02. Методика викладання математики у вищій школі. Особливості викладу навчального матеріалу у дистанційному курсі вища математика для інженерів і економістів

• Название: Особливості викладу навчального матеріалу у дистанційному курсі вища математика для інженерів і економістів
• Дата: 24.11.2022
• Размер: 5.21 Mb.
• Имя файла: 02. Методика викладання математики у вищій школі.pdf
• Тип: Лекція; #810938
• страница: 15 из 17

ПРО ЩЕ ОДИН МЕТОД РОЗВ
’
ЯЗУВАННЯ ЛІНІЙНИХ
НЕОДНОРІДНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ
ЗІ СТАЛИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ
Л. А.
Репета, В. К. Репета
НТУУ “Київський політехнічний інститут”,
Національний авіаційний університет, Київ, Україна
[e-mail]
Звичайні диференціальні рівняння є потужним засобом математичного дослідження різноманітних процесів. До найбільш вивчених і поширених відносять лінійні диференціальні рівняння. У вищих технічних навчальних закладах під час вивчення лінійних рівнянь значну увагу приділяють рівнянням зі сталими коефіцієнтами. Однорідні рівняння зазвичай розв’язують методом
Ейлера. Для розв’язання неоднорідних рівнянь
Ly
f

спочатку знаходять загальний розв’язок однорідного рівняння
0
Ly 
і у разі, якщо
f
є функцією спеціального вигляду, то частинний розв’язок неоднорідного рівняння знаходять за методом невизначених коефіцієнтів. Якщо ж права частина рівняння
Ly
f

не є функцією спеціального вигляду, то загальний розв’язок знаходять за методом Лагранжа (варіації довільних сталих). Здебільшого розгляд методу Лагранжа обмежується рівняннями другого порядку.
Заслуговує на увагу ще один, достатньо ефективний підхід до розв’язування лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами ( див, наприклад, [1], [2]). Проілюструємо його на прикладі рівняння другого порядку.
Нехай потрібно знайти загальний розв’язок рівняння
( )
y
py
qy
f x





, (1) де
,
p q
– задані сталі,
( )
f x
– задана функція.
Уведемо позначення для оператора диференціювання:
d
D
dx

. Тоді рівняння (1) можна записати у вигляді
2
(
)
( )
D
pD
q y
f x



, або
1 2
(
)(
)
( )
D
D
y
f x
 
 

. (2)
Тут
1 2
,
  – нулі квадратного тричлена
2
D
pD
q

 .
Основна ідея розглядуваного методу розв’язання рівняння (1) полягає у заміні його рівносильною системою лінійних диференціальних рівнянь першого порядку. Для цього введемо нову змінну
( )
u x
:
2
(
)
D
y
u
 
 . Тоді рівняння (2), отже, і рівняння (1), можна замінити рівносильною системою
1 2
(
)
( ),
(
)
,
D
u
f x
D
y
u
 



 


321

або
1 2
( ),
u
u
f x
y
y
u
   

    

(3)
Проінтегруємо систему (3). Загальний розв’язок рівняння
1
u
u
f
  

задається формулою
1 1
x
x
u
e
fe
dx




Після врахування цієї формули друге рівняння системи (3) набуде вигляду
1 1
2
x
x
y
y
e
fe
dx

 
  


Звідси дістанемо формулу


2 1
2 1
(
)
x
x
x
y
e
e
fe
dx dx

 




, (4) яка задає загальний розв’язок рівняння (1).
Цінність формули (4) полягає, перш за все, у тому, що розв’язок рівняння
(1) виписано у явному вигляді, тобто чітко вказано на дії, які потрібно виконати з правою частиною рівняння (1), для отримання його загального розв’язку. У цьому розумінні теоретичне обґрунтування розглянутого методу є більш зрозумілим і простішим за метод Лагранжа. На практиці формулу (4) доцільно застосовувати у випадках дійсних значень
1
 і
2
 . У цьому разі формула (4) є цілком конкурентною з методом варіації довільних сталих. Коли ж
1
 і
2
 є парою комплексно-спряжених коренів, формула (4) також застосовна, проте у цьому разі доведеться інтегрувати комплексні функції, що може призвести до громіздких перетворень.
Зазначимо, що використовуючи метод Лагранжа для рівняння (1), можна також дістати явні формули для загального розв’язку рівняння (1).
Наприклад, якщо дійсні
1 2
   , то за методом Лагранжа отримаємо


