02. Методика викладання математики у вищій школі. Особливості викладу навчального матеріалу у дистанційному курсі вища математика для інженерів і економістів
 Скачать 5.21 Mb.
|
|
Список литературы 1. Вербицкий А.А. Активное обучение в высшей школе: контекстный подход: Метод. пособие.- М.: Высш. шк., 1991. 2. Загвязинский В.И. Теория обучения: Современная интерпретация: Учеб. пособие.- М.: «Академия», 2001.- 192 с. 3. Зимняя И.А. Педагогическая психология.- М.: Феникс, 1997. 4. Левитес Д.Г. Практика обучения: современные образовательные технологии.- М.: Изд-во «Институт практической психологии» Воронеж: НПО «МОДЭК», 1998.- 288 с. 5. Гершунский Б.С. Педагогическая прогностика: Методология, теория, практика.- Киев: Вища шк., 1986. 288 ЕКОНОМІЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ НА ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТТЯХ З ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ Т. В. Лапа, О. М. Мовша Чернігівський державний технологічний університет, Чернігів, Україна Для розвитку творчого мислення студентів, розвитку їх дослідницької діяльності викладач може у своїй повсякденній роботі не тільки давати знання з курсу вищої математики, але й показати зв'язок предмета з майбутньою спеціальністю, розвиваючи творчий підхід до вивчення курсу. Прикладні задачі допоможуть зацікавити студентів предметом, покажуть прикладну направленість математики та продемонструють тісний зв'язок математики зі спеціальними дисциплінами економічної направленості. Проілюструємо цей зв'язок на прикладі теми ”Диференціальне числення функції багатьох змінних” для студентів економічних спеціальностей. Багатофакторна виробнича функція багатьох змінних є функцією від незалежних змінних x 1 , x 2 , …, ,які набувають значень обсягів ресурсів, що використовуються у виробництві ( ≥ 0, = 1, … , ), а значення функції виражає обсяг випуску продукції: = f(x) = f(x 1 , x 2 , …, x n ). Приклад 1. Підприємство випускає 2 види взаємозамінних товарів A і B. Кількісний попит X A і X B на товари A і B відповідно визначаються функціями = P A 3 + 4P B , X B = P A 3 -2 , де P A і P B – ціна одиниці товарів A і B відповідно. Визначити, чи будуть товари A і B конкурентними? Товари A і B будуть конкурентними, якщо > 0 і > 0. Знаходимо = 4, = 3 .Тому товари конкурентні. Приклад 2. Нехай функція попиту на товар A має вид X A = f(P A , P B ) = 15 – 2P A + P B. Знайти частинні показники еластичностей. Еластичність вартості товару A відносно P A і еластичність вартості товару A відносно P B визначається відповідними формулами = ∙ та = ∙ Маємо = −2 15 − 2 + ; = 15 − 2 + Наприклад, для P A = 4 і P B = 3 дістанемо = −0,8. Це означає, що якщо ціна товару A зростає на 1%, а ціна товару B залишається без змін, то попит на товар A зменшується на 0,8%. Аналогічно обчислимо = 0,3. Отже, якщо ціна товару B зростає на 1% при незмінній ціні товару A, то попит на товар A зростає на 0,3%. 289 Приклад 3. Невелика фірма виробляє 2 види товарів A та B. Ціна кожної одиниці товарів A – 100 грн., а B – 80 грн. Функція витрат Q = x 2 + xy + y 2 , де x і y – обсяги випуску товарів A і B відповідно. Визначити такі значення обсягів товарів A та B, за яких прибуток фірми буде максимальним. Сумарний прибуток від продажу товарів A і B дорівнює R = 100x + 80y. Прибутком фірми є різниця між сумарним доходом R і витратами Q. Тобто z = P(x,y)=R – Q = 100x + 80y – x 2 – xy – y 2 Цю функцію необхідно дослідити на екстремум. 100 − 2 − = 0; 80 − − 2 = 0; <=> = 40; = 20. Отже, стаціонарна точка M має координати M (40 , 20). Знайдемо частинні похідні другого порядку в точці M. = ( ) = −2, = ( ) = −1, = ( ) = −2. = AC – B 2 = = 3 > 0, ( )< 0, то точка M є точкою максимуму, причому z max = 100 40 + 80 20 – 40 2 – 40 20 – 20 2 = 2800. Отже, при обсягах виробництва x = 40 і y = 20 фірма матиме максимальний прибуток 2800 грн. Приклад 4. Функція доходу деякого підприємства, що випускає 2 види продукції має вид f (x, y) = xy (млн. грн.). Знайти найбільший можливий дохід підприємства за умов обмежень на випуск продукції x 2 + y 2 = 2. З математичної точки зору ця задача зводиться до знаходження умовного екстремума. Для розв’язання ії складемо функцію Лагранжа L( x, y, ) = xy + ( x 2 + y 2 - 2) і знайдемо стаціонарні точки, розв’язавши систему рівнянь (1). + 2 = 0, + 2 = 0, + = 2. Система має 4 розв’язки. Виходячи з умови задачі, x > 0 і y > 0, розглянемо точку M 1 (1, 1, -1/2). Перевіримо виконання достатньої умови. (2 − 2) −1 1 1 −1 2 −2 = −16 < 0, тобто в точці M 1 функція z = xy має умовний локальний максимум, який дорівнює z (1, 1) = 1. Тому робимо висновок, що найбільший можливий дохід підприємства 1 млн. грн. Література 1. Грисенко М.