лод. Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика

• Название: Программа курса Методика преподавания математики делит его на две части Общая методика
• Дата: 17.09.2019
• Размер: 7.21 Mb.
• Имя файла: [CHerkasov_R.S.,_Stolyar_A.A.]_Metodika_prepodavan(BookFi).doc
• Тип: Программа курса; #87048
• страница: 93 из 109

§ 1. УЧЕБНИК МАТЕМАТИКИ

1.1. Назначение учебника математики. Учебник математики — книга, излагающая основы научных знаний по математике в соответ­ствии с целями обучения, определенными программой и требованиями дидактики.

Применительно к уровню образовательной подготовки учащихся в учебнике фиксируются объем и система знаний, подлежащих изу­чению.

Содержание и построение учебника определяются задачами пре­подавания математики в средней школе и спецификой предмета.

В связи с этим учебник математики должен:

а) содействовать формированию диалектико-материалистического мировоззрения, развитию логического мышления;

б) давать систематическое, научно обоснованное, доступное для учащихся данного возраста изложение основных теоретических сведе­ний по математике;

в) включать достаточное количество разнообразных задач и упраж­нений, расположенных в целесообразной с методической точки зрения последовательности.

В силу своего назначения в системе средств обучения учебник является ядром, вокруг которого группируются все другие учебные средства.

Своим содержанием и методическим аппаратом он оказывает решающее влияние на мышление учащихся, на развитие памяти, интере­са, на выработку умения самостоятельно работать с учебником.

Анализ предъявляемых к учебнику по математике требований при­водит к выводу о том, что эта книга не имеет одного определенного адресата.

Прежде всего она предназначена ученику, так как содержание текста, подбор примеров, язык, уровень формализации и т. д. рассчи­таны непосредственно на ученика соответствующего возраста. Вместе с тем в учебнике легко обнаружить и такой материал, который не является необходимым для ученика в условиях классно-урочной си­стемы обучения, однако он необходим учителю для организации учеб­ного процесса. Этот материал позволяет учителю увидеть методиче­ский замысел автора и эффективно реализовать его. Таким образом, вторым адресатом учебника является учитель. Кроме того, учебник используется и другими лицами, такими, как представители админи­страции школы, родители, однако основными потребителями учебника являются ученик и учитель.

Различные учебники по математике отвечают различным требова­ниям и, как правило, в большей или меньшей мере удовлетворяют за­просам главных адресатов (ученика и учителя).

Например, структура учебника «Геометрия, 6—10» А. В. Погорелова в большей мере отвечает потребностям ученика, пользующегося этой книгой после объяснения учителя. В этом состоит одна из его ме­тодических особенностей¹. Названный учебник отличают компактность изложения, систематический показ способов решения основных задач, выделение основного материала, отсутствие мелких деталей. Вполне понятно, что такая структура учебника предполагает полную самосто­ятельность учителя по организации усвоения материала учащимися.

Примером учебника, наиболее полно отвечающего потребностям учителя, может быть названа книга В. Л. Гончарова «Начальная ал­гебра», в которой при изложении каждого вопроса объяснительный текст разбивается на небольшие смысловые порции, к каждой из кото­рых примыкает соответствующая группа упражнений. Изложение ма­териала дается в такой форме, которая полностью соответствует его подаче на уроке. В ряде случаев теоретическим сведениям предпосы­лаются упражнения, вводные задачи, вспомогательные вопросы. Си­стема упражнений обеспечивает процесс формирования математиче­ских понятий, выработку умений и навыков, овладение математиче­ским языком, развитие логического мышления. Все это в значительной степени помогает учителю организовать учебный процесс на уроке.

Такая структура учебника не очень удобна для ученика. Этот учеб­ник трудно читать дома. Он мало пригоден для повторения материала, и в частности при подготовке к экзаменам, так как в нем сложно вы­делить главное, найти необходимые разъяснения и основные задачи. Поскольку основная часть работы ученика с учебником падает на домашнюю работу, ему удобнее иметь дело с материалом, представлен­ным в некотором обобщенном виде, более сжато, а именно в таком виде, в каком он должен попасть в память ученика на длительное время.

Итак, можно сказать, что учебник — это средство для усвоения основ наук, предназначенное для учеников. Одновременно это резюме изложения научных сведений учителем.

1.2. Структура учебника математики. Учебник по математике для средней школы строится на основе определенных логических принци­пов, однако он учитывает возрастные особенности учащихся, опреде­ленный для данного возраста уровень строгости изложения, поставлен­ные цели обучения и т. д.

Например, содержание школьного учебника по математике для младших классов, как правило, опирается на ближайшее окружение учащихся, знакомое им из собственного опыта.

