Логика - Германова А.Д.. Учебник для педагогических учебных заведений е изд. М икф омегаЛ Высшая школа, 2002

• Название: Учебник для педагогических учебных заведений е изд. М икф омегаЛ Высшая школа, 2002
• Анкор: Логика - Германова А.Д..pdf
• Дата: 04.07.2017
• Размер: 4.46 Mb.
• Имя файла: Логика - Германова А.Д..pdf
• Тип: Учебник; #8359
• страница: 25 из 27

Рис.
Boole George. An Investigation of the Laws of Thought, on Which
Founded the
Mathematical Theories of and Probabilities. London, 1854. P. 85.

Глава ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ... 3 5 Пропуском знака Шредер обозначает операцию пересечения классов,
например, Во взглядах на отрицание можно отметить много интересного нового по сравнению со взглядами Буля. Под отрицанием я, класса
а
понимает его дополнение до
Если классов больше двух, то оперировал сними по сформулированным им правилам. Правило 1: если среди сомножителей некоторого произведения находятся такие, из которых один является отрицанием другого, то произведение исчезает, те. равно 0. Например abc •
0, так как и
Правило 2: если среди членов некоторой суммы находится хотя бы один,
который оказывается отрицанием другого, то вся сумма равна + b +
с +a + c +
Значительное внимание уделил анализу структуры отрицательных суждений. Отрицательную частичку он прилагает к предикату, те. вместо не есть он берет есть Так, суждение Ни один лев не является травоядным, если следовать идеям надо заменить на суждение Все являются нетравоядными».
Класс как отрицание класса а очень неопределенным.
И в доказательство этой мысли приводит такой пример. Понятие «несра- жающийся» (в армии) охватывает саперов, полковых ремесленников, служащих лазарета, врачей, которые относятся к армии, ноне сражаются.
Опираясь на законы де Моргана проводит анализ языка разговорной речи. Выражение св речи означает, что каждое сесть не-а
и (одновременно не Для него можно выбрать выражение:
дое сне есть ни а ни Это конъюнктивное примером которого может быть Каждая рыба — не птица и не млекопитающее. Другое суждение Никакая рыба не есть птица и млекопитающее — означает в символическом виде с что эквивалентно, на основании правила де
Моргана, се Так называемое по связке суждение «ни
а, ни b не есть представляется в виде +
формулирует правила (или требования) научной классификации. Между родом и суммой его видов должно быть тождество См Е Vorlesungen die Algebra der Logic.
!. Leipzig, 1890. S. 302

356 2. Все виды должны быть дизъюнктивными, те. должны исключать друг друга и попарно в произведении давать 0.
3. Для расчленения рода на виды должно быть одно основание. Используя отрицание показал, как классифицируемый род делится на виды и подвиды.
В логическом исчислении, доведенном до наибольшей простоты, Шрё- дер признает три основных действия сложение (трактуя его как нестрогую дизъюнкцию, умножение и отрицание. Однако вычитание он считает не- безусловно выполнимой операцией.
Автор данного учебника признает вполне приемлемой в логике классов операцию вычитания классов. Но понимает ее принципиально иначе, чем
Буль и Буль и считали, что в разности а —
должно полностью входить в а, если же Ь или аи b — несовместимы, то операция вычитания невыполнима. В отличие от Буля и мы допускаем возможной (те. выполнимой) разность всяких двух классов аи из которых Ь
может и не быть частью в качестве следствий мы учитываем случаи вычитания, когда классы аи Ъ являются пустыми или универсальными.
Наиболее известные работы английского логика Стенли Джевонса
— «Principles of Science, a Treatise on Logic and Scientific Method»
(London, 1874) и «Elementary Lessons in Logic, Deductive and Inductive»
(London, В качестве логических операций Джевонс признавал конъюнкцию, нестрогую дизъюнкцию и отрицание и не признавал обратных логических — вычитания и деления. Классы он обозначала их дополнения до универсального класса, обозначаемого или их отрицания соответственно курсивными буквами обозначает у него нулевой (пустой) класс связка в суждении заменяется знаком равенства.
Большое значение Джевонс придавал принципу (или подстановки, который формулируется им если только существует одинаковость, тождество или сходство, то все, что верно об одной вещи, будет верно и о другой. Этот принцип играет важную роль в умозаключении.
Для обозначения отношения одинаковости (или тождества) Джевонс употребляет знак
Обозначив положительные и отрицательные термины соответственно через Аи В и Джевонс записывает закон непротиворечия как Аа - Критерием ложности заключения, по Джевонсу, является наличие в нем

