Методы математической обработки данных педагогического исследования. мат пдф (1). Монография Чебоксары 2019 удк 796799 ббк 75. 1 К72 Рецензенты др экон наук, профессор

• Название: Монография Чебоксары 2019 удк 796799 ббк 75. 1 К72 Рецензенты др экон наук, профессор
• Анкор: Методы математической обработки данных педагогического исследования
• Дата: 23.06.2022
• Размер: 0.59 Mb.
• Имя файла: мат пдф (1).docx
• Тип: Монография; #612510
• страница: 22 из 37

Пример 2.3.8. При равновеликих выборках (n = 50) получены коэффициенты корреляции между данными пульса покоя и восстановления после выполнения ^{пробы Руфье: r}1^{= 0,44 и r}2^{= 0,57. Разница составляет: r}2 ^{– r}1^{= 0,13. Проверим} достоверность этой разницы. Переводим коэффициенты корреляции в значения z:^z1^{= 0,472 и z}2^{= 0,648. Отсюда критерий достоверности}

_{t =} 0,648 — 0,472 _≈ 0,176


≈ ^0,176 ≈ 0,85.

dz _{1 1}

√^0,043

0,206

^√47 ⁺ 47

^{Вывод: т.к. t}dz ^{= 0,85 < t}st ^{= 1,98 для  = 5% и k = 100 – 4 = 96 (прилож. 1), то} нулевая гипотеза о том, что разности между эмпирическими коэффициентами ^{корреляции r}1^{и r}2 ^{равна нулю, остается в силе.}
Вычислениечастногоимножественногокоэффициентовкорреляции.На взаимосвязь двух показателей влияют различные факторы. На прак- тике часто возникает необходимость оценить взаимосвязь Xи Yпри неиз- менности всех остальных показателей (Z, Q. и т. д.). В таких случаях вы- числяют частные (парциальные) коэффициенты корреляции: r_xr._z , r_XYZQи т. д. Коэффициент r_xr._zпозволяет оценить взаимосвязь Xи Yпри исключе- нии (элиминировании) влияния на нее показателя Z. Вычисление произ- водят по формуле:

^rxy⋅z

=^{rxy–rxy⋅ryz} , (2.3.7)

√(1–r² )⋅(1–r² )

xz yz

где r_xy,r_xz,r_yz–парные линейные коэффициенты корреляции.

Пример 2.3.9. В одном из экспериментов (В.М. Зациорский, Ю.М. Арестов, 1964) у 190 мальчиков 11-14 лет измерили помимо прочего результаты в прыжках в высоту (x), вес тела (y) и длину тела (z). Коэффициенты корреляции оказались ^{равны: прыжки в высоту – длина тела – r}xz ^{= 0,832; прыжки в высоту – вес тела – r}xy^{= 0,723; вес тела – длина тела – r}yz^{= 0,913. Таким образом, дети большого роста} и веса в среднем прыгали выше. Однако очевидно, что многие из них имели боль- ший вес потому, что они были выше. Какой была бы зависимость между весом тела и результатами в прыжках в высоту, если бы длина тела всех мальчиков была одинаковой? Расчеты показывают:

_{r =}r_xy—r_xz⋅r_yz= 0,723 — 0,832 ⋅ 0,913

≈ —0,161.

xy⋅z

2 2 ^{√(1 — 0,8322) ⋅ (1— 0,9132)}

√(1— r_xz)⋅ (1 — r_yz)

Следовательно, при исключении влияния длины тела корреляция становится отрицательной: при прочих равных условиях дети с большим весом тела пры- гали бы несколько ниже. Если же исключить влияние веса, то частный коэффи- циент корреляции между длиной тела и результатами в прыжках в высоту будет равен:

_{r =}r_xz—r_xy⋅r_yz= 0,832 — 0,723 ⋅ 0,913

≈ 0,610.

xz⋅y

2 2 ^{√(1 — 0,7232) ⋅ (1 — 0,9132)}

√(1 — r_xy)⋅ (1 — r_yz)

Как видно, значение частного коэффициента корреляции остается достаточно высоким. Иначе говоря, при прочих равных условиях более высокие дети будут иметь преимущество в этом упражнении.