Однако по мере расширения познаваемой среды она становится недоступной непосредственному восприятию ребенка. Поэтому не­обходимыми становятся описания и словесные объяснения, дающие готовые знания, излагаемый материал все в большей мере строится в логической последовательности, в результате чего наступает переход от систематичности, обусловленной средой, к логической систематич­ности.

Именно по такому принципу вводится, например, геометрический материал в курсе математики младших классов средней школы.

С опорой на ближайшее окружение учащихся в I—V классах, при постепенном усложнении изучаемых объектов, в VI классе начинается изложение систематического курса геометрии.

В учебниках по математике при наличии одинакового содержания, вводимого поочередно на низших и высших уровнях обучения, исполь­зуется концентрическая или циклическая систематичность. Каждый из этих уровней составляет определенный цикл. Такое своеобразное повторение материала на более высоких уров­нях облегчает его запоминание и понимание, а также овладение все более сложными функциями мышления. Функции, приобретенные на низших циклах, подготавливают к выполнению функций, необходи­мых на высших циклах. Благодаря этому циклическое построение со­держания составляет основу выделения уровней его трудности. При­мерами циклического построения содержания могут быть тождествен­ные преобразования, уравнения, неравенства и т. д.

Использование различных видов систематичности позволяет свя­зать воедино три ступени познания, определенные материалистиче­ской теорией познания: уровень непосредственного наблюдения воз­можен в построении, обусловленном средой, уровень абстрактного мышления — в логическом построении, уровень проверки и исполь­зования знаний — в целевом построении. Но так как все ступени по­знания не оторваны друг от друга, а существуют во взаимосвязи, то и различные построения содержания взаимосвязаны между собой в процессе обучения. Через различные способы их использования учеб­ник может воздействовать на соответствующее этим взаимосвязям по­строение урока. Ясно, что содержание, взятое из окружающей среды, играет в кур­се математики хотя и важную, но все же вспомогательную роль.

Поэтому в средних и старших классах роль систематичности, обус­ловленной средой, все время уменьшается. Это главным образом объяс­няется расширением познаваемой среды и все меньшей ее доступностью для непосредственного наблюдения. Кроме этого, возрастающее по классам обучения количество информации приводит ко все большему использованию абстракций и обобщений, т. е. изложение становится более формализованным.

1.3. Мотивация излагаемого материала. При изучении материала учебника с учащимися, пожалуй, самой трудной является про­блема создания соответствующей мотивации учения, т. е. потребностей, интересов, стимулов, обеспечивающих активность познавательной деятельности учащихся, ибо одного лишь указания на необходимость того или иного знания (для будущей деятельности) совершенно недо­статочно для появления активного познавательного интереса. Устой­чивым и длительным является лишь тот интерес к предмету, который создается проблемной ситуацией. Представляется более целесообраз­ным, если темы в учебниках начинаются с создания характерных про­блемных ситуаций и представления средств для их разрешения, а не с определения понятий и заучивания правил, излагаемых индуктив­ным или дедуктивным способом. При этом характер проблемных си­туаций определяется содержанием теоретического материала и воз­растными особенностями учащихся.

1.4. Роль и место репродуктивных заданий в учебнике математики. Известно, что ценность учебника по математике во многом определя­ется содержащейся в нем практической частью, так как система зада­ний — необходимый компонент аппарата организации усвоения материала учебника. В настоящее время в педагогической науке убеди­тельно доказано, что в систему заданий нужно включать и репродук­тивные, и творческие задания.

Система заданий в учебнике должна охватывать все элементы его содержания.

Репродуктивный элемент формирует такое качество знаний, как оперативность, т. е. способность применять знания в различных ситуа­циях.

В качестве примера учебника, наиболее полно отвечающего совре­менным требованиям педагогической науки при построении системы репродуктивных заданий, можно привести учебник А. В. Погорелова «Геометрия, 6—10». В конце каждого параграфа в нем помещены во­просы для повторения и упражнения.

Эти вопросы и упражнения практически охватывают все понятия параграфа, дают целую логическую картину в усвоении материала всего раздела. Кроме того, в тексты многих параграфов включены об­разцы решения задач наиболее важных и трудных типов.

К репродуктивным заданиям мы относим вопросы, упражнения, задачи, во­просы-задания, при ответе на которые ученик выполняет репродуктивную познава­тельную деятельность.

В примерах и решениях задач логично и умело даны пояснения к формированию научных понятий.

Мы остановились на характеристике и оценке репродуктивных за­даний не только потому, что эти задания составляют прочный фунда­мент для формирования знаний и умений и их применимости в практике, но и потому, что они являются основой для успешного вы­полнения системы творческих заданий, играющих главным образом развивающую роль в обучении учащихся.

