y t – значение уровня ряда в момент (интервал) времени t. Возможно, существует показатель X, которому соответствует динамический ряд {X t }, определяющий поведение исследуемого показателя Y. Тогда в роли однокачественных периодов развития Y нужно взять периоды X. Пример Показатель 1981 г. 1982 г. 1983 г. 1984 г. 1985 г. 1986 г. 1987 г. 1988 г. 1989 г. X 10 9 11 13 12 18 17 20 21 Y 20 19 21 24 24 35 34 40 41 Периоды однокачественной 5 динамики показателей X легко выделить: это 1981–1985 и 1986–1989 гг. Линейный коэффициент корреляции между рядами X и Y очень высок: R = 0,995, таким образом, можно считать, что ряд Х полностью определяет значение уровней ряда Y. Теперь, если предстоит качественный скачок показателя X, то с очень большой степенью вероятности можно ожидать аналогичных изменений показателя Y. В качестве недостатка параллельной периодизации следует отметить сложности в нахождении Х – детерминирующего показателя. Во многих случаях такой параметр вообще невозможно найти, так как он должен обладать весьма редкими свойствами – связью с анализируемым показателем и, главное, неоспоримыми временными границами периодов. 5 Однокачественность уровней временного ряда предполагает, что в пределах всего изучаемого периода, к которому относятся уровни, проведена типологическая группировка. После выделения однородных групп могут использоваться и анализироваться уровни ряда. 47 В. Методы многомерного статистического анализа. Однокачественные периоды развития явлений или процессов (здоровье населения, развитие сельскохозяйственного производства и многое другое) часто трудно получить с помощью только одного показателя. Необходима система показателей, или комплексный хронологический ряд. На основе комплексных динамических рядов (системы показателей) периодизация реализуется методом многомерной средней и методами факторного анализа. 2. Статистические данные должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, единицам измерения, времени регистрации, ценам, методологии расчета. Сопоставимость по территории означает, что данные по странам и регионам, границы которых изменились, должны быть пересчитаны в старых пределах. Сопоставимость по кругу охватываемых объектов означает сравнение совокупностей с равным числом элементов. Территориальная и объемная сопоставимость обеспечивается смыканием рядов динамики, при этом либо абсолютные уровни заменяются относи- тельными, либо делается пересчет в условные абсолютные уровни. Не возникает особых сложностей при обеспечении сопоставимости данных по единицам измерения; стоимостная сравнимость достигается системой сопоставимых цен. Трудности могут появиться при сравнении данных по моменту регистрации. В большей степени это относится к сезонным явлениям. В таких случаях даже регистрации на одну и ту же дату часто бывает недостаточно для обеспечения сопоставимости 6 3. Величины временных интервалов должны соответствовать интенсивности изучаемых процессов. Чем больше вариация уровней во времени, тем чаще следует делать замеры. Соответственно, для стабильных процессов интервалы можно увеличить. Так, переписи населения достаточно проводить один раз в десять лет; учет национального дохода, урожая – раз в год, ежедневно регистрируются курсы покупки и продажи валют, ежечасно – температура воздуха и т.п. 4. Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени. Не допускается анализ рядов с пропусками отдельных уровней, если же такие пропуски неизбежны, то их восполняют условными расчетными значениями. 8.3. ПОКАЗАТЕЛИ АНАЛИЗА РЯДОВ ДИНАМИКИ При изучении развития явления во времени встает проблема расчета средних показателей динамики и описания интенсивности изменения. Решается она построением соответствующих показателей. Для характеристики интенсивности изменения во времени такими показателями будут: 1) абсолютный прирост; 2) темпы роста; 3) темпы прироста; 4) абсолютное значение одного процента прироста. Когда за основу сравнения берется начальный уровень ряда, получают базисные показатели. Если же сравнение производится с предыдущим уровнем, то говорят о цепных показателях. Формулы расчета показателей динамики представлены в таблице. 