лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
![]()
|
§ 1. УЧЕБНИК МАТЕМАТИКИ 1.1. Назначение учебника математики. Учебник математики — книга, излагающая основы научных знаний по математике в соответствии с целями обучения, определенными программой и требованиями дидактики. Применительно к уровню образовательной подготовки учащихся в учебнике фиксируются объем и система знаний, подлежащих изучению. Содержание и построение учебника определяются задачами преподавания математики в средней школе и спецификой предмета. В связи с этим учебник математики должен: а) содействовать формированию диалектико-материалистического мировоззрения, развитию логического мышления; б) давать систематическое, научно обоснованное, доступное для учащихся данного возраста изложение основных теоретических сведений по математике; в) включать достаточное количество разнообразных задач и упражнений, расположенных в целесообразной с методической точки зрения последовательности. В силу своего назначения в системе средств обучения учебник является ядром, вокруг которого группируются все другие учебные средства. Своим содержанием и методическим аппаратом он оказывает решающее влияние на мышление учащихся, на развитие памяти, интереса, на выработку умения самостоятельно работать с учебником. Анализ предъявляемых к учебнику по математике требований приводит к выводу о том, что эта книга не имеет одного определенного адресата. Прежде всего она предназначена ученику, так как содержание текста, подбор примеров, язык, уровень формализации и т. д. рассчитаны непосредственно на ученика соответствующего возраста. Вместе с тем в учебнике легко обнаружить и такой материал, который не является необходимым для ученика в условиях классно-урочной системы обучения, однако он необходим учителю для организации учебного процесса. Этот материал позволяет учителю увидеть методический замысел автора и эффективно реализовать его. Таким образом, вторым адресатом учебника является учитель. Кроме того, учебник используется и другими лицами, такими, как представители администрации школы, родители, однако основными потребителями учебника являются ученик и учитель. Различные учебники по математике отвечают различным требованиям и, как правило, в большей или меньшей мере удовлетворяют запросам главных адресатов (ученика и учителя). Например, структура учебника «Геометрия, 6—10» А. В. Погорелова в большей мере отвечает потребностям ученика, пользующегося этой книгой после объяснения учителя. В этом состоит одна из его методических особенностей1. Названный учебник отличают компактность изложения, систематический показ способов решения основных задач, выделение основного материала, отсутствие мелких деталей. Вполне понятно, что такая структура учебника предполагает полную самостоятельность учителя по организации усвоения материала учащимися. Примером учебника, наиболее полно отвечающего потребностям учителя, может быть названа книга В. Л. Гончарова «Начальная алгебра», в которой при изложении каждого вопроса объяснительный текст разбивается на небольшие смысловые порции, к каждой из которых примыкает соответствующая группа упражнений. Изложение материала дается в такой форме, которая полностью соответствует его подаче на уроке. В ряде случаев теоретическим сведениям предпосылаются упражнения, вводные задачи, вспомогательные вопросы. Система упражнений обеспечивает процесс формирования математических понятий, выработку умений и навыков, овладение математическим языком, развитие логического мышления. Все это в значительной степени помогает учителю организовать учебный процесс на уроке. Такая структура учебника не очень удобна для ученика. Этот учебник трудно читать дома. Он мало пригоден для повторения материала, и в частности при подготовке к экзаменам, так как в нем сложно выделить главное, найти необходимые разъяснения и основные задачи. Поскольку основная часть работы ученика с учебником падает на домашнюю работу, ему удобнее иметь дело с материалом, представленным в некотором обобщенном виде, более сжато, а именно в таком виде, в каком он должен попасть в память ученика на длительное время. Итак, можно сказать, что учебник — это средство для усвоения основ наук, предназначенное для учеников. Одновременно это резюме изложения научных сведений учителем. 