02. Методика викладання математики у вищій школі. Особливості викладу навчального матеріалу у дистанційному курсі вища математика для інженерів і економістів
 Скачать 5.21 Mb.
|
|
. Важливо, що на цьому шляху не стоїть на заваді слабка сьогодні матема- тична підготовка в нашій середній школі. Адже причиною слабкої математич- ною підготовка випускників середніх шкіл є не лінивість наших школярів, а є відсталість вже на півстоліття шкільних навчальних програм з математики. Адже навіть студенти із слабкою математичною підготовкою мають достатньо великі потенційні здібності опановувати знаннями вищої математики. Наведу приклад. Якось сталося, що викладач моєї кафедри виставив двійки половині студентів першокурсників на їх першому іспиті з математичного аналізу і піз- ніше на його лекції я переконався, що студенти дійсно не розуміють його лек- цію. Після його оправдувань, що «у навчальній програмі нема додаткових го- дин на виправлення огріхів шкільної підготовки», мені залишилося дочитувати його лекції допоки знайшов іншого викладача. Через деякий час, ідучи коридо- ром разом із студентами після закінчення моєї чергової лекції, я запитав студе- нта поруч: «Ви напевно мали в школі майстерну вчительку математики»? На його запитливий погляд я продовжив: «Я бачу, що ви підіймаєте руку на всі мої запитання». Він відповів «Я піднімаю руку бо розумію що ви запитуєте. А в школі я не знав математики зовсім». Після цього я ще раз переконався, що пра- 231 вильною була моя перша лекція для цих першокурсників, яку я розпочав із на- гадування простих «шкільних» істин, а саме: 1. На числовій вісі ми відобразили числа 0; 1; 2; 5; -1; -2; 0,5; 1,5; -1,5; -2,75. 2. На координатній площині відобразили пари чисел: (1;2); (2;4); (-1;3). 3. На координатній площині накреслили дві довільні лінії. Одну лінію на- звали функцією f, а другу - функцією h і за графіком знайшли значення: f(1)=? h(1)=? f(2)=? h(3)=? f(0)=? h(0)=? f(-1)=? h(3)=? f(-2)=? h(2)=? f(1)+ h(1)=? f(2)+h(3)=? f(0)-h(0)=? f(-1)+2h(3)=? 3f(-2)-2h(2)=? 4. За графіком знайшли наближені відповіді на наступні 12 запитань: (1) яке найбільше на відрізку [0;5] значення f(x) = ? (2) яке найбільше на відрізку [0;5] значення h(x) = ? (3) яке найменше на відрізку [0;5] значення f(x) = ? (4) яке найменше на відрізку [0;5] значення h(x) = ? (5) {значення x із відрізка [0;5] для якого f(x)=0} = ? (6) {значення x із відрізка [0;5] для якого h(x)=1} = ? (7) {значення a із відрізка [0;5], яке задовольняє нерівність f(a)≥f(x)для всіх x ∊[0;5] } = ? (8) {значення b із відрізка [0;5], яке задовольняє нерівність h(b)≤h(x)для всіх x ∊[0;5] } = ? (9) {довжина лінії f від точки (0;f(0)) до точки (5;f(5)) } = ? (10) {довжина лінії h від точки (2;f(2)) до точки (5;f(5)) } = ? (11) {площа геометричної фігури обмеженої лініями f, Оx, x=0та x=5} = ? (12) {площа геометричної фігури обмеженої лініями f, Оx, Oy та x=4} = ? Далі в самостійній роботі кожен студент накреслив на координатній пло- щині довільні нові дві функції f та h над відрізком [1;10], написав відповіді на всі запитання (1)-(12) і доручив сусіду по парті перевірити правильність усіх відповідей. Після успішного виконання завдань (1)-(12) студенти записали наступне: «Завдання (1)-(12) будемо виконувати впродовж всього семестру без допомоги графіків (аналітично) з використанням похідних та інтегралів,спочатку для простих функцій одної змінної, потім для функції двох змінних і далі для функ- цій багатьох змінних». Далі знайшли без побудови графіків відповіді на всі за- питання (1)-(12) для функцій f(x)=x-2 , h(x)=2-x. І до кінця заняття встигли запи- сати всі відповіді (1)-(12) для функції з параметрами f(x)=ax+b. На наступних заняттях студенти навчалися знаходити всі 12 відповідей (спочатку за допомо- гою смартфонів/комп’ютерів а далі вже й аналітично) для лінійних функцій ба- гатьох змінних, далі для квадратичних функцій, пізніше для поліномів за допо- могою похідних і нарешті студенти опанували наближеними методами обчис- лення значень (1)-(10) для функцій багатьох змінних за допомогою комп’ютерів та смартфонів. Отже слабку математичну підготовку першокурсників не можна вважати нездоланною перешкодою до опанування