02. Методика викладання математики у вищій школі. Особливості викладу навчального матеріалу у дистанційному курсі вища математика для інженерів і економістів
 Скачать 5.21 Mb.
|
|
Q, Z и Z m , теорема Гаусса, признак Эйзенштейна; 4) Поля: характеристика поля, расширения полей, автоморфизм полей, конечные поля, алгебраические уравнения в конечных полях; 5) Элементы теории кодирования и криптографии: линейные, блочные коды, коды Хэмминга, циклические коды, криптосистема RSA. 280 Список лабораторных работ 1. НОД и НОК. Алгоритм Евклида. 2. Сравнения и вычеты. Функция Эйлера. 3. Подстановки. Симметрическая группа и ее подгруппы. 4. Кольцо классов вычетов. 5. Многочлены. 6. Поля. 7. Конечные поля. 8. Кодирование. 9. Криптосистема RSA. Список литературы 1. Романовский И.В. Дискретный анализ. Учебное пособие для студентов, специализирующихся по прикладной математике и информатике. / – СПб.: «Невский диалект». 1999. – 254 с. 2. Новиков А.В. Дискретная математика для программистов. / Ф.А. Новиков. – СПб.: Питер. 2001. – 304 с. 3. Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Дискретная математика: Учебник. / – М.: ИНФРА-М; Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2007. – 256 с. 4. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. / – М.: «Наука». 1977. – 368 с. 5. Каскевiч В.I., Янцэвiч В.А. Задачы i тыпавыя разлiкi па дыскрэтнай матэматыцы. Метадычны дапаможнiк па выш. матэм. для студ. спец. 22.02. / – Мн.: Выд-ва БДПА. 1994. – 28 с. 6. Каскевич В.И., Воронович И.И. Элементы теории множеств. Учебно-методическое пособие по высшей математике для сту. спец. Т10.02.00. / – Мн.: Изд-во БГПА. 1997. – 12 с. 7. Каскевич В.И. Воронович И.И., Тавгень А.И. Элементы математической логики. Учебно- методическое пособие по высшей математике для сту. спец. Т10.02.00. / – Мн.: Изд-во БГПА. 1997. – 32 с. 8. Каскевич В.И. и др. Элементы дискретной математики. Учебно-методическое по-собие по высшей математике для студ. спец. Т10.02.00. / – Мн.: Изд-во БГПА. 1998. – 58 с. 9. Каскевич В.И. Элементы прикладной математики. Методическое пособие для слушателей системы переподготовки по специальности Т10.02.00 / – Мн.: Изд-во ин-та «Кадры индустрии». 2000. – 100 с. 10. Каскевич В.И. Федосик Е.А. Специальные главы высшей математики. Основы теории множеств. Элементы теории графов. (Учебное электронное издание). / – Мн.: Регистрационный номер БНТУ/ФИТР 48-1.2010. – 75 с. 11. Каскевич В.И. и др. Специальные главы высшей математики. Основы теории чисел. Основные алгебраические структуры. (Учебное электронное издание). / – Мн.: Регистрационный номер БНТУ/ФИТР 48-8. 2011. – 64 с. 12. Каскевич В.И., Тавгень А.И. Комбинаторно-оптимизационные алгоритмы на графах. Методические указания к курсовым работам по высшей математике для студентов ФИТР БГПА спец. Т10.02.00. / – Мн.: Изд-во БГПА. 1998. – 7 с. 281 ІНТУЇЦІЯ ПРИ ВИВЧЕННІ ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ Е. С. Колесник НТУУ «Київський політехнічний університет», Київ, Україна Kolesnick.Elinka@yandex.ru Інтуїція (від лат. intueri пильно, уважно дивитися) відшукання, часто практично моментальне, рішення задачі при недостатності логічних підстав. Не знайдете жодної людини, яка б на собі не відчула силу інтуїтивного мислення. Це — моментальне прозріння, миттєвий натиск знань і осяяння, яке нам пропонує однозначні рішення. І, як не дивно це виглядає, навіть не знаючи, звідки прийшло рішення, ми віримо в нього, покладаючись на свої внутрішні відчуття Істини. Інтуїція — спосіб, за допомогою якого наші Душа і Серце спілкуються з нашою Свідомістю: вона виходить далеко за межі логіки і здорового глузду. Людська інтуїція використовує не тільки візуальні образи, але і символи, метафори, вона використовує неординарні способи і форми, накопичені за всю історію розвитку людини. Тому інтуїція за своїми можливостями незрівнянно багатше всіх інших, більш ординарних і більш знайомих нам, форм пізнання. Виникають проблеми при вивченні курсу «Вища математика» внаслідок того, що сприймання і розуміння