1.5. Функции наглядности в учебнике математики. Вопрос о на­глядности, об иллюстрациях в учебнике математики принципиально важен, но мало исследован. Совершенно очевидно, что не все виды применяемых иллюстраций имеют одинаковое значение для раскрытия изучаемых закономерностей. Было показано, например, что на про­цесс решения математической задачи существенное влияние оказывают схема и предметно-аналитическая картинка, в которой отражены коли­чественные отношения между данными и искомыми. Использование схем и других условных обозначений важно потому, что они дают воз­можность выделить объективные отношения и закономерности, т. е. моделировать содержание изучаемого явления.

Так или иначе прибегая к наглядности, мы всегда исходим из ана­лиза методических функций наглядности, представленной в учебни­ке математики. Можно условно выделить следующие из этих функций.

а) Познавательная функция наглядности, методической целью которой является формирование познавательного образа изучаемого объекта. Это формирование происходит постепенно от простого к слож­ному , при этом мысль учащегося направляется по кратчайшим и наи­более доступным путям к целостному восприятию объекта. Заметим, что следование познавательной функции не повторяет процесса науч­ного познания — ценность этой функции состоит в предоставлении учащимся кратчайшего и доступного пути осмысления изучаемого материала1.

Именно так, например, поступают иногда авторы учебников, ког­да при исследовании функции на монотонность (или экстремум) пред­варяют теоретическому обоснованию рисунок, на котором связывается возрастание (убывание) или локальный максимум (минимум) функции с углами наклона касательных в соответствующих точках и да­лее со знаками производных в этих точках.

б) Функция управления деятельностью учащегося. При реали­зации функции управления средства и приемы наглядности участ­вуют в ориентировочных, контрольных и коммуникационных дей­ствиях.

Ориентировочным действием может служить, например, построе­ние чертежа, соответствующего рассматриваемому условию, а также внесение в него дополнительных элементов.

Контролирующие действия направлены на обнаружение ошибок при сравнении выполненного учащимся чертежа (схемы, графика) с помещенными в учебнике или в выяснении тех свойств, которые дол­жен сохранить объект при тех или иных преобразованиях.

Коммуникационные действия отвечают той стадии реализации функции управления деятельностью учащегося, которая соответству­ет исследованию полученных им результатов. Выполняя эти действия, учащийся в свете собственного опыта объясняет другим или хотя бы самому себе по построенной модели суть изучаемого явления или факта.

в) Интерпретационная функция наглядности. Известно, что один и тот же объект можно выразить с помощью разных знаков и моделей.

Например, окружность можно задать с помощью пары (центр и радиус), уравнением относительно осей координат, с помощью рисунка или чертежа. Однако в одних случаях удобно воспользоваться ее ана­литическим выражением, в других — геометрической моделью. Рас­смотрение каждой из этих моделей, которая в определенных условиях может служить средством наглядности, является ее интерпретацией. Чем значимей объект, тем желательней дать большее количество ин­терпретаций, раскрывающих познавательный образ с разных сторон.

г) Можно говорить об эстетической функции наглядности, а также об опосредованных методических функциях наглядности, таких, как функция обеспечения целенаправленного внимания учащегося, функ­ция запоминания при повторении учащимися учебного материала, функция использования прикладной направленности и др.

Используя различные функции наглядности, учебник способству­ет наиболее плодотворному мышлению учащегося, так как его внима­ние легко и своевременно переключается со средств наглядности на полученную с их помощью информацию об объекте и обратно. Такое переключение сводит к минимуму отвлечение умственных усилий уча­щихся от предмета их деятельности.

1.6. Методы работы с учебником математики. Учебник и учебные пособия занимают видное место и в процессе обучения, и в процессе усвоения учеником программного материала, в его классной и домаш­ней работе. Хорошо организованная и систематически проводимая работа по учебнику и учебным пособиям является одним из решающих условий усвоения учащимися знаний и навыков по математике.

Между тем умение читать учебник математики и математическую книгу необходимо не только для изучения математики в школе. Умею­щий читать математический учебник быстрее овладеет методами само­стоятельного изучения математики, физики, химии, биологии, техники.

Чтению учебников математики надо специально обучать.

Содержание и формы работы с учебником математики определяются возрастом учащихся, уровнем их математической подготовки и общего развития, содержанием учебника, уже имеющимися умениями работы с математической книгой.

Можно рекомендовать следующие формы постепенно усложняющей­ся работы с учебником математики в IV—VIII классах:

1) Чтение правил, определений, формулировок теорем после объяс­нения учителя.

2) Чтение других текстов после их объяснения учителем.

