02. Методика викладання математики у вищій школі. Особливості викладу навчального матеріалу у дистанційному курсі вища математика для інженерів і економістів
 Скачать 5.21 Mb.
|
|
НАВЧАННЯ ПОШУКУ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ В. І. Журавська НТУУ “КПІ”, Київ, Україна Valentina177@i.ua Під час вивчення вищої математики учень постає перед необхідністю розв’язувати задачі різної складності. Процес розв’язання задач являє собою пошук виходу із складного становища або оминання перешкоди – це процес досягнення цілі, якою є розв’язок задачі. Розв’язування задач можна розглядати як мистецтво, навчитися йому мож- на через постійну практику та наслідування хороших взірців. Зрозуміло, що якщо нова задача дуже схожа на якусь задачу, хід розв’язку якої відомий, нова задача легко розв’язується “за аналогією”. Таким чином, хід розв’язку старої задачі може бути використаний як метод для розв’язання нової задачі. Існує багато методів для розв’язку задач різного типу, велика кількість лі- тератури присвячена дослідженню методів розв’язку окремих задач. Але рано чи пізно, виникає нова задача, що не схожа на інші відомі та розв’язані задачі, до якої не підходить жоден із накоплених учнем шаблонних методів. Зрозуміло, що якщо навчати учнів (студентів чи школярів) лише спеці- альним методам розв’язку певних типів задач, ми постанемо перед такою небе- зпекою: учні засвоять лише якийсь набір шаблонних методів, і не навчаться са- мостійно розв’язувати нові, нестандартні задачі, і тим паче, розробляти нові спеціальні методи для розв’язку нових задач. Отже, навчання учнів певній кількості шаблонних розв’язків типових задач не є достатнім. Тут на допомогу приходять певні підходи до розв’язання задач, такі як аналіз та синтез, індукція та дедукція, узагальнення, порівняння, аналогія. Все це – методи наукового пізнання, що допомагають у розв’язанні задач. Ефективність використання цих методів пізнання залежить від глибини, систематичності їх використання, а також від здатності учня до ідентифікації, класифікації, та вміння учня логічно впорядкувати наявні дані для отримання умовиводу. Всі ці методи є достатньо загальними, щоб використовуватися для широкого класу задач, але жоден з цих методів не претендує на універсаль- ність, як метод для розв’язку довільної задачі. Однак чи існує універсальний метод, який би можна було використовувати для будь-якої задачі? Звісно, видатні математики (наприклад Декарт чи Лейбніц) у різні часи мі- ркували над створенням універсального методу. У своєму трактаті “Правила для керівництва розуму”, Декарт дає доволі умовну схему для розв’язання довільної задачі: 1) Будь-яка задача зводиться до математичної задачі 2) Математична задача будь-якого вигляду зводиться до алгебраїчної задачі 3) Довільна алгебраїчна задача зводиться до розв’язку єдиного рівняння 263 З плином часу, стало зрозуміло, що ця схема не працює для великої кілько- сті частинних випадків, але існують певні класи задач, які розв’язуються саме за цією схемою. Таким чином, маємо, що для розв’язку будь-якої задачі є корисним поста- вити питання: “ До якого типу відноситься ця задача? ”. Це питання, в свою чергу, призводить до іншого питання: “ Що можна зробити для розв’язку задач такого типу? ” Ставлячи ці питання, та використовуючи свій досвід розв’язання задач, учень наближається до отримання розв’язку даної задачі. За наявності хорошої класифікації, можемо отримати розбиття задач на класи, де кожний клас задач має свій набір методів для розв’язання. Прикладом такої класифікації є розрізняння двох типів задач: 1. Задачі на знаходження 2. Задачі на доведення Зрозуміло, що для кожного із цих двох класів задач є великий набір мето- дів розв’язання. Наприклад, для розв’язання задач на доведення широко вико- ристовується метод “від супротивного”. Розглядаючи задачі на знаходження, для учня є розумним ставити такі пи- тання: 1) “Що треба знайти?” 2) “У чому полягає умова?” 