знаннями вищої математики. На до- 232 помогу студентам прийшли комп’ютери та власні смартфони. Тому в школах необхідно повернути комп’ютер на уроки математики і для цього необхідно ві- дновити дисципліну «Програмування» (декомп’ютер використовується для математики) замість помилково введеної дисципліни «Інформатика» (де про комп’ютер розповідається як на курсах для секретарок із вивченням Ворда - і тому викладач «Інформатики» у ВНЗ буває виставляє двійку на екзамені студе- нту, який разом із сусідськими ровесниками опанував премудростями сучасно- го комп’ютера краще за вчителя інформатики, але який вважає абсурдним за- пам’ятовувати «якими клавішами реалізуються та чи інша операція у Ворді?» чи «який розмір ідентифікатора в Паскалі?»). Наведу приклад моїх уроків програмування, які я проводив на прохання директора СШ 200 (підшефної школи АН України) ще в той час, коли у школах уже було введено уроки програмування (інформатики), але таких викладачів у школах ще не було. На першому уроці учні записали: «Комп’ютер має багато комірок пам’яті, у які можна записувати числа. Кожній комірці пам’яті, подібно як кожній клітинці на шахматній дошці, надається ім’я (по-англійськи іденти- фікатор). Наприклад, за командою A1:=5 комп’ютер запише число 5 у комірку пам’яті з іменем «A1», а за командами A1:=10; B1:=2; C1:=A1+B1; K1:=С1+5000; A1:=A1+B1+C1; C1:=A1-C1+3 комп’ютер запише у комірку A1 число 10, у B1 - число 2, у C1 - число 12, у K1 - число 5012, у A1 запише нове число 24 і у комірку С1 - нове число 15. Далі учні вже самі написали правильні команди A1:=100; H1:=100000000; S1:=A1*H1; S2:=A1*H1/2. для обчислення площі S1 прямокутника і площі S2 трикутника із основами A1=100 та висотами H1=100000000. І до кінця уроку учні встигли самостійно написали команди для обчислення площ усіх відомих їм геометричних фігур і встигли написати ко- манди: A1:=1; S2:=1; S3:=1; A1:= A1+1; (M1): S2:= S2+A1; S3:= S3*A1; IF A1<1000000000 THEN GOTO M1; PRINT (S2,S3). для обчислення суми S2 та добутку S3 всіх цілих чисел від 1 до 1000000000. До кінця чверті учні самостій- но писали програми для розв’язування нелінійних рівнянь f(x)=0 на відрізку x ∊[a,b], систем лінійних рівнянь Ax=b, x∊ R n , задач лінійного та нелінійного про- грамування. За словами вдячних батьків багато учнів з того класу вступили до престижних ВНЗ і захистили дисертації - цим також підтверджується підви- щення якості навчання математики із використанням комп’ютерів. 233 ПРИКЛАДНИЙ НЕСТАНДАРТНИЙ АНАЛІЗ В. Є. Березовський, С. А. Закорчевна Уманський національний університет садівництва, Умань,Україна berez.volod@rambler.ru , zakorchevna@mail.ru Нестандартний аналіз має порівняно недовгу історію. Фактично він зародився осінню 1960 року, коли його засновник Абрахам Робінсон зробив на одному з семінарів Прістонського університету доповідь про можливість застосування методів математичної логіки до обґрунтування математичного аналізу. В1961 році з’явилась стаття А. Робінсона «Нестандартний аналіз» в працях Нідерландської академії наук. В цій статті, зокрема, Робінсон писав: «Наша головна ціль — показати, що ці моделі дають природній підхід до старої та важливої проблеми побудови числення, включаючи нескінченно великі і нескінченно малі кількості. Добре відомо, що використання нескінченно малих, які наполегливо захищав Лейбніц і без коливань прийняв Ейлер, було завойовано з появою методів Коші, які поставили математичний аналіз на тверду основу». Протягом наступних восьми років вийшли в світ три монографії, в яких розглядалася нестандартна теорія: в 1962 р. – книга В.А.Дж. Люксембурга «Нестандартний аналіз». Лекції про робінсовську теорію нескінченно малих і нескінченно великих чисел», в 1966 р. – книга самого А.Робінсона «Нестандартний аналіз» і в 1969 р. – книга М. Маховера і Дж. Харшфелда «Лекції з нестандартного аналізу». Найбільший резонанс викликала книга Робінсона, яка вийшла у відомій серії «Дослідження з логіки і основ математики». В 1976 р. вийшли відразу три книги з нестандартного аналізу: Г.Дж.Кейслера «Елементарний аналіз» і «Основи числення нескінченно малих» та К.Д. Стройана і В.А.Дж.