3) Разбор примеров учебника после их объяснения учителем.

4) Чтение вслух учебника учителем с выделением главного и суще­ственного.

5) Чтение текста учащимися и разбивка его на смысловые абзацы.

6) Чтение пункта учебника и ответы на вопросы учителя (или учебника).

7) Чтение текста учебника, самостоятельное составление плана и ответ учащихся по составленному плану.

Необходимо обучать пользоваться не только текстом и иллюстра­циями учебника, но и его оглавлением, записями и таблицами, поме­щенными на форзацах, аннотацией, предметным указателем. Правиль­ное пользование этим вспомогательным аппаратом учебника значи­тельно ускоряет поиски нужного материала в учебнике.

Помещенные в учебнике рисунки предназначены оказать помощь при чтении текста учебника, при рассмотрении конкретных примеров, при решении задач.
§ 2. ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ И СПРАВОЧНАЯ

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА

2.1. Дидактические материалы. Учебник математики является одним из основных, но не единственным средством обучения. В обуче­нии используется единый комплекс взаимосвязанных между собой книг, наглядных пособий и технических средств обучения.

Одним из видов книг учебного комплекса являются «Дидактиче­ские материалы», издаваемые по всем математическим дисциплинам отдельно для каждого класса.

Программа и учебник определяют направление И содержание «Ди­дактических материалов» и других учебно-методических пособий для учителя и учеников. В свою очередь «Дидактические материалы» служат дополнением к системе задач, предложенной в учебнике, яв­ляются хорошим помощником учителю в организации и проведении обучения математике.

1) Назначение «Дидактических материалов». Прежде всего «Дидактические материалы» оказывают серьезную помощь учителю математики в организации самостоятельного решения задач и выпол­нения упражнений учащимися по курсу математики. Они предназна­чены для проведения части урока, а иногда и всего урока по фрон­тальному или индивидуальному самостоятельному решению задач. Это чаще всего обучающие самостоятельные работы. Такие работы применяются, как правило, после рассмотрения на уроках соответствующих теоретических положений (введения новых понятий, алгоритмов, изучения новых методов или способов решения задач, доказательства теорем и т. д.). Этим работам предшествует рассмотре­ние нескольких примеров, образцов решения задач и т. п. Обучающие самостоятельные работы могут быть проведены также после несколь­ких фронтально решенных задач.«Дидактические материалы» используются учителями для прове­дения фронтального коллективного решения задач на уроке, при опро­се учащихся, в качестве дополнительных заданий быстро решающим задачи учащимся.

«Дидактические материалы» предназначены и для организации индивидуальной работы с учащимися при их самостоятельном реше­нии математических задач. Так, некоторые из задач и текстов само­стоятельных работ, помещенных в «Дидактических материалах», могут быть использованы для работы со слабыми учащимися в каче­стве дополнительного задачного материала. В некоторых изданиях содержатся так называемые «Дополнительные самостоятельные рабо­ты» несколько повышенной трудности, предназначенные для интере­сующихся математикой учеников. Во всяком случае, учитель матема­тики найдет в этих пособиях задачи для различных категорий уча­щихся.

«Дидактические материалы» предназначены и для организации и проведения контрольных работ по темам курса (при завершении изу­чения той или иной темы) и обзорных контрольных работ, целью и назначением которых является контроль за усвоением главы учебника. Учитель может использовать как полные тексты работ, предложенных в «Дидактических материалах», так и отдельные их части.

2) Содержание и структура книг «Дидактические материалы». Содержание всех изданных «Дидактических материалов» соответству­ет программам, учебникам и учебным пособиям по математике. Струк­тура учебных пособий «Дидактические материалы» примерно одина­кова. Каждое из них начинается с предисловия, в котором указано назначение предлагаемых работ и даны краткие указания к их исполь­зованию. В большинстве из них далее следует 4 (или более) самостоя­тельные работы по каждой теме, тексты контрольных работ по темам, 4 варианта обзорных контрольных работ (не во всех изданиях), 2 ва­рианта дополнительных самостоятельных работ, ответы и указания к решениям. В некоторых пособиях эти виды текста расположены в дру­гом порядке.

В «Дидактических материалах» учитываются возрастные особен­ности учащихся, особенности математической дисциплины, для изуче­ния которой предназначено пособие, изучаемый раздел математики. Именно этим определяется число самостоятельных и контрольных ра­бот, число задач в тексте каждой работы.

