Логика - Германова А.Д.. Учебник для педагогических учебных заведений е изд. М икф омегаЛ Высшая школа, 2002
 Скачать 4.46 Mb.
|
|
Непрямое (косвенное) доказательство — это доказательство, в котором истинность выдвинутого тезиса обосновывается путем доказательства ложности антитезиса. Если тезис обозначить буквой а то его отрицание будет антитезисом, те. противоречащим тезису суждением. Апагогическое косвенное доказательство (или доказательство от противного осуществляется путем установления ложности противоречащего тезису суждения. Этот метод часто используется в математике. Пусть а — тезис или теорема, которую надо доказать. Предполагаем от противного, что ложно, те. истинно не-а (или Из допущения выводим следствия, которые противоречат действительности или ранее доказанным теоремам. Имеем при этом — ложно, значит, истинно его отрицание, т.е. которое по закону двузначной классической логики а дает а. Значит, истинно а что и требовалось доказать. Следует заметить, что в конструктивной логике формула а не является выводимой, поэтому в этой логике ив конструктивной математике ею пользоваться в доказательствах нельзя. Закон исключенного третьего здесь также отвергается (не является выводимой формулой, поэтому косвенные доказательства здесь не применяются. Примеров доказательства от противного очень много в школьном курсе математики. Так, например, доказывается теорема о том, что из точки, лежащей вне прямой, на эту прямую можно опустить лишь один перпендикуляр. Ме- Журнал Бурда. МС Глава VI. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ АРГУМЕНТАЦИИ тодом от противного доказывается и следующая теорема Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны. Доказательство этой теоремы прямо начинается словами: «Предположим противное, те. что прямые и CD не параллельны». Разделительное доказательство (методом исключения Антитезис является одним из членов разделительного суждения, в котором должны быть обязательно перечислены всевозможные альтернативы, например: Преступление мог совершить либо А либо либо С что не совершали преступление ни Ани В. Преступление совершил С. Истинность тезиса устанавливается путем последовательного доказательства ложности всех членов разделительного суждения, кроме одного. Здесь применяется структура отрицающе-утверждающего модуса раздели- тельно-категорического силлогизма. Заключение будет истинным, если враз- делительном суждении предусмотрены всевозможные случаи (альтернативы, те. если оно является закрытым (полным) дизъюнктивным суждением: ду ЬУ СУ АС d Как отмечалось ранее, в этом модусе союз или может употребляться и как строгая дизъюнкция (v), и как нестрогая дизъюнкция (v), поэтому ему отвечает также схема bv СУ 3. Понятие опровержения Опровержение — логическая операция установления ложности или необоснованности ранее выдвинутого тезиса. Опровержение должно показать, что 1) неправильно построено само доказательство (аргументы или демонстрация 2) выдвинутый тезис ложен или не доказан Б 194 ЛОГИКА Суждение, которое надо опровергнуть, называется тезисом опровержения Суждения, с помощью которых опровергается тезис, называются аргу- ментами Существуют три способа опровержения I) опровержение тезиса (прямое и косвенное II) критика аргументов выявление несостоятельности демонстрации. Опровержение тезиса (прямое и косвенное) Опровержение тезиса осуществляется с помощью следующих трех способов (первый — прямой способ, второй и третий — косвенные способы. Опровержение фактами — самый верный и успешный способ опровержения. Ранее говорилось о роли подбора фактов, о методике оперирования ими все это должно учитываться ив процессе опровержения фактами, противоречащими тезису. Должны быть приведены действительные события, явления, статистические данные, которые противоречат тезису, те. опровергаемому суждению. Например, чтобы опровергнуть тезис На Венере возможна органическая жизнь, достаточно привести такие данные температура на поверхности Венеры а давление — 95-97 атмосфер. Эти данные свидетельствуют о том, что жизнь на Венере невозможна. Устанавливается ложность (или противоречивость) следствий, вытекающих из тезиса Доказывается, что изданного тезиса вытекают следствия, противоречащие истине. Этот прием сведение к абсурду ad absurdum). Поступают так опровергаемый тезис временно признается истинным, но затем из него выводятся такие которые противоречат истине. В классической двузначной логике (как уже отмечалось) метод сведения к абсурду выражается в виде формулы: где F — противоречие или ложь. В более общей форме принцип сведения (приведения) к абсурду выражается такой формулой (а Ь Опровержение тезиса через доказательство антитезиса По отношению к опровергаемому тезису (суждению а выдвигается противоречащее ему суж- Глава VI. