02. Методика викладання математики у вищій школі. Особливості викладу навчального матеріалу у дистанційному курсі вища математика для інженерів і економістів

• Название: Особливості викладу навчального матеріалу у дистанційному курсі вища математика для інженерів і економістів
• Дата: 24.11.2022
• Размер: 5.21 Mb.
• Имя файла: 02. Методика викладання математики у вищій школі.pdf
• Тип: Лекція; #810938
• страница: 1 из 17

ІІ
МЕТОДИКА ВИКЛАДАННЯ
МАТЕМАТИКИ
У ВИЩІЙ ШКОЛІ

ОСОБЛИВОСТІ ВИКЛАДУ НАВЧАЛЬНОГО МАТЕРІАЛУ
У ДИСТАНЦІЙНОМУ КУРСІ «ВИЩА МАТЕМАТИКА
ДЛЯ ІНЖЕНЕРІВ І ЕКОНОМІСТІВ»
І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей,
О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова
НТУУ «Київський політехнічний інститут», Київ, Україна
[e-mail]
Уже більше як 5 років авторський колектив працює над створенням ком- плекту дистанційних курсів «Вища математика» як для інженерних спеціально- стей НТУУ «КПІ», так і для освітньої ініціативи доступної освіти UUOOI під егідою ЮНЕСКО (
http://www.uuooi.org/english/portal.php
) [1].
Відсутність безпосереднього контакту викладач-студент зумовлює поєд- нання у навчальних матеріалах класичного викладення матеріалу (розраховано- го на «ідеального» студента, який знає і добре пам’ятає увесь попередній мате- ріал) і елементи тьюторства (яке передбачає корекцію помилок уже під час навчання).
Продемонструємо це на прикладі фрагменту лекції «Безпосереднє інтегру- вання» дистанційного курсу «Математика для інженерів і менеджерів, ІІІ».
********************************************************************
Лекція 2. Безпосереднє інтегрування
На відміну від диференціального числення, де, користуючись правилами і таблицею похідних, можна знайти похідну або диференціал будь-якої заданої функції, в інтегральному численні немає загальних прийомів знаходження не- визначених інтегралів, а є лише окремі методи, що дозволяють зводити заданий
інтеграл до табличного.
Метод безпосереднього інтегрування
полягає у використанні таблиці інтегра- лів, властивостей лінійності та інваріантності невизначеного інтеграла.
Використання таблиці інтегралів
Деякі табличні інтеграли залежать від параметрів. А саме:
— інтеграл від степеневої функції
1 1
u
u du
C




 

(
1);
  
— інтеграл від показникової функції ln
u
u
a
a du
C
a



(
0,
1);
a
a


— чотири інтеграли від зовні «схожих» функцій
2 2
1
ln
(
0);
2
du
u
a
C a
a
u
a
u
a







208

2 2
1
arctg
du
u
C
a
a
u
a




(
0);
a 
2 2
2 2
ln
du
u
u
a
C
u
a






(
);
u
a

2 2
arcsin
du
u
C
a
a
u




(
).
u
a

Інтеграл від степеневої функції. Інтеграл від степеневої функції залежить від параметра  — показника степеня:
1 1
u
u du
C




 

(
1).
  
Приміром, для того щоб знайти
3
,
x dx

підставмо у загальну формулу
3
 
:
3 4
3 1
3 1
4
x
x
x dx
C
C







Правильність інтегрування можна перевірити диференціюванням:
( ( )
)
( ).
F x
C
f x



Отже,
4 3
3 1
4 4
4
x
C
x
x















Зауважимо, що для знаходження інтеграла від степеневої функції стануть у пригоді формули:
1
;
q
p q
p
x
x
x
x




Приміром,
1 2 1 2 1
1
x
x
x



Отже, у формулі
1 1
1 2 1 2 1 2 1
2 1
2 2
1 1 2 1
dx
x
dx
u
x
u du
C
x
x
C
C
x
C





  





 











Зауважимо, що інтеграл від функції
1 1
x
x


знаходять за окремою фор- мулою
209

ln
du
u
C
u



Інтеграл від показникової функції. Інтеграл від показникової функції зале- жить від параметра
a
— основи: ln
u
u
a
a du
C
a