1.2. Структура учебника математики. Учебник по математике для средней школы строится на основе определенных логических принципов, однако он учитывает возрастные особенности учащихся, определенный для данного возраста уровень строгости изложения, поставленные цели обучения и т. д. Например, содержание школьного учебника по математике для младших классов, как правило, опирается на ближайшее окружение учащихся, знакомое им из собственного опыта. Однако по мере расширения познаваемой среды она становится недоступной непосредственному восприятию ребенка. Поэтому необходимыми становятся описания и словесные объяснения, дающие готовые знания, излагаемый материал все в большей мере строится в логической последовательности, в результате чего наступает переход от систематичности, обусловленной средой, к логической систематичности. Именно по такому принципу вводится, например, геометрический материал в курсе математики младших классов средней школы. С опорой на ближайшее окружение учащихся в I—V классах, при постепенном усложнении изучаемых объектов, в VI классе начинается изложение систематического курса геометрии. В учебниках по математике при наличии одинакового содержания, вводимого поочередно на низших и высших уровнях обучения, используется концентрическая или циклическая систематичность. Каждый из этих уровней составляет определенный цикл. Такое своеобразное повторение материала на более высоких уровнях облегчает его запоминание и понимание, а также овладение все более сложными функциями мышления. Функции, приобретенные на низших циклах, подготавливают к выполнению функций, необходимых на высших циклах. Благодаря этому циклическое построение содержания составляет основу выделения уровней его трудности. Примерами циклического построения содержания могут быть тождественные преобразования, уравнения, неравенства и т. д. Использование различных видов систематичности позволяет связать воедино три ступени познания, определенные материалистической теорией познания: уровень непосредственного наблюдения возможен в построении, обусловленном средой, уровень абстрактного мышления — в логическом построении, уровень проверки и использования знаний — в целевом построении. Но так как все ступени познания не оторваны друг от друга, а существуют во взаимосвязи, то и различные построения содержания взаимосвязаны между собой в процессе обучения. Через различные способы их использования учебник может воздействовать на соответствующее этим взаимосвязям построение урока. Ясно, что содержание, взятое из окружающей среды, играет в курсе математики хотя и важную, но все же вспомогательную роль. Поэтому в средних и старших классах роль систематичности, обусловленной средой, все время уменьшается. Это главным образом объясняется расширением познаваемой среды и все меньшей ее доступностью для непосредственного наблюдения. Кроме этого, возрастающее по классам обучения количество информации приводит ко все большему использованию абстракций и обобщений, т. е. изложение становится более формализованным. 1.3. Мотивация излагаемого материала. При изучении материала учебника с учащимися, пожалуй, самой трудной является проблема создания соответствующей мотивации учения, т. е. потребностей, интересов, стимулов, обеспечивающих активность познавательной деятельности учащихся, ибо одного лишь указания на необходимость того или иного знания (для будущей деятельности) совершенно недостаточно для появления активного познавательного интереса. Устойчивым и длительным является лишь тот интерес к предмету, который создается проблемной ситуацией. Представляется более целесообразным, если темы в учебниках начинаются с создания характерных проблемных ситуаций и представления средств для их разрешения, а не с определения понятий и заучивания правил, излагаемых индуктивным или дедуктивным способом. При этом характер проблемных ситуаций определяется содержанием теоретического материала и возрастными особенностями учащихся. 1.4. Роль и место репродуктивных заданий в учебнике математики. Известно, что ценность учебника по математике во многом определяется содержащейся в нем практической частью, так как система заданий — необходимый компонент аппарата организации усвоения материала учебника. В настоящее время в педагогической науке убедительно доказано, что в систему заданий нужно включать и репродуктивные, и творческие задания. Система заданий в учебнике должна охватывать все элементы его содержания. Репродуктивный элемент формирует такое качество знаний, как оперативность, т. е. способность применять знания в различных ситуациях. В качестве примера учебника, наиболее полно отвечающего современным требованиям педагогической науки при построении системы репродуктивных заданий, можно привести учебник А. В. Погорелова «Геометрия, 6—10». В конце каждого параграфа в нем помещены вопросы для повторения и упражнения. Эти вопросы и упражнения практически охватывают все понятия параграфа, дают целую логическую картину в усвоении материала всего раздела. Кроме того, в тексты многих параграфов включены образцы решения задач наиболее важных и трудных типов. К репродуктивным заданиям мы относим вопросы, упражнения, задачи, вопросы-задания, при ответе на которые ученик выполняет репродуктивную познавательную деятельность. В примерах и решениях задач логично и умело даны пояснения к формированию научных понятий. Мы остановились на характеристике и оценке репродуктивных заданий не только потому, что эти задания составляют прочный фундамент для формирования знаний и умений и их применимости в практике, но и потому, что они являются основой для успешного выполнения системы творческих заданий, играющих главным образом развивающую роль в обучении учащихся. 