Глава X. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ... противоречия, те. утверждения и отрицания одного итого же положения,
что записывается, например, как наличие АВСа.
Джевонс считал, что утвердительные суждения можно представлять вот- рицательной форме. Но он напрасно категорически заявлял, что имеются сильные основания в пользу того, чтобы употреблять все предложения в их утвердительной форме, а различие (те. отрицательные суждения) неспособно быть основанием умозаключения. Джевонс не отрицал, что утверждение и отрицание, сходство и различие, равенство и неравенство представляют пары одинаково основных отношений но утверждал, что умозаключение возможно только там, где прямо находится или подразумевается утверждение, сходство или равенство, словом, какой-нибудь вид тождества.
Согласно законам диалектики, тождество и различие являются двумя сторонами единого предмета или процесса. Отражение отношений тождества и различия, имеющихся в самих предметах действительного мира, находит свое выражение ив мышлении, в формах умозаключений. Поэтому отбросить различие, выражающееся в отрицательных суждениях, и все свести только к тождеству, выражающемуся в утвердительных суждениях,
нельзя, да и нет в этом необходимости. Единство противоположностей тождества и различия — неразрывно.
Интересны и оригинальны взгляды на категорический силлогизм с двумя отрицательными посылками. Джевонс утверждает, что его принцип умозаключения ясно отличает случаи, когда оно оказывается правильным, от тех случаев, когда оно неправильно. Он приводит пример умо- заключения:
Все, что не неспособно к сильному магнитному
Уголь не металличен.
Уголь неспособен к сильному магнитному влиянию.
Здесь из двух отрицательных посылок получается истинное отрицательное заключение считает, что там, где возможно подставлять тождественное вместо тождественного, допустим вывод из двух отрицательных посылок.
Джевонс внес значительный вклад в алгебру логики, особенно в проблему отрицания классов и отрицательных суждений

358 ЛОГИКА
Следующий этап в развитии математической логики связан с именем русского логика, математика и астронома Платона Сергеевича Порецкого
Его существенно обобщают и развивают достижения
Буля, Джевонса и
Анализируя понятия, Порецкий различает две формы форму, обладающую данным признаком, обозначаемую буквами ас и форму, им не обладающую, обозначаемую си т.д.
2
Формы совместного обладания или необладания несколькими признаками записывает так а (без особого знака между буквами. Современное пересечение классов Порец- кий называет операцией (умножения, обозначая ее а операцию объединения классов — абстрагированием (сложением, обозначая ее «?», те. знаком вопроса 0 и 1 обозначают пустой класс и универсальный. Порецкий вводит операцию отрицания классов (отрицание
а обозначается через а — это дополнение к классу а Для каждого данного а его отрицание, те может быть различно. Это определяется избранным универсальным классом. Так, если за те. универсум, принять англичан, аза а класс артистов, то а означает англичан-не-артистов, но если обозначает класс людей, то а обозначает людей-не-артистов и т.д.
Заслуга Порецкого в том, что он рассматривал логические операции не только над отдельными логическими классами, но и над логическими равенствами. Порецкий считает, что если два класса состоят из одних и тех же предметов, те. имеют равные объемы и могут отличаться только формой,
то они равны между собой. Соединяя равные классы знаком мы получаем логическое равенство. Равенством логических классов русский логик называет полную их тождественность, те. одинаковость их логического содержания, считая, что все их различие может состоять только в способе их происхождения. Примером такого равенства является закон де Моргана +
•
Если классы аи равны, то и их отрицания, те. классы также равны. По мнению, отрицание всякого равенства приводит к новому равенству, тождественному первоначальному.
По мнению Порецкого, операция отрицания неприменима к системам равенств. К соединению двух и более равенств водно новое равенство при См Порецкий ПС Решение общей задачи теории вероятностей при помощи математической логики. Казань, 1887, др О способах решения логических равенств и об обратном способе математической логики. Казань, 1884. С. III.