3) Методика использования «Дидактических материалов». «Ди­дактические материалы» не ставят своей целью полностью определить содержание, время и место проведения самостоятельных и контроль­ных работ. Решающая роль в использовании средств обучения при­надлежит учителю. Именно учитель в соответствии с требованиями программы, составом класса, индивидуальными особенностями уча­щихся, тематическим планом изучения математики определяет окон­чательное содержание проводимых им работ, сроки и продолжитель­ность их выполнения, ставит перед самостоятельными работами конкретные цели и задачи. Это значит, что учитель не должен пункту­ально, последовательно добиваться выполнения учащимися всех контрольных и самостоятельных работ, помещенных в «Дидактических материалах». Учитель выбирает те задачи, выполнение которых счи­тает необходимым условием формирования у учащихся прочных ма­тематических умений и навыков. Итак, не обязательно проводить все самостоятельные работы, помещенные в «Дидактических матери­алах». «Дидактические материалы» — пособие для учителей, а не пред­писание к неуклонному решению всех помещенных в них задач. Учи­тель сам, используя тексты самостоятельных и контрольных работ, либо их часть, либо отдельные задачи и упражнения, определяет со­держание самостоятельной работы учащихся на уроке. Вдумчивый и старательный учитель обратится, конечно, и к дополнительной лите­ратуре, в частности к сборникам задач, изданным в серии «Библиотека учителя математики» ([9], [15]), к другим задачникам, к пособи­ям для поступающих в вузы (в старших классах), используя помещен­ные в них задачи для проведения самостоятельных и контрольных ра­бот, для фронтального решения в классе.

В соответствии с тематическим планом изучения того или иного раздела математики учитель определяет сроки проведения самостоя­тельных и контрольных работ. Задача учителя — в соответствии с уровнем подготовки класса и отдельных его учащихся установить действительную продолжительность предлагаемых самостоятельных и контрольных работ. При этом надо учитывать выбранное содержание работы, требования к ее оформлению (задачи могут быть решены с подробными или краткими записями в тетради, с подробными или крат­кими ссылками на те предложения, которые применены на разных эта­пах решения задачи, или вовсе без обоснований — это зависит от це­лей работы и ее назначения), индивидуальные особенности учащихся. Определяя продолжительность работы, учитель должен исходить и из того, что излишняя продолжительность вредна не менее, чем не­достаток времени на ее выполнение. В самом деле, при недостатке вре­мени ученики, выполняя самостоятельно работу, могут не завершить решение предложенных задач и, следовательно, самостоятельная ра­бота не достигнет своей цели, а время на ее исполнение будет затра­чено. Излишнее же время на решение тех или иных задач расхолажи­вает учащихся, не мобилизует их усилия и знания на скорейшее вы­полнение задания. Недостаток времени на выполнение контрольной работы приводит к снижению оценок, а иногда и интереса учащихся к математике. Избыточное же время на контрольную работу может быть источником высоких оценок учащихся при невысоком уровне их знаний.

Каждой самостоятельной и контрольной работе из «Дидактиче­ских материалов» должен предшествовать краткий, поточный инструк­таж учителя. Хорошо проведенный инструктаж мобилизует учащихся на более точное и быстрое выполнение работы, на получение хороших результатов. В инструктаже учителю следует указать точное время, отведенное на выполнение работы, порядок решения задач или выпол­нения упражнений, предложенных в работе, некоторые особенности задач самостоятельной или контрольной работы, регламентировать поведение учащихся во время работы (при самостоятельном решении задач возможно взаимное консультирование рядом сидящих учащих­ся, обращение к учителю за консультацией или другой помощью, ис­пользование учебника или учебного пособия и т. п.). В инструктаже должно быть указано, какими геометрическими инструментами раз­решается пользоваться при выполнении чертежей, особенно при ре­шении геометрических задач на построение, разрешается ли пользо­ваться вычислительными приборами или таблицами для вычислений. Учитель может указать и возможные формы записи решения задач. Четко организованное и целенаправленное выполнение самостоятель­ных работ по математике во многом содействует формированию проч­ных умений и знаний при минимальных затратах сил и времени уча­щихся.

Каждая самостоятельная или контрольная работа должна орга­низованно завершаться. Завершением самостоятельной работы явля­ется подведение ее итогов, проведенное по возможности на том же уро­ке, что и сама работа. При подведении итогов следует отметить наи­более рациональные и оригинальные решения задач, предложенные учащимися, проанализировать наиболее часто повторяющиеся ошиб­ки учащихся. Подведение итогов самостоятельной работы должно предусматривать и четкое указание, чему научились учащиеся, ка­кие новые знания, умения и навыки они приобрели.

Из итогов каждой самостоятельной работы учитель должен сде­лать выводы для дальнейшего обучения учащихся математике.

