|
|
щербакова учебник. Программа Учебники и учебные пособия для педагогических училищ и колледжей
§ 4. Теоретические основы понятия натурального числа
Понятие натурального числа, как и любое абстрактное понятие, это отражение общих и существенных признаковопределенных явлений объективной действительности.Объектом отражения служат количественные отношения действительного мира.
Понятие числа у человека возникает в основном так же, как и другие научные понятия, т. е .на основе конкретныхпредставлений,на основе практического опыта. Отличительные черты этого процесса обусловливаются лишь сущностью объектов отражения— количеством.
Особенностью количества является то,что реально количественные отношения вне предметов,отдельно от них, не существуют.Чтобы отделить количественные отношения от всех других признаков предмета, нельзя сразу откинуть сами предметы или заменить разнообразные совокупности совокупностями,составленными только из одних каких-то предметов.Трудности формирования понятия о количестве объясняются еще и тем, что в разных конкретных множествахнеобходимо выделить и обратить внимание на количественные отношения как самые главные,самые существенные.
28
Длятого чтобы выделить постоянные количественные отношения,следует сделать однородные множества переменными,т.е. необходимо разнообразить совокупности предметов.Например, пять шкур, пять мешков зерна, пять пальцев на руке. Эти множества отличаются по содержанию,но они одинаковы по количеству,что становится очевидно благодаря их сравнению.Количественная сторона данных множеств, оставаясь постоянной,становится заметной, так как отделяетсяот других качественных и пространственных признаков и обобщается в виде абстрактного понятия числа— всех их по пять.
Следующей особенностью количественных отношенийявляется то обстоятельство,что выделение их осуществляется с помощью сравнения.Только сравнение предметов открывает у них количественную сторону как объективноесвойство материального мира. Поэтому основным в познании количества является восприятие не самих вещей,а восприятие их изменений— сравнение,умственная деятельность,динамика (Кольман Е.). Эти действия могут быть разными:непосредственное сравнение,счет, измерение,что зависит от природы самих вещей.Если это дискретные(прерывные)величины, то сравниваются они или непосредственно,или с помощью пересчитывания элементов. Если же это непрерывные величины, то сравнение осуществляется измерением или также непосредственным сравнением.Действия сравнений зависят и от задачи более или менее точно характеризовать количество.Например, восемь штук, четыре килограмма,пять метров и др.
Итак,при формировании у детей понятия числа важноорганизовать систему действий с совокупностями предметов,научить их различным способам выделения и оценки количества предметов.Усвоение понятия натурального числа удетей даже под влиянием целенаправленного обучения —длительный процесс. Как и любое познание,оно не простое,не непосредственное,не целостное,а достаточно сложный процесс осознания абстракций,законов, закономерностей.
Дети сами не изобретают ни действий,раскрывающих количественную сторону предметного мира, ни названийчисел,ни знаков для обозначения их записи. Это происходит благодаря усвоению ими опыта предыдущих поколений(опыта взрослых). Однако личный опыт каждого ребенка также необходим. Без непосредственного опыта невозможно ни возникновение,ни развитие математических понятий.
На каждой ступени обобщения и углубления понятий натурального числа следует обеспечить правильное объедине-
29
ние чувственного и логического элементов познания.Чувственный опыт, как и логические способы раскрытия конкретного понятия, развивается и усовершенствуется.Чувственное познания — это наши ощущения и восприятия.
На первых этапах возникновения числовых представленийу детей чувственную основу создает оперирование предметами.Для этого им необходимы разные группы(множества)предметов.Дети практически действуют с ними: складывают,раскладывают,нанизывают,накладывают,прикладывают,пересчитывают.При этом необходимо,чтобы взрослый направлял этот процесс на сравнение множеств по количеству(больше,меньше, поровну).Под влиянием этих действий, во-первых,развиваются операции сравнения и счета; во-вторых,формируется начальное понятие о числе как показателе мощности множества.
В процессе формирования понятия числа особое значениеприобретает связь счета с измерением,обучение детей пониманию отношения того или другого объекта (величины)как целого к его части (меры).
Позднее понятие натурального числа углубляется благодаря оперированию самими числами:ознакомление с системой счисления,изучение свойств натурального ряда, выполнение арифметических действий. В результате изменяетсясамо содержание понятия натурального числа, а соответственно этому изменяется также восприятие количества,числовые представления в целом. Важное значение тут приобретает логический элемент познания.
Практика,индивидуальный опыт ребенка являются нетолько основой формирования абстрактного понятия натурального числа, но и способом изучения количественныхотношений.Опыт в данном случае выступает как критерийжизненности,реальной значимости понятия числа.