В. Математика для економістів: Методи й моделі, приклади й задачі: Навч. Посібник.- К.: Либідь. 2007.-770 с. 290 ВОЗМОЖНОСТЬ ИНТЕГРАЦИИ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО И ПРАКТИЧЕСКОГО КОМПОНЕНТОВ В ОБУЧЕНИИ ПРИ МОДУЛЬНОМ ПОСТРОЕНИИ КУРСА С. А. Лукьянов, А. А. Кульжумиева Западно-Казахстанский государственный университет им. М. Утемисова, Уральск, Казахстан aiman-80@mail.ru В данной статье мы рассмотрим возможность применения модульной технологии для построения системы обучения, интегрирующей теоретический и практический компоненты в рамках курса. В настоящее время казахстанская система высшего образования, интегрируясь в европейское образовательное пространство в рамках Болонского процесса, претерпевает серьезные изменения, касающиеся самого подхода к содержанию образования. Разрабатываемая еще в советское время концепция деятельностного обучения, предполагавшая переориентацию деятельности «с искомого результата деятельности на метод деятельности» [1] в полной мере стала реализовываться в рамках компетентностного подхода к подготовке студентов. Эта же концепция послужила основой в построении одного из главных принципов модульного обучения, сформулированного П. Юцевичене в [2] – принципа метода деятельности. Ранее нами была обоснована необходимость междисциплинарной и внутридисциплинарной интеграции в обучении дифференциальным уравнениям студентов педагогических специальностей в рамках дидактических принципов компетентностного подхода. Таким образом, логично предположить, что обозначенная интеграция возможна при модульном построении курса. Анализируя связь общедидактических принципов, которые остаются в силе при компетентностном подходе [3], с принципами модульного обучения, П. Юцевичене находит, что принцип модульности взаимодействует главным образом с общедидактическим принципом системности и последовательности обучения. Основой этого взаимодействия выступает тот факт, что при модульном построении учебного курса реализуются внутрипредметные и межпредметные связи. Определим модуль как самостоятельную информационную единицу, логически завершенную часть учебного материала, отражающую сущность достижения определенной профессиональной цели. Примем разделение модульных программ по целевому назначению материала, а также классификацию дидактических целей, описанные в [2]. Рассмотрим модульные программы операционного типа, потому что в этом случае каждый модуль строится для решения конкретной задачи профессионального образования, что согласуется с позициями компетентностного подхода. В этом случае 291 принципиальную базу построения модульной программы составляют следующие положения: 1) комплексной целью, задающей содержание и структуру программы, является подготовка обучаемого к профессиональной деятельности (принцип деятельностного подхода к формированию комплексной дидактической цели); 2) при выборе интегрирующей цели необходимо учитывать направленность образования на получение и развитие знаний, умений и навыков по реализации определенной функции практической деятельности (принцип функциональности содержания). Согласимся с авторами статьи [4], и отметим, что любая компетентность педагога реализуется через общие и предметные знания и умения. Профессиональные компетентности не могут быть сформированы в условиях отсутствия традиционных ЗУНов или пробелов в них. При этом добавим, что для достижения обозначенной комплексной цели нужны также знания, умения и навыки по работе в постоянно меняющихся условиях профессиональной деятельности. При