6 Например, численность скота в домашнем хозяйстве на 20.11.1980 г. и 20.11.1990 г. качественно различается в связи с ранним наступлением зимы 1980 г., что привело к раннему забою скота. Регистрацию таких процессов лучше выполнять в «нейтральные» даты. Это середина зимы, когда забой прекращается, и середина лета, когда процесс появления приплода стабилизируется и заканчивается. Показатель Базисный Цепной Абсолютный прирост ) ; ( цеп. i баз i Δ Δ Y i – Y 0 Y i – Y i–1 Коэффициент роста (К p ) Y i : Y 0 Y i : Y i–1 Темп роста (Т p ) (Y i : Y 0 )·100 (Y i : Y i–1 )·100 Коэффициент прироста (К пр ) K p – 1; 0 0 Y Y Y i − ; баз Δ : Y 0 K p – 1; 1 1 − − − i i i Y Y Y ; цеп Δ : Y i–1 Темп прироста (Т пр ) K пр ·100: T p – 100 K пp · 100; Tp–100 Абсолютное значение одного процента прироста Y 0 : 100 Y i–1 : 100; Δ : Т пр ; 100 1 − − − p i i T Y Y 48 Пример. Имеются данные об объемах и динамике продаж акций на 15 крупнейших биржах России за 5 месяцев 1993 г. Показатель Март Апрель Май Июнь Июль Август Объем продаж, млн руб. 709,98 1602,61 651,83 220,80 327,68 277,12 Абс. прирост: цепной – 892,63 –950,78 –431,03 106,88 –50,56 базисный – 892,63 –58,15 –489,18 –382,3 –432,86 Коэффициент (индекс) роста цепной – 2,257 0,407 0,339 1,484 0,846 Темп роста, %: цепной, – 225,7 40,7 33,9 148,4 84,6 базисный 100 225,7 91,8 31,1 46,2 39,0 Темп прироста, %: цепной – 125,7 –59,3 –66,1 48,4 –15,4 базисный – 125,7 –8,2 –68,9 –53,8 –61,0 Абсолютное значение 1% прироста (цеп.) – 7,10 16,03 6,52 2,21 3,28 Система средних показателей динамики включает средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста. Средний уровень ряда – это показатель, обобщающий итоги развития явления за единичный интервал или момент из имеющейся временной последовательности. Расчет среднего уровня ряда динамики определяется видом этого ряда и величиной интервала, соответствующего каждому уровню. Для интервальных временных рядов с равными периодами времени средний уровень Y рассчитывается следующим образом: ∑ = n i n Y Y 1 или ( ) , 1 0 ∑ + = n i n Y Y где n или (n + 1) – общая длина временного ряда или общее число равных временных отрезков, каждому из которых соответствует свой уровень Y i (i = 1, 2,..., n или i = 0, 1, 2, ..., n). Если в интервальном временном ряду отрезки времени имеют неравную длительность, то средний уровень рассчитывается по формуле средней арифметической: ∑ ∑ = i i i t t Y Y или ∑ ∑ = i i t Y Y Для моментных временных рядов величина среднего уровня зависит от специфики развития явления в рамках интервалов, разделяющих отдельные наблюдения. Обычно считают, что в пределах каждого периода, разделяющего моментные наблюдения, развитие происходило по линейному закону. Тогда общий средний уровень находится как среднее значение из средних уровней по каждому интервалу. Для моментного ряда с равноотстоящими моментами получаем в итоге формулу средней хронологической. Вид формулы определяется способом нумерации уровней. Если уровни нумеруются начиная с нуля, то средняя хронологическая имеет вид 2 1 2 1 1 1 0 n Y Y Y Y Y n n + + + + = − K Если же уровни обозначены Y 1 , Y 2 , ..., Y k , формула получает вид 1 2 1 2 1 1 1 1 − + + + + = − k Y Y Y Y Y k k K Для моментного ряда с неравными интервалами предварительно находятся значения уровней в серединах интервалов: , 2 , , 2 , 2 1 2 1 2 1 0 1 n n n Y Y Y Y Y Y Y Y Y − = − = − = − K 49 а затем определяется общий средний уровень ряда: 1 1 1 ∑ ∑ = n n i i t t Y Y 1. По данным табл. 8.1, долл. млн 3 , 135 4 1 , 141 9 , 148 3 , 124 75 , 126 = + + + = Y 2. Имеются данные о валютном курсе на ММВБ (руб./долл.): Дата 13.12.93 г. 14.12.93 г. 15.12.93 г. 16.12.93 г. 17.12.93 г. Курс 1231 1237 1247 1247 1250 руб./долл. 9 , 1242 4 5 , 4971 1 5 2 1250 1247 1247 1237 2 1231 = = − + + + + = Y Средний абсолютный прирост рассчитывается в зависимости от способа нумерации интервалов (моментов): n баз : Δ = Δ или ( ) 1 : − Δ = Δ n баз Средний темп роста: 100 ⋅ = p p K T Если уровни ряда нумеруются от 0 до n, то формула среднего