Итоги контрольной работы возможно подвести на одном из после­дующих уроков (после проверки контрольной работы учителем) или на консультации. Последний вариант экономит время урока, но занимает дополнительное время учителя и учеников. При разборе и подведении итогов контрольной работы необходимо проанализи­ровать состояние знаний, умений и навыков школьников. Поэтому к подведению итогов учитель должен тщательно готовиться: классифи­цировать уровень знаний, приобретенных учащимися, сформирован­ные у них умения и навыки, допущенные учащимися в контрольной работе ошибки и недочеты, выявленные пробелы в знаниях.

2.2. Справочники по математике и справочная математическая литература. Обучение пользованию справочниками по математике, справочными таблицами и другой справочной литературой должно найти свое место при изучении математики в средней школе. В самом деле, роль справочников в деятельности квалифицированного рабочего, инженера, специалистов других профессий достаточно ве­лика, к справочникам обращаются повседневно. Надо также учесть, что не все, что предлагается для изучения в курсе математики, необ­ходимо запоминать. Для запоминания выбирается первостепенное, необходимое для изучения дальнейшего курса математики или в жиз­ни. Второстепенное можно найти в справочниках. Справочники по­могают быстрей вспомнить изученное, но полузабытое. Они могут быть использованы и для запоминания многих формулировок, тождеств, формул, методов решения задач и т. д., помогут в применении приемов и методов, изучение которых не предусмотрено программой. Как ви­дим, роль справочников в обучении достаточно велика.

Различная справочная математическая литература адресована раз­личным категориям читателей: учащимся, учителям, другим специа­листам.

Содержание и структура изданных справочников по школьному курсу математики примерно одинаковы. В справочниках ученик и учитель найдут таблицы для вычислений (степеней, корней, обратных чисел, логарифмов, значений показательной и тригонометрических функций и др.); фактические сведения: формулы, определения поня­тий, алгоритмические предписания (например, предписание, как строить касательную), примеры применения этих справок; сведения, разъясняющие основные понятия и важнейшие методы школьного кур­са математики; сведения о некоторых понятиях и методах математики, не включенных в школьные учебники и учебные пособия по математи­ке. Для быстрого наведения нужных справок в начале справочника помещено подробное оглавление, а в конце — алфавитный указатель. Кроме того, имеются ссылки на другие страницы справочника.

Справочники по математике могут быть использованы при решении задач, требующих применения математических сведений, изученных в прошлые годы. В этом случае обращение к справочнику позволяет быстро восстановить в памяти связи изучаемого с ранее изученным, помогает лучшему запоминанию того, что было изучено в более млад­ших классах. При решении же задач часто требуется производить многие вычисления, результаты которых можно быстро найти в спра­вочнике (например, в таблицах длин окружностей, площадей кругов, значений корней и т. д.). В этом случае использование справочника экономит время вычислений. При проведении расчетных работ приме­нение таблиц справочников наряду с микрокалькуляторами и лога­рифмической линейкой существенно ускоряет работу. Возможно ис­пользование справочников при повторении изученного. Так, исполь­зуя помещенные в справочнике формулы тригонометрических функций двойного и половинного аргумента, можно предложить учащимся по­думать, догадаться или вспомнить, как выводятся эти формулы (осо­бенно различные формулы тангенса и котангенса половинного аргу­мента). При этом достигаются сразу две цели: запоминание формул и установление связей и зависимостей тригонометрических тождеств.

Справочники можно использовать и для знакомства с некоторыми сведениями из математики, не включенными в программу, учебники и учебные пособия по математике средней школы. Например, тожде­ства для преобразования произведений синусов, косинусов различных аргументов не включены в программу, но применяются при вычисле­нии интегралов. Некоторым ученикам (конечно, лучшим, интересую­щимся математикой) можно предложить рассмотреть их в справочнике. При решении на внеклассных занятиях задач на преобразования три­гонометрических выражений полезно воспользоваться справочником для преобразования тригонометрических функций тройного и учетве­ренного аргумента.

Следует предложить несколько советов о том, как использовать справочники для запоминания математических сведений. Неверно было бы следовать совету: незачем запоминать формулы, ведь они есть в справочниках. Прибегать к справочнику полезно на начальном этапе изучения новых сведений, постепенно исключая использование спра­вочника по мере их изучения.

Полезные сведения для справок содержит изданная в двух томах книга О. В. Мантурова, Ю. К- Солнцева и др. «Математика в понятиях, определениях и терминах» [2]. В этой книге растолковываются и разъ­ясняются понятия и термины школьного курса математики и важней­шие понятия и термины математической науки. Понятия и термины расположены в книгах в алфавитном порядке. В необходимых случаях имеются ссылки на литературу, в которой подробно излагаются свой­ства включенных в эти книги понятий математики. Собственно, ре­комендуемые книги являются словарем математических сведений н понятий. Некоторые понятия и термины иллюстрируются конкретны­ми примерами, в некоторых статьях имеются исторические справки.

