02. Методика викладання математики у вищій школі. Особливості викладу навчального матеріалу у дистанційному курсі вища математика для інженерів і економістів
 Скачать 5.21 Mb.
|
|
МЕТОДИКА ИЗЛОЖЕНИЯ КУРСА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ В ТЕХНИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ Н. А. Микулик, Г. Н. Рейзина БНТУ, Минск, Беларусь mathematics1@bntu.by На современном этапе развития науки, техники, информационных техно- логий важное место в подготовке современного инженера занимает наука ма- тематика, являющаяся основой для изучения многих как общенаучных, так и специальных дисциплин. Основы знаний по математике призваны прививать в средних учебных за- ведениях. Однако практика последних десятилетий показывает, что многие из первокурсников имеют слабую теоретическую и практическую подготовку по элементарной математике. Это объясняется тем, что, по словам студентов, в общеобразовательной школе учителя не требуют от учащихся доказательства теорем и вывода формул. Таким образом, многие учащиеся, а также студенты не могут решить не только квадратное, но и линейное уравнение с одним неиз- вестным, не знают тригонометрических и логарифмических функций и т.д. В связи с этим профессорско-преподавательскому составу кафедр матема- тики университета приходится заботиться, чтобы студенты ликвидировали пробелы по элементарной математике и получили знания и умения по высшей математике, а также научить их «учиться», работать с учебником, вести кон- спект, привить им творческий, исследовательский подход к решению матема- тических и прикладных задач. В последние годы произошли значительные изменения в информационном пространстве. В связи с этим произошли изменения в технологии обучения как в средней школе, так и в вузе. Однако роль личного общения студента с препо- давателем во время учебных занятий не уменьшилась. Практика показывает, что студенты, которые в течение семестра посещают лекционные и практиче- ские занятия, показывают лучшие знания и умения во время экзаменов, чем те, которые допускали пропуски занятий. Считаем, что лекционные и практические занятия по математике являются основой глубоких и прочных знаний по этому предмету. На лекции по математике нужно не только четко и ясно излагать материал, но и создавать проблемные ситуации, устраивать «мини» дискуссии, обращать- ся к аудитории с вопросами, как лучше сформулировать то или иное утвержде- ние, является ли утверждение необходимым или достаточным, как доказать утверждение, на каком основании следует вывод? и др. Постоянно, по возможности, указывать на применение излагаемой теории при решении задач, связанных с производством. Так, например, при чтении лекции по дифференциальным уравнениям отметить их роль изучении динами- ческих систем, при проектировании и доводке новых транспортных средств, технологических машин и т.д. Показать на примере простейшей динамической 296 системы составление математической модели и дифференциальных уравнений, описывающих колебательные процессы, происходящие при работе системы. Рассмотрение на лекции проблемных ситуаций и их разрешение, обсуждение вопросов, связанных с производством, сообщение об участии самого лектора в решении технических задач или известных ученых в решении технических проблем. Применение математических методов вызывает у обучаемых интерес к изучению математики. На каждом практическом занятии по математике преподавателю нужно спросить, есть ли вопросы по домашним заданиям, проверить домашние зада- ния по теории и практике обязательно, отметить студентов, не выполнивших его. Затем приступить к решению задач по очередной теме. При решении задач нужно