Для ребенка в первое время его жизни слова являютсятолько вторым сигналом действительности.Первым же являются восприятия,которые поступают в его сознание через органы чувств из внешнего мира.
Упражнения для самопроверки
Возникая на основе ...представления чувственного
(в процессе практического оперирова
ния)с множествами, ... и измерения, счета
понятие... числа раскрывается далее в натурального
его существенных признаках,знание ко
торых не может быть приобретено ис-
30
следованием,поскольку число не относится к области непосредственного наблюдения.
число меры
практической
теоретического
выделить конечных
множеств количественную
чисел
наибольшего число прибавить получим
ряда
задачи
численности
множеств
элементов
числительных
В конце дошкольного возраста у детей должно быть сформировано понятие о том,что ..., которое получено в результате счета, зависит от избранной....
Только в результате длительного развития... деятельности и... мышления человек сумел... для каждого класса... эквивалентных..., общих для всех множеств этого класса, их ...характеристику,которую можно выразить с помощью числа(один, два,три и т.д.).
Натуральных...бесконечно много, среди них не бывает....Какое бы большое... мы ни взяли,если... к нему единицу, то...еще большее число.
С помощью чисел натурального... человек решает две основные ...:
определение... конечных... и
упорядочивание... конечные множе
ства. Отсюда и две формы ...: количествен
ные и порядковые числительные.
§ 5. Виды письменной нумерации.Системы счисления
Цель всякой нумерации— изображение любого натурального числа с помощью небольшого количества индивидуальных знаков. Этого можно было бы достичь с помощью одного знака— 1 (единицы). Каждое натуральное число тогда записывалось бы повторением символа единицы столько раз,сколько в этом числе вмещается единиц. Сложение сводилось бы к простому приписыванию единиц, а вычитание— к вычеркиванию(вытиранию) их.Идея, лежащая в основе такой системы,проста, однако эта система очень неудобна.Для записибольших чисел она практически не пригодна,и ею пользуются только народы,у которых счет не выходит за пределы од-ного-двух десятков.
С развитием человеческого общества увеличиваются знания людей и все больше становится потребность считать и записывать результаты счета довольно больших множеств,измерения больших величин.
31
У первобытных людей не было письменности,не было ни букв, ни цифр,каждую вещь,каждое действие изображали рисунком. Это были реальные рисунки, отображающието или другое количество.Постепенно они упрощались,становились все более удобными для записи.Речь идет о записи чисел иероглифами.Иероглифы древних египтян свидетельствуют о том, что искусство счета было развито у них достаточно высоко, с помощью иероглифов изображались большие числа. Однако для дальнейшего усовершенствования счета было необходимо перейти к более удобной записи,которая позволяла бы обозначать числа специальными,более удобными знаками (цифрами).Происхождение цифр у каждогонарода различное.
Первые цифры встречаются более чем за2 тыс. лет до н.э.в Вавилоне.Вавилоняне писали палочками на плитах из мягкой глины и потом свои записи высушивали.Письменность древних вавилонян называласьклинописью.Клинышки размещались и горизонтально,и вертикально в зависимости от их значения.Вертикальные клинышки обозначали единицы, а горизонтальные,так называемые десятки — единицы второго разряда.
Некоторые народы для записи чисел использовали буквы. Вместо цифр писали начальные буквы слов-числительных.Такая нумерация,например, была у древних греков.По имени ученого, который предложил ее,она вошла в историю культуры под названиемгеродианованумерация.Так, в этой нумерации число «пять»называлось«pinta»и обозначалосьбуквой«Р», а число десять называлось«deka»и обозначалосьбуквой«Д». В настоящее время этой нумерацией не пользуетсяникто.В отличие от нее римскаянумерация сохранилась и дошла до наших дней.Хотя теперь римские цифры встречаются не так часто:на циферблатах часов, для обозначения глав в книгах,столетий, на старых строениях и т.д. В римской нумерации есть семь узловых знаков: I,V,X,L,С, D,М.
Можно предположить,как появились эти знаки. Знак(1)— единица — это иероглиф, который изображаетIпалец(каму), знак V— изображение руки (запястье руки с отставленным большим пальцем),а для числа 10— изображение вместе двух пятерок (X).Чтобы записать числа II,III,IV,пользуются теми же самыми знаками, отображаядействия с ними. Так, числаIIи IIIповторяют единицу соответствующее число раз. Для записи числаIVперед пятью ставится I.В этой записи единица, поставленная перед пятеркой,вычитается из V,а единицы,поставленные за V,
32
прибавляются к ней. И точно так же единица,записаннаяперед десятью (X),отнимается от десяти, а та, что стоитсправа,— прибавляется к ней. Число 40обозначаетсяXL.В этом случае от 50 отнимается10. Для записи числа 90 от 100отнимается10 и записывается ХС.