коэффициента роста p K выглядит 1 n баз n n i i цеп p К К K = = ∏ = Если уровни ряда нумеруются от 1 до n, то формула среднего коэффициента роста выглядит 1 1 n 2 − − = = = ∏ n баз n i i цеп p К К K Здесь К цеп – цепные коэффициенты роста; K баз – базисный коэффициент роста. Средний темп прироста (%) определяется по единственной методологии: 100 − = p пр Т T Например, по данным об объемах продаж акций имеем: месяц. в % 2 , 17 100 8 , 82 ; % 8 , 82 100 39 , 0 руб.; млн 572 , 86 1 6 86 , 432 5 − = − = = ⋅ = − = − − = Δ пp p T Т 8.4. ПРОВЕРКА РЯДА НА НАЛИЧИЕ ТРЕНДА Ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих: 1) тренд – основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению либо снижению его уровней); 2) циклические (периодические) колебания, в том числе сезонные; 3) случайные колебания. 50 Исследование тренда включает два основных этапа: 1) проверяется наличие тренда; 2) производится выравнивание временного ряда и непосредственное выделение тренда с экстраполяцией (прогнозированием) результатов развития. Проверка ряда на наличие тренда может выполняться несколькими методами: 1. Метод средних. Изучаемый ряд динамики разбивается на несколько интервалов (обычно на два), для каждого из которых определяется средняя величина. Выдвигается гипотеза о существенном различии средних. Если эта гипотеза принимается, то признается наличие тренда. В более мощном критерии Кокса и Стюарта весь анализируемый ряд динамики разбивают на три группы и сравнивают между собой уровни первой и последней групп. 2. Метод серий. По этому способу каждый конкретный уровень временного ряда считается принадлежащим к одному из двух типов: например, если уровень ряда меньше медианного значения, то считается, что он имеет тип А, в противном случае – тип В. Теперь уровни временного ряда выступают как последовательность типов. В образовавшейся последовательности типов определяется число серий. Серией называется любая последовательность элементов одинакового типа, граничащая с элементами другого типа. Так, временной ряд уровней брачности (см. ниже) имеет после упорядочения по возрастанию на 7-м месте значение 9,9 и на 8-м месте – значение 10,4. Отсюда медиана ряда равна (9,9 + 10,4) : 2 = = 10,15. Ряд типов выглядит как ВВВВВВВААААААА. В данном примере число серий R = 2. Для приведенного ниже ряда объемов продаж акций по месяцам имеем последовательность типов ААВВВАААВBAB. Для данного ряда R = 6. Если во временном ряду общая тенденция к росту или снижению отсутствует, то количество серий является случайной величиной, распределенной приближенно по нормальному закону (для n > 10). Следовательно, если закономерности в изменениях уровней нет, то случайная величина R оказывается в доверительном интервале σ · σ · R R t R R t R + ≤ ≤ − Параметр t назначается в соответствии с принятым уровнем доверительной вероятности Р. Например, для нормального распределения Р 0,683 0,950 0,954 0,990 0,997 t 1 1,960 2 2,576 3 Среднее число серий: ( ) 2 1 + = n R Среднее квадратическое отклонение числа серий: ( ) 4 1 σ − = n R Здесь n – число уровней ряда. Выражение для доверительного интервала приобретает вид ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 / 1 1 − + + ≤ ≤ − − + n t n R n t n Полученные границы доверительного интервала округляют до целых чисел, уменьшая нижнюю границу и увеличивая верхнюю. В нашем примере (для Р = 0,954) имеем: 1) ряд уровней брачности: 3 ≤ R ≤ 12; 2) ряд объема продаж акций: 3 ≤ R ≤ 10. Как видно, для ряда динамики брачности показатель числа серий R = 2 выходит за пределы возможного случайного поведения, и, следовательно, в изменении уровней ряда имеется общая закономерность, тенденция. Напротив, для ряда объемов продажи акций число серий R = 6, что вполне (с Р = 0,954) укладывается в пределах случайного поведения, и гипотеза о наличии общей закономерности снижения или возрастания объемов продаж во времени не может быть принята (с вероятностью ошибки 0,046). 