Люксембурга «Вступ в теорію нескінченно малих». Перша з них являє собою написаний з нестандартних позицій підручник з математичного аналізу. В ній є багато прикладів і вправ. Нестандартний аналіз є досить складним. Тому з його ознайомленням виникають труднощі навіть у фахівців. Отже, ми зупиняємося на розгляді простих і зрозумілих прикладів. Приклад 1. Знайти похідну функції 2 x y Використовуючи означення похідної маємо 2 2 2 2 2 2 2 2 dx xdx x dx xdx x x dx x dy , dx x dx dx dx dx dy 2 2 2 Оскільки 0 dx , то x dx dy 2 .В подальшому запис 0 буде означати, що α є нескінченно малою і нею можна нехтувати. Приклад 2 Знайти похідну функції 3 x y 3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 3 dx dx x dx x x dx dx x dx x x x dx x dy , 2 2 3 3 dx dx x x dx dy . Оскільки 0 dx , то 2 3x dx dy 234 Якби студент-математик відповідав так на екзамені, то швидше за все отримав би двійку. Нестандартний аналіз майже повністю складається з подібних «абракадабр», в яких і є точний математичний зміст. Один з найбільш принципових моментів нестандартного аналізу полягає в тім, що нескінченно малі розглядаються не як змінні величини (тобто, не як функції, які прямують до нуля), а як величини постійні. Такий підхід близький до реальності. Дійсно, коли ми говоримо, наприклад, про нескінченно малий об’єм, то розуміємо, що цей об’єм є незмінним і досить малим. Постараємося думати наївно та викласти ідеї Лейбніца на сучасній мові. Допустимо, що поряд з звичайними дійсними числами існують ще нескінченно малі числа. Додатне нескінченно мале число більше нуля, але менше будь-якого додатного дійсного числа. Ми розглядаємо, таким чином, нову розширену систему, яка складається зі старих дійсних чисел та нових нестандартних чисел. Ми хочемо, щоб з елементами розширеної числової системи можна було діяти як із звичайними числами. Тобто, порівнювати їх та виконувати над ними алгебраїчні дії. В такому випадку тоді наряду з нескінченно малими числами існують нескінченно великі числа. Крім того, для кожного стандартного числа а існує окіл нескінченно близьких до нього нестандартних чисел. Якщо, наприклад, нескінченно мале і відмінне від нуля, то такими ж будуть 2 , 3 , 2 , причому 2 буде нескінченно малим більш високого порядку, ніж Стандартні (дійсні) числа разом з нестандартними (нескінченно малими) утворюють систему гіпердійсних чисел *R, яка є впорядкованим полем. Тому ми можемо переглянути наше відношення до розглянутих прикладів. Якщо вважати, що похідна функції виражається лише в стандартних числах, то тоді дійсно x dx xx st 2 2 Протягом останніх років нестандартний аналіз (точніше – елементарний математичний аналіз, побудований на нестандартному підході) викладається в ряді вищих навчальних закладів США. Деякі підсумки такого роду викладання підведені в статті, опублікованій в «Американському математичному щомісячнику». Стаття закінчується наступними виразами: «Побоювання,…що ті студенти, які будуть вивчати математичний аналіз за допомогою інфінітезімальних (нескінченно малих) елементів, в меншій мірі оволодіють навиками, повинні бути, без сумніву, зняті. Більше того, здається досить ймовірним, що використання інфінітезімального підходу зробить курс математичного аналізу значно живішим і привабливішим». Список літератури 1. Робінсон А. Введення в теорію моделей і математику алгебри. Пер. з англ. - М., Наука, 1967. 2. Девіс М. Прикладний нестандартний аналіз. М.: Мир, 1980. 235 ПОЗНАЧЕННЯ ЛЕЙБНІЦА ДЛЯ ПОХІДНОЇ ФУНКЦІЇ В. Є. Березовський, Т. І. Труш Уманський національний університет садівництва, Умань, Україна berez.volod@rambler.ru , tatyana_trysh@mail.ru Позначення x f похідної функції x f введено Лагранжем. Жозеф Луї Лагранж (1736–1813 р.) був провідним математиком XVIII століття. Йому не виповнилося і 20 років, коли він став професором математики Артилерійської школи в рідному місті Туріні. Пізніше Лагранж працював певний час в Берлінській академії. Лейбніц позначав похідну функції x f y у вигляді dx x df , або dx df , або dx dy Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646 – 1716 р.) заснував Берлінську академію. Позначення Лейбніца можна пояснити за допомогою «математичного міфу». Відповідно до цього «міфу» графік будь-якої функції складається з нескінченного