3) “Як умова пов’язана із невідомим?” Привчаючи учня задавати собі ці питання під час розв’язку задач, ми до- помагаємо учневі точно розуміти умову задачі, що є необхідним для її розв’язання, ми спонукаємо учня до самостійного мислення, дослідження, вла- сних відкриттів. Очевидно, що одного цього підходу до задачі не достатньо для її розв’язку. Для успішного розв’язання задачі, учневі потрібно майстерно володіти ме- тодами наукового пізнання та використовувати свій досвід розв’язку схожих задач. Тобто, учневі потрібно володіти предметом математики, мати не тільки знання і вміння розв’язувати стандартні задачі, а і проявляти певну незалеж- ність мислення, оригінальність і винахідливість. Пошук розв’язку задачі – навичка, що потребує від учня і знання, і вміння. Для того щоб навчити учня розв’язувати задачі недостатньо ознайомити його із якоюсь кількістю методів – необхідно виховувати в учні вміння мислити, спо- нукати розвинення творчої активності. Список літератури 1. Пойа Д. Как решать задачу. Государственное учебно-педагогическое издательство минис- терства просвещения РСФСР, 1959. – 208 с. 2. Пойа Д. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и препо- давание. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1964. – 452 с. 3. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. Государственное учебно- педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1953. – 462 с. 4. Декарт Р. Избранные произведения, Госполитиздат, 1950. 264 РАЗРАБОТКА ЭЛЕКТРОННЫХ УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ В СРЕДЕ WOLFRAM RESEARCH MATHEMATICA В. И. Зеленков Международный государственный экологический университет имени А. Д. Сахарова, Минск, Беларусь vzelenkov@yandex.ru Как правило, электронные учебные и учебно методические пособия в со- временном высшем учебном заведении на деле представляют собой копию тек- ста, изданного ранее на бумаге, а теперь конвертированного в формат PDF. Называть такой документ полноценным электронным пособием вряд ли умест- но. В лучшем случае текст содержит гипертекстовое оглавление и гиперссылки, но в целом не позволяет использовать возможности современных информаци- онных технологий. Главный недостаток такого рода изданий – отсутствие ин- терактивности, статичность. Выход из положения предоставляет среда Wolfram Research Mathematica. Она позволяет осуществлять набор текстов разнообразного дизайна и, что принципиально важно, набор формул практически любой сложности. Текст этот и формулы можно экспортировать в разнообразные форматы, пригодные помимо прочего для распечатки или для размещения на веб-странице. Пере- крестные ссылки, гиперссылки, составные документы, графика – все эти воз- можности налицо. Принципиально важно то, что пособие, подготовленное в этой среде, даёт студенту возможность помимо пассивного чтения производить вычисления (как по готовым, так и по вводимым с клавиатуры) формулам. Можно отслеживать, например, зависимость поведения изучаемой динамической системы от пара- метров описывающих ее дифференциальных уравнений и/или начальных и кра- евых условий, строить графики функций (в том числе, заданных параметриче- ски, неявно или через численное решение дифференциального уравнения). Графики эти могут быть двух- и трехмерными, статичными и динамическими. Более того, подготовленное таким образом учебное пособие позволяет студенту писать собственные уравнения и формулы, решать задачи (как с вы- бором, так и без выбора ответа). Возможны также абсолютно невозможные для PDF- пособий приемы, например, генерация неповторяющихся типовых задач (дифференциальных уравнений, определенных и неопределенных интегралов и т.п.) с немедленной проверкой решения. В качестве иллюстрации представлены фрагменты учебных пособий по курсам «Математическое моделирование в экологии» и «Дифференциальные уравнения». 265 Страница пособия по математическому моделированию в экологии сразу после открытия. Стрелкой указана инициализационная ячейка, содержимое ко- торой автоматически запускается на исполнение после открытия документа: 266 Та же страница после запуска функции GetPreyPredators: Перемещая движки, студент анализирует, например, зависимость числен- ности хищников от рождаемости жертв и т.п. Количество параметров может быть увеличено. Справку о функциях, необходимых для самостоятельного написания про- граммы решения дифференциальных уравнений, можно открыть, пройдя по ги- перссылкам, содержащимся в подсказке. 