3. Графический метод. Для подтверждения наличия или отсутствия тренда часто достаточно представить уровни временного ряда на графике (см. тему «Статистические графики»). Графическая иллюстрация развития во времени считается достаточно убедительной. Непосредственное выделение тренда может быть выполнено тремя методами: 1. Укрупнение интервалов. Ряд динамики разделяют на некоторое достаточно большое число равных интервалов. Если средние уровни по интервалам не позволяют увидеть тенденцию развития явления, переходят к расчету средних уровней за большие промежутки времени, увеличивая длину каждого интервала (одновременно уменьшается количество интервалов). 51 2. Скользящая средняя. В этом методе исходные уровни ряда заменяются средними величинами, которые получают из данного уровня и нескольких симметрично его окружающих. Количество уровней, по которым рассчитывается среднее значение, называют интервалом сглаживания. Интервал может быть нечетным (3, 5, 7 и т.д. точек) или четным (2, 4, 6 и т.д. точек). При нечетном сглаживании каждое полученное среднее арифметическое значение закрепляют за серединой интервала. При обработке ряда четными интервалами их искусственно делают нечетными, для чего образуют ближайший больший нечетный интервал, но из крайних его уровней берут только по 50%; полученное среднее арифметическое значение также закрепляют за серединой каждого расчетного интервала. Последовательно передвигая интервал сглаживания, получают последовательность средних (скользящих) значений. Недостаток методики сглаживания скользящими средними состоит в условности определения сглаженных уровней для точек в начале и конце ряда. Если необходимо, то их получают специальными приемами. Так, при сглаживании по трем точкам выровненное значение в начале ряда рассчитывается по формуле: ( ) 6 2 5 3 2 1 1 У У У У − + = Для последней точки расчет симметричен. При сглаживании по пяти точкам имеем: ( ) , 5 2 3 4 3 2 1 1 У У У У У − + + = ( ) 10 2 3 4 4 3 2 1 2 У У У У У + + + = Для последних двух точек ряда расчет сглаженных значений полностью симметричен сглаживанию в двух начальных точках. 3. Аналитическое выравнивание. Под этим понимается определение аналитического выражения, формулы f(t) для основной проявляющейся во времени тенденции развития изучаемого явления. Развитие предстает как бы в зависимости только от течения времени t. Отклонения конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняют действием факторов, проявляющихся случайно или циклически. Трендовая модель имеет вид У t = f(t) + t ε , где f(t) – уровень, определяемый тенденцией развития (трендовая составляющая); t ε – случайное и циклическое отклонение от тенденции. В процессе аналитического выравнивания определяется конкретный вид и параметры аналитической зависимости f(t). На практике по имеющемуся временному ряду задают вид и находят параметры функции f(t), а затем анализируют поведение отклонений от тенденции. Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса. Обычно при выравнивании ряда используются следующие зависимости: 1) линейная f(t) = a 0 + a 1 · t; 2) параболическая f(t) = a 0 + a 1 · t + a 2 · t 2 ; 3) экспоненциальные f(t) = exp(a 0 + a 1 · t) или f(t) = ехр(a 0 + a 1 · t + a 2 · t 2 ). Линейная зависимость выбирается в тех случаях, когда в исходном временном ряду наблюдаются более или менее постоянные абсолютные цепные приросты, не проявляющие тенденции ни к увеличению, ни к снижению. Параболическая зависимость используется, если абсолютные цепные приросты сами по себе обнаруживают некоторую тенденцию развития, но абсолютные цепные приросты абсолютных цепных приростов (разности второго порядка) никакой тенденции развития не проявляют. Экспоненциальные зависимости применяются, если в исходном временном ряду наблюдается либо более или менее постоянный относительный рост (устойчивость цепных темпов роста, темпов прироста, коэффициентов роста), либо, при отсутствии такого постоянства, устойчивость в изменении показателей относительного роста (цепных темпов роста цепных же темпов роста, цепных коэффициентов роста цепных же коэффициентов или темпов роста и т.