В процессе преподавания математики в школе вполне могут быть использованы и справочники по высшей математике. Конечно, учить пользоваться этими справочниками всех учащихся не нужно, но для интересующихся математикой учеников во многих случаях эти спра­вочники будут полезны.

Для учителей математики и студентов математических специаль­ностей педагогических институтов можно рекомендовать и другую спра­вочную литературу. Это «Математическая энциклопедия», четыре тома которой уже вышли из печати, книги серии «Справочная математиче­ская библиотека» под общей редакцией Л. А. Люстерника и А. Р. Ямпольского и др.
§ 3. УЧЕБНОЕ ОБОРУДОВАНИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ И МЕТОДИКА

ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ЕГО В УЧЕБНОЙ РАБОТЕ

В настоящее время для школы разработана система учебного обо­рудования по математике, нашедшая свою реализацию в «Типовых перечнях учебно-наглядных пособий и учебного оборудования для общеобразовательных школ»¹.

В соответствии с перечнем в состав учебного оборудования по ма­тематике для средней школы входят:

1. Приборы, модели, инструменты.

2. Печатные средства обучения.

3. Экранные средства обучения.

' Дадим краткую характеристику отдельных видов учебного обору­дования и рассмотрим некоторые вопросы методики использования их в обучении математике в школе.

3.1. Приборы, модели, инструменты. Для педагогического про­цесса приборы и модели имеют большое значение. В школьном препо­давании наряду со сравнительно новыми для нашей школы видами учебного оборудования находят достаточно широкое применение такие традиционные пособия, как набор подвижных моделей по геометрии



для б—8 классов, набор шарнирных моделей угла, треугольника и четырехугольника, демонстрационный прибор но стереометрии (автор Л- А. Стукапов), стереометрический набор (автор И. К. Середа), стерео­метрический прибор (автор А. И. Раев), стереометрический ящик и др. Опишем некоторые из перечисленных приборов.

Набор шарнирных моделей. Он состоит из шарнирно соединенных стержней и трубок. Позволяет собрать треугольники и четырехуголь­ники (рис. 51).

Комплект стереометрических тел для восьмилетней школы (автор Вейцман И. Б.). Комплект состоит из двух каркасных тел: куба и прямоугольного параллелепипеда — и из десяти полых пластмас­совых тел (пять из них показаны на рис. 52).

Полые тела (кроме полушара) снабжены съемными основаниями (крышками). Набор включает прямой параллелепипед с пря­моугольным основанием; прямой параллелепипед с квадратным основанием; прямую призму с треугольным основанием; пирамиду с квадратным основанием; пирамиду с прямоугольным основанием; пирамиду с треугольным основанием; цилиндр; конус, у которого ос­нование и высота равны основанию и высоте цилиндра; конус, диаметр основания которого равен диаметру большого круга палушара, а высота — радиусу полушара; полушар.

Основное назначение полых тел — приближенный вывод формул объемов геометрических тел путем непосредственного измерения объе­ма помещающейся в них воды.

Стереометрический набор, или комплект деталей для сборки моде­лей по стереометрии (автор Середа И. К.). Комплект состоит из набора деталей и предназначен для сборки моделей геометрических тел по всем разделам стереометрии, изучаемым в средней школе: 1) «Прямые и плоскости». 2) «Многогранники». 3) «Круглые тела». Кроме того, можно демонстрировать комбинации геометрических тел: призмы, пирамиды, цилиндра, конуса, вписанных в шар; пирамиды и призмы, вписанных в цилиндр, и т. д.

Большинство моделей, собранных из деталей комплекта, допуска­ют изменение угловых и линейных элементов, т. е. являются подвиж­ными (динамичными).

За последние годы большое распространение в практике обучения математике приобрели приборы с магнитным креплением и резиновые штемпели (штампы).

Приборы с магнитным креплением дают возможность непрерыв­ного перемещения частей прибора в плоскости доски и закрепления их в любом положении. Осуществляется это следующим образом. Часть классной доски покрывается листом железа и окрашивается под цвет остальной части доски, или такая «магнитная доска» изготовляется от­дельно и делается переносной. Детали, которые должны перемещаться и фиксироваться на доске в разных положениях, изготавливаются из картона или пластика, на их оборотную сторону наклеиваются плос­кие магниты. Такая деталь, приложенная к «магнитной доске», прочно удерживается на ней и в то же время может легко перемещаться по доске. Этим создаются возможности для наглядной иллюстрации свойств математических понятий и методов. С успехом можно, например, при­менять магнитные пособия при изучении дробей, площадей плоских фигур, графиков функций, симметрии, параллельного переноса, по­ворота и многих других понятий школьного курса математики. Таким образом, использование магнитной доски может заменить многие плос­кие подвижные модели. В настоящее время нашей промышленностью выпускаются и через систему «Главснабпроса» распространяются сле­дующие магнитные приборы: магнитная доска с координатной сеткой, переносная магнитная доска, комплект кривых для магнитной доски, магнитный прибор «Измерение площадей», магнитный прибор «Доли и дроби».