1 2
1 1
2 2
1 2
2 1
1
x
x
x
x
x
x
y
C e
C e
e
fe
dx
e
fe
dx













  
; (5) у разі, якщо
1 2
   , то


1 1
1 2
1 2
(
)
x
x
x
x
y
e
C
C x
e
xfe
dx
x fe
dx











. (6)
Тут
1 2
,
C C – довільні сталі.
Формули (5), (6) та формула (4) водночас і схожі, і різні. Спільним, зокрема, є те, що кожна формула містить два інтеграли, крім того, у формулі (4) внутрішній інтеграл повністю співпадає з одним із інтегралів у формулах (5) і (6).
Приклад. Знайдемо за формулою (4) загальний розв’язок рівняння
2 1
5 6
1
x
y
y
y
e






Нулями тричлена
2 5
6
D
D


є числа
1 3
2,
3
      .
З урахуванням правої частини
2 1
( )
1
x
f x
e


загальний розв’язок заданого рівняння визначаємо за формулою
322

2 3
2 1
x
x
x
x
e
y
e
e
dx dx
e











, яка після інтегрувань набуває вигляду
2 3
2 2
3 1
2 1
ln(1
)
arctg
2
x
x
x
x
x
x
y
C e
C e
e
e
e
e









, де
1 2
,
C C – довільні сталі.
Якщо скористатися методом Лагранжа, то отримаємо такий же результат.
При цьому обсяг виконаної роботи в обох випадках приблизно однаковий.
Розглянемо тепер лінійне неоднорідне рівняння зі сталими коефіцієнтами
n-го порядку
( )
(
1)
1 1
n
n
n
n
y
a y
a
y
a y
f







. (7)
Запишемо рівняння (7) в операторному вигляді
1 1
1
(
)
( )
n
n
n
n
D
a D
a D
a y
f x







Якщо
1 2
,
, ...,
n
 
 — нулі багаточлена
1 1
1
n
n
n
n
D
a D
a D
a






, то рівняння (7) можна записати так:
1 2
(
)(
)...(
)
( )
n
D
D
D
y
f x
 
 
 

За допомогою нових змінних
1 2
1
( ),
( ), ...,
( )
n
u x u x
u
x

, де
1 2
(
)...(
)
n
u
D
D
y

 
 
,
…,
1
(
)
n
n
u
D
y


 
рівняння
(7) зведемо до рівносильної системи
1 1
2 2
1 1
(
)
( ),
(
)
,
(
)
,
n
n
D
u
f x
D
u
u
D
y
u

 



 




 



проінтегрувавши яку, отримаємо формулу загального розв’язку рівняння (7):
1 1
2 1
(
)
(
)
(
)
n
n
n
x
x
x
x
n
y
e
e
e
fe
dx




 



 

Наостанок відзначимо, що є всі підстави для використання у тій чи іншій мірі розглянутого підходу розв’язування лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами в навчальному процесі.
Список літератури
1. Ayres F. Schaum's outline of theory and problems of differential equations. – N. Y.: Schaum
Pub., 1952. – 296 p.
2. Романко В.К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. – 2 – е изд. – М. : Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 344 с.
323