Для исследования тесноты взаимосвязи между показателем X и неко- торым набором других показателей используется множественный коэф-фициенткорреляции,который обозначается как R_XYZ.При оценке взаимо- влияния показателей Y и Z на показатель X значение множественного ко- эффициента корреляции вычисляют по формуле:




r ² +r² –2⋅r_xy⋅r_xz⋅r_yz


1–r²

_{R =} xy xz _.
XYZ √ (2.3.8)

yz
Для приведенного примера 2.3.9 совместное влияние веса тела и длины тела на результаты в прыжках в высоту будет равно:

^RXYZ

_{= √}0,832² + 0,723² — 2 ⋅ 0,832 ⋅ 0,723 ⋅ 0,913 _{≈ 0,837.}

1 — 0,913²

Поскольку длина тела влияет на достижения в прыжках в высоту по- ложительно (сильно), а вес тела отрицательно (слабо), совокупное влия- ние этих показателей оказывается положительным, но не столь высоким, как влияние одной лишь длины тела.

Отметим, что частные коэффициенты корреляции изменяются в пре- делах от –1 до +1 (так же, как и обычный парный линейный коэффициент корреляции), а множественный коэффициент корреляции – от 0 до +1 (от- рицательных значений нет).

Эти коэффициенты корреляции широко используются в теории тестов в метрологии для оценки информативности. При большом числе показа- телей (тестов) вычисление коэффициентов усложняется и требует приме- нения ЭВМ.

КоэффициентранговойкорреляцииСпирмэна.


xy
Если потребуется установить связь между двумя признаками, значе- ния которых в генеральной совокупности распределены не по нормаль- ному закону, т. е. предположение о том, что двумерная выборка (x_iи y_i) получена из двумерной нормальной генеральной совокупности, не прини- мается, то можно воспользоваться коэффициентом ранговой корреляции Спирмэна (r^s ):

r^S = 1 — ^{6 ∑(dx–dy)}2, (2.3.9)

^xy n⋅(n²–1)

где d_xи d_y– ранги показателей x_iи y_i;n– число коррелируемых пар.

Коэффициент ранговой корреляции также имеет пределы +1 и –1. Если ранги одинаковы для всех значений x_iи y_i, то все разности рангов (d_x–d_y) = 0

и r^s = 1. Если ранги x_iи y_iрасположены в обратном порядке, то r^s = –1.

xy xy

Таким образом, коэффициент ранговой корреляции является мерой сов- падения рангов значений x_iи y_i.


xy

xy
Когда ранги всех значений x_iи y_iстрого совпадают или расположены в обратном порядке, между случайными величинами Х и Y существует функциональная зависимость, причем эта зависимость не обязательно ли- нейная, как в случае с коэффициентом линейной корреляции Бравэ-Пир- сона, а может быть любой монотонной зависимостью (т. е. постоянно воз- растающей или постоянно убывающей зависимостью). Если зависимость монотонно возрастающая, то ранги значений x_iи y_iсовпадают и r^s = 1; если зависимость монотонно убывающая, то ранги обратны и r^s = –1. Следовательно, коэффициент ранговой корреляции является мерой лю- бой монотонной зависимости между случайными величинами Х и Y.


xy
Из формулы (2.3.3) видно, что для вычисления r^s необходимо сначала проставить ранги (d_x–d_y) показателей x_iи y_i, найти разности рангов (d_x–d_y) для каждой пары показателей и квадраты этих разностей (d_x – d_y)². Зная эти значения, находятся суммы ^∑(d_x — d_y), ^∑(d_x — d_y)², учитывая, что


xy
^∑(d_x — d_y) всегда равна нулю. Затем, вычислив значение r^s , необходимо определить достоверность найденного коэффициента корреляции, срав- нив его фактическое значение с табличным (прилож. 9). Если r_ф ≥ r_st, то можно говорить о том, что между признаками наблюдается достоверная взаимосвязь. Если r_ф < r_st, то между признаками наблюдается недосто- верная корреляционная взаимосвязь.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмэна вычисляется значи- тельно проще, чем коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона при одних и тех же исходных данных, поскольку при вычислении используются ранги, представляющие собой обычно целые числа.