реализации второго принципа каждую функцию разделяют структурно на определенные действия. Модуль строится по структуре данной функции, при этом составляется граф логических структур межпредметных и внутрипредметных связей, входящих в содержание и нужных для выполнения заданной функции. Структура модуля всегда достаточно стабильна и включает в себя следующие части: четкое описание модуля и его цель, информационная часть, контрольные вопросы для самодиагностики, методические рекомендации, учебные и ситуативные задачи на тему модуля. При этом «конструкция учебного материала должна обеспечивать каждому обучающемуся достижение поставленных дидактических задач с помощью методического руководства, иметь завершенность содержания учебного материала в модуле и интеграцию разных видов, форм и средств обучения» [5]. Практическая реализация полученных теоретических знаний и умений в различных аспектах задана в самой структуре модуля и является критерием усвоения содержания. Таким образом, интеграция теоретического и практического компонентов содержания образования заложена в модульную технологию на уровне принципиальной базы. В Западно-Казахстанском государственном университете на кафедре физики и математики в настоящее время разрабатывается модульный курс «Дифференциальные уравнения» для студентов II курса специальности 5В010900 – «Математика». В основу его построения положена идея интенсификации прикладного компонента образования. Вся программа состоит из пяти блоков. Б1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка. Б2. Линейные ДУ высших порядков. Б3. Системы дифференциальных уравнений первого порядка. Б4. Устойчивость по Ляпунову и асимптотическая устойчивость. Б5. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка. 292 Каждый блок состоит из определенного числа модулей. Рассмотрим на примере Б1 его структуру: М1. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. М2. Основные виды дифференциальных уравнений первого порядка. М3. Методы решения ОДУ. Вводной контроль проводится перед началом изучения каждого модуля, выводной контроль знаний обучаемых на уровне модуля не проводится, заменяясь промежуточным экзаменом после изучения всего блока. Рассмотрим структуру модуля на примере М2. 1. Теоретическая часть. 2. Тестовые задания по содержанию теоретической части. 3. Практическая часть. При выборе заданий, приводимых в практической части, мы учитывали возможности актуализации и практической направленности их содержания. Рассмотрим пример такого задания (уравнения с разделяющимися переменными). Задача. Республиканское правительство разрабатывает политику в области промысла сайгаков. Оно использует следующую модель: популяция сайгаков имеет естественный b-кратный прирост в год, предполагается постоянная скорость убыли в a сайгаков в год. Разработать модель популяции сайгаков. Решение. Мы ищем модель, описывающую численность популяции во времени, т.е. мы имеем две переменные — количество сайгаков и время, прошедшее с некоторого произвольно выбранного момента, например, с момента начала мониторинга численности популяции. Через t лет размер популяции будет x особей, где x=x(t). Необходимо найти связь между данными переменными. Данная связь выражается дифференциальным уравнением. Утверждение «естественный b-кратный прирост популяции x особей» означает, что популяция увеличивается с течением времени со скоростью, пропорциональной к текущей численности популяции с коэффициентом пропорциональности b. Значит, в любой момент времени t при малом приращения Δt мы ожидаем прирост численности приблизительно bx(t)Δt при условии отсутствия внешних воздействий. В то же время, мы должны учитывать внешние воздействия, обозначенные как «постоянная скорость убыли в a сайгаков в год», что означает убыли в течение времени на число, не зависящее от текущего размера популяции. Это значит, что в момент времени t, после приращения Δt, популяция убудет на величину aΔt. Таким образом, мы приходим к выражению полного изменения популяции в момент времени t при малом приращении Δt, которое приблизительно равно x(t+Δt) – x(t) ≅ bx(t)Δt – aΔt Разделим обе стороны на Δt. При Δt→0 получим следующее ДУ: = − . Это и есть искомая модель популяции. 