02. Методика викладання математики у вищій школі. Особливості викладу навчального матеріалу у дистанційному курсі вища математика для інженерів і економістів

• Название: Особливості викладу навчального матеріалу у дистанційному курсі вища математика для інженерів і економістів
• Дата: 24.11.2022
• Размер: 5.21 Mb.
• Имя файла: 02. Методика викладання математики у вищій школі.pdf
• Тип: Лекція; #810938
• страница: 6 из 17

відкрить нових важливих проблем» [1].
Стрункість лекції, високий теоретичний рівень її, аргументованість викладу теж сприяють підтримці інтересу студентів до лекції. Коли на лекції студент чує приклади серйозних, творчих міркувань, аргументованого виконання дій, цікавих постановок задач та обговорення способів їх розв’язання, то це не тільки робить лекцію привабливою, але й дає великий стимул для самостійної роботи, читання додаткової літератури та розв’язання важких задач. Високий рівень доведень на лекції виробляє у студента звичку обґрунтовувати власні висновки, що спонукає його на лекції шукати відповіді на питання, які поставив лектор, або які виникли у нього самого в процесі слухання лекції.
Так, розумова діяльність студента зростає при слуханні нового навчального матеріалу. Якраз на лекціях з математики студент увесь час має
248

справу з чимось новим, лекторові належиться цей інтерес підтримувати та сприяти, щоб він увесь час зростав. Зауважмо, що розумова діяльність студента зростає, коли його думка наштовхується на перепони. Складну задачу розбиваємо на низку простіших і легших.
Цікавість студента до лекції зростає і при використанні у ній аналогій, узагальнень, розгляду подібного тощо. Приміром, вивчаючи розгорнення у степеневий ряд, у ряд Фур’є, у ряд за будь-якою ортогональною системою завжди на допомогу підключаємо лінійну алгебру та розгорнення за базисом.
С. Банах писав: «Математик – це той, хто вміє знаходити аналогії між твердженнями; кращий математик той, хто встановлює аналогії доведень, сильніший математик той, хто завважує аналогії теорій; але можна уявити собі й такого, хто між аналогіями бачить аналогії» [2].
Дуже добре, коли лекція читається так, щоб у слухачів виникло відчуття приєднання до великої Науки. Якщо цього вдається досягти, то живе слово лектора в аудиторії стає таким, що його не замінить ніякий друкований текст, ніякий навчальний фільм.
До викладача вищої школи основна вимога – вміння сполучати педагогічну діяльність з висококваліфікованою спеціальною та науковою підготовкою, з високим творчим потенціалом. Така сполука властивостей педагога, спеціаліста і вченого – необхідна умова навчання у вищій школі.
Педагогічний такт, праця, настирливість, наполегливість, вимогливість до себе і т.п. – це теж характерне для справжнього творчого педагога.
На лекціях викладач має добитися психологічного контакту з аудиторією, керувати інтересами та увагою слухачів. Для цього лектор повинен уміти переконати студентів у тому, що йому цікаво спілкуватися з ними і він не хоче повчати їх, а, навпаки – хоче поділитися своїми знаннями. Лектор повинен уміти привернути увагу та цікавість студентів до предмету, до теми, уміти викликати довір’я та повагу до своєї особи. Потрібно захопити слухачів широкою перспективою для застосування своїх молодих сил.
Студентові завжди кортить познайомитись з викладом спроб різних учених розв’язати якусь конкретну задачу, при цьому якраз доцільно дати коротку характеристику їхніх успіхів та невдач. Цікавість – це таки справді чудовий проводир науки у свідомість людини! На лекціях треба постійно розкривати чарівні особливості математики, її красу, її силу, але робити це вміло, щоб формули на дошці наче з’єднували студентів зі світовим простором і т.п. Той викладач зможе прочитати прегарну лекцію, який сам зачарований математикою, творить у ній!
Список літератури
1.
Ожигова Е.П. Шарль Эрмит. – Л.: Наука, 1982.
2.
Эмпахер А. Сила аналогий. – М.: Мир, 1965.
249