рассмотреть различные методы их решения. После совместного с препо- давателями решения типовой задачи или примера нужно студентам предложить задачи для самостоятельного решения. После их решения преподавателю необ- ходимо подвести итог, отметить студентов лучше и быстрее получивших пра- вильные решения. За 3-5 минут до окончания занятия преподаватель дает до- машние задания, состоящие из теоретического материала и практических задач или примеров. Большое место в изучении математики занимает самостоятельная работа над изучаемым материалом. Для нее в учебном плане отводится достаточно времен, например, для одной специальности ФИТР в третьем семестре общее число часов на изучение математики составляет 250 часов, из них на учебные занятия выделено 102 и 148 часов на самостоятельную работу. Самостоятельную работу как в учебное, так и во вне учебное время необ- ходимо контролировать. В настоящее время студентам предоставлена полная возможность для самостоятельной работы. Они обеспечены достаточным коли- чеством учебных и методических материалов, в том числе и на электронных носителях. Отметим, что при изучении математики студентами важную роль играет их настроенность на упорную работу по овладению знаниями. Профессорско- преподавательскому составу необходимо всячески воздействовать появлению у студентов настроя на работу над своим образованием. В этом залог успеха. 297 УСИЛЕННЫЙ НЕОБХОДИМЫЙ ПРИЗНАК СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ С ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ Л. П. Мироненко Донецкий национальный технический университет, Донецк, Украина mironenko.leon@yandex.ru Напомним содержание необходимого признака сходимости рядов с неотрицательными членами. Если ряд 1 , 0 n n n u u сходится, то предел его общего члена n u стремится к нулю при n , т.е. lim 0 n n u . Обычно этот признак используется для установления расходимости рядов, поскольку не является достаточным признаком, а только необходимым [1]. Распространенным среди достаточных признаков является признак сравнения, который обычно применяется в двух формах – в конечной и предельной. В обоих случаях сравниваются члены двух рядов, исследуемого 1 n n u и известного 1 n n v . Нас будет интересовать предельный признак сравнения, в котором рассматривается предел lim / n n n u v . Если ряд , 1 0 n n n v v сходится, а величина предела равна C (в частности, 0 C ), то ряд 1 n n u также сходится [1-2]. В качестве ряда сравнения обычно выбирают обобщенно гармонический 1 / n v n Запишем обобщенно гармонический ряд, используя вместо привычного параметра параметр , который связан с равенством 1 сходится, расходится 1 1 0 1 0 n n Теперь запишем признак сравнения в предельной форме для произвольного ряда 1 , 0 n n n u u : 1 1 lim lim 1 / n n n n u n u n На основании сравнения рядов приходим к следующему выводу. Если существует конечный предел 1 lim n n n u C (1) и, при этом, 0 , то ряд 1 , 0 n n n u u сходится [1-3]. Пусть ряд 1 , 0 n n n u u сходится и существует 0 , такое, что выполняется равенство (1). Перепишем формулу (1) в виде 1 lim lim lim lim n n n n n n n n u n nu n nu C , (2) 298 и предположим, что lim 0 n n nu . В таком случае равенство (2) будет выполняться, если предел lim n n при некотором 0 имеет конечное значение или равен нулю. Но такого не существует, поскольку lim n n при любом 0 . Итак, если lim 0 n n nu , то ряд 1 n n u расходится. Это противоречит исходному предположению о сходимости ряда 1 n n u . Отсюда следует необходимое условие сходимости ряда 1 , 0 n n n u u lim 0 n n nu . (3) Признак (3) имеет более широкие возможности, чем принятый в теории рядов признак lim 0 n n u . Например, ряд 