Удобным видом учебного оборудования являются резиновые штем­пели (штампы) с изображением различных плоских и объемных фи­гур, графиков, таблиц и т. д. При использовании этого вида учебного оборудования достаточно приложить штемпель к штемпельной подушке и прижать его к листу бумаги, чтобы получить нужное изображение, например изображение куба или прямоугольного параллелепипеда. При решении задач, связанных с построением изображений куба или прямоугольного параллелепипеда, учащиеся, воспользовавшись штем­пелем, могут быстро получить в тетради правильный чертеж, что дает большую экономию времени. Естественно, применение штемпелей не должно привести к утрате учащимися навыков вычерчивания фигур. Поэтому учитель должен вначале научить учащихся изображать фи­гуры на плоскости, а затем применять штемпели на уроке. Штемпели могут использоваться учителем при подготовке многовариантных кон­трольных заданий. Можно, например, заготовить 35—40 чертежей с изображением прямоугольного параллелепипеда, чтобы затем, про­ставив размеры, получить набор индивидуальных заданий.

Кроме рассмотренного оборудования, в практике преподавания математики широкое применение находят разнообразные инструменты для выполнения измерительных и чертежных работ, а также наборы для проведения лабораторных работ. Приведем краткое описание не­которых из них.

Астролябия школьная (рис. 53). Астролябия как угломерный ин­струмент применяется для измерений на местности. Существенными ча­стями астролябии являются лимб (круг, разделенный на градусы), алидада (линейка, которая в астролябии вращается около вертикаль­ной оси в центре лимба), диоптры (металлические пластины с прорезя­ми). Диоптров два: один — с прорезом в виде узкой щели, другой — с широким прорезом, посередине которого натянут волосок. Для удоб­ства переноски и хранения прибора диоптры сделаны складывающимися. Для отсчета градусов на скошенных концах алидады имеются черточки — ука­затели градусов. В середине алидады к ней прикреплен компас. Для установки лимба в горизонтальное положение на нем укреплен уровень.

Мензула школьная с визирной линей­кой (рис. 54). Мензула применяется при съемке планов местности и представляет собой переносной чертежный столик, на который накладываются визирная линейка и компас.

Тренога. Предназначена для устано­вки измерительных инструментов (астро­лябии, мензулы и др.) при выполнении измерений на местности.

Чертежные инструменты (демонстра­ционные):

1) линейка классная с ручкой;

2) линейка метровая с цветной шка­лой;

3) пантограф;

4) транспортир;

5) циркуль пропорциональный;

6) угольники с углами 30°, 60°, 90° и 45°, 45°, 90°;

7) циркуль чертежный.

Набор геометрических тел. Состоит из 12 тел: двух параллелепи­педов, трех призм (трех-, шести-, восьмиугольной), четырех пи­рамид (трех-, четырех-, шести-, восьмиугольной), цилиндра, конуса, шара. Включенные в этот набор геометрические тела могут исполь­зоваться при проведении различных измерительных и вычислитель­ных работ.

Набор моделей для проведения лабораторных работ по измерению длин, площадей и объемов тел. Содержит 20 палеток, 40 кубиков размером 10 х 10 х 10 мм, 40 кубиков размером 20 х 20 х 20 мм, а также различные плоские фигуры и ступенчатые тела. Ученик, при­нимая по указанию учителя один из кубиков за единичный и рассмат­ривая выданное ему ступенчатое тело, определяет объем, площадь по­верхности тела, размеры наименьшей прямоугольной коробки, вме­щающей это ступенчатое тело, и т. п. Аналогичная работа проводится с плоскими фигурами и палеткой.

Выпускаемые промышленностью модели, приборы и инструменты не всегда могут удовлетворить потребности, возникающие при обуче­нии школьников математике. Поэтому учителя часто прибегают к из­готовлению моделей своими силами с привлечением учащихся. Это делается не только в тех случаях, когда в школе отсутствуют не­обходимая модель, прибор или инструмент, но и когда учитель считает, что имеющаяся модель, прибор не в полной мере способствуют ясному и четкому восприятию изучаемого материала. Внося в модель усоверш