ПОЄДНАННЯ АБСТРАКТНОГО ТА ПРИКЛАДНОГО АСПЕКТІВ КУРСУ
ВИЩА МАТЕМАТИКА НА ПРИКЛАДІ МОДУЛЮ «ЛІНІЙНА АЛГЕБРА»
А. І. Воробйова
Чорноморський державний університет ім. Петра Могили, Миколаїв, Україна
[e-mail]
Проблеми модернізації української економіки, формування національної
інноваційної системи ставить перед вищою технічною освітою мету виховання спеціалістів високої кваліфікації
інженерів-науковців та
інженерів–
експлуатаційників.
Головним принципом навчання в провідних світових технічних університетах
є принцип «освіта через науку»: глибокі знання фундаментальних наук та професійна підготовка [1].
Вивчення вищої математики закладає понятійний апарат для засвоювання багатьох технічних дисциплін та розвиває мислення майбутнього інженера. Зміст і технології навчання фундаментальним дисциплінам мають бути спрямованими на формування складових, сукупність яких визначає базовий рівень професійної компетентності майбутнього фахівця технічного профілю [5].
Курс математики в технічному вузі, як правило, читається на першому- другому роках навчання і є для студентів одним з найважчих для засвоєння.
Коріння цих труднощів полягає в тому, що математика – є наука абстрактною, вона оперує з об'єктами, яких у природі не існує. Математичні поняття — лише більш-менш вдалі зліпки тих чи інших реальних об'єктів. При цьому цілий ряд, в особливості сучасних математичних понять, — це в кращому випадку зліпки зі зліпків, в гіршому — ця ланцюжок ще довший і повністю може бути розплутати лише фахівцями в даній області [4].
Курс вищої математики складається з багатьох модулів, одним з яких є модуль «Лінійна алгебра», якій включає вивчення елементів теорії матриць, визначників та систем лінійних рівнянь. Менше уваги приділяється вивченню векторних просторів та їх лінійним перетворенням. Майже не розглядаються питання блочних матриць, лiнiйних операторів у векторному та унітарному просторах, власних значень та власних векторів, та прикладним питанням даних понять.
Історично основна задача лінійної алгебри (пошук розв’язку системи лінійних рівнянь (с.л.р.)) досліджується в роботах Лейбниця, Крамера (XVIII-XIX ст.). Саме розв’язання с.л.р. в загальному вигляді спонукає до введення поняття визначника та вивченню його властивостей. Поняття визначника вперше дано Лейбніцем
(1693). У 1750 р. Крамер надав рішення системи n лінійних рівнянь з n змінними, яке досі носять назву «правила Крамера». Розробкою теорії визначників займалися
Безу, Вандермонд, Лаплас, Гаусс, Біне, Коші, Якобі. Назву «детермінант»
250

(визначник) ввів Гаусс (1801 р.). Коші ввів сучасне позначення визначника у вигляді таблиці з n рядків та n стовпців
В XIX ст. поняття визначника активно використовується в роботах
Остроградського, Якобі, Вронського. Відома робота Якобі про функціональні визначники: «Про побудову та властивості визначників» (De formatione et proprietatibas determinantium, 1841р.). Функціональні визначники: якобіан, вронскіан та гесіан широко використовуються в теорії систем диференційних рівнянь, класичних задачах оптимізації.
З розвитком теоретичної механіки, геометрії Лобачевського та Римана виникає потреба в вивченні багатовимірних просторів. В середині XIXст. у зв’язку з дослідженням не комутативних алгебр виникає матричне числення (Гамільтон,
Келі, Сільвестров), яке вивчає нормальні форми лінійних операторів (Жордан), квадратичні форми (Вейєрштрасс, Кронекер), ермітові форми (Ерміт) [6].
Всі ці абстрактні поняття знаходять своє застосування в суто практичних задачах математичної фізики: матрицях перетворень груп інваріантності (Лі); теорії графів: матриця інцидентності, матриця суміжності, степенева матриця; в цифровій обробці сигналів (DSP): бінарна матриця, матриця перестановки, матриця Адамара. Для усунення протиріччя між електродинамікою і механікою,
(ньютонівське формулювання, яке включає перетворення Галілея), Лоренцом були введені перетворення, що зв'язують геометричні величини (довжини кути), виміряних в різних інерційних системах відліку. Було виявлено, що рівняння
Максвелла інваріантні щодо подібних перетворень, В використовуючи груповий аналіз Пуанкаре довів, що перетворення Лоренца це поворот в чотирьохвимірному просторі (х, y, z, t). В 1905р. Ейнштейн у своїй теорії відносності прийшов до широко популярної згодом формально-аксіоматичної трактуванні цих перетворень.
Векторні простори та лінійні відображення, що з'явилися в середині XIX століття, до теперішнього часу є найважливішими поняттями не тільки для алгебри, але і для більшості інших розділів математики.
Наприклад: перетворення змінних.
Розглянемо дві системи величин
n
x
x
x
,
,
,
2 1

і
n
y
y
y
,
,
,
2 1

, зв’язані між собою співвідношенням


n
i
i
x
x
x
f
y
,
,
,
2 1


n
i
,
,
2
,
1


(1)
Ці співвідношення можна розглядати як перетворення координат в просторі
n
 (або як зміну змінних), так співвідношення


sin
,
cos
r
y
r
x


можна розглядати як формули переходу від полярних координат до декартових.
Співвідношення (1) визначають деякий оператор
 
x
f
y 
, який відображає простір
n
 в
n
 .
251

Будемо в подальшому вважати, що оператор неперервний, диференційований
і має обернений оператор в
n
 .
Нехай задана функція


n
x
x
x
z
z
,
,
,
2 1


, диференційована необхідне число раз. Зробимо заміну змінних


n
i
t
t
t
f
x
n
i
i
,
,
2
,
1
,
,
,
2 1




Треба знайти формули, які пов'язують похідні від функції z по старим змінним
i
x з похідними від z по новим змінним
i
t . За формулою похідної складної функції маємо
n
i
x
t
t
z
x
z
n
j
i
i
j
i
,
,
2
,
1 1