1.5. Функции наглядности в учебнике математики. Вопрос о наглядности, об иллюстрациях в учебнике математики принципиально важен, но мало исследован. Совершенно очевидно, что не все виды применяемых иллюстраций имеют одинаковое значение для раскрытия изучаемых закономерностей. Было показано, например, что на процесс решения математической задачи существенное влияние оказывают схема и предметно-аналитическая картинка, в которой отражены количественные отношения между данными и искомыми. Использование схем и других условных обозначений важно потому, что они дают возможность выделить объективные отношения и закономерности, т. е. моделировать содержание изучаемого явления. Так или иначе прибегая к наглядности, мы всегда исходим из анализа методических функций наглядности, представленной в учебнике математики. Можно условно выделить следующие из этих функций. а) Познавательная функция наглядности, методической целью которой является формирование познавательного образа изучаемого объекта. Это формирование происходит постепенно от простого к сложному , при этом мысль учащегося направляется по кратчайшим и наиболее доступным путям к целостному восприятию объекта. Заметим, что следование познавательной функции не повторяет процесса научного познания — ценность этой функции состоит в предоставлении учащимся кратчайшего и доступного пути осмысления изучаемого материала1. Именно так, например, поступают иногда авторы учебников, когда при исследовании функции на монотонность (или экстремум) предваряют теоретическому обоснованию рисунок, на котором связывается возрастание (убывание) или локальный максимум (минимум) функции с углами наклона касательных в соответствующих точках и далее со знаками производных в этих точках. б) Функция управления деятельностью учащегося. При реализации функции управления средства и приемы наглядности участвуют в ориентировочных, контрольных и коммуникационных действиях. Ориентировочным действием может служить, например, построение чертежа, соответствующего рассматриваемому условию, а также внесение в него дополнительных элементов. Контролирующие действия направлены на обнаружение ошибок при сравнении выполненного учащимся чертежа (схемы, графика) с помещенными в учебнике или в выяснении тех свойств, которые должен сохранить объект при тех или иных преобразованиях. Коммуникационные действия отвечают той стадии реализации функции управления деятельностью учащегося, которая соответствует исследованию полученных им результатов. Выполняя эти действия, учащийся в свете собственного опыта объясняет другим или хотя бы самому себе по построенной модели суть изучаемого явления или факта. в) Интерпретационная функция наглядности. Известно, что один и тот же объект можно выразить с помощью разных знаков и моделей. Например, окружность можно задать с помощью пары (центр и радиус), уравнением относительно осей координат, с помощью рисунка или чертежа. Однако в одних случаях удобно воспользоваться ее аналитическим выражением, в других — геометрической моделью. Рассмотрение каждой из этих моделей, которая в определенных условиях может служить средством наглядности, является ее интерпретацией. Чем значимей объект, тем желательней дать большее количество интерпретаций, раскрывающих познавательный образ с разных сторон. г) Можно говорить об эстетической функции наглядности, а также об опосредованных методических функциях наглядности, таких, как функция обеспечения целенаправленного внимания учащегося, функция запоминания при повторении учащимися учебного материала, функция использования прикладной направленности и др. Используя различные функции наглядности, учебник способствует наиболее плодотворному мышлению учащегося, так как его внимание легко и своевременно переключается со средств наглядности на полученную с их помощью информацию об объекте и обратно. Такое переключение сводит к минимуму отвлечение умственных усилий учащихся от предмета их деятельности. 1.6. Методы работы с учебником математики. Учебник и учебные пособия занимают видное место и в процессе обучения, и в процессе усвоения учеником программного материала, в его классной и домашней работе. Хорошо организованная и систематически проводимая работа по учебнику и учебным пособиям является одним из решающих условий усвоения учащимися знаний и навыков по математике. Между тем умение читать учебник математики и математическую книгу необходимо не только для изучения математики в школе. Умеющий читать математический учебник быстрее овладеет методами самостоятельного изучения математики, физики, химии, биологии, техники. Чтению учебников математики надо специально обучать. Содержание и формы работы с учебником математики определяются возрастом учащихся, уровнем их математической подготовки и общего развития, содержанием учебника, уже имеющимися умениями работы с математической книгой. Можно рекомендовать следующие формы постепенно усложняющейся работы с учебником математики в IV—VIII классах: 1) Чтение правил, определений, формулировок теорем после объяснения учителя. 