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ АРГУМЕНТАЦИИ дение (те и суждение (антитезис) доказывается. Если антитезис истинен, то тезис ложен, и третьего не дано по закону исключенного третьего. Например, надо опровергнуть широко распространенный тезис «Все собаки лают (суждение А, общеутвердительное). Для суждения А противоречащим будет суждение О — Некоторые собаки не лают». Для доказательства последнего достаточно привести несколько примеров или хотя бы один пример Собаки у пигмеев никогда не лают» 1 . Итак, доказано суждение О. В силу закона исключенного третьего, если О — истинно, то А — ложно. Следовательно, тезис опровергнут. Критика аргументов Подвергаются критике аргументы, которые были выдвинуты оппонентом в обоснование его тезиса. Доказывается ложность или несостоятельность этих аргументов. Ложность аргументов не означает ложности тезиса тезис может оставаться истинным: Вероятно, Нельзя достоверно умозаключать от отрицания основания к следствия. Но бывает достаточно показать, что тезис не доказан. Иногда бывает, что тезис истинен, но человек не может подобрать для его доказательства истинные аргументы. Случается итак, что человек не виновен, но не имеет достаточных аргументов для доказательства этого. Входе опровержения аргументов следует об этих случаях помнить Выявление несостоятельности демонстрации Этот способ опровержения состоит в том, что показываются ошибки в форме доказательства. Наиболее распространенной ошибкой является та, что истинность опровергаемого тезиса не вытекает, не следует из аргументов, приведенных в подтверждение тезиса. Доказательство может быть неправильно построенным, если нарушено какое-либо правило дедуктивного умозаключения или сделано поспешное обобщение, те. неправильное По материками странам. МС умозаключение от истинности суждения I к истинности суждения А (аналогично, от истинности суждения О к истинности суждения Е). Но обнаружив ошибки входе демонстрации, мы опровергаем ее ход, ноне опровергаем сам тезис. Задача же доказательства истинности тезиса лежит на том, кто его выдвинул. Часто все перечисленные способы опровержения тезиса, аргументов, хода доказательства применяются не изолированно, а в сочетании друг с другом 4. Правила доказательного рассуждения. Логические ошибки, встречающиеся в доказательствах и опровержениях Если будет нарушено хотя бы одно из перечисленных ниже правил, то могут произойти ошибки относительно доказываемого тезиса, ошибки по отношению к аргументами ошибки в форме доказательства. Правила по отношению к тезису. Тезис должен быть логически определенным, ясными точным Иногда люди в своем выступлении, письменном заявлении, научной статье, докладе, лекции не могут четко, ясно, однозначно сформулировать тезис. Так, выступающий на собрании не может четко сформулировать основные положения своего выступления и потому веско аргументировать их перед слушателями. И слушатели недоумевают, зачем выступал в прениях и что хотел им доказать. Тезис должен оставаться тождественным те. одними тем жена протяжении всего доказательства или опровержения. Нарушение этого правила ведет к ошибке — подмене тезиса». Ошибки относительно доказываемого тезиса. Подмена тезиса Тезис должен быть ясно сформулирован и оставаться одними тем жена протяжении всего доказательства или опровержения так гласят правила по отношению к тезису. При нарушении их возникает ошибка, называемая подменой тезиса. Суть ее в том, что один те Глава VI. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ АРГУМЕНТАЦИИ зис умышленно или неумышленно подменяют другими начинают этот новый тезис доказывать или опровергать. Это часто случается вовремя спора, дискуссии, когда тезис оппонента сначала упрощают или расширяют его содержание, а затем начинают критиковать. Тогда тот, кого критикуют, заявляет, что оппонент передергивает его мысли (или слова, приписывает ему то, чего он не говорил. Ситуация эта весьма распространена, она встречается и при защите диссертаций, и при обсуждении опубликованных научных работ, и на различного рода собраниях и заседаниях, и при редактировании научных и литературных статей. Здесь происходит нарушение закона тождества, так как нетождествен- ные тезисы пытаются отождествлять, что и приводит к логической ошибке. Довод к человеку Ошибка состоит в подмене доказательства самого тезиса ссылками наличные качества того, кто выдвинул этот тезис. Например, вместо того чтобы доказывать ценность и новизну диссертационной работы, говорят, что диссертант — заслуженный человек, он много потрудился над диссертацией и т.д. Разговор классного руководителя с учителем, например русского языка, об оценке, поставленной ученику, иногда сводится не к аргументации, что данный ученик заслужил эту оценку своими знаниями, а к ссылкам наличные качества ученика добросовестен в учебе, много болел в этой четверти, по всем другим предметам он успевает и т.