СПЕЦИФІКА ВИКЛАДАННЯ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ
ДЛЯ СОЦІОЛОГІВ
З ВИКОРИСТАННЯМ СУЧАСНИХ КОМП'ЮТЕРНИХ ТЕХНОЛОГІЙ
Н. В. Селезньова, Н. П. Селезньова
ІПС НАНУ, НТУУ "КПІ", Київ, Україна
[e-mail]
,
[e-mail]
Обробкою та аналізом соціальної інформації займається емпірична соціологія. Емпіризм – напрям теорії пізнання, який визнає практичний досвід
єдиним джерелом знань і вважає, що зміст знання можна подати лише як опис цього досвіду. Емпірична соціологія започаткувалася у середовищі державних службовців та підприємців. Її поява стимулювалась практичними пoтребами суспільства. В емпіричній соціології нагромаджено чимало статистичних процедур, за допомогою яких розрізнені дані, що містяться в окремих анкетах, адаптують для узагальнення, опису, аналізу, наукової інтерпретації. За результатами узагальнень можна робити певні висновки в результаті яких з'являється реальна змога з'ясувати тенденції у досліджуваних процесах, явищах, створити прогнози і практичні рекомендації, які можна застосовувати в соціальній роботі. Одним із засновників емпіричної соціології був учений – математик, статист, демограф Адольф Кетле (1796-1874). Він започаткував перехід соціальної статистики від збирання й опису фактів до встановлення стійких кореляцій між показниками, статистичних закономірностей. В його праці "Про людину і розвиток її здібностей, або досвід соціальної фізики" (1835) започатковано емпіричну соціологію як науку в якій описано статистичні закономірності, концепції середніх величин.
Зараз на факультеті соціології та права НТУУ "КПІ" готують фахівців з адміністративного менеджменту, соціальної роботи та соціології. Існує ряд організацій таких як пенсійний фонд, банки, туристичні агентства, політичні партії тощо діяльність яких так чи інакше орієнтована на потреби певних суспільних груп населення. Вивчення цих потреб є сферою діяльності фахових соціологів. Оскільки ці групи зазвичай складаються з великої кількості людей розпорошеної на великій території, то для вивчення їх потреб (поведінки) у певних умовах необхідно застосовувати методи математичної статистики.
Нині експертиза стала невід'ємною частиною соціологічних досліджень в таких сферах суспільної діяльності як прийняття державних рішень, виборчих кампаніях, управлінні організаціями, рекламі, освіті тощо. Досить простим прикладом експертних оцінок є оцінки поставлені викладачами-експертами групі студентів в результаті складання студентами іспитів протягом сесії. Метод експертних оцінок виконує такі функції в соціологічному дослідженні: 1) діагностичну; 2) оцінювальну; 3) прогностичну. Застосування експертних оцінок
324

дає можливість підвищити рівень управління досліджуваним процесом.
Наприклад, існує певний взаємозв'язок між успішністю студентів з окремих предметів, його можна зобразити кореляційною матрицею між оцінками з цих предметів. Якщо коефіцієнт кореляції між якимись двома предметами є від'ємним, то це дає привід проаналізувати узгодженість рівня вимог викладачів цих предметів до студентів, що дає привід адміністрації приймати певні управлінські рішення. Практика показує, що від'ємні коефіцієнти кореляції таки зустрічаються в кореляційних матрицях, побудованих на основі реальних оцінок студентів.
Також можна провести кореляційно – факторний аналіз оцінок студентів.
Факторами можуть бути гендерні ознаки чи стратифікація за соціальним походженням або за місцем проживання.
Існує велика кількість математичних методів аналізу соціологічної
інформації. Для застосування їх належним чином соціолог повинен мати достатній рівень математичної культури та навички роботи з обчислювальною технікою.
Тому до загального курсу теорії ймовірностей та математичної статистики включено комп'ютерний практикум на основі однієї із самих масових
інформаційних систем - Excel.
Задачею комп'ютерного практикуму є вивчення методів математичної статистики для оцінки результативності навчального процесу за допомогою обчислення та дослідження кількісних та якісних характеристик. Такими характеристиками є характеристики центру розподілу (середня, мода, медіана, характеристики розміру варіації, характеристики форми розподілу (асиметрії, концентрації). Всі ці показники можна обчислювати засобами Excel на конкретному прикладі – оцінках самих студентів, отриманих ними в результаті складання іспитів з предметів А,В,С,D на сесії. За переліченими показниками необхідно зробити висновки, а саме вияснити з якого предмету успішність студентів є вищою, а з якого нижчою (це роблять на основі показника середнього балу). Порівнюючи моду, медіану та середнє значення можна побачити з якого предмету розподіл оцінок є найбільш симетричним а з якого – менш симетричним.
(При симетричному розподілі мода, медіана та середнє значення співпадають).
Дисперсія, середньоквадратичне відхилення та коефіцієнт варіації вказують на концентрацію явища, тобто за цими показниками можна визначити наскільки однорідною в цілому є досліджувана вибірка, а отже і оцінити наскільки відрізняється ступінь рівня засвоєння матеріалу з різних предметів. Асиметрія та ексцес показують наскільки наш розподіл оцінок відрізняється від нормального, адже у нормальному розподілі асиметрія та ексцес дорівнюють нулю, також ці показники характеризують форму розподілу.
Готуючись до цієї роботи студент спочатку має ознайомитись з такими поняттями як точкові характеристики розподілу і також навчитись користуватись статистичними функціями Excel.
325

