Логика - Германова А.Д.. Учебник для педагогических учебных заведений е изд. М икф омегаЛ Высшая школа, 2002
 Скачать 4.46 Mb.
|
§ 5. Многозначные логиких, а сверху — значения Возьмем, например х — (те. значение для х, равное ау, получаем импликацию 0. На пересечении получаем результат Если в формулу входит одна переменная, как, например, в случае формулы то таблица истинности для этой формулы, включающая всевозможные значения истинности, или ложности, или неопределенности ее переменной в таблице, будет состоять из = 3 строки при двух переменных в таблице будет З = 9 строк при трех переменных в таблице имеем З = строк при п переменных будет строк. Покажем, как происходит доказательство для формул a v (закон исключенного третьего) и для (закон непротиворечия), содержащих одну переменную, те а В таблице будет всего = 3 строки. а 1 V, 0 а 0 1 flVfl 1 1 0 0 1 'Для доказательства формулы a v используем знание о том, что дизъюнкция берется по максимуму. В третьей колонке, соответствующей видим, что вместе со значениями 1 есть значение Следовательно, эта формула не есть закон логики. Аналогично строятся колонки 4 и 5, только соблюдая условие, что конъюнкция берется по минимуму значений. Формула а также не является законом логики. Теперь посмотрим, является ли законом логики формула (х содержащая две переменные х у В таблице будет З = 9 строк. Распределение значений истинности для х у показано впервой и второй колонках. Вывод: так как в последней колонке встречается два раза значение неопределенности (те то данная формула не является законом логики. На основе данных определений отрицания, конъюнкции и дизъюнкции Лукасевича не будут тавтологиями (законами логики) закон непротиворечия и закон исключенного третьего двузначной логики. В системе Лукасевича не являются тавтологиями и отрицания законов непротиворечия и исключенного третьего двузначной логики. Поэтому логика Лукасевича не является 376 ЛОГИКА отрицанием двузначной логики. В логике Лукасевича тавтологиями являются правило снятия двойного отрицания, все четыре правила де Моргана и правило контрапозиции: а Ь Не являются тавтологиями правила приведения к абсурду двузначной логики (х х хи (х л у)) (т.е. если из х вытекает противоречие этого следует отрицание х Это было доказано (см. таблицу Таблица 3 1 1 1 0 у 0 1 0 1 0 X 0 0 0 Чг Чг 1 У 1 0 1 0 Чг 1 0 . 0 0 0 0 Чг 0 0 0 1 0 х 1 1 1 1 В системе Лукасевича не являются тавтологиями и некоторые формулы разделительно-категорического силлогизма с нестрогой дизъюнкцией. Все тавтологии логики Лукасевича являются тавтологиями в двузначной логике, ибо если отбросить значение тов логике Лукасевича ив двузначной логике определение функций конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания соответственно совпадут. Но так как в логике Лукасеви- ча имеется третье значение истинности — тоне все тавтологии двузначной логики являются тавтологиями в логике Лукасевича. Трехзначная система Гейтинга В двузначной логике из закона исключенного третьего выводятся Исходя из утверждения, что истинным является лишь второе, нидерландский логики математик разработал трехзначную пропозициональную логику. В этой логической системе импликация и отрицание отличаются от определений этих операций у Лукасевича лишь водном случае. Истина обозначается ложь — 0, неопределенность — Тавтология принимает значение 1. Глава X. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ Импликация Гейтинга 1 Отрицание Гейтинга X 1 0 Nx 0 0 1 Конъюнкция и дизъюнкция определяются обычным способом как минимум и максимум значений аргументов. Если учитывать лишь значения функций 1 и 0, то из матриц системы Гей- тинга вычленяются матрицы двузначной логики. В этой трехзначной логике закон непротиворечия является тавтологией, но ни закон исключенного третьего, ни его отрицание тавтологиями не являются. Оба правильных модуса силлогизма, формулах х правила де Моргана и закон исключенного четвертого (х — тавтологии. Хотя по сравнению с логикой Лукасевича в матрицах отрицания и импликации Рейтингом в его системе были произведены небольшие изменения, результаты оказались значительными в системе Гейтинга являются тавтологиями многие формулы классического двузначного исчисления вы- сказываний. m-значная система Поста Система американского математика и Поста является обобщением двузначной логики, ибо при 2 в качестве частного случая мы получаем двузначную логику. Значения истинности суть т (при > 2), где т конечное число. Тавтологией является формула, которая всегда принимает выделенное значение, лежащее между 1 и т — включая их самих См Post E.L. Introduction to a General Theory of Elementary Propositions // American Journal of Mathematics. 