Римская нумерация весьма удобна для записи чисел, но почти не пригодна для проведения вычислений.Никаких действий в письменном виде (расчеты«столбиками»и другие приемы вычислений)с римскими цифрами проделать практически невозможно.Это очень большой недостатокримской нумерации.
У некоторых народов запись чисел осуществлялась буквами алфавита, которыми пользовались в грамматике.Эта запись имела место у славян, евреев,арабов, грузин.
Алфавитнаясистема нумерации впервые была использована в Греции. Самую древнюю запись,сделанную по этой системе,относят к серединеVв. до н.э. Во всех алфавитных системах числа от 1 до 9 обозначали индивидуальными символами с помощью соответствующих букв алфавита.В греческой и славянской нумерациях над буквами,которые обозначали цифры, чтобы отличить числа от обычных слов, ставилась черточка «титло»(). Например, а,б, <ГиТ-Д-Все числа от 1 до999 записывали на основе принципа прибавления из 27 индивидуальных знаков для цифр. Пробызаписать в этой системе числа больше тысячи привели к обозначениям,которые можно рассматривать как зародышипозиционной системы. Так,для обозначения единиц тысячиспользовались те же буквы,что и для единиц,но с черточкой слева внизу,например, @ ,, q;и т.д.
Следы алфавитной системы сохранились до нашего времени.Так, часто буквами мы нумеруем пункты докладов,резолюций и т.д. Однако алфавитный способ нумерации сохранился у нас только для обозначения порядковых числительных.Количественные числа мы никогда не обозначаембуквами,тем более никогда не оперируем с числами,записанными в алфавитной системе.
Старинная русская нумерация также была алфавитной.Славянское алфавитное обозначение чисел возникло в Xв.
Сейчас существуетиндийская система записи чисел. Завезена она в Европу арабами, поэтому и получила название арабскойнумерации.Арабская нумерация распространилась по всему миру, вытеснив все другие записи чисел.В этой нумерации для записи чисел используется10 значков, которые называются цифрами. Девять из них обозначают числа от 1 до9.
33
2 Заказ1391
Десятый значок — нуль(0) — означает отсутствие определенного разряда чисел.С помощью этих десяти знаков можно записать какие угодно большие числа.До XVIIIв. на Руси письменные знаки, кроме нуля, назывались знамениями.
Итак,у народов разных стран была различная письменная нумерация:иероглифическая— у египтян;клинописная— у вавилонян;геродианова— у древних греков, финикийцев;алфавитная— у греков и славян; римская— в западных странах Европы;арабская — на Ближнем Востоке.Следует сказать, что теперь почти везде используется арабская нумерация.
Анализируя системы записи чисел (нумерации),которые имели место в истории культур разных народов, можно сделать вывод о том,что все письменные системы делятся на две большие группы:позиционные и непозиционные системы счисления.
К непозиционным системам счисления принадлежат:запись чисел иероглифами,алфавитная,римская инекоторые другие системы.Непозиционная система счисления— это такая система записи чисел, когда содержаниекаждого символа не зависит от места, на котором он написан.Эти символы являются как бы узловыми числами, аалгорифмические числа комбинируются из этих символов.Например,число 33 в непозиционной римской нумерации записывается так: XXXIII.Здесь знакиX(десять) и I(единица)используются в записи числа каждый по три раза. Причем каждый раз этот знак обозначает ту же самую величину:X— десять единиц,I— единица, независимо от места,на котором они стоят в ряду других знаков.
В позиционных системах каждый знак имеет разное значение в зависимости от того, на котором месте в записи числа он стоит.Например, в числе 222 цифра«2» повторяется трижды, но первая цифра справа обозначает две единицы,вторая — два десятка, а третья— две сотни. В этом случае мы имеем в видудесятичную систему счисления.Наряду с десятичной системой счисления в истории развитияматематики имели место двоичная, пятиричная,двадцатиричная и др.
Позиционные системы счисления удобны тем, что они дают возможность записывать большие числа с помощьюсравнительно небольшого количества знаков. Важное преимущество позиционных систем — простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.
34
Появление позиционных систем обозначения чисел было одной из основных вех в истории культуры. Следует сказать, что это произошло не случайно,а как закономерная ступень в культурном развитии народов.Подтверждением этого является самостоятельное возникновение позиционных систем уразных народов: у вавилонян— более чем за2 тыс. лет до н.э.;у племен майя(центральная Америка) — в начале но-вой'эры;у индусов — вIV—VIв. н.э.