293 При освоении курса обучающийся должен быть в состоянии: o находить общее, частное, особое решения обыкновенных дифференциальных уравнений; o визуализировать решения с помощью полей направлений и их аппроксимаций с использованием метода Эйлера; o понимать основные понятия линейности, суперпозиции, существования и единственности решения ДУ, а также использовать эти понятия при решении линейных ДУ; o решать основные виды неоднородных ДУ; o моделировать простые физические системы, приводящие к решению дифференциальных уравнений первого порядка; o исследовать на устойчивость методом Ляпунова; o находить общее, частное решения уравнений с частными производными. Без ущерба к требованию фундаментальности содержания, мы вводим большое количество задач проблемного характера, интегрирующих теоретический и практический компоненты образования. Кроме того, разрабатываемый курс нацелен на развитие всех ключевых компетенций, например, компетенции разрешения проблем, так как дифференциальные уравнения имеют множество приложений в решении задач науки и техники в целом. Таким образом, разрабатываемый нами курс направлен на подготовку компетентных специалистов, умеющих работать в современных условиях. Список литературы 1. Нечаев Н.Н. Психолого-педагогические аспекты подготовки специалистов в вузе, М.: Издательство МГУ, 1985. 2. Юцявичене П. Теория и практика модульного обучения, Каунас: Швиеса, 1989. 3. Носкова М.В., Шершнева В.А. О дидактическом базисе современной высшей школы и математической подготовке компетентного инженера, Журнал Педагогика, 10, 2010. 4. Гребенев И.В., Чупрунов Е.В. Фундаментальная научная подготовка учителя как основа его профессиональной компетентности. Журнал Педагогика, 8, 2010. 5. Грошева Е.П. Модульно-блочная система подготовки студентов технического вуза к инновационной инженерной деятельности: Высокие интеллектуальные технологии и инновации в образовании и науке. Материалы XVII Международной научно-методической конференции, СПб: Изд-во Политехнического университета, 2010. 294 АСПЕКТИ ВИКЛАДАННЯ «ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ» В СУЧАСНИХ УМОВАХ ДЛЯ «НЕМАТИМАТИКІВ» М. Г. Медведєв, О. К. Мазур, В. П. Шоха Національний університет харчових технологій, Київ, Україна Існує два шляхи навчання мистецтву застосування математики для розв’язування задач фахового спрямування. Перший базується на побудові систематичного курсу, який містить вибрані розділи математики і який включає в себе спеціально підібрані приклади застосування. Другий шлях базується на виборі групи задач фахового спрямування і демонстрації математичних методів, якими їх можна розв’язати. Існує багато чудових книг (підручників), які притримуються першого і, на жаль, дуже мало, які застосовують другу методику викладання. На думку авторів саме другий підхід повинен стати домінантним у математичній освіті для студентів, де математика не є фаховою дисципліною. Важливо, що студент не тільки вмів розв’язувати розв’язати задачу в «х» і «у», а мав можливість виходячи з фахового спрямування змінити умову задачі та прослідкувати за змінами в ході її розв’язання. Це в свою чергу, відкриває нові можливості дослідницького підходу та залучення ігрових форм навчання з використанням комп’ютерних технологій для математичного моделювання. Підкреслимо, що запропонований підхід потрібно застосовувати не на старших курсах, після вивчення курсу «Вища математика», який використовує перший шлях, а починаючи з першого курсу, хоча б й тому, щоб студенти не задавали весь час питання: «А навіщо мені це потрібно, якщо я не буду математиком?». Формування практичних навичок та умінь застосування, а саме головне «поваги» до «вищої математики» в зв’язку з її необхідністю у фахових дисциплінах органічно пов’язано з другим підходом. Так як і у випадку комп’ютерної техніки, слід пам’ятати, що ми готуємо не «розробників» математичних методів, а «користувачів», а «логіка використання» і «логіка розробки» — це хоч і не зовсім, але різні «логіки». 295 |