п.). В большинстве случаев для оценки параметров (a 0 , a 1 , a 2 , ...) используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выровненных: ∑ − )) ( Y ( min 2 t t f Для линейной зависимости f(t) = a 0 + a 1 · t параметр a 0 рассматривают как обобщенный начальный уровень ряда; а 1 – параметр, показывающий, насколько изменится результат при изменении времени на единицу. Таким образом, а 1 можно представить как теоретический средний абсолютный прирост. 52 Оценку надежности полученного уравнения выполняют через критерий (F). Определяется фактический уровень (F факт ): ( ) ( ) , 1 σ σ или , σ 1 σ 1 1 2 2 2 2 − − = − − = k k n F k n k F ост факт факт ост факт факт который сравнивается с теоретическим (табличным) значением. Здесь k – число параметров уравнения тенденции; n – число уровней ряда. В расчете участвуют показатели факторной и остаточной дисперсий. Факторная дисперсия 2 σ факт оценивает вариацию теоретических, полученных по уравнению тренда уровней ряда динамики относительно общего среднего значения этого ряда. Остаточная дисперсия 2 σ ост оценивает вариацию теоретических, полученных по уравнению тренда уровней ряда динамики относительно их фактических значений. Общая дисперсия ряда динамики состоит из факторной и остаточной дисперсий. Табличное (теоретическое) значение F-статистики находится при n 1 = (k – 1), n 2 = (n – k) степенях свободы и уровне значимости α (обычно α = 0,05). Если F факт т > F теор , то уравнение тренда признается статистически значимым; построенная модель адекватна фактической временной тенденции. В качестве примера рассмотрим число зарегистрированных браков на 1000 жителей России за период с 1977 по 1990 г. Год Число зарегистрированных браков 00 0 ), (Y 1977 11,2 1978 10,9 1979 10,7 1980 10,6 1981 10,6 1982 10,4 1983 10,4 1984 9,6 1985 9,7 1986 9,8 1987 9,9 1988 9,5 1989 9,4 1990 9,1 Для определения параметров линейной трендовой модели (а 0 и а 1 ) следует решить систему из двух уравнений: ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = + = + · · · ; 2 1 0 1 0 t Y t a t a Y t · a n·a t t В этой системе нумерация уровней может быть принята либо естественной (1977, 1978 и т.д.), что не очень удобно для вычислений, особенно ручных, либо взята условной – от 1 до 14 7 . Решение системы дает параметры: а 0 = 11,22308; а 1 = –0,14593. Таким образом, уравнение линейной тенденции имеет вид: Y t = 11,22308 – 0,14593 · t; где t = 1, 2, …, 14. Параметры полученного уравнения можно интерпретировать следующим образом: а 0 = 11,223 – это исходный уровень брачности по России за период до 1977 г.; а 1 = –0,146 показывает, что в России за период с 1977 по 1990 г. происходило снижение уровня брачности на 0,146% ежегодно. На графике (рис. 8.1) видно, что в 1977–90 гг. отчетливо наблюдалась общая тенденция снижения уровня брачности. Статическая проверка подтверждает значимость линейного тренда: фактическое значение F-статистики равно 137,265. Табличное значение F-статистики F теор = 4,747 при значимости a = 0,05 и степенях свободы n 1 = (k – 1) = 1; n 2 = (n – k) = 12 (F теор = 9,330 при a = 0,01, n 1 = 1, n 2 = 12). Коэффициент линейной корреляции равен 0,95896, что убедительно подтверждает адекватность полученного уравнения линейной тенденции данного ряда динамики. 7 При ручных расчетах обычно уровни нумеруют таким образом, чтобы t Σ = 0. 53 8.5. АНАЛИЗ СЕЗОННЫХ КОЛЕБАНИЙ Если в анализируемой временной последовательности наблюдаются устойчивые система- тические отклонения от тенденции, то можно предположить наличие в этом ряду некоторых (одного или нескольких) колебательных процессов. Это особенно заметно, когда изучаемые явления имеют сезонный характер, – возрастание или убывание уровней повторяется регулярно с интервалом в один год (например, производство молока и мяса по месяцам года, потребление топлива и электроэнергии для бытовых нужд, сезонная продажа товаров и т.д.). Уровень сезонности оценивается с помощью индексов сезонности и гармонического анализа. 