Коэффициент ранговой корреляции целесообразно использовать в следующих случаях:

1. 
   
   xy
   Если экспериментальные данные представляют собой точно изме- ренные значения признаков Х и Y и требуется быстро найти приближен- ную оценку коэффициента корреляции. Тогда даже в случае двумерного нормального распределения генеральной совокупности можно воспользо- ваться коэффициентом ранговой корреляции вместо точного коэффици- ента корреляции Бравэ-Пирсона. Вычисления будут существенно проще, а точность оценки генерального параметра  с помощью коэффициента r^s при больших объемах выборки составляет 91,2% по отношению к точ- ности оценки по коэффициенту корреляций.
   
2. 
   Когда значения x_iи (или) y_iзаданы в порядковой шкале (например, оценки судей в баллах, места на соревнованиях, количественные градации качественных признаков), т. е. когда признаки не могут быть точно изме- рены, но их наблюдаемые значения могут быть расставлены в определен- ном порядке.
   

Пример 2.3.10. Определить достоверность взаимосвязи между показателями ЖЕЛ и окружности грудной клетки у 11 исследуемых с помощью расчета ранго- вого коэффициента корреляции, если данные выборок таковы:

^xi^{, мл 3700;3800; 3700; 3400; 2200; 2000; 2000; 3300; 3200; 3000; 2900; 3800;}

3600;

^yi^{,см 84; 88; 86; 79; 72; 70; 63; 87; 75; 81; 68; 90; 87.}

Решение.

1. 
   Данные тестирования заносим в рабочую таблицу, проставляем ранги пока- зателей и делаем необходимые расчеты.
   

xi	dx	yi	dy	(dx–dy)	(dx–dy)2
3700	10,5	84	8	2,5	6,25
3800	12,5	88	12	0,5	0,25
3700	10,5	86	9	1,5	2,25
3400	8	79	6	2	4
2200	3	72	4	-1	1
2000	1,5	70	3	-1,5	2,25
2000	1,5	63	1	0,5	0,25
3300	7	87	10,5	-3,5	12,25
3200	6	75	5	1	1
3000	5	81	7	-2	4
2900	4	68	2	2	4
3800	12,5	90	13	-0,5	0,25
3600	9	87	10,5	-1,5	2,25
				∑(dx — dy)= 0	∑(dx — dy)2= 40

2. 
   Рассчитаем значение рангового коэффициента корреляции Спирмэна, ис- пользуя формулу (2.3.9):
   

_S 6 ^∑(d_x — d_y)²

6 ⋅ 40

240

r_xy = 1 —

_{n ⋅ (n2 — 1)} = 1 — _{13 ⋅ 168} = 1 — ₂₁₈₄ ≈ 1 — 0,11 ≈ 0,89.

3. Произведем сравнение расчетного значения рангового коэффициента кор- ^{реляции (r}ф ^{= 0,89) с табличным значением для n = 13 при}  ^{= 1% (прилож. 9) и} сделаем вывод.

^{Вывод: 1) т.к. r}ф ^{= 0,89 > 0, то между данными выборок наблюдается прямая} положительная взаимосвязь, т.е. с увеличением показателей окружности грудной клетки возрастают и значения показателей ЖЕЛ;

^{2) т.к. r}ф^{= 0,89  r}st^{= 0,70 для n= 13 при  = 1%, то с уверенностью  = 99%}

можно говорить о том, что выявленная зависимость достоверна.

Пример 2.3.11. Определить достоверность взаимосвязи между показателями веса и максимального количества сгибания и разгибания рук в упоре лежа у 10 исследуемых с помощью расчета рангового коэффициента корреляции, если дан- ные выборок таковы:

^xi<sup>, кг 55; 45; 43; 47; 47; 51; 48; 60; 53; 50;

y</sup>i^{, кол-во раз 26; 20; 25; 22; 27; 28; 16; 15; 18; 24.}

Решение.

