Логика - Учебник - Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. (PDF). Учебник для студентов высших учебных заведений
 Скачать 3.83 Mb.
|
|
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СМЫСЛА КАТЕГОРИЧЕСКИХ ВЫСКАЗЫВАНИЙ ПОСРЕДСТВОМ КРУГОВЫХ СХЕМ Исходя из предыдущих рассмотрений относительно структуры смысла категорических суждений, эти структуры можно представлять в виде отношений между кругами, имея ввиду, что сами круги представляют классы (объемы понятий, соответствующие субъекту и предикату. Для общеутвердительного суждения «Все 5 суть Р имеем схему: Для общеотрицательного суждения Ни одно 5 не есть Р»: Для частноутвердительного суждения Некоторые 5 суть Р»: Для частноотрицательного суждения Некоторые 5 не суть Р Примечание Поскольку в утверждении Все S суть Р не исключается и то, что Все Р суть постольку круг Р необязательно должен быть шире S — он может совпадать с В частноутвердительном суждении может не быть части S, которая находится Р то есть возможно, что и Все 5 суть Р». В суждении также может не быть внутренней части S, то есть Ни одно S не есть Р. Для желающих разобраться более детально в структурах категорических суждений см. ниже. Имея перед собой задачу изображения структуры суждения как определенного типа знаний, следовало бы отобразить в круговых схемах и те моменты неопределенности этих знаний, которые имеют место в суждениях различных типов. С этой целью можно использовать пунктирное изображение некоторых частей границ классов. В таком случае схемы должны выглядеть по-иному. Так, смысл общеутвердительного высказывания может быть «Все предметы S находятся вне класса Р и, очевидно, наоборот Для высказываний схемы являются изображениями их смыслов. Для суждений, которые сами уже составляют смысл высказываний, схемы изображают структуру смысла. 292 изображен в виде Пунктир здесь означает неопределенность границ круга Р состоящую в том, что может совпадать с S. Штриховка частей S выделяет как субъект суждения и указывает на ток какой именно части этого класса относится наше знание — утверждение или отрицание чего-либо в суждении. Это существенно, когда схема применяется именно для изображения структуры смысла высказывания, то есть структуры суждения как определенной формы знания. Вся схема как разговорит о том, что класс S включается в Р иначе говоря Все предметы класса S принадлежат классу Для общеотрицательного суждения имеем Для частноутвердительного суждения схема следующая Пунктир 5 здесь соответствует выражению этих суждений По крайней мере некоторые 5 суть и указывает на возможность того, что внешняя часть круга 5 является пустой, то есть не исключается, что Все 5 суть Пунктир же для окружности Р указывает на то, что все Р могут содержаться среди Для частноотрицательного суждения имеем Опять-таки пунктир указывает на возможность пустоты части находящейся внутри Р то есть на возможность того, что ни одно не есть Р. Варианты, связанные с пунктирным изображением границ классов на схемах, можно трактовать (иногда так трактуют) как существование множества возможных схем для суждений одного итого же типа. При этом схемы представляют собой просто возможные отношения между понятиями 5 и Р а множество схем для каждого типа суждений просто указывает, какие отношения между этими понятиями не исключает это суждение. Так, для общеутвердительного суждения предполагается возможность двух схем: Для частноутвердительного суждения: Для общеотрицательного суждения Для частноотрицательного суждения: Эти схемы характеризуют информативность высказываний. Приведенные же выше схемы указывают на нечто большее они характеризуют характер нашего знания. В частности, пунктирные части этих схем, как уже говорили, соответствуют тому, что в нашем знании, которое представляет то или иное суждение, является неопределенным. ВЫДЕЛЯЮЩИЕ И ИСКЛЮЧАЮЩИЕ СУЖДЕНИЯ Наконец, заметим, что к числу категорических суждений часто относят так называемые выделяющие категорические суждения видов: «Все 5, и только 5, суть Р», «Все S, ноне только S, суть Р», «Ни одно S, и только S, не есть «Некоторые S, и только S, суть «Некоторые S, и только 5, не суть Р» 2 Частновыделяющие_вида_Существует_и_другая_разновидность_частновыделяющих_суждений:«Только_некоторые_S_суть_Р»«Только_некоторые_S_не_суть_Р»'>Общевыделяющие