1921. 43. №3. 378 ЛОГИКА Пост вводит два вида отрицания (N'x и соответственно называемые циклическими симметричным. Они определяются путем матриц и посредством равенств. Первое отрицание определяется двумя равенствами [N'x) = х + 1 при [х]<т- Второе отрицание определяется одним равенством: Характерной особенностью двух отрицаний Поста является то, что при т — 2 эти отрицания совпадают между собой и с отрицанием двузначной логики, что подтверждает тезис многозначная система Поста есть обобщение двузначной логики 1 т N'x 2 3 4 5 т 1 т- 1 ш-2 m-3 2 1 Конъюнкция и дизъюнкция определяются соответственно как максимум и минимум значений аргументов. При указанных определениях отрицания, конъюнкции и дизъюнкции обнаруживается, что при значении для х, большем двух, законы непротиворечия и исключенного третьего, а также отрицание этих законов не являются тавтологиями. Трехзначная система Поста имеет следующую указанную в таблицах форму. В этих таблицах приняты введенные Постом при т - первое отрицание обозначается через второе отрицание — через конъюнкция через дизъюнкция — через (р v р импликация — через (р q), эквиваленция — через (р q). Глава X. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ р отрицание Второе отрицание Р Пояснения 1 2 3 2 2 2 3 3 3 3 3 max (p, q) 1 1 ] 1 2 1 2 2 3 1 2 3 (p, q) 1 1 J 1 2 2 2 1 3 3 2 1 1 1 2 3 2 2 2 2 3 Если в качестве значений истинности взяты лишь J истина и 3 «ложь», то из таблиц системы Поста вычленяются таблицы для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции двузначной логики. В системе тавтология принимает значение 1; закон исключенного третьего не является тавтологией ни для первого, ни для второго отрицания Поста, но является тавтологией закон исключенного четвертого для первого отрицания. Две системы Гетмановой: «Логика истины» и Логика лжи» Бесконечнозначная Логика истины как обобщение многозначной системы Поста Исходя из системы Поста, автор этого учебника Гет- манова построила бесконечнозначную систему В ней значениями истинности являются 1 (истина, 0 (ложь) и все дробные числа в интервале от J до 0, построенные в форме ив форме • — 1), где к — целочисленный показатель. Иными словами, значениями истинности являются Операции отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация и экви валенция в — определены следующими равенствами. Отрицание Дизъюнкция v q\ max д 3 ЛОГИКА. Конъюнкция л. Импликация ЯР. Эквиваленция: (Я Отрицание в системе является обобщением второго (симметричного) отрицания логики Поста. Посредством именно этого отрицания строятся конъюнкция, импликация и эквиваленция в системе Система построенная предложенным способом, имеет множество тав- тологий. (Тавтология принимает значение Тавтологии в бесконечнозначной Логике истины (те. в являются тавтологиями в двузначной логике, ибо является обобщением системы Поста, а последняя есть обобщение двузначной логики. Из системы вычленяются те. любая конечнозначная Логика истины». Об интерпретации системы В системе между крайними значениями истинности 1 (истина) и О («ложь») лежит бесконечное число значений истинности: и т.д. Процесс познания осуществляется таким образом, что мы идем от незнания к знанию, от неполного, неточного знания к более полному и точному, от относительной истины к абсолютной. Абсолютная истина (в узком смысле) складывается из бесконечной суммы относительных истин. Если значению истинности, равному 1, придать семантический смысл абсолютной истины, а значению 0 — значение лжи (заблуждения, отсутствия знания, то промежуточные значения истинности отразят процесс достижения абсолютной истины как бесконечный процесс, складывающийся из познания относительных истин, значениями которых в системе являются ближе значение истинности переменных (выражающих суждения) к тем большая степень приближения к абсолютной истине. Так осуществляется процесс познания от незнания к знанию, от явления к сущности, от сущности первого порядка к сущности второго порядка и т.