267 АНАЛІЗ ЗАСВОЄННЯ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ СТУДЕНТАМИ ПЕРШОГО КУРСУ С. П. Казнадій, В. П. Мурашковська, Л. А. Руновська Чернігівський державний технологічний університет, Чернігів kaz_na@i.ua Науково-технічний прогрес з кожним роком змінює характер професійної діяльності спеціаліста і саму професійно-кваліфікаційну структуру праці в цілому. Основи професійного розвитку особистості спеціаліста закладаються в ВНЗ, починаючи з перших років навчання, в процесі засвоєння спеціальних, загально професійних, освітніх предметів. Вища математика належить до циклу природничих дисциплін и складає фундамент інженерної освіти, забезпечує майбутніх фахівців необхідною базою знань для подальшої роботи, а також надає широкі можливості для формування професійних якостей особистості інженера, програміста, IT-спеціаліста. Вища математика є однією з самих складних дисциплін на думку студентів майже всіх спеціальностей. Більш 62% студентів по результатам сесії мають оцінки з вищої математики нижчі, ніж по іншим предметам. Попри це, на вивчення даної дисципліни студенти витрачають в середньому 77% (умовно) своїх інтелектуальних можливостей. Починаючи навчальний процес на першому курсі, викладач повинен допомогти студентам пройти складний етап адаптації до нових умов навчання. При цьому дуже важливою є інформація про особливості студентських груп, а саме: - рівень навченості кожного з студентів, який традиційно встановлюється за результатами нульової контрольної роботи з шкільного курсу математики, - особистісні параметри студентів, які характеризують рівень розвитку кожного з них і дають можливість прогнозувати очікувані результати в навчанні. Така інформація розширює уяву педагога про студентів і в залежності від цього дає можливість використовувати відповідні форми проведення аудиторних занять та організації контрольних заходів. Контроль знань дозволяє співставити результати навчання з мотивами студентів, встановити цінність отриманих результатів, їх значимість, їх відповідність очікуванням тих, хто навчається. Дослідження критеріїв сприйняття викладача студентами важливе як для управління процесом формування взаємовідносин між викладачами та студентами, так і для управління пізнавальною діяльністю тих, хто навчається, розвитком їх інтелектуального та творчого потенціалу. З метою оцінювання знань “новоспечених” студентів, які були зараховані до університету за конкурсом балів сертифікатів кафедра вищої та прикладної математики університету проводить нульову контрольну роботу з шкільного 268 курсу, по матеріалам ЗНО. Нульова контрольна робота проводиться на першому практичному занятті до того, як починається вивчення курсу вищої математики і дає можливість викладачу визначити рівень підготовленості всієї групи, що дасть змогу будувати заняття оптимальним чином, з урахуванням рівня складності викладення матеріалу. Таке тестування проводиться щороку. Викладачі кафедри аналізують зібрані результати й приходять до невтішного висновку що загальний рівень підготовки випускників шкіл з математики знижується. Розглянемо результати 2011-2012 навчального року. В дослідженні брало участь 67 студентів факультету ФІОТ, 78 студентів механічного факультету і 21 студент факультету менеджменту. За результатами вхідного контролю 79% отримали незадовільний результат. Погані результати свідчать про дуже низький рівень знань випускників, які мали у сертифікаті від 135 до 160 балів. Трапляються випадки, коли студенти з досить пристойними балами в сертифікаті не можуть правильно скласти дроби, погано знають таблицю множення, мають «великі проблеми» з тригонометричними функціями, векторами і т.д. Проведемо аналіз першої атестації. Першу атестацію пройшли 68% ¸ отже частка «успішних» студентів відносно вхідного контролю зросла. Необхідно відзначити феномен підвищення підготовки студентів, які мали у сертифікаті від 145 до 165 балів. Жоден з цих студентів не отримав позитивної оцінки на вхідному контролі, а першу атестацію подолали 45% з них. Це можна пояснити як особистими навчальними зусиллями студентів, які усвідомили свою недостатню підготовку, так і індивідуальною роботою викладачів зі слабкими студентами, які були виявлені за результатами вхідного контролю. За результатами трьох модулів в першому семестрі позитивні оцінки (без перездач) отримали 79% . Серед них 34% підтвердили оцінку, яку вони мали за шкільним рейтингом , 7% студентів вдалося покращити результат, а всі інші знизили свій рівень знань. Але 25% студентів, що мали на вхідній контрольній 0-2 бали отримали «незадовільно» по результатам трьох модулів і змушені були неодноразово перескладати екзамен. Частина з них отримала оцінку «Е», що говорить сама за себе. Така ціна слабкої шкільної математичної підготовки та низьких вимог ЗНО. Якість успішності таких студентів не відповідає акредитаційним вимогам. Можливість підготувати з таких студентів елітних інженерів викликає великий сумнів. 