Частновыделяющие вида Существует и другая разновидность частновыделяющих суждений: «Только некоторые S суть Р» «Только некоторые S не суть Р» Частновыделяющие вида К числу категорических относят также обычно и исключающие суждения видов: «Все S, кроме R, суть Р» «Ни одно S, кроме R, не суть Р» Исключающие Эта форма суждения не является естественной ив естественном языке не встречается Тоже Однако более точно суждения приведенных форм следует характеризовать не как категорические, то есть разновидность простых, а как некоторые сложные суждения. Так, Все и только суть Р означает Все 5 суть Р и ни одно не не есть Р то есть сложное суждение — конъюнкция двух высказываний. Например, суждение Все млекопитающие животные и только млекопитающие являются теплокровными имеет смысл Все млекопитающие животные суть теплокровные животные и ни одно не млекопитающее животное не является теплокровным». Суждение вида Все ноне только 5, суть Р равнозначно Все 5 суть Р и некоторые не суть Р Очевидно, что вроде бы простое по внешнему виду суждение Все металлы, ноне только они, проводят электрический ток равносильно сложному Все металлы проводят электрический токи некоторые неметаллы проводят электрический ток». Первые два из частновыделяющих (вида 1) отличаются от других двух (вида 2) тем, что логическая константа «только» связана в них с субъектом, в двух других — с кванторным словом некоторые (первые можно было назвать но-выделяющими, а вторые — кванторно-выделяющими суждениями. Для первых имеем эквивалентности: Некоторые_и_только_S,__суть_Р'>Некоторые и только S, суть Р (Некоторые 5 суть Р & & (Ни одно не не суть Р. Например, Некоторые кислоты и только они образуют соли эквивалентно Некоторые кислоты образуют соли и ни одна не кислота не образует соли». Некоторые и только S, не суть Р (Некоторые 5 не суть Р) & (Все не суть Р. Например, Некоторые лодыри и только они не сдадут этот экзамен = Некоторые лодыри не сдадут этот экзамен и Все не-лодыри сдадут его». Два других частновыделяющих вида 2 (кванторно-выделя- ющие) эквивалентны между собой и могут быть истолкованы как конъюнкция (Некоторые 5 суть Р) & (Некоторые не суть Р. Например, Только некоторые студенты становятся профессорами эквивалентно Некоторые студенты становятся профессорами и некоторые студенты не становятся ими». Определенное различие, которое чувствуется в формулировках этих суждений (хотя они объективно и эквивалентны, имеет психологический характер. Водном из них «Только некоторые 5 суть Р центр тяжести падает на второй член конъюнкции Некоторые S не суть Р, эквивалентный в свою очередь Неверно, что все S суть Р. Поэтому все выделяющее суждение эквивалентно такому: (Некоторые S суть Р & (Неверно, что все S суть Р). В суждении формы Только некоторые S не суть Рвы- деляется первая часть упомянутой конъюнкции Некоторые суть эквивалентная Неверно, что ни одно S не суть Р. Принимая это во внимание, можно увидеть, что все выделяющее суждение этого вида эквивалентно (Неверно, что ни одно S не суть Р) & (Некоторые S не суть Р). Упомянутые психологические различия связаны со спецификой ситуаций, в которых высказываются эти суждения. Обычно эти суждения употребляются как возражения на необоснованные обобщения если, например, студенты заявляют, что никто не сдаст логику, преподаватель может ответить: «Только некоторые не сдадут, подчеркивая тот факт — первый член конъюнкции, — это некоторые сдадут. В случае же проявления излишней самонадеянности Все сдадим, естественно возразить Нет, только некоторые сдадут, оттеняя второй член конъюнкции — Некоторые не сдадут». Как видим, логическая константа только употребляется как некоторый ослабленный аналог отрицания («Прямым» отрицанием в первом случае было бы суждение Некоторые сдадут, а во втором — Некоторые не сдадут»). Исключающее суждение формы Все S, кроме R, суть Р» выражает сложное суждение (Все S, которые не являются суть Р) & (Ни одно R не есть Р. (Более детально, с учетом рода М понятии 5, R, Р Все предметы класса обладающие свойством S и не обладающие свойством R, суть предметы обладающие свойством Р, и ни один предмет обладающий свойством R, не есть предмет обладающий