студентами цього предмету неможливе без розвитку інтуїції, яка дозволяє вірно орієнтуватися у поняттях, фактах, методах. Для формування математичної культури, яка є основою для успішного освоєння студентами знань зі своєї спеціальності, важливими компонентами є логіка та інтуїція. Вони формують науковий світогляд майбутнього високопрофесійного фахівця. Інтуїція — ось що, ймовірно, грає саму істотну, вирішальну роль у створенні нових наукових уявлень і появ нових ідей. Ось що пише А. Ейнштейн про це: "Подлинной ценностью является в сущности только интуиция". Що тільки не називають інтуїцією! Це і вищий, навіть — надприродний дар, єдино здатний пролити світло істини на таємні таємниці буття, недоступні ні почуттям, блукає по поверхні речей, ні розуму, скутому дисциплінарним статутом логіки. Це і дивовижна сила, яка легко і просто переносить нас через прірву, що розгорнулася між умовою задачі та її рішенням. Це і щаслива здатність миттєво знайти ідею, яка лише заднім числом, в поті і муках буде обґрунтована міркуванням та досвідом. Але разом з тим це і ненадійний, несистематизований шлях, який може завести в глухий кут, безплідна надія ледарів не бажаючих доводити свій мозок до знемоги зусиллями. Серед студентів старших курсів було проведено експериментальне дослідження у формі анкетування з метою встановлення знання чи незнання студентами означень основних понять, а також виявлення, якими інтуїтивними поняттями вони оперують у розмірковуваннях. Анкетування показало, що близько 20% опитуваних дали означення понять на логічному рівні, як цього 282 вимагає програма курсу. А близько 80% опитуваних не знають означень, але користуються успішно цими означеннями на інтуїтивному рівні. Інтуїтивні знання розвиваються в основному при розборі конкретних ситуацій – прикладів, задач, графіків, креслень. Для цього необхідно супроводжувати такий аналіз короткими, нехай і в огрубленій формі, формулюваннями основних понять, фактів, ідей, на які бажано направити увагу студентів. Наприклад: «Зверніть увагу: визначений інтеграл відрізняється від невизначеного тим, що це або число, або первісна з визначеною постійною». Орієнтуючись на розвиток інтуїтивного знання, необхідно систематично на лекційних і практичних заняттях розкривати «грубий» зміст основних понять, що обговорюються. І дуже важливо, щоб самі означення основних понять максимально сприяли виявленню цього змісту. Важливим проявом продуктивної математичної інтуїції, яку ми намагаємося розвивати в процесі вивчення курсу «Вища математика», є вміння студентів орієнтуватися у новій незнайомій ситуації, можливість передбачати правильні результати внаслідок розв’язування технічних, інженерних, економічних задач, вибирати шляхи їх одержання, вбачати явно помилкові висновки. Різниця в стилях мислення інтуїтивістів і аналітиків очевидна, хоча і ті, й інші видатні вчені-математики. Тим не менш, зовсім виразно А Пуанкаре стверджує, що не тільки інтуїтивістами, але і логіками керує інтуїція — деяка особлива суто математична інтуїція чистого числа. Вона допомагає побачити приховані аналогії, що в математиці грає найчастіше вирішальну роль, і потім вже продуктивно скористатися аксіомою математичної індукції. Інтуїція — генералізатор, логіка — фахівець. Інтуїція — головнокомандувач, логіка — солдат. Інтуїція — директор підприємства, логіка — технолог. Інтуїція задає генеральну лінію, — логіка вирішує, як це робити і коли. Уявіть собі, що б було, якби технологи раптом відмовилися вирішувати поставлену задачу. Якби фахівці почали заперечувати можливість вирішення поставленого завдання. Все б полетіло шкереберть, і нічого б ми не досягли. Саме у взаємодії логіки — як лінійного фактора мислення — і інтуїції — як узагальнюючого чинника — можливо найбільш ефективне досягнення результату. Роль інтуїції в математичній творчості очевидна. Без її участі неможливе ні одне велике математичне відкриття. Взагалі рішення будь-якої задачі, що виходить за рамки тавтології, неодмінно містить в собі інтуїтивний елемент. Його присутність завжди психологічно відчутно, оскільки твердження передує власне доказу. Математик спочатку формулює на основі результатів роботи інтуїції деякий висновок, а потім його вже обґрунтовує на мові математичної теорії. 