42% студентів хотіли отримати оцінку на бал вище реальної. Можливо, це пов'язано з загальними підсумками сесії або з соціальною бажаністю. Судячи по бажаним оцінкам, більшість студентів мотивована на успіх. Але є в даній вибірці і студенти, мотивовані на уникнення невдачі. Як правило, це люди з низькими показниками успішності. Їх явна мета - не домогтися успіху, а уникнути невдачі: просто здати іспит. У 41% студентів власні оцінки знань збіглися з думкою викладача. У 35% власні оцінки були вищі на 1 бал. В цілому по вибірці виявилось, що реальна 269 оцінка на іспиті нижче прогнозованих студентами оцінок. Це може бути як показником завищених вимог викладача, так і завищеної самооцінки студентів. Враховуючи проведений аналіз треба відзначити роль рейтингової системи в об’єктивному оцінюванні знань студентів. Рейтингова система контролю і оцінювання знань, як показує практика, сприяє інтенсифікації учбового процесу і дозволяє відслідковувати динаміку роботи студента, враховуючи при цьому її напруженість і результативність, коректувати ймовірні причини зниження успішності, забезпечує можливість більш ефективно організувати і підтримувати протягом всього року систематичну роботу студентів не тільки на практичних заняттях, а й самостійну; підсилює значення консультативної допомоги викладача; дає змогу врахувати психологічні особливості молодіжної аудиторії. Одним з найбільших недоліків рейтингової системи є велике навантаження, що полягає на викладача. Багаторівнева система тестових завдань, що розроблена на кафедрі, направлена на глибоке засвоєння студентами фундаментальних знань, які є основою спеціальних знань, необхідних майбутнім спеціалістам. Список літератури 1. Смирнов С. Педагогіка і психологія вищої освіти.-М.:-303 с. 2. Вища освіта України і Болонський процес: Навчальний посібник/ За ред. В.Г.Кременя. Авторський колектив: М.Ф. Степко, Я.Я. Болюбаш, В.Д. Шинкарук, В.В. Грубінко, І.І. Бабин – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2004. – 384 с. 270 ПРО ДЕЯКІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ О. О. Карабин, О. Ю. Чмир Львівський державний університет безпеки життєдіяльності, Львів, Україна oksana_karabyn@mail.ru , o_chmyr@yahoo.com Математика, як одна з найстародавніших наук, зародилася з потреб прак- тики. Будівництво, вимірювання площ земельних ділянок, торговельні розраху- нки потребували вміння виконувати арифметичні обчислення, а також певних геометричних уявлень. Згодом математика сформувалася у певну систему, як складова частина загального комплексу наукових знань. Потреби природознав- ства, техніки постійно ставили перед людьми нові задачі, які в свою чергу сти- мулювали розвиток самої математики. Водночас прогрес в самій математиці підвищував ефективність математичних методів. Роль математики в різних галузях людської діяльності з часом змінювала- ся, причому залежала в основному вона від двох факторів: рівня розвитку ма- тематичного апарату і ступеня зрілості знань про той чи інший досліджуваний об’єкт, тобто можливості описати найістотніші його властивості мовою мате- матичних понять або, як кажуть, можливості побудувати математичну модель цього об’єкта. Одним з основних видів математичних моделей є рівняння, вивчення якого починається з найпростішого випадку – одне рівняння першого степеня з одним невідомим, а потім поглиблюється в двох напрямках: перший – розглядаються системи двох і трьох рівнянь першого степеня з двома і, відповідно, трьома не- відомими; другий – вивчається одне квадратне рівняння з одним невідомим і деякі окремі типи рівнянь, що легко зводяться до квадратних, наприклад, відо- ме біквадратне рівняння. Відсутність формул для розв’язування рівнянь вищих степенів не слід вважати дуже прикрою обставиною. Оскільки коефіцієнти більшості рівнянь, які доводиться розв’язувати фізикам чи інженерам, є величинами, знайденими в результаті вимірювань, тобто наближеними, а тому корені потрібно знати лише наближено, із заданою точністю. Це дало поштовх до розробки різних методів наближеного розв’язку рівнянь – графічних та чисельних. З появою комп’ютерів роль таких методів особливо зросла, оскільки за- вдяки їм вдалося істотно розширити клас задач, розв’язуваних за допомогою різних комп’ютерних програм. Таким чином, постає питання не про практичну можливість відшукання коренів, а про їх існування. Відомо, що існують квадратні рівняння з дійсними коефіцієнтами, які не мають дійсних коренів. Розглядаючи квадратні рівняння, а також рівняння третього та четвертого порядків у множині комплексних чи- сел, обов’язково відшукаються їхні розв’язки. Вивчення алгебраїчних рівнянь є важливим підґрунтям для розв’язування різних задач з курсу вищої математики, наприклад, для обчислення інтегралів 271 за допомогою методу невизначених коефіцієнтів, для знаходження коренів ха- рактеристичного рівняння, яке виникає при розв’язуванні лінійних диференціа- льних рівнянь вищих порядків. При розв’язуванні таких задач виникають рів- няння 1 0 1 0 n n n a x a x a , (1) ліву частину яких потрібно подати у вигляді 0 1 2 ( )( )...