Глава X. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ... 359
лишь две логические операции сложение и умножение отдельных частей равенств, причем предварительно каждое отдельное равенство может быть в случае надобности заменено его отрицанием.
В созданной им теории логики Порецкий подчеркивал взаимосвязь двух проблем выведения следствия из заданной системы посылок и нахождения тех посылок, из которых данное логическое равенство может быть получено в качестве следствия. Несколько подробнее остановимся на методе нахождения всех простых следствий изданных посылок, который в теории логики получил название метода Порецкого-Блэйка (его предложил американский математик на основе работы Порецкого).
Простым следствием изданных посылок называется дизъюнкция каких- либо букв или их отрицаний, являющаяся логическим следствием из этих посылок, ипритом таким, которое не поглощается никаким более сильным следствием такого же вида. (Мы говорим, что а сильнее если из а следует но из b не следует а).
Все простые следствия изданных посылок можно получить, выполнив преобразования следующих пяти типов) привести конъюнкцию посылок к конъюнктивной нормальной форме
(КНФ). КНФ есть конъюнкция из дизъюнкции элементарных высказываний или их отрицаний, эквивалентная данному выражению, те. если есть импликация, то ее надо заменить на дизъюнкцию по формуле произвести все операции отбрасывания, те. члены видах или можно исключить, так как этот член тождественно истинен) использовать законы выявления, те. формулы
ах л — ах л лили) произвести все поглощения на основании законов поглощения b)
(а =
5) из всех повторяющихся членов оставить только один (на основании законов идемпотентности).
В результате получится силлогистический многочлен, который будет содержать все простые следствия изданных посылок, и только простые след См Blake A. Canonical Expressions in Boolean Algebra. Chicago, 1938.

360
ствия. Они интереснее, чем обычные логические следствия, так как зависят от меньшего числа параметров (элементарных высказываний).
Покажем это на конкретном примере. Изданных трех посылок, имеющих соответственно формы (1) q
(2) р v q и требуется вывести все разные между собой) формы простых логических следствий. Для решения задачи выполним следующие операции. Соединяем посылки знаками конъюнкции и приводим выражение в КНФ:
(q
А v q)
А (q v
А v q) лили в другой записи pq л В полученной КНФ к членами применяем закон выявления, получаем Затем ко второму и четвертому членам снова применяем этот же закон r Aq — 'q?Apq
3. Произведем операции поглощения. Первый член (qr) поглощается четвертым (q), поэтому отбрасываем первый члена второй член поглощается пятым членом В результате этого получим Apq
Ар.
Вывод: приданных посылках суждения р истинны, а суждение q ложно, те. если суждениями выражены некоторые события, то событие и событие р наступят, а событие q не наступит.
Исследования Порецкого продолжают оказывать стимулирующее влияние на развитие алгебраических теорий ив наши дни.
В XX в. математическая логика развивалась в трудах и Дж.Пеано.

ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ Американский логик Чарльз Сандерс Пирс внес существенный вклад в разработку алгебро-логических концепций и явился основоположником новой науки — семиотики (общей теории знаков. В работах
Пирса содержится тенденция к расчленению семиотики на прагматику
(анализирует отношение знака к его исследователю, семантику (выясняет отношение знака к обозначаемому им объекту) и синтактику (исследует взаимоотношения между знаками).
Пирс пишет о том, что реальное можно определить как нечто, свойства которого независимы оттого, что о них мыслят. Наиболее общим подразделением знаков он считал такие изображения (icons),
(и символы (symbols). Пирс предлагал классификацию знаков и по другим основаниям.
Пирс предложил строить исчисление высказываний лишь на одной операции, этим предвосхитив результаты М.Х.Шеффера (Шеффер также строил исчисление высказываний на одной операции, которая вошла вис- торию логики под именем ее создателя — штрих Шеффера). Единственной логической операцией Пирс предлагал считать отрицание нестрогой
Пирсу принадлежат работа по логике «Studies in Logic» и другие.
Достижения Джузеппе Пеано (1858-1932), итальянского математика,
явились переходным звеном от алгебры логики, в том виде, какой ей придали Буль Порецкий и Пирс, к форме математической логики. Основные результаты Пеано были опубликованы в пятитомном «Формуляре
Пеано ввел следующие, употребляющиеся и ныне символы:
а)
» — знак принадлежности элемента к классу;
б)
— знак включения одного класса в другой класс;
в)
— знак объединения классов;
г) п — знак для обозначения операции пересечения классов.
Крупным вкладом Пеано в развитие аксиоматического метода явилась его система из пяти аксиом для арифметики натуральных чисел. На базе своей аксиоматики Пеано строит всю теорию натуральных чисел.
На заключительном этапе своей научной деятельности Пеано приступил к систематическому изложению логики как особой, по его мнению, математической См G. Formulaire de Mathematiques. V. 5. Turin, 1895-1905.

