Эконометрика-Практикум-Елисеева. Практикум по эконометрике под редакцией членакорреспондента Российской Академии наук И. И. Елисеевой

• Название: Практикум по эконометрике под редакцией членакорреспондента Российской Академии наук И. И. Елисеевой
• Дата: 17.06.2022
• Размер: 4.16 Mb.
• Имя файла: Эконометрика-Практикум-Елисеева.doc
• Тип: Практикум; #599190
• страница: 2 из 26

РАЗДЕЛ I ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ

1.1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Парная регрессия - уравнение связи двух переменных y и х:

y= (x),

где у - зависимая переменная (результативный признак); х - независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия: y = а + b х + .

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

• полиномы разных степеней у = а + b₁  х + b₂  х² + b₃  x³ + ;

• равносторонняя гипербола у = а + + .

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

• степенная у = а  х^b ;

• показательная у = a  b^x;

• экспоненциальная у = е^a+bx  

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических минимальна, т.е.

 min.

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно а и b:

.

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

, .

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии (–1   1):

,

и индекс корреляции - для нелинейной регрессии (0   1):

.

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

.

Допустимый предел значений А - не более 8-10%. Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения:

.

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

,

где - общая сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией (“объясненная” или “факторная”);

- остаточная сумма квадратов отклонений.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации R²:

.

Коэффициент детерминации - квадрат коэффициента или индекса корреляции.

F-mecm - оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы Н₀ о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического F_факт и критического (табличного) F_табл значений F-критерия Фишера. F_факт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

F_факт = ,

где п - число единиц совокупности; т - число параметров при переменных х.

F_табл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости . Уровень значимости  - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно  принимается равной 0,05 или 0,01.

Если F_табл < F_факт, то H₀- гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если F_табл > F_факт, то гипотеза H₀ не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза H₀о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

; ; .

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

;

;

.

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики - t_табл и t_факт - принимаем или отвергаем гипотезу H₀.

Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством

.

Если t_табл < t_факт, то H₀ отклоняется, т.е. а, b и не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если t_табл > t_факт, то гипотеза H₀ не отклоняется и признается случайная природа формирования а, b или .

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку  для каждого показателя:

_a = t_таблm_a, _b = t_таблm_b.

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

_a = a  _a; ; .

_b = b  _b; ; .

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

Прогнозное значение y_p определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения x_р. Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза :

,

где ;

и строится доверительный интервал прогноза:

; ; ,

где = t_табл .