283 МЕТОДИКА ФОРМУВАННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ПОНЯТЬ А. В. Коновал НТУУ «Київський політехнічний інститут», Київ, Україна artren.91@mail.ru При вивченні будь-якої науки ми зіштовхуємося з необхідністю вивчення певних понять. Математика не є виключенням. Але вивчення поняття далеко не завжди означає його розуміння. Дуже часто означення просто механічно зазуб- рюються. Тому перед викладачем стоїть задача пояснити поняття так, щоб сту- денти знали істотні властивості поняття, яке вивчається, вміли навести прикла- ди та знали його загальновживану назву. Не всі поняття однаково легко засвоїти. Одні засвоюються значно легше, а інші спочатку засвоюються поверхово, розпливчасто і набагато довше. Ознайомлювати студентів із тим або іншим поняттям можна по-різному, залежно від самого поняття і від підготовки студентів. Часто, щоб студенти краще зрозуміли, треба починати пояснення нового поняття із розгляду конкре- тних прикладів і тільки після цього давати його означення. В інших випадках можна зразу сформулювати означення, а потім ілюструвати його конкретними прикладами. Перший із цих способів введення поняття називають конкретно- індуктивним (від одиничного до загального, від прикладів до визначення), а другий — абстрактно-дедуктивним (від загального до одиничного, від визна- чення до прикладів). Основна перевага конкретно-індуктивного підходу полягає в тому, що при введенні нового поняття викладач спирається на досвід і знання студентів, що саме по собі припускає їх активну участь у роботі. Конкретно-індуктивний під- хід сприяє формуванню індуктивного мислення студентів. Абстрактно-дедуктивний метод використовується, коли визначення нового поняття просте , а сам об'єкт знайомий студентам. В цьому випадку визначаль- на ознака чітко виділяється у об'єктів, які приводяться як приклад. Абстрактно- дедуктивний підхід вимагає найменше часу, але після введення нового озна- чення складної структури потрібна певна (часто значна за часом) робота по йо- го засвоєнню. Частину визначень студенти засвоюють тільки після цілеспрямо- ваної роботи по вивченню структури цих понять. Абстрактно-дедуктивний підхід можна використовувати при введенні будь-якого поняття. Такий підхід до введення поняття розвиває теоретичне ми- слення. Розглянуті вище підходи до введення нового поняття засновані на абстрак- ції ототожнення. Провідну роль у формуванні понять грає наочно-образний компонент. Суть практичного підходу полягає в тому, що, узявши за основу деяку вла- стивість (або декілька властивостей) математичного об'єкту як критерій класи- фікації, студенти під керівництвом викладача проводять класифікацію матема- тичних об'єктів по даній ознаці. В результаті одному з отриманих класів прив- 284 ласнюється деякий термін і дається визначення об'єктів даного класу, тобто по- чинається формування нового поняття. Практичний підхід допомагає зрозуміти метод наукового пізнання дійсно- сті, навчає основам класифікації, припускає активну участь студентів у пізнава- льній діяльності. Але цей метод вимагає чималих витрат часу. Крім того, прак- тичний підхід дає добрий результат лише там, де класифікація об'єктів за ви- значальною ознакою нового поняття можлива і доцільна. Так, цей підхід дореч- ний, коли вводиться відношення між об'єктами. Якщо розглянуті вище підходи дозволяють лише ввести новий об'єкт (по- няття), то підхід, який назвали дослідницьким, направлений на формування по- няття в цілому, як системи взаємозв'язаних логічно впорядкованих думок. При цьому можна організувати пізнавальну діяльність студентів так, щоб відтвори- ти (з деякою часткою достовірності) діяльність ученого-математика, направле- ну на вивчення нового об'єкту і утворення поняття. При дослідницькому підході спільна діяльність викладача і студентів про- ходить по