Далее развитие математической логики осуществлялось по многим направлениям, а также в проблемном плане. Это было обусловлено необходимостью дальнейшего освоения как классической и неклассической логик,
так и возникшими трудностями в обосновании математики.
Краткому освещению основных направлений в современной логике посвящены последующие разделы данной главы 2. Развитие логики в связи с проблемой
обоснования математики
Немецкий математики логик Готтлоб Фреге (1848-1925) предпринял попытку свести математику к логике. С этой целью впервой своей работе по математической логике Исчисление понятий он определил множество как объем понятия и таким образом получил возможность определить и число через объем понятия. Такое определение числа он сформулировал в Основаниях арифметики, книге, которая в то время осталась незамеченной, но впоследствии получила широкую известность. Здесь Фреге определяет число, принадлежащее понятию, как объем этого понятия. Два понятия считаются равночисленными, если множества, выражающие их объемы, можно поставить во взаимооднозначное соответствие друг с другом. Так, например,
понятие вершина треугольника равночисленно понятию сторона треугольника, и каждому из них принадлежит одно и тоже число 3, являющееся объемом понятия вершина треугольника».
Если Лейбниц только наметил программу сведения математики к логике, то ГФреге предпринял попытку сведения довольно значительной части арифметики к логике, те. произвел некоторую математизацию
Символические обозначения, принятые им, очень громоздки, и поэтому мало кто полностью прочитал его Основные законы арифметики. Впрочем, и сам Фреге особенно не рассчитывал на это. Тем не менее труд Фреге сыграл значительную роль в истории обоснования математики впервой половине XX в. Об этом своем произведении Фреге писал В моих Основаниях арифметики я пытался привести аргументы в пользу того,
что арифметика есть часть логики и не должна заимствовать ни у опыта,
ни у созерцания никаких основ доказательства. В этой книге (речь идет об См Frege G.
der Arithmetik. V. I. Jena, 1893. V. II. 1903.

Глава X. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ... 3 6 Основных законах арифметики Г это должно быть подтверждено тем, что законы арифметики здесь выводятся только с помощью логических средств»
1
Итак, Фреге что он логически определил число и точно перечислил логические правила, с помощью которых можно определять новые понятия и доказывать теоремы, и что таким образом они сделал арифметику частью логики. Фреге не однако, что построенная им система не только не представляла собой логического обоснования содержательной арифметики, но была даже противоречивой. Это противоречие в системе Фреге обнаружил Бертран Рассел.
В послесловии к Основным законам арифметики Фреге писал поэтому поводу Вряд ли есть что-нибудь более нежелательное для автора научного произведения, чем обнаружение по завершении его работы, что одна из основ его здания оказывается пошатнувшейся. В такое положение я попал, получив письмо от господина Бертрана Рассела, когда печатание этой книги близилось к концу. Противоречием, который обнаружил Рассел в системе Фреге, был знаменитый парадокс Рассела о множестве всех нормальных множеств (см. с. 203-204 учебника).
Причину своей неудачи Фреге видел в использованном им предположении, что у всякого понятия есть объем в смысле постоянного, строго фиксированного множества, не содержащего в себе никакой неопределенности или расплывчатости. Ведь именно через этот объем они определил основное понятие математики — понятие числа.
Вслед за очередную попытку сведения математики к логике предпринял видный английский философ и логик Бертран Рассел
(1872-1970). Он также автор ряда работ из областей истории, литературы,
педагогики, эстетики, естествознания, социологии и др. Труды Рассела по математической логике оказали большое влияние на ее развитие. Вместе с английским логиком и математиком А.Уайтхедом
3
Рассел разработал оригинальную систему символической логики в фундаментальном трехтомном труде Mathematica»
4
. Выдвигая идею сведения математики к логике, Рассел считает, что если гипотеза относится не к одной или нескольким частным вещам, но к любому предмету, то такие выводы составляют V.I. 1893. S. 1.
Ibid. V. II S. 253.
См Избранные работы по философии // Пере англ. М, 1990.
and
Principia Mathematica. London,