1 1 / n n расходится, хотя для него необходимый признак lim lim 1 / 0 n n n u n выполняется. В тоже время, по формуле (3) наш, будем называть усиленный необходимый признак не выполняется lim lim / n n n nu n n Делаем заключение о расходимости ряда 1 1 / n n сразу. Рассмотрим одно из приложений усиленного признака, применяя его к интегральному признаку Коши Интегральный признак Коши гласит: если функция ( ) u x неотрицательна и убывает при 1 x , то ряд 1 ( ) n u n сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл 1 ( ) u x dx Пусть ряд 1 ( ) n u n сходится, тогда сходится интеграл 1 ( ) u x dx Интегрируем по частям 1 1 ( ) lim ( ) (1) ( ) . x u x dx xu x u xu x dx Согласно необходимому признаку сходимости (4) lim ( ) 0 x xu x . Поскольку интеграл в левой части равенства сходится, то сходится интеграл в правой части, то есть интеграл 1 ( ) xu x dx . Согласно интегральному признаку Коши сходится ряд 1 n n nu Заметим, что в этом случае необходимое условие (3) для ряда 299 1 n n nu примет вид 2 lim 0 n n n u Обратим внимание на то, что сходимость ряда 1 n n nu является как необходимым, так и достаточным для сходимости ряда 1 n n u Действительно, пусть теперь сходится ряд 1 n n nu , тогда сходится интеграл 1 ( ) xu x dx Интегрируем по частям (теперь в обратном порядке), получим 1 1 ( ) lim ( ) (1) ( ) . x xu x dx xu x u u x dx Опять, поскольку lim ( ) 0 x xu x - это необходимое условие сходимости ряда 1 n n u , то ряд 1 n n u сходится. Если условие lim ( ) 0 x xu x не выполняется, тогда ряд 1 n n u расходится, но тогда, как мы уже показали раньше, расходится ряд 1 n n nu , что противоречит начальному предположению. Повторим рассуждения для ряда 1 ( ) n nu n , учитывая, что для него должно выполняться необходимое условие 2 lim 0 n n n u . А именно, пусть ряд 1 ( ) n nu n сходится, тогда сходится интеграл 1 ( ) xu x dx . Интегрируем по частям 2 2 1 1 1 1 ( ) lim ( ) (1) ( ) . 2 2 x xu x dx x u x u x u x dx Согласно условию 2 lim 0 n n n u . Поскольку интеграл в левой части равенства сходится, то сходится интеграл в правой части 2 1 ( ) x u x dx . Согласно интегральному признаку Коши сходится ряд 2 1 ( ) n n u n Рассуждения можно повторить k раз. В результате приходим к двум важным положениям в теории числовых рядов с положительными членами. 300 1. Для того чтобы ряд с положительными членами 1 ( ) n u n сходился, необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд ( ) 1 ( ) k k n n u n , где 1, 2, ... k 2. Если ряд с положительными членами 1 ( ) n u n сходится, то выполняется необходимый признак сходимости 1 ( ) lim ( ) 0 k k n n u n для любого 1, 2, ... k Эти положения являются одними из основных результатов статьи. Демонстрируем эти утверждения примером сходящегося ряда 2 1 1 / ln n n x с общим членом 2 1 / ln n u n x . Дифференцируем ряд 2 2 3 3 2 3 4 3 2 ln 2 1 2 ln 6 ln 6 2 , ln ln ln ln n n n n n n n u u n n n n n n n n Ряды ( ) 1 ( ) k k n n u n при 1, 2 k имеют вид 3 1 1 ln 2 ( ) ln n n n nu n n n , 2 2 4 1 1 2 ln 6 ln 6 ( ) ln n n n n n u n n n При больших n общий член каждого из рядов (с точностью до множителя) ведет себя подобно общему члену исходного ряда, а именно 2 2 1 ln n n n n u nu n u n n Выводы 1. На основе признака сравнения в предельной форме получен усиленный необходимый признак сходимости числовых рядов с положительными членами, который имеет более широкие возможности в сравнении с признаком, принятом в теории числовых рядов. 2. Одним из следствий усиленного необходимого признака сходимости является возможность получить ряд эквивалентных в смысле сходимости рядов заданному ряду. Список литературы 1. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Том I., - М.: Наука,1970 - 571 с. 2. Ильин В.