(
0,
1).
a
a


Приміром, знайдімо
3
x
dx

: підставляємо у формулу ln ln
3 3
3 3
x
x
u
u
a
dx
C
a
a du
C
a








Щоб знайти інтеграли
2 3
x
x
dx


та
3 2
x
x
dx

використаємо властивості показникової функції:
(
) ,
x
x
x
x
x
x
a
a
a
b
a b
b
b
 
 



  
 
 
,
Отже,
2 3
(2 3)
;
ln
6 6
6 6
x
x
x
x
x
dx
dx
dx
a
C











 
3 2 3
2 3 2 3
ln
2
x
x
x
x
dx
dx
C
 
 



 
 
 


Чотири схожих інтеграли. Розглянемо детальніше чотири інтеграли, які мають власні назви за виглядом первісної:
— «високий логарифм»
2 2
1
ln
(
0);
2
du
u
a
C a
a
u
a
u
a







— «арктангенс»
2 2
1
arctg
du
u
C
a
a
u
a




(
0);
a 
— «довгий логарифм»
2 2
2 2
ln
du
u
u
a
C
u
a






(
);
u
a

— «арксинус»
2 2
arcsin
du
u
C
a
a
u




(
).
u
a

210

Зауважимо, що у першій, другій і четвертій формулах ліва частина містить параметр
2 0,
a 
а права частина — параметр
,
a
який теж зазвичай вибирають додатним (хоча можна було б брати і від’ємним).
Приміром, порівнюючи інтеграл
2 5
dx
x 

з табличним
2 2
,
du
u
a


бачи- мо, що
2 5,
a 
звідки випливає, що
5
a 
і підставляємо у формулу
2 2
2 1
arctg
1
arctg
5 5
5 5
a
dx
x
C
du
u
C
x
a
a
u
a










Знаходження інтеграла
2 5
dx
x 

потребує вже іншого табличного інтег- рала
2 2
du
u
a


: підставляємо у формулу
2 2
2 5
1
ln
1
ln
5 2
2 5
5 5
a
dx
x
C
du
u
a
C
x
x
a
u
a
u
a














Причому, зазвичай розв’язуючи рівняння
2 5,
a 
беруть лише додатний корінь
5.
a 
Так само: підставляємо у формул у
2 2
2 2
9 9
3 3
3
arcsin arcsin
dx
a
a
x
a
x
C
du
u
C
a
a
u















Але підставляємо у формулу
2 2
2 2
2 2
2
ln
9
ln
9 9
a
dx
du
u
u
a
C
x
u
a
x
x
C















********************************************************************
Студенти часто плутають «чотири схожих інтегралів», оскільки мають не- глибокі знання про функції; а також, інколи намагаються зводити «арксинус» до «довгого логарифма» (виносячи мінус з під квадратного кореня!)
Не розвинута здатність до абстрагування, за спостереженнями над студен- тами протягом останніх 10–15 років, спричиняє ледь не «містичний жах» сту-
211

дентів перед параметром у формулі чи умові задачі, навіть, коли це задача не на дослідження.
Висновки. Ефективне дистанційне навчання вищої математики вимагає:
1) виклад навчального матеріалу в електронному ресурсі для дистанційно- го навчання (особливо, яке не передбачає тьюторінгу), має бути детальнішим, ніж у літературі для очної освіти;
2) пояснення абстрактного (хоча б «зашифрованого» лише наявністю па- раметра) матеріалу на конкретних прикладах;
3) передбачення і попередження можливих студентських помилок під час вивчення певної теми;
4) структурування і програмування навчального тексту.
Список літератури
1. Алєксєєва І. В., Гайдей В. О., Диховичний О. О., Коновалова Н. Р., Федорова Л. Б., Дудко
А. Ф. Про дистанційний курс з вищой математики для Хадонзького глобального універсіте- ту. — Матеріали 14-ої Міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука, Київ, 19–21 квітня 2012 р. — Т. 4. — С. 13.
2. Алєксєєва І. В., Гайдей В. О., Диховичний О. О., Федорова Л. Б. Диференціальне та інтег- ральне числення функцій однієї змінної. Практикум. — К.: НТУУ «КПІ», 2012. — 176 с.
212