математику. Таким образом, он определяет математику как доктрину, в которой мы никогда не знаем ни того, о чем мы говорим, ни того, верно ли то,
что мы говорим.
Рассел делит математику на чистую и прикладную. Чистая математика,
по его мнению, есть совокупность формальных выводов, независимых от какого бы тони было содержания, те. это класс высказываний, которые выражены исключительно в терминах переменных и только логических констант.
Рассел не только вполне уверен в том, что ему удалось свести математику к такого рода предложениям, но делает из этого утверждения вывод о существовании априорного знания, считает, что математическое познание нуждается в посылках, которые не базировались бы на данных чувства»
1
От чистой математики Рассел отличает прикладную математику, которая состоит в применении формальных выводов к материальным данным.
Для того чтобы показать, что чистая математика сводится к логике,
сел берет систему аксиом арифметики, сформулированную Пеано, и пытается их логически доказать, а три неопределяемые у Пеано понятия «нуль»,
«число», следующее за — определить в терминах своей логической системы. Все натуральные числа Рассел также считает возможным выразить в терминах логики, а следовательно, свести арифметику к логике. так как,
по его мнению, вся чистая математика может быть сведена к арифметике,
то математика может быть сведена к логике. Рассел пишет Логика стала математической, математика логической. Вследствие этого сегодня совершенно невозможно провести границу между ними. В сущности это одно и тоже. Они различаются, как мальчики мужчина логика — это юность математики, а математика — это зрелость логики. Рассел считает, что не существует пункта, где можно было бы провести резкую границу, по одну сторону которой находилась бы логика, а по другую — математика.
Но в действительности математика несводима к логике. Предметы изучения этих наук различны. Нами ранее были указаны характерные черты,
присущие логике как науке (см. с У математики другие задачи и функции.
В большом труде «Principia Mathematica» есть две стороны. Первая — заставляющая видеть в нем один из основных истоков современной математической логики. Все, что связано с этой стороной Principia Mathematica, полу Russel В The Philosophical Importance of Mathematical Logik. // «Monist». V. XXIII. 1913.
№4. P. 489.
Russel B. Introduction to Mathematical Philosophy. London, 1924. P. 194.

Глава X. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ... 3 6 5
чило в дальнейшем такое развитие в математической логике, которое сделало эту новую область науки особенно важной для решения не только труднейших задач теоретической математики и ее обоснования, но и целого ряда весьма важных для практики задач вычислительной математики и техники.
Другая сторона этого произведения — точнее, даже не самого этого произведения, а философских обобщений, делаемых логицистами со ссылкой на него, — принадлежит уже к области попыток использовать его для доказательства положения, что математика-де сводится к логике. Именно эта сторона сомнительна, и ее опровергает дальнейшее развитие науки, которое обнаружило, что попытка Рассела безуспешна. И это неслучайно. Дело не в том, что Рассел в каком-то смысле не совсем удачно построил свою систему. Дело в том, что вообще нельзя построить формальную логическую систему с точно перечисленными и эффективно выполнимыми правилами вывода, в которой можно было бы формализовать всю содержательную арифметику. Это обстоятельство представляет собой содержание известной теоремы австрийского математика и логика К.Геделя о неполноте формализованной арифметики, из которой следует непосредственно, что определение математических понятий в терминах логики хотя и обнаруживает некоторые их связи с логикой, тем не менее не лишает их специфически математического содержания. Формализованная система имеет смысл лишь при наличии содержательной научной теории, систематизацией которой данная формализованная система должна служить.
Однако и Б.Рассел в своем логическом анализе пришли кряду интересных результатов, относящихся к понятиям предмет, имя, значение, смысл, функция, отношение и др. Особо следует подчеркнуть значение разработанной Расселом теории типов (простой и разветвленной, цель которой состоит в том, чтобы помочь разрешить парадоксы в теории множеств. Рациональное зерно разветвленной теории Рассела состоит в том, что она является конструктивной теорией * Одним из оснований деления логики служит различие применяемых в ней принципов, на которых базируются исследования. В результате такого деления имеем классическую логику и неклассические логики К formal unentscheidbare Satze der und verwandter
Systeme // Preussische Akademie der Wissenschaften. Sitzungsberichte
Preussische
Academic der
Vol. 38. Berlin, 1930.

366
выделяет такие основополагающие принципы классической логики область исследования составляют обыденные рассуждения, рассуждения в классических науках) допущение о разрешимости любой проблемы) отвлечение от содержания высказываний и от связей по смыслу между ними) абстракция двузначности
Неклассические логики отступают от этих принципов. К ним относятся интуиционистская логика, конструктивные логики, многозначные, модальные, положительные, паранепротиворечивые и другие логики, к изложению которых мы переходим 3. Интуиционистская логика
Интуиционистская логика построена в связи с развитием интуицио- нистской математики. Интуиционистская школа основана в 1907 г. голландским математиком и логиком Л.Брауэром но некоторые ее идеи выдвигались и ранее.
Интуиционизм философское направление в математике и логике, отказывающееся от использования абстракции актуальной бесконечности,
отвергающее логику как науку, предшествующую математике, и рассматривающее интуитивную ясность и убедительность (интуицию) как последнюю основу математики и логики. Интуиционисты свою интуиционист- скую математику строят с помощью финитных (конечных) средств на основе системы натуральных чисел, которая считается известной из интуиции. Интуиционизм включает в себя две стороны — философскую и мате- матическую.
Математическое содержание интуиционизма изложено в ряде работ математиков. Ведущие представители отечественной школы конструктивной математики отмечают положительное значение некоторых математических идей интуиционистов.
B.C. Очерки по логике квантовой механики. МС // Proceedings of the
Royal Irish Academy. 1955. Vol. 57. P.