1. 
   Данные тестирования заносим в рабочую таблицу, проставляем ранги пока- зателей и делаем необходимые расчеты.
   

xi	dx	yi	dy	(dx–dy)	(dx–dy)2
55	9	26	9	0	0
45	2	20	4	-2	4
43	1	25	7	-6	36
47	3,5	22	5	-1,5	2,25
47	3,5	27	8	-4,5	20,25
51	7	28	10	-3	9
48	5	16	2	3	9
60	10	15	1	9	81
53	8	18	3	5	25
50	6	24	6	0	0
				∑(dx — dy)= 0	∑(dx — dy)2= 186,5

2. 
   Рассчитаем значение рангового коэффициента корреляции, используя фор- мулу (2.3.9):
   

_S 6 ^∑(d_x — d_y)²

6 ⋅ 186,5


1119

r_xy = 1 —

n ⋅ (n² — 1) ^{= 1 —}

_{10 ⋅ 99} = 1 — ₉₉₀ ≈ 1 — 1,13 ≈ —0,13.

3. 
   Произведем сравнение расчетного значения рангового коэффициента кор-
   

^{реляции Спирмэна (r}ф^{= -0,13) с табличным значением для n= 10 при}  ^{= 5% (при-}

лож.9) и сделаем вывод.

^{Вывод: 1) т.к. r}ф ^{= -0,13  0, то между данными выборок наблюдается прямая} отрицательная взаимосвязь, т.е. увеличением показателей веса вызывает сниже- ние максимального количество сгибаний и разгибаний рук в упоре лежа в группе исследуемых;

^{2) т.к. r}ф^{= -0,13  r}st^{= 0,64 для n = 10 при  = 5%, то с уверенностью  = 95%}

можно говорить о том, что выявленная зависимость недостоверна.

Вычислениететрахорическогокоэффициентасопряженности.

Если требуется выявить связь (сопряженность) между качественными признаками, которые не поддаются непосредственному измерению, для этого используются коэффициенты сопряженности.

Здесь рассматривается только альтернативными признаками. Мерой альтернативных признаков является наличие или отсутствие их у объек- тов исследования. Например, человек может заниматься или не зани-

маться физической культурой, заболеть или не заболеть простудным за- болеванием, сдать или не сдать зачет по математической статистике, уста- новить или не установить мировой рекорд простейший случай: связь между двумя в легкой атлетике, плавании и т. д.

При исследовании сопряженности двух альтернативных признаков ис- ходные экспериментальные данные представляют в виде четырехклеточ- ной таблицы сопряженности признаков (табл. 2.3.1). В этой таблице со- держатся частоты а, b, с и d, соответствующие для выборки объема пналичию (+) или отсутствию (–) каждого из признаков “1” или “2” у ис- пытуемых.

Таблица сопряженности признаков

Таблица 2.3.1

Признак 1 Признак 2	Наличие (+)	Отсутствие (–)
Наличие (+) Отсутствие (–)	ac	bd

Взаимосвязь между двумя альтернативными признаками устанавлива- ется с помощью тетрахорического коэффициента сопряженности (иликоэффициентаассоциации), предложенного К. Пирсоном в 1901 г.

Æ
_{r =} ad–bc

√^[(a+b)⋅(c+d)⋅(a+c)⋅(b+d)^]

, (2.3.10)

где а,b,си d–численности групп, или частоты вариант, распределенные по клеткам четырехпольной корреляционной таблицы.
Коэффициент ассоциации, являясь одной из модификаций пирсонов- ского критерия хи-квадрат, изменяется, как и коэффициент корреляции, от –1 до +1; при ad>bcон имеет положительный, а при ad<bc– отрица- тельный знак. Если же ad=bc,то r_A=0.

Чтобы получить более точную оценку генерального параметра (_A), в формулу (2.3.10) вносится поправка Йейтса на непрерывность, равная по- ловине объема выборки, которая вычисляется из числителя, т. е.