А., Поздняк Э.Г. Основы математического анализа, том 1. - М.: Изд-во ФМЛ, Москва, 1956. -472 с. 3. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2. - М.: Наука, Изд-во ФМЛ, 1972 - 795 с. 301 ДО ПИТАННЯ ПРО ЯКІСТЬ ШКІЛЬНОЇ І ВИЩОЇ МАТЕМАТИЧНОЇ ОСВІТИ Ю. В. Митник Ун-т “Києво-Могилянська Академія”, Київ, Україна mytnik@ukma.kiev.ua Використанню сучасних освітніх технологій в навчальному процесі приділя- ється досить значна увага науково-методичних і науково-практичних конференцій. Як не парадоксально, разом з тим росте стурбованість педагогів падінням якості математичної підготовки як випускників середньої школи, так і студентів ВНЗ [1]. Чи не є однією з причин зниження рівня математичної підготовки система оціню- вання знань зі все більш поширеним використанням тестових технологій, зокрема зовнішнє незалежне оцінювання випускників середніх шкіл (ЗНО)? Нагадаємо, що з’явилися вступні тести (закритої форми) в Україні вперше в університеті «Києво-Могилянська Академія» з 1992 року, постійно вдоскона- люючись і приваблюючи абітурієнтів можливістю вступити на будь-який факу- льтет лише за результатами вступного тестування, які оголошувались в той же день через кілька годин після його проведення (обробка результатів здійснюва- лась спеціальним комп’ютерним комплексом). Слід зауважити, що це було прогресивним кроком в протидії корупції в освіті і сприяло досить швидкій по- яві як регіональних центрів оцінювання якості освіти (РЦОЯО), так і УЦОЯО (Український центр оцінювання якості освіти). При підтримці і з ініціативи РЦОЯО з 2003 року в експерименті по запрова- дженню ЗНО у вступній кампанії брало участь декілька вузів, а з 2007 року – ре- зультати ЗНО, яке проводилось новоствореним УЦОЯО стало обов’язковим при вступі до всіх ВНЗ III-IV рівня акредитації. Завдання з математики були першого, другого (тести відповідно закритої і відкритої форми) і третього рівня – тут розв’язки треба було надати в письмовій формі. Саме завдання третього рівня до- зволяли визначити, наскільки високим був рівень розуміння матеріалу і математич- ної культури випускника. На жаль, за виконання завдань третього рівня бралось лише 10-15% випускників, а перевірка завдань вчителями і викладачами математи- ки вимагала певного фінансування, тому з 2010 року третій рівень замінили тестами на відповідність, для виконання яких часто достатньо лише асоціативного рівня за- своєння шкільної програми. Перевірка здійснюється автоматизовано без втручання викладачів, але завдання за останні роки значно спростились, більшість завдань ви- магають лише «маніпулятивної» математики. До речі, деякі розділи вищої матема- тики (початки диференціального і інтегрального числення) інколи засвоєні студен- тами лише на рівні «таблиці маніпуляцій» - похідних і інтегралів. Оскільки ЗНО стало визначальним при вступі до ВНЗ, то шкільна матема- тична освіта поступово йде по шляху механічного, «тестового» рівня розуміння математики. Лише фіз.-мат. ліцеї ще намагаються тримати класичний «осмис- лений» рівень. Про це свідчать і дані моніторингу, який проводиться з 2009 ро- ку зі студентами I-IV курсу факультету інформатики НаУКМА. Ці дані зводи- лись в наступну таблицю (для кожної навчальної групи, яка протягом чотирьох років бакалаврату майже не змінювалась): 302 Група 2 (МА- 2010) ал- геб- ра гео- ме- трія ЗНО I курс II курс III курс IV курс ПІБ сту- ден- та школа (12) (12) (200) КР0 (10) Матем. аналіз (100) Матем. аналіз (100) Диф. р-ня (100) Держ іспит (100) 1 ФМЛм 12 12 196 10 100 А 91 A 100 A 2 ЗОШм 11 10 196 7 61 E 61 E - F 3 ЗОШм 11 11 194 9 98 A 94 A 100 A 4 ЗОШс 11 10 192,5 10 90 B 85 B 91 A 