Глава X. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ... В целом конструктивная математика существенно отличается от интуи- ционистской, но, как указывал советский Марков, конструктивное направление имеет точки соприкосновения с интуиционистской математикой. Конструктивисты сходятся с интуицио- нистами в понимании дизъюнкции ив силу этого признают правильной данную Брауэром критику закона исключенного третьего. Вместе стем конструктивисты считают неприемлемыми методологические основы интуи- ционизма.
Если математический аспект интуиционизма имеет рациональный смысл (в этой связи предпочтительнее говорить об интуиционистской математике или интуиционистской логике, а не об интуиционизме), то второй его аспект — философско-методологический — совершенно неприемлем.
Брауэр считал, что чистая математика представляет собой свободное творение разума и не имеет никакого отношения копытным фактам. У ин- туиционистов единственным источником математики оказывается интуиция, а критерием приемлемости математических понятий и выводов является интуитивная ясность. Но интуиционист Гейтинг вынужден был признаться в том, что понятие интуитивной ясности в математике само не является интуитивно ясным можно даже построить нисходящую шкалу степеней очевидности.
Основой происхождения математики в конечном итоге является не ка- кая-то интуитивная ясность, а отражение в сознании пространственных форм и количественных отношений действительного мира. Гейтинг, как и Брауэр, в гносеологии субъективный идеалист. Он считает, что математическая мысль не выражает истину о внешнем мире, а связана исключительно с умственными построениями
1
Еще в г. советский математик подверг критике субъ- ективно-идеалистические основы интуиционизма, заявив, что невозможно согласиться с интуиционистами, когда они говорят, что математические объекты являются продуктом конструктивной деятельности нашего духа, ибо математические объекты являются абстракциями реально существующих форм независимой от нашего духа Интуиционисты не признают практику и опыт источником формирования математических понятий, методов математических построений и методов доказательств.
Особенности интуиционистской логики вытекают из характерных признаков интуиционистской математики См Гейтинг А Интуиционизм// Перс англ. МС В современной классической математике часто прибегают к косвенным доказательствам. Но их почти невозможно ввести в интуиционистскую математику и логику, так как там не признаются закон исключенного третьего и закон которые участвуют в косвенных доказательствах. Но закон непротиворечия представители как интуиционистской, таки конструктивной логики считают неограниченно применимым.
Закон исключенного третьего для бесконечных множеств в интуицио- нистской логике не проходит потому, что р vp требует общего метода, который по произвольному высказыванию позволил бы получать доказательст-
р либо доказательство Рейтинг считает, что так как интуици- онисты не располагают таким методом, то они не вправе утверждать и принцип исключенного третьего. Покажем это на таком примере. Возьмем утверждение Всякое целое число, большее единицы, либо простое, либо сумма двух простых, либо сумма трех простых. Неизвестно, так это или не так в общем случае, хотя в рассмотренных случаях, которых конечное число, это так. Существует ли число, которое не удовлетворяет этому требованию Мы не можем указать такое число и не можем вывести противоречие из допущения его существования.
Эта знаменитая проблема Х.Гольдбаха была поставлена им в 1742 г. и не поддавалась решению около 200 лет. Гольдбах высказал предположение,
что всякое целое число, большее или равное шести, может быть представлено в виде суммы трех простых чисел. Для нечетных чисел это предположение было доказано только в 1937 г. советским математиком академиком
И.М.Виноградовым; все достаточно большие нечетные числа представимы в виде суммы трех простых чисел. Это — одно из крупнейших достижений современной математики.
Брауэр первый наметил контуры новой логики. Идеи Брауэра формализовал Гейтинг, в 1930 г. построивший интуиционистское исчисление предложений с использованием импликации, конъюнкции, дизъюнкции и отрицания на основе аксиом и двух правил вывода — modus ponens и правила подстановки. Гейтинг утверждает, что хотя основные различия между классической и интуиционистской логиками касаются свойств отрицания,
эти логики не совсем совпадают ив формулах без отрицания. Он отличает математическое отрицание от фактического первое выражается в форме конструктивного построения (выполнения) определенного действия,
а второе говорит о невыполнении действия (невыполнение чего-либо не является конструктивным действием. Интуиционистская логика имеет де