Наступна тема комп'ютерного практикуму полягає у зведенні та групуванні статистичних даних, тобто стосується побудови рядів розподілу. На основі рядів розподілу оцінок по кожному предмету окремо та по всім предметам студенти будують секторні діаграми, полігони, кутуляти.
Наступним завданням є перевірка гіпотези про те, що число зданих іспитів серед чотирьох має біноміальний закон розподілу.
Цікавим показником аналізу емпіричних даних є показник нестабільності [1], під яким розуміють міру їхнього варіювання (коливання), а під стабільністю – розуміють протилежне поняття. Стабільність є важливою характеристикою в аналізі експертних оцінок.
Мірою стабільності чи нестабільності може слугувати відношення стандартного відхилення ряду даних, виміряних в певній шкалі, до половини бази шкали:
,
x
x
St



де
2 2
2 1
1
,
s
x
i
x
i
X
M
s





max min
1
,
0,5(
),
s
x
i
x
i
M
X
X
X


 


s
- кількість даних. Завдяки тому, що
0
,
x
x


 
маємо:
0 1.
St


Отже маємо найбільшу стабільність при
0
St 
, та найбільшу нестабільність при
1.
St 
Середні значення
x
M
, дисперсії
2
x

та показники стабільності
St
з розглядуваних предметів занесемо до наступної таблиці:
A
B
C
D
ABCD
x
M
3.955 3.932 4.614 3.795 4.074
D
0.816 1.018 0.646 1.026 0.977
St
0.544 0.679 0.431 0.684 0.652
Отримані значення
St
свідчать про значну нестабільність успішності даної групи студентів по кожному предмету окремо і по всім предметам загалом.
Цікавим є порівняння показників нестабільності з середнім балом та дисперсією.
Перевіримо гіпотезу про однаковість чи відмінність чотирьох вибірок за показниками нестабільності (результатів складання студентами іспитів під час сесії по чотирьом предметам А,B,C,D) з метою встановити, чи не відносяться вони до однієї сукупності або чи не підлягають вони певним змінам в залежності від змін певних умов. Для цього застосуємо
G
- критерій: max
1
/
,
m
E
i
i
G
D
D



де max
D
- найбільша із дисперсій, які порівнюємо,
m
- число дисперсій,
1


довірча ймовірність гіпотези, про те, що дисперсії відрізняються,

- число елементів у вибірці (використовується при знаходженні критичного значення за таблицею) [1]. У нашому прикладі:
326

0, 684 / 3, 507 0,195.
E
G 

крит
G
знайдемо за таблицею квантилів розподілу
G
- критерію:
0, 36,
крит
G

при
1 0, 95,



4,
m 
44.


0,195 0, 36.
E
крит
G
G



Отже, дисперсії є однорідними і вибірки можна вважати статистично однорідними, такими, що відносяться до однієї сукупності. Загалом звідси випливає,що різниця нестабільності рядів оцінок статистично є незначною.
Для наступних подібних лабораторних робіт можна використати, наприклад, рейтингові оцінки, поставлені під час опитування респондентами політичним партіям напередодні виборів, та за допомогою цих же методів - побудувати прогноз перемоги чи поразки певних політичних партій.