Запишемо ці співвідношення в матричному вигляді:





















































n
n
t
z
t
z
t
z
A
x
z
x
z
x
z


2 1
2 1
,
(2) де матриця
 











k
i
ik
ik
x
t
a
a
A
Матриця А – це транспонована якобієва матриця оператора
1

f
. Тому вона є оберненою матрицею для транспонованої якобієвої матриці оператора f,




 
ik
n
n
i
k
A
t
t
t
D
x
x
x
D
t
x
A












,
,
,
,
,
,
1 2
1 2
1 1


, де
ik
A — алгебраїчне доповнення елемента
i
k
t
x


матриці








i
k
t
x
Підставляючи знайдене значення А в співвідношення (2) отримуємо












n
n
n
n
i
i
n
n
k
n
k
ik
i
t
t
t
D
x
x
x
D
t
t
t
D
x
x
z
x
x
x
D
t
t
t
D
x
x
x
D
t
z
A
x
z
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2 1
2 1
2 1
1 1
2 1
2 1
2 1
1

















Ці формули виражають похідні z по старим змінним через похідні z по новим змінним.
Аналогічно отримуємо
252







n
n
n
n
j
i
j
j
i
t
t
t
D
x
x
x
D
t
t
t
D
x
x
x
z
x
x
D
x
x
z
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2 1
2 1
2 1
1 1
1 2


















, де замість
i
x
z


треба підставити його із попередньої формули.
Аналогічно знайдемо похідні більш високих порядків.
Отримані формули використовуються при зміні незалежних змінних в диференційних виразах:

















,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2 1
2 2
1 2
1
x
z
x
z
x
z
x
z
z
x
x
x
F
n
n
Приклад. У хвильовому рівнянні
0 2
2 2
2






y
z
x
z
провести заміну змінних







,
v
u
y
v
u
x
Розв’язання.




2 1
1 1
1
,
,




v
u
D
y
x
D
,



























v
z
u
z
v
z
u
z
v
u
D
y
x
D
x
z
2 1
1 1
2 1
2
,
,
Аналогічно














v
z
u
z
y
z
2 1
,








































































2 2
2 2
2 2
2 2
4 1
1 2
1 1
2 1
2 1
2
,
,
v
z
v
u
z
u
z
v
z
u
z
v
v
z
u
z
u
v
u
y
x
z
D
x
z
Аналогічно


















2 2
2 2
2 2
2 2
4 1
v
z
v
u
z
u
z
y
z
Таким чином ,
v
u
z
y
z
x
z









2 2
2 2
2
Отримуємо
0 2




v
u
z
Отже, лінійна алгебра є вагомим інструментом, який використовується
іншими математичними та прикладними дисциплінами.
253

Для спеціальностей, на яких відбувається підготовка спеціалістів високої кваліфікації інженерів-науковців курс лінійної алгебри, бажано відокремлювати в окрему навчальну дисципліну «лінійна алгебра», або «лінійна алгебра та аналітична геометрія».
Модернізація системи вищої освіти в контексті Болонського узгодження потребує технологізації процесу навчання, використовування різних типів електронних освітніх ресурсів [3].
При математичній підготовці фахівців у галузі техніки бажано впроваджувати спеціальні математичні курси, які віддзеркалюють майбутні інтереси спеціаліста.
Високий динамізм сучасного наукового прогресу і високі вимоги до професійної підготовки інженерів вимагають забезпечення належного рівня математичної підготовки студентів. [2].
Список використаних джерел
1.
Александров А.А.МГТУ им. Н.Э. Баумана: опыт, традиции и инновации в подготовке инженерных и научных кадров. Инженерное образование. №10, 2012.– С. 6-14. [Електронний ресурс] – Режим доступу:www. aeer.ru
2.
КриловаТ.В.,
ГулєшаО.М.,
ОрловаО.Ю.
Дидактичні засади фундаменталізації математичної освіти студентів нематематичних спеціальностей університетів. Дидактика математики: проблеми і дослідження: Міжнар. зб. наук. робіт. – Вип. 35. – Донецьк: Вид-во
ДонНУ, 2011.– С. 27-36 3.
Мельников Ю.Б. Линейные операторы. Раздел електроного учебника для сопровождения практического занятия. Изд. 3-е, испр.и доп. УГЭУ. [Електронний ресурс] – Режим доступу:http://melnikov.web.ur.ru
4.
Ногин В.Д. Математика в техническом вузе: проблемы и перспективы. Санкт-
Петербургский государственный технический університет. [Електронний ресурс] – Режим доступу:
www.spbstu.ru/.../Nogin/Mathematics_in_VTUZ.doc
5.
Петрук В.А. Теоретико-методичні засади формування професійної компетентності майбутніх фахівців технічних спеціальностей у процесі вивчення фундаментальних дисциплін:
монографія / В.А.Петрук. – Вінниця: УНІВЕРСУМ-Вінниця, 2006. – 292 с.
6.
Романів О.М. Навчально-методичний посібник з лінійної алгебри. Ч.2.Львів. Видав. ЛНУ
ім.
І.Франка,
2010.
–
С.124.
[Електронний ресурс]
–
Режим доступу: http://www.franko.lviv.ua/faculty/mechmat/secret/doc/linalg2.pdf
254