числа «нескінченно малих» відрізків (мал.1). Рис. 1 Звичайно, таке твердження не має строго математичного змісту. Тому ми використовуємо вираз «міф». Під дотичною до графіка функції x f y в довільній точці Лейбніц розумів пряму, якій належить саме такий відповідно нескінченно малий відрізок. Нахил дотичної дорівнює dx dy dy х+dx dx x x dy y y=f(x) 0 236 За Лейбніцем похідна функції – це нахил дотичної до графіку функції в цій точці до вісі Оx . Іншими словами, похідна функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної до графіка функції в цій точці, до вісі Оx Для обчислення нахилу дотичної в довільній точці x функції x f y збільшимо x на нескінченно малу величину dx . Цьому значенню dx x відповідатиме значення функції x x f . Тобто, приросту dx змінної x буде відповідати приріст функції y d , який є нескінченно малою величиною. Тоді, dy y dx x f Частина графіку функції x f y між нескінченно близькими точками y x, і dy y dx x , є нескінченно малим відрізком. Нахил цього нескінченно малого відрізку до вісі Оx дорівнює dx dy x dx x y dy y Тривалий час математики під похідною функції розуміли саме відношення dy dx Вони усвідомлювали, що при такому підході до похідної функції існує багато проблем і неузгоджень. Проте математики продовжували розвивати ідею Лейбніца, користуючись його ж порадою: «Рухайтеся вперед – і віра до вас прийде!» Лише після появи поняття границі функції в точці було дано точне означення похідної. В наш час dy і dx не вважаються нескінченно малими. Їх використовують для позначення диференціалів, відповідно, функції та аргументу. Тим не менше, позначення Лейбніца dx dy для похідної функції ми використовуємо до цього часу. Список літератури 1. Лейбниц Г. В. Сочинения в четырех томах: Т. 3.– М.: Мысль, 1984. – 734 с. 2. Э.Т. Белл. Творцы математики. Предшественники современной науки.- М.: Просвещение, 1979. 3. А.Н. Боголюбов. Математики. Механики. Биографический справочник.- Киев, 1983. 4. Лагранж Жозеф Луи 1736 – 1813. Сб. статей к 200-летию со дня рождения. М. – Л., 1937. 237 ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ И НАПРАВЛЕНИЯ МЕТОДИКИ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ НА ТЕХНИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЯХ В. С. Вакульчик, А. В. Капусто, В. А. Жак, А. П. Мателенок Полоцкий государственный университет, Новополоцк, Беларусь kapusto@tut.by Общепризнанно, что основная часть профессиональной подготовки буду- щих инженеров основывается на теоретико-прикладных знаниях высшей мате- матики. Выделим педагогические особенности математической подготовки в условиях современного состояния образовательного процесса на технических специальностях: – обусловленность возрастания значения математической подготовки в общеобразовательном цикле технических специальностей ускорением иннова- ционного характера развития современных инженерных технологий, увели- чением доли творчества, способности к нестандартным решениям в профессио- нальной деятельности специалиста технического профиля; – возрастание значения математических знаний, умений и навыков для продолжения специального образования (в магистратуре, аспирантуре и т.п.), самообразования и самостоятельного освоения усложняющейся техникой; – необходимость в усовершенствовании методического обеспечения учебного процесса в направлении органичного сочетания современных дости- жений информационных технологий (ИТ) и программного обеспечения (ПО) с классическими методиками чтения лекций и проведения практических занятий; – наличие тенденции к массовости современного высшего образования, а также излишней популяризации тестирования, как формы контроля, которые приводят в стены вузов абитуриентов, фактически не владеющими минималь- ными математическими понятиями, навыками и умениями; – актуальность решения, в связи с этим, проблемы разработки и внедре- ния методических приемов формирования прочности математических знаний, умений и навыков в процессе преподавания математики на технических специ- альностях. Таким образом, возникает необходимость в определении и разработке конкретных направлений методики повышения эффективности современной математической подготовки на технических