д. В научных работах иногда вместо конкретного анализа материала, изучения современных научных данных и результатов практики в подтверждение приводят цитаты из высказываний крупных ученых, видных деятелей и этим ограничиваются, полагая, что одной ссылки на авторитет достаточно. Причем цитаты могут вырываться из контекста и иногда произвольно трактоваться. Довод к человеку часто представляет собой просто софистический приема не ошибку, допущенную непреднамеренно. Разновидностью довода к человеку является ошибка, называемая довод к публике, состоящая в попытке повлиять на чувства людей, чтобы те поверили в истинность выдвинутого тезиса, хотя его и нельзя доказать. Переход в другой род. Имеются две разновидности этой ошибки: а) кто слишком много доказывает, тот ничего не доказывает б) кто слишком мало тот ничего не доказывает». В первом случае ошибка возникает тогда, когда вместо одного истинного тезиса пытаются доказать другой, более сильный тезис, и при этом второй тезис может оказаться ложным из а следует Ь но из b не следует то тезис является более сильным, чем тезис Например, если вместо того чтобы доказывать, что этот человек не начинал первым драку, начинают доказывать, что они не участвовал в драке, то этим ничего не смогут доказать, если этот человек действительно дрался и это видели свидетели. Ошибка кто слишком мало доказывает, тот ничего не доказывает» никает тогда, когда вместо тезиса а мы докажем более слабый тезис Например, если, пытаясь доказать, что это животное — зебра, мы доказываем, что оно полосатое, то ничего не докажем, ибо и тигр — тоже полосатое животное. Правила по отношению к аргументам) Аргументы, приводимые для доказательства тезиса, должны быть истинными и не противоречащими друг другу) Аргументы должны быть достаточным основанием для доказательства тезиса Аргументы должны быть суждениями, истинность которых доказана самостоятельно, независимо от тезиса. Ошибки в основаниях (аргументах. Ложность оснований (основное заблуждение В качестве аргументов берутся не истинные, а ложные суждения, которые выдают или пытаются выдать за истинные. Ошибка может быть непреднамеренной. Например, до Коперника ученые считали, что Солнце вращается вокруг Земли и, исходя из этого ложного аргумента, строили теории. Ошибка может быть и преднамеренной (софизмом) с целью запутать, ввести в ние других людей (например, дача ложных показаний свидетелями или обвиняемыми входе судебного расследования, неправильное вещей или людей и т.п., из чего затем делаются ложные заключения. Предвосхищение оснований Аргументы не доказаны, а тезис опира- на них. Недоказанные аргументы только ноне дока. Порочный круг Ошибка состоит в том, что тезис обосновывается аргументами, а аргументы обосновываются этим же тезисом. Например, К.Маркс вскрыл эту ошибку в рассуждениях Д.Уэстона, одного из деятелей английского рабочего движения. Маркс пишет Итак, мы начинаем с заявления, что стоимость товаров определяется стоимостью труда, а кончаем Глава VI. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ АРГУМЕНТАЦИИ заявлением, что стоимость труда определяется стоимостью товаров. Таким образом, мы поистине вращаемся в порочном кругу и не приходим ник какому выводу» 1 Правило по отношению формы обоснования тезиса (демонстрации) Тезис должен быть заключением, логически следующим из аргументов по общим правилам умозаключений или полученным в соответствии с правилами косвенного доказательства. Ошибки в форме доказательства. Мнимое следование Если тезис не следует из приводимых в его подтверждение аргументов, то возникает ошибка, называемая не вытекает, не следует. Люди иногда вместо правильного доказательства соединяют аргументы с тезисом посредством слов следовательно, итак, таким образом, в итоге имеем и т.п., полагая, что они установили логическую связь между аргументами и тезисом. Эту логическую ошибку часто неосознанно допускает тот, кто незнаком с правилами логики и полагается только на свой здравый смысли интуицию. В результате возникает словесная видимость до- казательства. В качестве примера логической ошибки мнимого следования Ворон- в своем учебнике Астрономия указал на широко распространенное мнение, что шарообразность Земли якобы доказывается следующими аргументами 1) при приближении корабля к берегу сначала из-за горизонта показываются верхушки мачта потом уже корпус корабля 2) возможны и осуществлялись кругосветные путешествия и др. Но из этих аргументов следует не то, что Земля имеет форму шара точнее, геоида), а только то, что Земля имеет кривизну поверхности, замкнутость формы. Для доказательства шарообразной формы Земли БАВоронцов-Вельяминов предлагает другие аргументы а) в любом месте Земли горизонт представляется окружностью, и дальность горизонта всюду одинакова б) вовремя лунного затмения тень Земли, падающая на Луну, всегда имеет округлые очертания, что может быть только в том случае, если Земля шарообразна. Маркс К, Энгельс Ф Соч. е изд. Т. 16. С. 122. 