д. Этот бесконечный процесс познания и отражает бесконечноз- начная система построенная автором как обобщение двузначной классической логики, характеризующей процесс познания в рамках оперирования лишь предельными значениями истинности — истина и ложь. Такова семантическая интерпретация системы (Логика истины, вскрывающая ее роль в процессе познания истины Глава X. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ... Методологические проблемы применения многозначных логик для моделирования систем с наличием элемента неопределенности. (О применении многозначных логик в социологии). Многозначные логики используются при моделировании систем с наличием элемента неопределенности. Простейшим примером трехзначной логики является голосование за, против, «воздержался» или ответы на вопросы да, нет, затрудняюсь ответить». Более сложной методологической проблемой является применение многозначных логик при построении социологических анкет. Обычно дается ряд ответов на один вопрос. Ответы формулируются приблизительно так да, нет, скорее да, чем нет, скорее нет, чем да, удовлетворен в значительной степени, мало удовлетворен и т.д. Все эти ответы включают значительный элемент неопределенности, что затрудняет выявление мнения людей входе социологического опроса (или анке- тирования). Автор считает возможным использовать многозначные логики с различными значениями истинности, те, например, 6, или 8-, или или логики. Составляющий анкету социолог должен предлагать конкретные значения истинности суждений, те. предусмотреть точные оценки, которые даст сам человек, работающий с анкетой. Например, в 9-значной логике значениями истинности будут следующие 1, V Ч Ч Ч / 2 ' / 4 ' / 8 'Если человек, например, при ответе на вопрос ли он своим трудом им полностью удовлетворен, тов соответствующем разделе он напишет 1, если же он полностью не удовлетворен, то напишет значение Если он почти удовлетворен (согласен, то напишет либо либо если же он почти не удовлетворен, то напишет или Если он не знает ответа или думает неопределенно, то напишет При обработке информации на ЭВМ на основе данных числовых характеристик ответов можно получить более точные знания о мнении в репрезентативной выборке любого вида (стихийной, квотной, вероятностной и других, когда применяется неполная индукция) или во всей генеральной совокупности (те. при сплошном обследовании, когда применяется полная индукция 382 Бесконечнозначная система — лжи» Аристотель охарактеризовал ложь так ложное говорит тот, кто думает обратно тому, как дело обстоит с вещами. Ложь может быть не только измышлением о том, чего не было, но и сокрытием или отрицанием того, что было. Ложь бывает непреднамеренной (паралогизм) или преднамеренной (софизм). В мышлении ложь формулируется в виде суждений. Иногда понятие ложь употребляется как синоним понятия заблуждение. Ведь и ложь, и заблуждение — формы неистинного знания. Причины возникновения заблуждений сходны с теми, которые порождают ложь ограниченность общественно-исторической практики, абсолютизация отдельных моментов процесса познания, нарушение логических правил доказательств, человеческие эмоции, догматический стиль мышления и др. Однако в отличие от лжи заблуждение выступает как неотъемлемый момент процесса познания, диалектически связанный с истиной. Существует специфика логического подхода к понятию ложь. В двузначной логике отрицание истинного суждения дает ложное суждение и наоборот. Сложнее обстоит дело в многозначных логиках. В трехзначных логиках имеется три значения истинности истина, ложь, «неопределенно»; при этом неистинное суждение может быть как ложным суждением, таки неопределенным. В Поста допускается значений истинности, предельными из которых