2) Чтение других текстов после их объяснения учителем. 3) Разбор примеров учебника после их объяснения учителем. 4) Чтение вслух учебника учителем с выделением главного и существенного. 5) Чтение текста учащимися и разбивка его на смысловые абзацы. 6) Чтение пункта учебника и ответы на вопросы учителя (или учебника). 7) Чтение текста учебника, самостоятельное составление плана и ответ учащихся по составленному плану. Необходимо обучать пользоваться не только текстом и иллюстрациями учебника, но и его оглавлением, записями и таблицами, помещенными на форзацах, аннотацией, предметным указателем. Правильное пользование этим вспомогательным аппаратом учебника значительно ускоряет поиски нужного материала в учебнике. Помещенные в учебнике рисунки предназначены оказать помощь при чтении текста учебника, при рассмотрении конкретных примеров, при решении задач. § 2. ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ И СПРАВОЧНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА 2.1. Дидактические материалы. Учебник математики является одним из основных, но не единственным средством обучения. В обучении используется единый комплекс взаимосвязанных между собой книг, наглядных пособий и технических средств обучения. Одним из видов книг учебного комплекса являются «Дидактические материалы», издаваемые по всем математическим дисциплинам отдельно для каждого класса. Программа и учебник определяют направление И содержание «Дидактических материалов» и других учебно-методических пособий для учителя и учеников. В свою очередь «Дидактические материалы» служат дополнением к системе задач, предложенной в учебнике, являются хорошим помощником учителю в организации и проведении обучения математике. 1) Назначение «Дидактических материалов». Прежде всего «Дидактические материалы» оказывают серьезную помощь учителю математики в организации самостоятельного решения задач и выполнения упражнений учащимися по курсу математики. Они предназначены для проведения части урока, а иногда и всего урока по фронтальному или индивидуальному самостоятельному решению задач. Это чаще всего обучающие самостоятельные работы. Такие работы применяются, как правило, после рассмотрения на уроках соответствующих теоретических положений (введения новых понятий, алгоритмов, изучения новых методов или способов решения задач, доказательства теорем и т. д.). Этим работам предшествует рассмотрение нескольких примеров, образцов решения задач и т. п. Обучающие самостоятельные работы могут быть проведены также после нескольких фронтально решенных задач.«Дидактические материалы» используются учителями для проведения фронтального коллективного решения задач на уроке, при опросе учащихся, в качестве дополнительных заданий быстро решающим задачи учащимся. «Дидактические материалы» предназначены и для организации индивидуальной работы с учащимися при их самостоятельном решении математических задач. Так, некоторые из задач и текстов самостоятельных работ, помещенных в «Дидактических материалах», могут быть использованы для работы со слабыми учащимися в качестве дополнительного задачного материала. В некоторых изданиях содержатся так называемые «Дополнительные самостоятельные работы» несколько повышенной трудности, предназначенные для интересующихся математикой учеников. Во всяком случае, учитель математики найдет в этих пособиях задачи для различных категорий учащихся. «Дидактические материалы» предназначены и для организации и проведения контрольных работ по темам курса (при завершении изучения той или иной темы) и обзорных контрольных работ, целью и назначением которых является контроль за усвоением главы учебника. Учитель может использовать как полные тексты работ, предложенных в «Дидактических материалах», так и отдельные их части. 2) Содержание и структура книг «Дидактические материалы». Содержание всех изданных «Дидактических материалов» соответствует программам, учебникам и учебным пособиям по математике. Структура учебных пособий «Дидактические материалы» примерно одинакова. Каждое из них начинается с предисловия, в котором указано назначение предлагаемых работ и даны краткие указания к их использованию. В большинстве из них далее следует 4 (или более) самостоятельные работы по каждой теме, тексты контрольных работ по темам, 4 варианта обзорных контрольных работ (не во всех изданиях), 2 варианта дополнительных самостоятельных работ, ответы и указания к решениям. В некоторых пособиях эти виды текста расположены в другом порядке. В «Дидактических материалах» учитываются возрастные особенности учащихся, особенности математической дисциплины, для изучения которой предназначено пособие, изучаемый раздел математики. Именно этим определяется число самостоятельных и контрольных работ, число задач в тексте каждой работы. 