5 ЗОШс 12 11 191,5 8 71 C 63 E 72 C 6 ПШм 10 11 189,5 6 61 E - F - F 7 ЗОШс 12 12 188,5 7 75 C 63 E 76 C 8 ЗОШс 12 12 188 6 86 B 81 B 85 B 9 ЗОШс 12 12 188 6 86 B 81 B 85 B 10 ЗОШм 10 10 187 5 71 C 71 C 81 B 11 ГЛм 12 12 184,5 6 83 B 75 C 85 B 12 ЗОШс 12 11 182,5 7 85 B 74 C 81 B 13 ГЛм 10 10 182,5 4 60 E - F - F 14 ЗОШс 11 11 180,5 5 76 C 72 C 81 B 15 ГЛм 11 11 180,5 5 61 E 61 E 71 C 16 ЗОШс 9 10 180 3 61 E - F - F 17 ГЛм 12 10 179 6 66 D 61 E 72 C 18 ШІм 11 11 175 2 75 C 76 C 86 B Таблиця 1. (Вибірка упорядкована по результатам ЗНО). Тут в колонці: «школа» - дані про середню школу, яку закінчив студент (фіз.-мат. ліцей чи математичний клас спеціалізованої середньої школи (ФМЛ), гуманітарний клас чи спеціалізована середня школа з поглибленим вивченням іноземних мов (ГЛ), загальноосвітня школа, гімназія (ЗОШ), школа-інтернат (ШІ), приватна школа (ПШ), велике місто (м) чи сільська місцевість (с)), «алгебра», «геометрія» - бал атестату з цих дисциплін, «ЗНО» - бал ЗНО, «КР0» - бал за контрольну роботу на «рівень залишкових знань», яка тра- диційно проводиться для першокурсників на першому практичному занятті з математичного аналізу, 303 «I курс»- «IV курс» - підсумковий бал з відповідних математичних дисци- плін за I-IV курс. Найменша позитивна оцінка – 61 бал. У дужках вказаний найвищий можливий бал. Прочерк означає незадовільну оцінку за курс. A,B,C,D,E,F – оцінка за шкалою ЄКТС (A (відмінно), B,C (добре), D,E (задові- льно), F (незадовільно)). Слід зауважити, що випускники спеціалізованих математичних шкіл при вступі до обраного ВНЗ не стільки турбуються за результати ЗНО з математики, скільки за оцінки з української чи англійської мов, бо там набрати належний бал набагато важче, а внесок до загального рейтингу (кожен предмет – макси- мум 200 балів) однаковий. Чи не доцільно було б в цьому аспекті надавати фа- культетам чи спеціальностям відповідного профілю ВНЗ певні преференції і враховувати бал з математики, наприклад, з деяким ваговим коефіцієнтом? За- галом, оцінка ЗНО більш об’єктивно відображає рівень шкільних знань, ніж оцінка атестату, але ЗНО з математики в тій формі, в якій воно є в останні ро- ки, не сприяє поліпшенню якості математичної освіти в Україні, більше того, ця якість поступово і невпинно падає. Деякі нотатки по організації навчального процесу і використанню тестових завдань: 1. У зв’язку зі зменшенням кількості годин, відведеної для прочитання то- го чи іншого курсу при тій же програмі курсу з’явилася практика «демоверсій» контрольних робіт, тобто надання в якості домашньої роботи завдань, набли- жених за тематикою до контрольної. З одного боку, це стимулює студентів краще підготуватись, а з іншого, забути за інші теми і цілісність курсу. 2. Користування Інтернет-ресурсами (особливо Вікіпедією) при написанні курсових і контрольних робіт має як позитивну, так і негативну складову – щось схоже на використання калькулятора в початкових класах школи. 3. Тести доцільно застосовувати на рівні поточного або проміжного конт- ролю, причому відкритої або змішаної форми [2], для підсумкового контролю найкраща класична форма письмового чи усного екзамену. Тести закритої фор- ми чи на відповідність, які досить цікаві для занять з учнями середніх шкіл, для роботи зі студентами мало ефективні. 4. Тести дозволяють суттєво зменшити час на проведення контролю (якщо не враховувати зусиль на їх розробку) і дещо підвищити мотивацію до навчання, але одночасно стимулюють поверхневе, недостатньо глибоке вивчення предмету. 5. Доцільно використання різних форм тестового контролю, в тому числі з розгорнутою відповіддю (що вже не є тестом, а письмовою роботою), як це ро- билось в [3]. |