9 10 11 12 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 Брачность на 1000 чел . Фактическая Скольз. средняя (3 звена) Линейный (тренд) Рис. 8.1. Графическое представление тенденции уровня брачности Индексы сезонности показывают, во сколько раз фактический уровень ряда в момент или интервал времени t больше среднего уровня либо уровня, вычисляемого по уравнению тенденции f(t). При анализе сезонности уровни временного ряда показывают развитие явления по месяцам (кварталам) одного или нескольких лет. Для каждого месяца (квартала) получают обобщенный индекс сезонности как среднюю арифметическую из одноименных индексов нескольких лет. Индексы сезонности – это, по существу, относительные величины координации, когда за базу сравнения принят либо средний уровень ряда, либо уровень тенденции. Способы определения индексов сезонности зависят от наличия или отсутствия основной тенденции. Если тренда нет, или он незначителен, то для каждого месяца (квартала) У , t сез t У i = , где У t – уровень показателя за месяц (квартал) t; У – общий средний уровень показателя. Для обеспечения устойчивости показателей можно взять больший промежуток времени. В этом случае за Т лет рассчитывают: , либо У , , , T i I У I сез t сез t t сез t ∑ = = где t У – средний уровень показателя по одноименным месяцам за ряд лет.. 54 Пример. Имеются данные об объеме продаж акций на 15 крупнейших биржах России за 1993 г. (млн руб.): Месяц Уровень показателя (Y t ) i t,сез Январь 12,78 0,027 Февраль 122,08 0,254 Март 709,98 1,477 Апрель 1602,61 3,334 Май 651,83 1,356 Июнь 220,80 0,459 Июль 327,68 0,682 Август 277,12 0,576 Сентябрь 418,31 0,870 Октябрь 521,18 1,084 Ноябрь 396,20 0,824 Декабрь 508,34 1,057 месяц в руб млн 7425 , 480 12 91 , 5768 = = У Как видно, в 1993 г. самый значительный пик объема продаж акций был зарегистрирован в марте-апреле-мае. При наличии тренда индекс сезонности определяется на основе методов, исключающих влияние тенденции. Порядок расчета следующий: 1) для каждого уровня определяют выровненные значения по тренду f(t); 2) рассчитывают отношения i t = Y t / f(t); 3) при необходимости находят среднее из этих отношений для одноименных месяцев (кварталов) ( ) лет число T где 2 1 , − + + + = T i i i I T t t t сез t K Другим методом изучения уровня сезонности является гармонический анализ. Его выполняют, представляя временной ряд как сумму гармонических колебательных процессов. Для каждой точки этого ряда справедливо выражение: ∑ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + = 1 2 sin 2 cos ) ( Y n n n t T nt b T nt a t f π π , t = 1, 2,.... Т. Здесь Y t – фактический уровень ряда в момент (интервал) времени t; f(t) – выровненный уровень ряда в тот же момент (интервал) t; a n , b n – параметры колебательного процесса (гармоники) с номе- ром n. Эти параметры в совокупности оценивают размах (амплитуду) отклонений от общей тенденции и сдвиг колебаний относительно начальной точки. Общее число колебательных процессов, которые можно выделить для ряда, состоящего из Т уровней, равно Т/2. Обычно ограничиваются меньшим числом наиболее важных гармоник. Расчеты параметров гармоники достаточно трудоемки и выполняются в настоящее время на компьютерах по известным формулам математического анализа. Аппарат гармонического анализа позволяет оценить роль каждого колебательного процесса в общей вариации уровней временного ряда. Удельный вес гармоники с номером n определяется как d n = Д n / Д, где Д – дисперсия ряда, рассчитанная обычным способом; Д n – дисперсия, вносимая колебательным процессом (гармоникой) с номером n: ( ) ( ) Y ; ; 2 / 2 2 2 / 2 / 2 2 T Y Д a Д b a Д t T T n n n ∑ − = = + = Для примера продаж акций обнаруживаем, что важнейшими колебательными процессами, проявившимися в данном временном ряду и объяснившими дисперсию ряда более чем на 70%, были гармоника с номером 2 (два полных цикла на протяжении года) и гармоника с номером 3 (3 полных цикла в течение года). Уравнение, описывающее поведение ряда будет: Y t = 480,74250 – 161,067 · cos(2 · t · π 2 /12) – 351,052 · sin(2 · t · 2 π /12) + + 254,002 · cos(3 · t · 2 π /12) – 58.490 · sin(3 · t · 2 π /12). Контрольные вопросы 1. Понятие ряда динамики, основные элементы, классификация. 2. Правила построения рядов динамики. 3. Основные показатели анализа рядов динамики. |