являются истина и ложь. В беско- нечнозначной Логике истины между 1 и 0 лежит бесконечное число значений истинности. Автор построила бесконечнозначную систему Логики лжи шт. false — ложь, которая отражает бесконечный процесс познания, идущий от незнания не к истине, а к заблуждению. В результате человек приходит к ложным суждениям — в юридической деятельности (неверно построенные версии в процессе расследования преступления, медицинской практике (постановка ошибочного диагноза, в научном творчестве (выдвижение ложных гипотез) и других сферах человеческой деятельности. Степень заблуждения бывает различной и может доходить до абсурда. Причем процесс возможного заблуждения потенциально бесконечен, что отражено в системе Аристотель Метафизика // Соч в т. М Т. 1. С. 250. Глава X. ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ ЛОГИКИ КАК НАУКИ И ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ... Система имеет свою интерпретацию. Ее значения истинности отражают степень заблуждения, возникшего в результате либо умышленной дезинформации, либо незнания, либо неправильного истолкования результатов эксперимента, либо допущения логических ошибок, либо по другим причинам. Значениями истинности в Логике являются — 1 (ложь, заблуждение (незнание, отсутствие знания) и все дробные числа в интервале от О до — построенные по определенной форме. То есть- 1, - - - - - - -где к — натуральное число). Логические операции в определены следующими равенствами. Отрицание = — — — (1 + 2. Дизъюнкция v q) = max [q]). 3. Конъюнкция. Импликация р ч - 0 5. Эквиваленция: Я Я (я Тавтология (закон логики) принимает значение 0. Например, тавтологией является правило снятия дзойного отрицания. Из бесконечнозначной системы вычленяются конечнозначные системы Закон исключенного третьего, закон непротиворечия и их отрицания в трехзначной Логике лжи не являются тавтологиями, ибо в колон- соответствующих этим формулам, присутствуют значения или и как — так как и — 1, а тавтологией является формула, принимающая лишь значение 0. Если эти законы не являются тавтологиями в трехзначной системе Логика лжи, то они не будут тавтологиями ив четырехзначной системе Логика лжи ив и т.д. (те. в любой конечнознач- ной Логике лжи) ив бесконечнозначной Логике лжи» Система и другая построенная автором бесконечнозначная логика в совокупности охватывают оба направления в процессе познания как в сторону истины, таки, к сожалению, в сторону лжи, заблуждения ЛОГИКА 6. Законы исключенного третьего и непротиворечия в неклассических логиках (многозначных, интуиционистской, конструктивных) В главе IV Законы (принципы) правильного мышления была проанализирована специфика действия закона исключенного третьего при наличии неопределенности в познании, сделан вывод, что закон этот применяется там, где познание имеет дело с жесткой ситуацией или — или, истина ложь. Во многих неклассических логических системах формулы, соответствующие законам исключенного третьего и непротиворечия, не являются тавтологиями. Ниже приведена таблица (см. св которой знаком «+» обозначено то, что в указанной логической системе закон непротиворечия и закон исключенного третьего, те. формулы али а, являются тавтологиями (или выводимыми формулами, и соответственно знаком «-», когда не являются. Рассмотрено, кроме того, отрицание закона непротиворечия, выражающееся формулой и отрицание закона исключенного третьего, выражающееся формулой a v В этих формулах имеется ввиду та форма отрицания, которая принята в указанной логической системе. В интуиционистской и конструктивных закон исключенного третьего для бесконечных множеств не работает. Осуществимость в конструктивной математике понимается как потенциальная осуществимость конструктивного процесса, дающего в результате один из членов дизъюнкции, который должен быть истинным. Но так как для бесконечных множеств нет алгоритма распознавания, что является истинным а или то конструктивная логика отвергает закон исключенного третьего в пределах конструктивной математики. Вид логической системы Двузначная классическая логика Закон исключенного третьего a v Закон непро- тиворечия 3 |