( ) 0 n a x x x x x x , де 1 x , 2 x ,…, n x – корені рівняння (1). Відомо те, що корені рівнянь першого, другого, третього та четвертого степенів виражаються через їх коефіцієнти за допомогою скінченної комбінації алгебраїчних дій, тобто ці рівняння розв’язуються в радикалах. Для рівнянь вищих степенів вдається лише виділити окремі види рівнянь п’ятого степеня, що зводяться до розв’язування рівнянь нижчих степенів або до двочленного рівняння 5 0 y q , всі значення коренів якого визначаються за формулою до- бування кореня комплексного числа: 5 y q До рівнянь, що розв’язуються в радикалах, належать, зокрема, так зване симетричне рівняння 5 4 3 2 0 1 2 2 1 0 0 a x a x a x a x a x a , яке можна звести до вигляду 5 3 2 0 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) 0 a x a x x a x x Взагалі, симетричним рівнянням n-го степеня називається алгебраїчне рів- няння 1 2 2 0 1 2 2 1 0 0 n n n a x a x a x a x a x a , у якому коефіцієнти при n x і n m x рівні. Ще один тип рівнянь вищих степенів, які розв’язуються в радикалах, є так звані тричленні рівняння, тобто рівняння виду 2 0 n n ax bx c , яке заміною n x t , зводиться до квадратного рівняння. Існують також штучні способи розв’язування в радикалах окремих рівнянь вищих степенів, це так звані рівняння, у яких явно видно, яку потрібно провес- ти заміну, щоб отримати рівняння нижчого степеня. Норвезький математик Н. Абель з’ясував неможливість розв’язання в ра- дикалах рівняння вище четвертого степеня. Він довів, що не існує універсальної формули подання коренів рівняння п’ятого і вищих степенів через його коефі- цієнти за допомогою скінченного числа алгебраїчних дій. З праць Абеля, проте, не випливало, що зовсім не існує окремих рівнянь п’ятого, шостого і вищих степенів, які розв’язуються в радикалах. Отже, пошук критерію розв’язуваності рівняння в радикалах тривав. Успішно завершив його у першій половині XIX ст.. геніальний французький математик Е. Галуа. 272 Слід зазначити, що теорія груп, яка виникла в зв’язку із, здавалося б, суто алгебраїчною проблемою розв’язуваності рівнянь в радикалах, довгий час вва- жалась найбільш «чистою» математичною дисципліною, позбавленою будь- якої практичної цінності, проте сьогодні апарат теорії груп є одним з найширше застосовуваних не лише в різних розділах математики (геометрія, топологія), а й поза нею (кристалографія, теорія елементарних частинок). Як відомо, розв’язати алгебраїчно можна лише алгебраїчні рівняння пев- них типів. Проте існують загальні способи, що дають змогу знайти наближені значення дійсних коренів рівнянь. Одним з таких методів є графічний метод наближеного розв’язування рів- нянь. При графічному розв’язуванні рівняння ( ) ( ) x x корені знаходяться геометричними побудовами. Графічний метод відіграє важливу роль як допо- міжний засіб, застосовуваний при наближеному розв’язуванні рівнянь. Графіки функцій ( ) x і ( ) x часто дають можливість визначити число коренів рівнян- ня, відшукати ті проміжки, в яких містяться корені, і визначити наближено їх числові значення. Результати, здобуті графічним методом, перевіряються й уточнюються обчислювальними методами. Розглянемо рівняння ( ) 0 F x . Його розв’язування можна геометрично тлумачити як знаходження точок перетину лінії графіка функції ( ) y F x з віс- сю абсцис. Якщо графік ( ) y F x не має спільних точок з віссю абсцис, то рів- няння не має дійсних коренів. Але при зростанні степеня рівняння кількість йо- го коефіцієнтів збільшується, а це ускладнює побудову кривої. Задачу можна спростити, якщо рівняння ( ) 0 F x подати у вигляді ( ) ( ) x x . Найчастіше одну з цих функцій вибирають так, щоб відповідна крива не залежала від пара- метрів рівняння, тобто залишалась незмінною для всіх рівнянь даного виду. Якщо побудуємо графіки функцій ( ) y x і ( ) y x ,використовуючи таблич- ні значення та властивості цих функцій, то абсциси точок перетину їх будуть коренями даного рівняння. |