200 ЛОГИКА. От сказанного с условием к сказанному безусловно Аргумент, истинный только с учетом определенного времени, отношения, меры, нельзя приводить в качестве безусловного, верного во всех случаях. Так, если кофе полезен в небольших дозах (для поднятия артериального давления, например), то в больших дозах он вреден. Аналогично, если мышьяк в небольших дозах добавляют в некоторые лекарства, тов больших дозах он — яд. Лекарства врачи должны подбирать для больных индивидуально. Педагогика требует индивидуального подхода к учащимся. Этика определяет нормы поведения людей, ив различных условиях они могут несколько варьироваться (например, правдивость — положительная черта человека, но если он выдаст тайну врагу, то это будет преступлением. Нарушение правил умозаключений (дедуктивных, индуктивных, по аналогии): а). Ошибки в дедуктивных умозаключениях Например, в условно-катего- рическом умозаключении нельзя вывести заключение от утверждения следствия к утверждению основания. Так, из посылок Если число оканчивается на 0, то оно делится на 5» и Это число делится на 5» не следует вывод Это число оканчивается на 0». Ошибки в дедуктивных умозаключениях были подробно освещены ранее. б). Ошибки в индуктивных умозаключениях Поспешное обобщение, например, утверждение, что все свидетели дают необъективные показания». Другой ошибкой является после этого — значит, по причине этого (например, пропажа вещи обнаружена после пребывания в доме этого человека, значит, он ее унес). в). Ошибки в умозаключениях по аналогии Например, африканские пигмеи неправомерно умозаключают по аналогии между чучелом слона и живым слоном. Перед охотой на слона они устраивают ритуальные танцы, изображая эту охоту, копьями протыкают чучело слона, считая (по аналогии, что и охота на живого слона будет удачной, те. что им удастся пронзить его копьем. Этот ритуал ярко описан в книге Страны и материки. Приведем отрывки из этого описания Охота на слонов требует особых приготовлений. Нужно умилостивить злых духов, получить моральную поддержку всех обитателей деревни. Накануне охоты в деревне разыгрывают настоящий спектакль, в котором охотники, сделав чучело слона и поставив его на поляне, показывают своим сородичам, как они будут охотиться. «Артисты» сначала осторожно двигаются, внимательно прислушиваясь и вглядываясь Глава VI. ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ АРГУМЕНТАЦИИ вперед. Знаками они поддерживают связь с другом. Тут вступают в игру барабаны. Они громко бьют, предупреждая, что охотники нашли след... Внезапно всех как будто пронизывает электрическим током я вздрагиваю и почти перестаю крутить ручку киноаппарата. Барабаны громыхают: «Бум!» Предводитель резко выпрямляется, машет рукой товарищами со страхом и ликованием взор устремляет в чучело слона, которое в этот момент всем присутствующим кажется настоящим, живым гигантом. Охотники замирают и несколько секунд, показавшихся мне бесконечно долгими, смотрят на слона. Затем охотники отходят на семь или восемь шагов и начинают взволнованно обсуждать план атаки. Предводитель должен первым поразить слона копьем. Он подкрадывается к слону сзади, но вдруг его глаза расширяются от страха, как будто слон стал поворачиваться, ион стремглав бросается к лесу. Три раза предводитель подкрадывается к слону и три раза убегает прочь. Затем охотники, изобразив преследование раненого слона, бросаются на него, яростно обрушивают копья в чучело и опрокидывают его. Охотники исполняют вокруг поверженного чучела свой победный танец. Через 5 минут под аккомпанемент барабанов пляшут уже все зрители — энергично и весело 5. Понятие о софизмах и логических парадоксах Непреднамеренная ошибка, допущенная человеком в мышлении, называется паралогизмом. Паралогизмы допускают многие люди. Преднамеренная ошибка с целью запутать своего противника и выдать ложное суждение за истинное называется софизмом Софистами называют людей, которые ложь пытаются выдать за истину путем различных ухищрений. В математике имеются математические софизмы. В конце XIX — начале в. большой популярностью среди учащихся пользовалась книга В.И.Обреимова Математические софизмы, в которой собраны многие софизмы. Ив ряде современных книг собраны интересные математические софизмы. Например, Ф.Ф.Нагибин формулирует следующие математические софизмы) «5 6»; 2) «2 • 2 5»; Страны и материки. МС См В В А Ошибки в математических рассуждениях. М., Нагибин Ф.Ф. Математическая шкатулка. М, 1964. 202 ЛОГИКА) «2 = 3»; 4) Все числа равны между собой) Любое число равно половине его) Отрицательное число равно положительному) Любое число равно нулю) Из точки напрямую можно опустить два перпендикуляра) Прямой угол равен тупому) Всякая окружность имеет два центра Длины всех окружностей равны и многие другие = 5. Требуется найти ошибку в следующих рассуждениях. Имеем числовое тождество 4 : 4 = 5 : 5 . Вынесем за скобки в каждой части этого тождества общий множитель. Получим 4 = 5 Числа в скобках равны. Поэтому 4 = 5, или = 5. 5 = 1 . Желая доказать, что 5 = 1, будем рассуждать так. Из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно тоже число 3. Получим числа 2 и — 2. Привоз- ведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть равны и исходные числа 5 и 1. Где ошибка? 1 |