ЕЛЕКТИВНІ КУРСИ В КЛАСАХ З ПОГЛИБЛЕНИМ ВИВЧЕННЯМ
МАТЕМАТИКИ ЯК ЗАСІБ ПІДГОТОВКИ УЧНІВ ДО НАВЧАННЯ
У ПЕДАГОГІЧНИХ ВИШАХ
В. В. Ачкан, К. І. Семенова
Бердянський державний педагогічний університет, Бердянськ, Україна
[e-mail], [e-mail]
Сучасний етап розвитку суспільства зумовлює необхідність переходу вищої освіти до нової освітньої парадигми, де на перший план виходять
інтереси студентів, розвиток їх здібностей і потенціалу, задоволення
індивідуальних запитів і освітніх потреб. Сьогоднішня реформа вищої школи викликана інформатизацією суспільства, спрямована на гуманізацію освіти, ставить перед ВНЗ основне завдання – підготувати студента до повсякденного життя в сучасному інформаційному суспільстві.
Одним з важливих завдань математичної освіти у педагогічному виші є адаптація студентів першокурсників до нових, незвичних для них умов. Адже навчання на фізико-математичних факультетах у сучасному виші починається з вивчення значної кількості математичних дисциплін. Методиці викладання математичних дисциплін у вищій школі присвячені роботи К. Власенко,
Н. Лосєвої,
В. Клочка,
О. Крилової,
М. Працьовитого,
О. Скафи,
О. Співаковського, В. Шавальової та ін.
Важливо складовою підготовки майбутніх студентів до навчання у виші є реалізація принципу наступності між старшою і вищою школою. Більш широкі можливості для цього з’явились у зв’язку з профілізацією старшої школи.
Профільне навчання покликане забезпечити поглиблену підготовку старшокласників з обраних дисциплін, сприяти соціалізації випускників, дотримуючись принципу індивідуалізації, тобто розширити можливості учня з метою максимальної професійної реалізації його у майбутньому.
Спеціалізовану та ґрунтовну підготовку старшокласників забезпечують класи з поглибленим вивченням математики. Проблемами методики вивчення поглибленого курсу математики займалися М. Бурда, В. Полонський, Є. Нелін,
О. Шаран, В. Швець.
Важливим елементом профільного навчання стають елективні курси, які порівняно з профільними предметами мають більшу варіативність змісту, посилюють практичну і дослідницьку складову профільного навчання [1].
Методика організації елективних занять з математики висвітлювалась у роботах
З. Слєпкань,
Н. Віленкіна,
Г. Дорофеєва,
А. Мордковича,
З. Скопеця,
Н. Тарасенкової, О. Чашечнікової та ін. Так, елективні заняття в теоретичному плані стали об’єктом дослідження багатьох учених, але змістове наповнення елективних занять у старшій школі в класах з поглибленим вивченням математики залишається недосконалим і невпорядкованим.
Елективні курси – обов’язкові для відвідування заняття на вибір учнів, що входять до складу профілю навчання на старшому щаблі школи. Відвідування
213

елективних курсів сприяє самовизначенню школярем сфери своїх наукових, технічних, професійних інтересів. Реалізація компетентнісного підходу відбувається за рахунок надання кожному учневі, що визначився у виборі елективного курсу, права працювати на заняттях курсу в рамках модулів, що його цікавлять.
Елективні курси реалізуються за рахунок шкільного компонента навчального плану й виконують три функції. По-перше, «підтримують» вивчення основних профільних курсів на заданому профільним стандартом рівні. По-друге, слугують для внутрішньо профільної спеціалізації навчання й для побудови індивідуальних освітніх траєкторій. По-третє, сприяють підготовці майбутніх студентів до навчання у ВНЗ. За обсягом елективні курси короткотермінові (від 9 до 17 годин).
Метою вивчення елективних курсів є орієнтація учнів на індивідуалізацію навчання і соціалізацію; на підготовку до усвідомленого і відповідального вибору сфери майбутньої професійної діяльності. Основними завданнями елективних курсів є:
 сприяння у самовизначенні учнів у виборі подальшої професійної діяльності;
 створення позитивної мотивації навчання на обраному профілі;
 ознайомлення учнів з основними видами діяльності обраного профілю;
 активізація пізнавальної діяльності школярів;
 формування інформаційної та комунікативної компетентності учнів [2].
Теми елективних курсів переважно відповідають навчальній програмі, проте, у деяких випадках значно виходять за її межі.
Наша увага спрямована на розроблення елективних курсів “Основи математичної логіки” й “Елементи теорії рядів”. Нами розробляється змістове наповнення вище наведених елективних курсів, до яких входять завдання для аудиторної роботи, контролю та перевірки знань, самостійного опрацювання, додаткові завдання підвищеної складності.
Метою вивчення елективного курсу “Основи математичної логіки” є формування уміння виконувати логічні операції й розвиток математичної культури за допомогою оволодіння відповідною математичною символікою, вдосконалення здібностей узагальнювати і конкретизувати, розвиток логічного мислення учнів. Елективний курс “Основи математичної логіки” розрахований на 16 годин для 10-х класів з поглибленим вивченням математики. До нього доцільно включити такі теми: формули алгебри висловлень, таблиці істинності формул, булеві функції, тавтології, рівносильність формул алгебри висловлень.
Вивчення цих тем сприяє адаптації та підготовці учнів до вивчення у педагогічному виші алгебри та теорії чисел, лінійної алгебри, дискретної математики, математичної логіки.
214