3) Методика использования «Дидактических материалов». «Дидактические материалы» не ставят своей целью полностью определить содержание, время и место проведения самостоятельных и контрольных работ. Решающая роль в использовании средств обучения принадлежит учителю. Именно учитель в соответствии с требованиями программы, составом класса, индивидуальными особенностями учащихся, тематическим планом изучения математики определяет окончательное содержание проводимых им работ, сроки и продолжительность их выполнения, ставит перед самостоятельными работами конкретные цели и задачи. Это значит, что учитель не должен пунктуально, последовательно добиваться выполнения учащимися всех контрольных и самостоятельных работ, помещенных в «Дидактических материалах». Учитель выбирает те задачи, выполнение которых считает необходимым условием формирования у учащихся прочных математических умений и навыков. Итак, не обязательно проводить все самостоятельные работы, помещенные в «Дидактических материалах». «Дидактические материалы» — пособие для учителей, а не предписание к неуклонному решению всех помещенных в них задач. Учитель сам, используя тексты самостоятельных и контрольных работ, либо их часть, либо отдельные задачи и упражнения, определяет содержание самостоятельной работы учащихся на уроке. Вдумчивый и старательный учитель обратится, конечно, и к дополнительной литературе, в частности к сборникам задач, изданным в серии «Библиотека учителя математики» ([9], [15]), к другим задачникам, к пособиям для поступающих в вузы (в старших классах), используя помещенные в них задачи для проведения самостоятельных и контрольных работ, для фронтального решения в классе. В соответствии с тематическим планом изучения того или иного раздела математики учитель определяет сроки проведения самостоятельных и контрольных работ. Задача учителя — в соответствии с уровнем подготовки класса и отдельных его учащихся установить действительную продолжительность предлагаемых самостоятельных и контрольных работ. При этом надо учитывать выбранное содержание работы, требования к ее оформлению (задачи могут быть решены с подробными или краткими записями в тетради, с подробными или краткими ссылками на те предложения, которые применены на разных этапах решения задачи, или вовсе без обоснований — это зависит от целей работы и ее назначения), индивидуальные особенности учащихся. Определяя продолжительность работы, учитель должен исходить и из того, что излишняя продолжительность вредна не менее, чем недостаток времени на ее выполнение. В самом деле, при недостатке времени ученики, выполняя самостоятельно работу, могут не завершить решение предложенных задач и, следовательно, самостоятельная работа не достигнет своей цели, а время на ее исполнение будет затрачено. Излишнее же время на решение тех или иных задач расхолаживает учащихся, не мобилизует их усилия и знания на скорейшее выполнение задания. Недостаток времени на выполнение контрольной работы приводит к снижению оценок, а иногда и интереса учащихся к математике. Избыточное же время на контрольную работу может быть источником высоких оценок учащихся при невысоком уровне их знаний. Каждой самостоятельной и контрольной работе из «Дидактических материалов» должен предшествовать краткий, поточный инструктаж учителя. Хорошо проведенный инструктаж мобилизует учащихся на более точное и быстрое выполнение работы, на получение хороших результатов. В инструктаже учителю следует указать точное время, отведенное на выполнение работы, порядок решения задач или выполнения упражнений, предложенных в работе, некоторые особенности задач самостоятельной или контрольной работы, регламентировать поведение учащихся во время работы (при самостоятельном решении задач возможно взаимное консультирование рядом сидящих учащихся, обращение к учителю за консультацией или другой помощью, использование учебника или учебного пособия и т. п.). В инструктаже должно быть указано, какими геометрическими инструментами разрешается пользоваться при выполнении чертежей, особенно при решении геометрических задач на построение, разрешается ли пользоваться вычислительными приборами или таблицами для вычислений. Учитель может указать и возможные формы записи решения задач. Четко организованное и целенаправленное выполнение самостоятельных работ по математике во многом содействует формированию прочных умений и знаний при минимальных затратах сил и времени учащихся. Каждая самостоятельная или контрольная работа должна организованно завершаться. Завершением самостоятельной работы является подведение ее итогов, проведенное по возможности на том же уроке, что и сама работа. При подведении итогов следует отметить наиболее рациональные и оригинальные решения задач, предложенные учащимися, проанализировать наиболее