Глава X. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ... 369
только с математическими суждениями и лишь с математическим отрицанием, которое определяется через понятие противоречия, а понятие противоречия интуиционисты считают первоначальным, выражающимся или приходящимся в форме 1 = 2. Фактическое отрицание не связано с понятием противоречия.
Проблемами интуиционистской логики занимаются также философы
К.Н.Суханов,
А.Л.Никифоров и др 4. Конструктивные логики
Конструктивная логика, отличная от логики классической, своим рождением обязана конструктивной математике. Конструктивная математика может быть кратко охарактеризована как абстрактная умозрительная наука о конструктивных процессах и нашей способности их осуществлять. В результате конструктивного процесса возникает конструктивный объект, т.е.
такой объект, который задается эффективным (точными вполне понятным) способом построения (алгоритмом).
Конструктивное направление (в математике и логике) ограничивает исследование конструктивными объектами и проводит его в рамках абстракции потенциальной осуществимости (реализуемости, те. игнорирует практическое ограничение наших возможностей построений в пространстве, времени, материале.
Между идеями конструктивной логики советских исследователей и некоторыми идеями интуиционистской логики (например, в понимании дизъюнкции, в отказе от закона исключенного третьего) имеются точки со- прикосновения.
Однако между конструктивной и интуиционистской логиками имеются и существенные отличия. Различные объекты исследования. В основу конструктивной логики, которая является логикой конструктивной математики, положена абстракция потенциальной осуществимости, а в качестве объектов исследования допускаются лишь конструктивные объекты (слова в определенном алфавите).
В основу интуиционистской логики, которая является логикой интуи- ционистской математики, положена идея свободно становящейся последовательности, те. строящейся не по алгоритму, которую интуиционисты считают интуитивно ясной

370 ЛОГИКА. Обоснование интуиционистской математики и логики дается с помощью идеалистически истолкованной интуиции, а обоснование конструктивной математики и логики дается на базе математического понятия алгоритма
(например, нормального алгоритма А.А.Маркова) или эквивалентного ему понятия рекурсивной функции. Различные основы Методологической основой конструктивного направления в математике является признание практики источником познания и критерием его истинности (в том числе и научного).
Это положение сохраняет свою силу и для таких наук, как логика и математика, хотя здесь практика входит в процесс познания лишь опосредованно,
в конечном счете.
Интуиционисты же считают источником формирования математических понятий и методов первоначальную интуицию, а критерием истинности в математике — интуитивную ясность. Различные интерпретации. А.Н.Колмогоров интерпретировал интуи- ционистскую логику как исчисление задач интерпретировал логические связки конструктивной логики как прилагаемые к потенциально осуществимым конструктивным процессам (действиям).
Интуиционистская логика Л.Брауэра и интерпретируется ими как исчисление предложений (высказываний, причем область высказываний у них ограничивается математическими предложениями. Отличие ряда логических средств. Представители узкоконструктивной логики признают в качестве принципа если имеется алгоритмический процесс и удалось опровергнуть, что он продолжается бесконечно, то, следовательно, процесс закончится. Некоторые из представителей конструктивной логики доказывают этот принцип в уточненной форме.
Представители интуиционистской логики не признают данного принципа.
Конструктивные исчисления высказываний В.И.Гливенко
и А.Н.Колмогорова
Первыми представителями конструктивной логики были математики (1903-1987) и В.И.Гливенко (1897-1940). Первое исчисле-
Интерпретация (в математической логике) — распространение исходных положений какой-либо формальной системы на какую-либо содержательную систему, исходные положения которой определяются независимо от формальной системы