специальностях. Многолетний педагогический опыт и результаты экспериментальных ис- следований позволяют авторам утверждать, что важным направлением в ука- занном смысле является целенаправленное формирование и укрепление прочно- сти математических знаний, умений и навыков в процессе преподавания ма- тематики на технических специальностях [1]. Педагогическая деятельность в названном направлении предполагает: 238 – методически системное формирование у студентов свободного владе- ния основными понятиями определенных разделов математики, применение при этом информационных таблиц и графических схем; – жесткое требование от студентов свободного владения правилами рас- крытия неопределенностей при вычислении пределов, таблицами эквивалент- ных, производных и интегралов от основных классов элементарных функций и т.п.; – выделение заданий минимально-базового уровня по всем изучаемым темам и требование обязательного их выполнения на экзамене. Будущему инженеру важно наиболее оптимальным и коротким способом овладеть математическим аппаратом для последующего использования его в процессе изучения других дисциплин, а также применения к моделированию и решению конкретных прикладных задач. Поэтому следующим важным направ- лением повышения эффективности современного математического образования специалистов технического профиля является учет при организации познава- тельной деятельности студентов межпредметных связей (МПС) математи- ки и других дисциплин на основе использования дидактических возможностей систем компьютерной алгебры [2]. При этом будем придерживаться мнения тех авторов, которые рассматривают МПС как дидактическое условие, способ- ствующее повышению доступности и научности обучения, значительному уси- лению самостоятельной познавательной деятельности студентов. Выделим в ряду общеинженерных дисциплин, изучаемых в технических вузах, курс ин- женерной графики, которая занимает особое место в инженерной подготовке, т.к. знание основ начертательной геометрии – часть общетехнической культу- ры. Отметим, что одной из важных задач в процессе изучения начертательной геометрии и математики является необходимость развития пространственных представлений, воображения и нестандартного геометрического мышления студентов, обучения специальным геометрическим методам решения задач. Речь идет о пересечении сложных поверхностей произвольными плоскостями, задаче синтеза пространственных механизмов, проектирования светотехниче- ских приборов, построения разверток поверхностей с нанесением на них мест расположения различных конструктивных элементов. Методы образования и изображения на чертеже поверхностей, изучаемые начертательной геометрией и высшей математикой, необходимы также при компьютерном твердотельном моделировании, которое приходит на смену двумерным чертежам. Однако, к сожалению, времени, отводимого на рассмотрение разделов, формирующих навыки изображения поверхностей, зачастую не хватает. С другой стороны, на смену традиционным методам конструирования приходят компьютерные тех- нологии. В связи с этим, авторы предлагают один из методических приемов формирования у студентов навыков построения и исследования трехмерных поверхностей в контексте реализации МПС математики и начертательной гео- метрии на основе использования систем компьютерной алгебры. Понятие по- верхности впервые вводится на лекционных занятиях по математике. В силу 239 того, что на выделенную тему отводится ограниченное количество часов, си- стемы компьютерной алгебры, графические возможности программ которых позволяют показать строение чертежей во всех плоскостях, являются эффек- тивным дидактическим средством, позволяющим обеспечить усвоение темы хотя бы на достаточном уровне. Преподаватель, вращая фигуру, представлен- ную с помощью компьютерных пакетов, объясняет студентам особенности каждой поверхности. Это не только способствует запоминанию необходимой информации, но главным образом, повышает уровень знаний и глубину пони- мания учебного материала, создает предпосылки для реализации принципов наглядности и доступности в обучении. Использование выделенных дидактических возможностей систем компью- терной алгебры также формирует образное