наступних етапах: • постановка мети діяльності; • емпіричне вивчення нового математичного об'єкту, пошук його властиво- стей; • формулювання його властивостей у вигляді гіпотез; • початок побудови теорії поняття: введення терміну, визначення матема- тичного об'єкту; • перевірка істинності висловлених припущень шляхом приведення дедук- тивних доказів; • пошук ознак досліджуваного об'єкту (доказ зворотних тверджень); • уточнення логічних зв'язків між думками; схематизація змісту нового поняття; засвоєння змісту поняття; • навчання використовувати нове поняття в діяльності: рішення опорних задач; виділення загальних прийомів діяльності, сприяючих застосуванню по- няття (наприклад, відшукання евристик); • застосування поняття в нестандартних ситуаціях. Велика роль у формуванні понять відводиться їх визначенням, але викла- дач повинен володіти усією сукупністю знань, що характеризують дане понят- тя, а не тільки знати визначальну ознаку. Важливу роль в застосуванні поняття в розумовій діяльності грає рухли- вість думок, в основі якої лежить розуміння логічних (причинно-наслідкових) зв'язків між поняттями. Правильне введення математичних понять, формування поняття як систе- ми взаємозв'язаних логічно впорядкованих думок, розумне поєднання логічного і змістовного аспектів в процесі вивчення понять - все це сприяє засвоєнню по- нять і застосуванню їх в учбовій і практичній діяльності. 285 ЗАДАЧИ И МЕТОД ПРЕПОДАВАНИЯ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В ТЕХНИЧЕСКОМ ВУЗЕ А. И. Кононенко, А. П. Харченко, Р. В. Посылаева Харьковский национальный университет строительства и архитектуры, Харьков, Украина hgtusa-mathematica@mail.ru , posulaeva@mail.ru В современный период развития общества, характеризующийся высоким техническим прогрессом, трудно найти такую область человеческой деятельности, активное участие в которой не требовало бы определенной математической подготовки, тем более в подготовке инженеров. Для определения целей обучения математике необходимо учесть место и роль математики в современной науке, технике, ее значение в жизни современного общества, а также исходить из общих целей обучения в техническом вузе. Главные цели, которые могут быть поставлены при изучении математических наук, этими целями определяются как объем, так и способы изложения изучаемого: – чисто научна, абстрактная; – практическая, прикладная. При научном изучении имеется главным образом в виду ознакомление с самою наукою в современном ее состоянии, приобретение теоретических знаний математической науки, развитие способности к точному математическому мышлению и строгому рассуждению, независимо от каких- либо приложений науки к частным вопросам жизни. Главное внимание при прикладном изучении обращается на усвоение общих приемов и способов, алгоритмов служащих основанием для решения практических вопросов и задач, на изложение удобных приемов вычисления, на умения пользоваться готовыми результатами и разного рода вспомогательными средствами. При решении практической задачи обоснование может быть дано не только чисто умозрительное, сводящее все к основным аксиомам, но и при помощи наглядности, делающее утверждение очевидным. Разумеется, перечисленные цели взаимосвязаны. Прикладное изучение математики не сводится к рецептуре или к умению пользоваться справочниками.Заученное применение формул приводит к формальному умению производить математические операции (дифференцирование, интегрирование и т.