Після вивчення елективного курсу “Основи математичної логіки” учні повинні знати:
 поняття математичної логіки;
 поняття висловлень;
 поняття булевої функції;
 поняття тавтології;
 поняття логічного слідування; вміти:
 будувати таблиці істинності;
 здійснювати логічний аналіз міркувань;
 здійснювати формалізацію математичних тверджень;
 доводити рівносильність формул алгебри висловлень.
Метою вивчення елективного курсу “Елементи теорії рядів” є ознайомлення учнів з основними положеннями теорії рядів, розвиток вміння описувати способи задавання рядів та виділяти їх основні класи, формування вмінь застосовування основних теорем до розв’язання практичних завдань та формування стійкого інтересу до математики. Елективний курс “Елементи теорія рядів” розрахований на 16 годин для 11-го класу з поглибленим вивченням математики. До нього доцільно включити такі теми: числові ряди, збіжність та сума ряду, основні властивості збіжних рядів, знакододатні ряди, знакозмінні ряди, функціональні ряди.
Вивчення цих тем сприяє адаптації та підготовці учнів до вивчення у педагогічному виші математичного аналізу, комплексного аналізу, диференціальних рівнянь.
Після вивчення елективного курсу “Елементи теорії рядів” учні повинні: знати:
 поняття числового ряду;
 поняття знакододатнього ряду;
 поняття знакозмінного ряду;
 поняття функціонального ряду; вміти:
 знаходити суму ряду;
 досліджувати ряд на збіжність;
 застосовувати властивості рядів для розв’язування практичних завдань.
Як можна бачити, теми елективних курсів, які ми розробляємо є основою математичної підготовки майбутніх студентів математичних факультетів ВНЗ.
Першу годину з кожної теми ми пропонуємо провести у формі лекції.
Метою такого заняття є ознайомлення учнів з темою. Необхідно дати учням основні поняття з теми, формули, правила та інше. Доцільним буде занотувати
їх у зошити. Другу годину (та третю, якщо вона передбачена плануванням) необхідно виділити для розв’язування практичних завдань, роботи в групах або
215

в парах, самостійної роботи, роботи біля дошки тощо. Також на цих заняттях потрібно відповісти на питання, які будуть виникати в учнів в ході розв’язання завдань. На таких заняттях учні більш детально познайомляться з темою та навчаться застосовувати теоретичні знання на практиці. Години систематизації та узагальнення пропонуємо присвятити контролю знань у формі написання письмових контрольних робіт та проведення роботи над помилками.
Для організації елективних занять доцільно використовувати методи проблемного навчання: проблемний виклад, евристичні бесіди. При цьому кількість, обсяг та складність завдань для самостійного опрацювання повинна поступово збільшуватись впродовж вивчення елективних курсів. Система оцінювання знань учнів має бути достатньо гнучкою. Потрібно заохочувати учнів, використовувати оцінювання з метою мотивації до вивчення математики
[3].
Загалом, елективні курси з математики відіграють важливу роль у системі профільної підготовки майбутніх абітурієнтів до вступу та навчання у педагогічному виші.
Саме вони і є важливим засобом реалізації компетентнісного підходу до навчання, тому що найбільш пов’язані з вибором кожним учнем змісту освіти залежно від його інтересів, здібностей, подальших життєвих планів. Запропоновані елективні курси “Основи математичної логіки” та “Елементи теорії рядів” є основою для вивчення багатьох математичних дисциплін на перших курсах ВНЗ, ознайомлюють учнів з важливими для їх подальшої освіти та професійного самовизначення розділами математики, розширюють їхній математичних кругозір, сприяють формуванню стійкого
інтересу до математики.