Происхождение позиционного принципа прежде всего следует пояснить появлением мультипликативной формы записи.Мультипликативная запись — это запись с помощьюумножения.Кстати, эта запись появилась одновременно с изобретением первого счетного прибора, который у славян назывался абак. Так, в мультипликативной записи число154 можно записать:1хЮ2+5х10+4.Как видим, в этой записиотображается тот факт, что при счете некоторые количестваединиц первого разряда,в данном случае десять единиц,берутся за одну единицу следующего разряда, определенноеколичество единиц второго разряда берется,в свою очередь,за единицу третьего разряда и т.д. Это позволяет для изображения количества единиц разных разрядов использовать одни и те же числовые символы. Эта же запись возможна при счете любых элементов конечных множеств.
В пятиричной системе счет осуществляется«пятками» —по пять. Так, африканские негры считают на камушках или орехах и складывают их в кучи по пять предметов в каждой. Пять таких куч они объединяют в новую кучку и т.д. При этом сначала пересчитывают камушки, потом кучки, потомбольшие кучи. При таком способе счета подчеркивается то обстоятельство,что с кучами камешков следует производить те же самые операции, что и с отдельными камешками.Технику счета по этой системе иллюстрирует русский путешественник Миклухо-Маклай.Так, характеризуя процесс пересчитывания товара туземцами Новой Гвинеи,он пишет, что чтобы посчитать количество полосок бумаги,которые обозначали число дней до возвращения корвета «Витязь»,папуасы делали следующее:первый, раскладывая полоски бумаги на коленях, при каждом откладывании повторял «каре»(один), «каре»(два) и так до десяти, второй повторял это же слово,но при этом загибал пальцы сначала наодной,потом на другой руке. Досчитав до десяти и загнувши пальцы обеих рук, папуас опускал оба кулака на колени,проговаривая«ибен каре»— две руки. Третий папуас при этом загибал один палец на руке.С другим десятком было
35
выполнено то же самое,причем третий папуас загибал второй палец, а для третьего десятка— третий палец и т.д. Подобный счет имел место и у других народов.Для такого счета необходимы были не менее чем три человека.Один считалединицы,другой — десятки,третий — сотни.Если же заменить пальцы тех, кто считал, камушками,помещенными в разные выемки глиняной доски или нанизанными на прутики,то получился бы самый простой счетный прибор.
Со временем названия разрядов при записи чисел начали пропускать.Однако для завершения позиционной системы недоставало последнего шага — введения нуля. При сравнительно небольшой основе счета,какой было число 10, и оперировании сравнительно большими числами,особенно после того как названия разрядных единиц начали пропускать,введение нуля стало просто необходимым.Символ нулясначала мог быть изображением пустого жетона абака или видоизмененной простой точки,которую могли поставить на месте пропущенного разряда. Так или иначе, однако введение нуля было совершенно неизбежным этапом закономерного процесса развития,который и привел к созданиюсовременной позиционной системы.
В основе системы счисления может быть любое число, кроме1 (единицы) и 0 (нуля). В Вавилоне,например, было число 60.Если за основу системы счисления берется большое число, то запись числа будет очень короткой, однако выполнениеарифметических действий будет более сложным.Если же, наоборот,взять число2 или 3, то арифметические действия выполняются очень легко,но сама запись станет громоздкой.Можно было бы заменить десятичную систему на более удобную,но переход к ней был бы связан с большими трудностями:прежде всего довелось бы перепечатывать заново все научные книги,переделывать все счетные приборы и машины.Вряд ли такая замена была бы целесообразной.Десятичнаясистема стала привычной,а значит, и удобной.
Упражнения для самопроверка
Последовательный ряд чисел опреде-
лялся постепенно. Основную роль в создании ... чисел играла... сложения. Кроме того, использовались ..., а также умножение.
алгорифмических
операция
вычитание
знаки
клинопись иероглифы алфавитная
Для записи чисел разные народы изобретали различные ....Так, до наших
дней дошли такие виды записи: ,
36
геродианова, ..., римская и др.
И в настоящее время люди иногда
пользуются алфавитной и .., нумерациями, римской
чаще всего при обозначении порядковыхчислительных.
В современном обществе большинство
народов пользуется арабской (...)нумера- индусской
цией.
Письменные нумерации(системы) де
лятся на две большие группы: позицион
ные и ... системы счисления. непозиционные
|
|
|
Скачать 2.02 Mb.