часто повторяющиеся ошибки учащихся. Подведение итогов самостоятельной работы должно предусматривать и четкое указание, чему научились учащиеся, какие новые знания, умения и навыки они приобрели. Из итогов каждой самостоятельной работы учитель должен сделать выводы для дальнейшего обучения учащихся математике. Итоги контрольной работы возможно подвести на одном из последующих уроков (после проверки контрольной работы учителем) или на консультации. Последний вариант экономит время урока, но занимает дополнительное время учителя и учеников. При разборе и подведении итогов контрольной работы необходимо проанализировать состояние знаний, умений и навыков школьников. Поэтому к подведению итогов учитель должен тщательно готовиться: классифицировать уровень знаний, приобретенных учащимися, сформированные у них умения и навыки, допущенные учащимися в контрольной работе ошибки и недочеты, выявленные пробелы в знаниях. 2.2. Справочники по математике и справочная математическая литература. Обучение пользованию справочниками по математике, справочными таблицами и другой справочной литературой должно найти свое место при изучении математики в средней школе. В самом деле, роль справочников в деятельности квалифицированного рабочего, инженера, специалистов других профессий достаточно велика, к справочникам обращаются повседневно. Надо также учесть, что не все, что предлагается для изучения в курсе математики, необходимо запоминать. Для запоминания выбирается первостепенное, необходимое для изучения дальнейшего курса математики или в жизни. Второстепенное можно найти в справочниках. Справочники помогают быстрей вспомнить изученное, но полузабытое. Они могут быть использованы и для запоминания многих формулировок, тождеств, формул, методов решения задач и т. д., помогут в применении приемов и методов, изучение которых не предусмотрено программой. Как видим, роль справочников в обучении достаточно велика. Различная справочная математическая литература адресована различным категориям читателей: учащимся, учителям, другим специалистам. Содержание и структура изданных справочников по школьному курсу математики примерно одинаковы. В справочниках ученик и учитель найдут таблицы для вычислений (степеней, корней, обратных чисел, логарифмов, значений показательной и тригонометрических функций и др.); фактические сведения: формулы, определения понятий, алгоритмические предписания (например, предписание, как строить касательную), примеры применения этих справок; сведения, разъясняющие основные понятия и важнейшие методы школьного курса математики; сведения о некоторых понятиях и методах математики, не включенных в школьные учебники и учебные пособия по математике. Для быстрого наведения нужных справок в начале справочника помещено подробное оглавление, а в конце — алфавитный указатель. Кроме того, имеются ссылки на другие страницы справочника. Справочники по математике могут быть использованы при решении задач, требующих применения математических сведений, изученных в прошлые годы. В этом случае обращение к справочнику позволяет быстро восстановить в памяти связи изучаемого с ранее изученным, помогает лучшему запоминанию того, что было изучено в более младших классах. При решении же задач часто требуется производить многие вычисления, результаты которых можно быстро найти в справочнике (например, в таблицах длин окружностей, площадей кругов, значений корней и т. д.). В этом случае использование справочника экономит время вычислений. При проведении расчетных работ применение таблиц справочников наряду с микрокалькуляторами и логарифмической линейкой существенно ускоряет работу. Возможно использование справочников при повторении изученного. Так, используя помещенные в справочнике формулы тригонометрических функций двойного и половинного аргумента, можно предложить учащимся подумать, догадаться или вспомнить, как выводятся эти формулы (особенно различные формулы тангенса и котангенса половинного аргумента). При этом достигаются сразу две цели: запоминание формул и установление связей и зависимостей тригонометрических тождеств. Справочники можно использовать и для знакомства с некоторыми сведениями из математики, не включенными в программу, учебники и учебные пособия по математике средней школы. Например, тождества для преобразования произведений синусов, косинусов различных аргументов не включены в программу, но применяются при вычислении интегралов. Некоторым ученикам (конечно, лучшим, интересующимся математикой) можно предложить рассмотреть их в справочнике. При решении на внеклассных занятиях задач на преобразования тригонометрических выражений полезно воспользоваться справочником для преобразования тригонометрических функций тройного и учетверенного аргумента. Следует предложить несколько советов о том, как использовать справочники для запоминания математических сведений. Неверно было бы следовать совету: незачем запоминать формулы, ведь