Глава X. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ... 371
ние, не содержащее исключенного предложено в 1925 г. А.Н.Колмогоровым в связи сего критикой концегщии Л.Брауэра,
а в дальнейшем развито В.И.Гливенко. Позже было опубликовано исчисление Гейтинга, которое Колмогоров интерпретировал как исчисление задач,
что породило содержательное истолкование исчислений, не пользующихся законом исключенного третьего, а это, в свою очередь, легло в основу всех дальнейших, подлинно научных исследований таких исчислений.
Введя понятия «псевдоистинность» (двойное отрицание суждения)
и «псевдоматематика» (математика псевдоистинности»), Колмогоров доказал, что всякий вывод, полученный с помощью закона исключенного третьего, верен, если вместо каждого суждения, входящего в его формулировку, поставить суждение, утверждающее его двойное отрицание. Тем самым он показал, что в математике псевдоистинности» законно применение принципа исключенного третьего.
Колмогоров различает две логики суждений — общую и частную. Различие между ними заключается водной которая имеется лишь среди аксиом частной логики. Интересна диалектика соотношения содержания и областей применения этих логик содержание частной логики суждений богаче, чем общей, так как частная логика дополнительно включает но область применения ее уже. Из системы частной логики можно вывести все формулы традиционной логики суждений.
Какова же область применения частной логики суждений Все ее формулы верны для суждения типа Атом числе для всех финитных и для всех отрицательных суждений, те. область применимости ее совпадает с областью применимости формулы двойного (Символами А, В ... обозначены произвольные суждения, для которых из двойного отрицания следует само суждение логика Маркова
Проблема конструктивного понимания логических связок, в частности отрицания и импликации, требует применения в логике специальных ных формальных языков. В основе конструктивной математической логики А.А.Маркова (1903-1979) лежит ступенчатого построения формальных языков. Сначала вводится формальный язык в котором предложения выражаются по определенным правилам в виде формул в нем имеется

372 ЛОГИКА
определение смысла этого языка, те. семантика. Правила вывода позволяют, исходя из верных предложений, всегда получать верные предложения.
В конструктивной математике формулируются теоремы существования,
утверждающие, что существует объект, удовлетворяющий таким-то требованиям. Под этим подразумевается, что построение такого объекта потенциально осуществимо, те. что мы владеем способом его построения. Это конструктивное понимание высказываний о существовании отличается от классического. В конструктивной математике и логике иной является и трактовка дизъюнкции, которая понимается как осуществимость указания ее верного члена. Осуществимость означает потенциальную осуществимость конструктивного процесса, дающего в результате один из членов дизъюнкции, который должен быть истинным. Классическое же понимание дизъюнкции не предполагает нахождения ее истинного члена.
Новое понимание логических связок требует новой логики. Мы считаем утверждение Маркова о неединственности логики верными весьма глубоким В самой идее неединственности логики, разумеется, нет ничего удивительного. В самом деле, с какой стати все наши рассуждения, о чем бы мы ни рассуждали, должны управляться одними и теми же законами?
Для этого нет никаких оснований. Удивительным, наоборот, было бы, если бы логика была единственна»
1
В конструктивную математическую логику Марков вводит понятие
«разрешимое высказывание и связанное с ним понятие прямое отрицание».
В логике Маркова имеется и другой вид отрицания — усиленное отрицание, относящееся к так называемым полуразрешимым высказываниям.
Кроме материальной и усиленной импликации, при становлении истинности которых приходится заботиться об истинности посылки и заключения, А.А.Марков вводит дедуктивную импликацию, определяемую по другому принципу. Дедуктивная импликация если А то выражает возможность выведения Виз А по фиксированным правилам, каждое из которых в применении к верным формулам дает верные формулы. Всякое высказывание, выводимое из истинного высказывания, будет истинным.
Через дедуктивную импликацию определяет отрицание ad
Редукционное отрицание высказывания
А (сформулированного в данном языке) понимается как дедуктивная им Марков АЛ. О логике конструктивной математики. // Вестник МГУ. Серия Математика, механика. 1970. №2. С. 13.

Глава X. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ... 3 7 3
пликация если А где Л обозначен абсурд. Это определение отрицания соответствует обычной практике рассуждений математика математик отрицает то, что можно привести к абсурду. Для установления истинности редукционного отрицания высказывания не требуется вникать в его смысл. Высказывание, для которого установлена истинность редукционного отрицания, не может быть истинным.
Эти три различных понимания отрицания не вступают в конфликт друг с другом, они согласованы, что, по мнению А.А.Маркова, даст возможность объединить все эти понимания отрицания.
Показательно такое обстоятельство. А.А.Марков строит свои конструктивные логические системы для обоснования конструктивной математики таким образом, что у него получается не одна законченная система, а целая иерархия систем. Это система языков (где п — натуральное число) и объемлющего их языка после строится язык
Итак, мы склонны думать, что развивающуюся конструктивную логику и математику невозможно вместить водно формальное исчисление,
для этого нужна система, состоящая из целой иерархии систем, в которой будет иерархия отрицаний.
Проблемами конструктивной логики и теории алгоритмов занимается также математик Н.М.Нагорный.