мышление студентов, так как по завер- шению занятия студент связывает воедино поверхность и ее уравнение, он может проследить зависимость вида фигуры от изменяемых параметров, использовать компьютерные пакеты при построении тел, ограниченных различными поверхно- стями. Закрепление и углубление достигнутых результатов в обозначенном направ- лении осуществляется в процессе выполнения соответствующей лабораторной ра- боты по начертательной геометрии. Студентам предлагается чертеж сечения слож- ной фигуры, представляющей собой объединение нескольких поверхностей. По этой схеме они должны установить форму тела в целом, форму отдельных его по- верхностей, сочетание и взаимное расположение отдельных его поверхностей и выполнить построение в таких программных продуктах, как AutoCAD, КОМПАС- ГРАФИК (компании АСКОН) и др. Как показывает анализ результатов педагогического эксперимента, пред- ставленный методический прием реализации МПС математики и начертатель- ной геометрии на основе использования систем компьютерной алгебры позво- ляет создавать условия и предпосылки для достижения не только микроцелей, декларируемых в изучаемых разделах, но и для мотивации, стимулирования, активизации самостоятельной познавательной деятельности по решению задач повышенной сложности. В связи c возрастающей ролью содержательного и методологического компонентов в преподавании математики на технических специальностях ме- тодически целесообразна разработка специальных дидактических средств представления математической информации, обеспечивающих доступность ее овладения на всех этапах познавательного цикла, облегчающих ее структу- рирование и логическую организацию [3]. Авторы рассматривают разработку и проектирование учебно-методических комплексов (УМК) по отдельным разде- лам курса математики в качестве одного из эффективных дидактических средств, позволяющих научно организовать самостоятельную работу и активи- зировать познавательную деятельность студентов. Отдельное внимание авторы отводят при проектировании учебного модуля разработке дидактических средств, направляющих и организующих познавательную деятельность студен- тов: графических схем, информационных таблиц, планов-ориентиров, обучаю- 240 щих задач, решений нулевых вариантов контрольных работ и типовых расчетов и т.п. Эти средства помогают увязать различные понятия, теоремы и т.д. в еди- ное целое, служат эффективному прохождению всех этапов познавательной де- ятельности: от восприятия, к усвоению и осмыслению, затем к обобщению, си- стематизации и, в конечном итоге – логической организации новой информа- ции. Структурированность, целостность, полнота учебного модуля с адекват- ным методическим руководством по его изучению облегчает, регламентирует, направляет, оптимизирует самостоятельную работу студентов, является мето- дической основой для более глубокого изучения учебной дисциплины. В этой связи отметим, что методическое обеспечение указанного уровня позволяет ка- чественно изменить методику работы со студентами. Модульное построение УМК дает возможность методического совершенствования модуля как отдель- ной дидактической единицы, в том числе на основе новых информационных технологий. При этом создаются условия и возможности: – для любого обучаемого построить свою траекторию обучения при изу- чении каждого отдельного раздела математики; – для педагога методически разнообразить организацию познавательной деятельности на практических занятиях; – для организации управляемой самостоятельной работы; – для получения более глубоких знаний, понимания обоснованности по- лучаемых оценок и повышения успеваемости на потоках. Педагогический опыт и результаты экспериментальных исследований сви- детельствуют, что методически системная организация математической позна- вательной деятельности студентов с учетом выделенных педагогических осо- бенностей и направлений в преподавании математики позволяет оказывать су- щественное влияние на степень реализации как обучающей, так и развивающей функций в процессе обучения математике на технических специальностях, в значительной мере способствует решению задачи повышения качества подго- товки специалистов технического профиля. |