Æ
_{r =} |ad–bc|–0,5n

√^[(a+b)⋅(c+d)⋅(a+c)⋅(b+d)^]

. (2.3.11)

Для проверки нулевой гипотезы о том, что в генеральной совокупности коэффициент сопряженности _A= 0, значимость r_Аопределяется с помо- щью ²-критерия Пирсона, значение которого вычисляется по формуле:


Æ
3² = n ⋅ r². (2.3.12)
Нулевая гипотеза, или предположение о том, что в генеральной совокуп- ности этот показатель (_A) равен нулю, опровергается, если 3² ≥ 3² для при-

ф ^st

нятого уровня значимости () и числа степеней свободы  =(2 – 1)(2 – 1)=1.

Если 3² < 3² , то нулевая гипотеза принимается, и между признаками

ф ^st

наблюдается отсутствие сопряженности. При этом, как правило, исполь- зуется двусторонний критерий, т.е. знак предполагаемой сопряженности заранее не устанавливается.

Пример 2.3.12. Группа испытуемых (18 человек) выполняла два разных по трудности двигательных задания. Выполнение фиксировалось как “+”, невыпол- нение – как “–”. Определим степень взаимосвязь двух заданий. Для этого необхо- димо рассчитать тетрахорический коэффициент сопряженности. Данные пред- ставлены в таблице 2.3.2.

Таблица 2.3.2

Исходные данные для расчета тетрахорического коэффициента сопряженности

№ п/п

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

1 8

Задание 1

+

+

–

+

+

+

–

–

+

–

+

+

–

+

–

+

+

+

Задание 2

–

+

+

–

–

+

–

+

+

–

–

+

+

+

+

–

+

+

Решение.

1. 
   ^{Чтобы вычислить коэффициент r}A^{,заполним клетки таблицы 2.3.3. Для} этого подсчитаем число совпадений соответственно для a,b,cи dклеток.
   

Таблица 2.3.3

Расчет тетрахорического коэффициента сопряженности

Задание 1 Задание 2	(+)	(-)	Сумма
(+) (-)	a = 7 c = 5	b = 4 d = 2	a + b= 11 c+d= 7
Сумма	a+ c= 12	b + d= 6	n = 18

2. 
   ^{По данным таблицы 2.3.3 вычислим значение r}A^{, используя формулу}
   

(2.3.12):

_{r =} ^|ad — bc^| — 0,5n

^Æ √^[(a + b) ⋅ (c + d)⋅ (a + c) ⋅ (b + d)^]

₌ ^|7 ⋅ 2 — 5 ⋅ 4^| — 0,5 ⋅ 18 _{≈ —0,040.}

√^{11 ⋅7 ⋅ 12 ⋅ 6}

3. 
   ^{Так как значение r}A ^{= –0,040, т.е. между двумя двигательными заданиями} наблюдается несущественная отрицательная взаимосвязь, а, следовательно, можно выдвинуть нулевую гипотезу о независимости (об отсутствии сопряжен- ^{ности) между признаками (}А^{= 0).}
   
4. 
   Для проверки нулевой гипотезы о том, что в генеральной совокупности по- ^{казатель }А^{= 0, произведем расчет 2-критерия Пирсона по формуле (2.3.11):}
   

Æ
3² = n ⋅ r² = 18 ⋅ (—0,040)² = 0,0288 ≈ 0,03.

5. 
   
   ф
   Произведем сравнение расчетного значения хи-квадрата (3² = 0,03) с таб- ^{личным значением для k= 1 при}  ^{= 5% (прилож.10) и сделаем вывод.}
   

Вывод: т.к. 3² = 0,03 < 3² = 3,84 для k = 1 при  = 0,05, то гипотеза об от-

ф ^st

сутствии сопряженности между двумя двигательными задания принимается, т.е. ^{в генеральной совокупности }А^{= 0.}

Из формул (2.3.11) и (2.3.12) следует, что между коэффициентом ассо- циации и пирсоновским критерием хи-квадрат имеет место определенная связь


Æ

2
r² = ³ .

n

Отсюда формула, позволяющая находить значение r_Aпо величине кри- терия хи-квадрат,




r = ^√32.


Æ
n