п.), не имея должного представления о роли математических методов при решении технических (инженерных) задач. Нельзя достичь необходимого практического применения без приобретения определенных знаний, но и практические умения не является простым следствием усвоения определенной суммы знаний. Можно приобрести большой запас знаний и так не научиться применять их на практике. Поэтому 286 важно в достаточной степени овладеть теоретическими знаниями и уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, не только использовать готовые формулы, но и получать новые. В вопросах практической деятельности не требуется абсолютно точных решений, в особенности в инженерном деле; ибо уже самое приведение вопроса к математической задаче здесь делается с помощью ряда допущений, не вполне точных. Наконец, самое исполнение изделия, для которого расчет производится, не может быть "абсолютно" точным, а совершается с "допусками", достаточными для целей практики. Без глубоких теоретических знаний, так называемой чистой математики, невозможны достижения и успехи в прикладной математике. Но, понятно, прикладной характер должен оказывать существенное влияние на содержание и изложение курса, так как инженер изучает математику с целью практической, прикладной и рассматривает ее не как самостоятельный объект изучения, а как подсобное орудие, как инструмент для решения ряда вопросов, встречаемых в некоторой ограниченной области практической деятельности. Это соображение заставило придерживаться такого способа изложения, теоретический материал сделать более кратким, отказаться без существенного ущерба от малозначащих, громоздких или повторяющихся по своим идеям доказательств утверждений, вместе с тем тщательно прорабатывать основные понятия и доказательства на достаточном для технического вуза уровне строгости. Многие определения, теоремы, формулы сопровождать комментариями, которые позволят раскрыть содержание вводимых понятий, смысл теорем и формул, раскрыть связь излагаемого материала с предшествующим, указать возможные применения соответствующих теорем и формул, привести достаточное количество примеров иллюстрирующих теорию. Изложение материала и процесс обучения необходимо строить таким образом, чтобы побуждать студентов к самостоятельному изучению темы. По мнению авторов, при изучении математики эффективность обучения усиливается, если в его процессе использовать создание проблемных ситуаций и составление справочных материалов (блок-схем). Например, составление блок-схемы по теме «Интегрирование функции». Справочные материалы можно представить в виде схемы, в которую в блочной форме включены основные методы интегрирования (табличное интегрирование, метод замены переменной, метод интегрирования по частям) и введён блок дополнительных преобразований. В этот блок полезно поместить дополнительную информацию, связанную с теорией интегрирования рациональных дробей, тригонометрических и иррациональных выражений. Между всеми блоками необходимо установить взаимосвязь, что в дальнейшем поможет студентам при выборе способа интегрирования. Таким образом, составленные справочные материалы будут представлять логически упорядоченный и систематизированный минимум сведений по теме 287 «Интегрирование функции». Такая деятельность прививает у студентов необходимость систематизации и обобщения знаний и умений. В теме «Интегрирование функции» проблемную ситуацию можно создавать с помощью так называемых «контрпримеров». Если решается задача вычисления интеграла вида (1) sin x xdx (1) то после её решения полезно рассмотреть интеграл (2) 2 sin x x dx (2) а далее появляется возможность и необходимость введения понятия интегрального синуса (3) и интегрального косинуса (4) sin x dx x (3) cos x dx x (4) На практических занятиях также полезно демонстрировать разные способы решения одной задачи с последующим обсуждением выбора наиболее рационального способа. Такая работа приучает будущих управленцев к многовариантности мышления и принятию правильных решений. Изложенный подход к изучению предмета требует дополнительных усилий со стороны преподавателя и студента, но опыт показывает, что эти усилия оправдываются. Наше общество нуждается в специалистах с навыками четкого логического мышления, с хорошими математическими знаниями и умением анализировать сложные процессы, делать правильные логические выводы, видеть и реализовать возможности применения математики в различных конкретных ситуациях. Формирование творчески мыслящих специалистов высокого уровня является целью высшего образования. Но одна из главных ролей принадлежит, несомненно, математике. |