они есть в справочниках. Прибегать к справочнику полезно на начальном этапе изучения новых сведений, постепенно исключая использование справочника по мере их изучения. Полезные сведения для справок содержит изданная в двух томах книга О. В. Мантурова, Ю. К- Солнцева и др. «Математика в понятиях, определениях и терминах» [2]. В этой книге растолковываются и разъясняются понятия и термины школьного курса математики и важнейшие понятия и термины математической науки. Понятия и термины расположены в книгах в алфавитном порядке. В необходимых случаях имеются ссылки на литературу, в которой подробно излагаются свойства включенных в эти книги понятий математики. Собственно, рекомендуемые книги являются словарем математических сведений н понятий. Некоторые понятия и термины иллюстрируются конкретными примерами, в некоторых статьях имеются исторические справки. В процессе преподавания математики в школе вполне могут быть использованы и справочники по высшей математике. Конечно, учить пользоваться этими справочниками всех учащихся не нужно, но для интересующихся математикой учеников во многих случаях эти справочники будут полезны. Для учителей математики и студентов математических специальностей педагогических институтов можно рекомендовать и другую справочную литературу. Это «Математическая энциклопедия», четыре тома которой уже вышли из печати, книги серии «Справочная математическая библиотека» под общей редакцией Л. А. Люстерника и А. Р. Ямпольского и др. § 3. УЧЕБНОЕ ОБОРУДОВАНИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ И МЕТОДИКА ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЕГО В УЧЕБНОЙ РАБОТЕ В настоящее время для школы разработана система учебного оборудования по математике, нашедшая свою реализацию в «Типовых перечнях учебно-наглядных пособий и учебного оборудования для общеобразовательных школ»1. В соответствии с перечнем в состав учебного оборудования по математике для средней школы входят: 1. Приборы, модели, инструменты. 2. Печатные средства обучения. 3. Экранные средства обучения. ' Дадим краткую характеристику отдельных видов учебного оборудования и рассмотрим некоторые вопросы методики использования их в обучении математике в школе. 3.1. Приборы, модели, инструменты. Для педагогического процесса приборы и модели имеют большое значение. В школьном преподавании наряду со сравнительно новыми для нашей школы видами учебного оборудования находят достаточно широкое применение такие традиционные пособия, как набор подвижных моделей по геометрии для б—8 классов, набор шарнирных моделей угла, треугольника и четырехугольника, демонстрационный прибор но стереометрии (автор Л- А. Стукапов), стереометрический набор (автор И. К. Середа), стереометрический прибор (автор А. И. Раев), стереометрический ящик и др. Опишем некоторые из перечисленных приборов. Набор шарнирных моделей. Он состоит из шарнирно соединенных стержней и трубок. Позволяет собрать треугольники и четырехугольники (рис. 51). Комплект стереометрических тел для восьмилетней школы (автор Вейцман И. Б.). Комплект состоит из двух каркасных тел: куба и прямоугольного параллелепипеда — и из десяти полых пластмассовых тел (пять из них показаны на рис. 52). Полые тела (кроме полушара) снабжены съемными основаниями (крышками). Набор включает прямой параллелепипед с прямоугольным основанием; прямой параллелепипед с квадратным основанием; прямую призму с треугольным основанием; пирамиду с квадратным основанием; пирамиду с прямоугольным основанием; пирамиду с треугольным основанием; цилиндр; конус, у которого основание и высота равны основанию и высоте цилиндра; конус, диаметр основания которого равен диаметру большого круга палушара, а высота — радиусу полушара; полушар. Основное назначение полых тел — приближенный вывод формул объемов геометрических тел путем непосредственного измерения объема помещающейся в них воды. Стереометрический набор, или комплект деталей для сборки моделей по стереометрии (автор Середа И. К.). Комплект состоит из набора деталей и предназначен для сборки моделей геометрических тел по всем разделам стереометрии, изучаемым в средней школе: 1) «Прямые и плоскости». 2) «Многогранники». 3) «Круглые тела». Кроме того, можно демонстрировать комбинации геометрических тел: призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, вписанных в шар; пирамиды и призмы, вписанных в цилиндр, и т. д. Большинство моделей, собранных из деталей комплекта, допускают изменение угловых и линейных элементов, т. е. являются подвижными (динамичными). За последние годы большое распространение в практике обучения математике приобрели приборы с магнитным креплением и резиновые штемпели (штампы). Приборы с магнитным креплением дают возможность непрерывного перемещения частей прибора в плоскости доски и закрепления их в любом положении. Осуществляется это следующим образом. Часть классной доски покрывается листом железа и окрашивается под цвет остальной части доски, или такая «магнитная доска» изготовляется отдельно и делается переносной. Детали, которые должны перемещаться и фиксироваться на доске в разных положениях, изготавливаются из картона или пластика, на их оборотную сторону наклеиваются плоские магниты. Такая деталь, приложенная к «магнитной доске», прочно удерживается на ней и в то же время может легко перемещаться по доске. Этим создаются возможности для наглядной иллюстрации свойств математических понятий и методов. С успехом можно, например, применять магнитные пособия при изучении дробей, площадей плоских фигур, графиков функций, симметрии, параллельного переноса, поворота и многих других понятий школьного курса математики. Таким образом, использование магнитной доски может заменить многие плоские подвижные модели. В настоящее время нашей промышленностью выпускаются и через систему «Главснабпроса» распространяются следующие магнитные приборы: магнитная доска с координатной сеткой, переносная магнитная доска, комплект кривых для магнитной доски, магнитный прибор «Измерение площадей», магнитный прибор «Доли и дроби». Удобным видом учебного оборудования являются резиновые штемпели (штампы) с изображением различных плоских и объемных фигур, графиков, таблиц и т. д. При использовании этого вида учебного оборудования достаточно приложить штемпель к штемпельной подушке и прижать его к листу бумаги, чтобы получить нужное изображение, например изображение куба или прямоугольного параллелепипеда. При решении задач, связанных с построением изображений куба или прямоугольного параллелепипеда, учащиеся, воспользовавшись штемпелем, могут быстро получить в тетради правильный чертеж, что дает большую экономию времени. Естественно, применение штемпелей не должно привести к утрате учащимися навыков вычерчивания фигур. Поэтому учитель должен вначале научить учащихся изображать фигуры на плоскости, а затем применять штемпели на уроке. Штемпели могут использоваться учителем при подготовке многовариантных контрольных заданий. Можно, например, заготовить 35—40 чертежей с изображением прямоугольного параллелепипеда, чтобы затем, проставив размеры, получить набор индивидуальных заданий. Кроме рассмотренного оборудования, в практике преподавания математики широкое применение находят разнообразные инструменты для выполнения измерительных и чертежных работ, а также наборы для проведения лабораторных работ. Приведем краткое описание некоторых из них. Астролябия школьная (рис. 53). Астролябия как угломерный инструмент применяется для измерений на местности. Существенными частями астролябии являются лимб (круг, разделенный на градусы), алидада (линейка, которая в астролябии вращается около вертикальной оси в центре лимба), диоптры (металлические пластины с прорезями). Диоптров два: один — с прорезом в виде узкой щели, другой — с широким прорезом, посередине которого натянут волосок. Для удобства переноски и хранения прибора диоптры сделаны складывающимис Мензула школьная с визирной линейкой (рис. 54). Мензула применяется при съемке планов местности и представляет собой переносной чертежный столик, на который накладываются визирная линейка и компас. Тренога. Предназначена для установки измерительных инструментов (астролябии, мензулы и др.) при выполнении измерений на местности. Чертежные инструменты (демонстрационные): 1) линейка классная с ручкой; 2) линейка метровая с цветной шкалой; 3) пантограф; 4) транспортир; 5) циркуль пропорциональный; 6) угольники с углами 30°, 60°, 90° и 45°, 45°, 90°; 7) циркуль чертежный. Набор геометрических тел. Состоит из 12 тел: двух параллелепипедов, трех призм (трех-, шести-, восьмиугольной), четырех пирамид (трех-, четырех-, шести-, восьмиугольной), цилиндра, конуса, шара. Включенные в этот набор геометрические тела могут использоваться при проведении различных измерительных и вычислительных работ. Набор моделей для проведения лабораторных работ по измерению длин, площадей и объемов тел. Содержит 20 палеток, 40 кубиков размером 10 х 10 х 10 мм, 40 кубиков размером 20 х 20 х 20 мм, а также различные плоские фигуры и ступенчатые тела. Ученик, принимая по указанию учителя один из кубиков за единичный и рассматривая выданное ему ступенчатое тело, определяет объем, площадь поверхности тела, размеры наименьшей прямоугольной коробки, вмещающей это ступенчатое тело, и т. п. Аналогичная работа проводится с плоскими фигурами и палеткой. Выпускаемые промышленностью модели, приборы и инструменты не всегда могут удовлетворить потребности, возникающие при обучении школьников математике. Поэтому учителя часто прибегают к изготовлению моделей своими силами с привлечением учащихся. Это делается не только в тех случаях, когда в школе отсутствуют необходимая модель, прибор или инструмент, но и когда учитель считает, что имеющаяся модель, прибор не в полной мере способствуют ясному и четкому восприятию изучаемого материала. Внося в модель усоверш |