свойством Р»). Так, если кто-то говорит Все спортсмены, кроме боксеров, вызывают у меня симпатию, то фактически он утверждает Все спортсмены не-боксеры вызывают у него симпатию) и Ни один боксер симпатии у него не вызывает (С учетом М — особого рода понятий, играющих роль S, R, Р Все люди (М, являющиеся спортсменами (S) и при этом не являющиеся боксерами (R) есть люди вызывающие у него симпатию (Р) и 2. Ни один человек являющийся сером (R) не есть человек вызывающий у него симпатию Другая словесная формулировка исключающего суждения этого вида — сходная с выделяющим — Среди 5 только не суть Р». Аналогичным образом выясняется смысл отрицательного исключающего суждения Ни одно кроме R, не суть Р». Осуществить этот анализ предлагается самому читателю. • У пр аж не ни я. Выявите логическую форму суждений а) Многие юристы занимаются адвокатской деятельностью; б) Спортсмены, достигающие больших успехов, затрачивают много времени на тренировки; в) Потоки воды, текущие из мест более низких в места более высокие, не являются реками; г) Есть такие люди, которые проявляют беспечность в жизненно важных ситуациях. Представьте следующие высказывания как суждения об отношениях и образуйте из них возможные атрибутивные суждения: а) Всякая мать любит своего ребенка; б) Некоторые города расположены между Москвой и Одессой; в) В темной комнате трудно найти черного кота. Чем вызвана двусмысленность следующих предложений и как ее избежать Какие простые суждения можно выделить в следующих высказываниях: а) Когда Дубровский убил медведя, Троекуров не рассердился, а только велел снять с него шкуру; б) Отец героя умер, когда ему было 28 лет; в) Чернышевский пишет роман о направлениях деятельности демократической интеллигенции в крепости; г) Боясь грозы, старуха спрятала голову под подушку и держала ее там, пока она не кончилась. Определите вид следующих атрибутивных суждений и представьте их в стандартной форме (в необходимых случаях выявите их недостающие — подразумеваемые — смысловые части): а) Народы мира не хотят войны; б) Народ земного шара хочет мира в) Несколько дней бушевал ураган; г) Не все современники динозавров вымерли; д) Не шведы победили в битве под Полтавой; е) Далеко не все руководители следуют принципу единства слова и дела. Укажите, какие простые суждения содержатся в следующих высказываниях, определите их вид и представьте в эквивалентной форме: а) Только металлы образуют соли; б) Только существительные изменяются по падежам (какая часть этого высказывания является ложной?); в) Только тот достоин чести и свободы, кто каждый день за них идет на бой»; г) Все водные животные, кроме китов и дельфинов, являются холоднокровными; д) Ни один металл, кроме висмута, не сжимается при нагревании. Виды сложных суждений Напомним, что сложным является такое суждение, которое содержит в качестве своей правильной части некоторое (по крайней мере одно) другое суждение. Основные виды сложных суждений упомянуты и даны в определениях формул в ЯЛВ и ЯЛП. Это конъюнктивные — вида дизъюнктивные импликативные — В) и образованные из других суждений с использованием операции отрицания где Аи Весть какие-то простые или, в свою очередь, сложные суждения. Например, к виду (А & В будут относиться (А & В) & С, как и (А & (В а также (А & (В А & (В и т. п, где А, В, С — какие-нибудь суждения. Иначе говоря, вид сложного суждения определяется той логической константой, которая представляет последнюю операцию при образовании данного высказывания. Конечно, эта последняя операция не определяет всей структуры высказывания. Собственно основная задача анализа сложных суждений состоит не только в описании их логических структур, сколько в выяснении способов их возможных преобразований, особенно таких, результаты которых являются эквивалентными. Эквивалентные суждения иногда вообще даже не различают. Так, не различают, например, суждения (Ли (Л & В) С, сводя их к виду Л & & С. Однако, строго говоря, это неточно эти две знаковые формы выражают суждения. Но они равносильны (в силу закона ассоциативности конъюнкции) и отождествлять их можно, опуская скобки вообще, лишь тогда, когда нас интересует только истинностное значение суждения или (что тоже) информация, которую выражает данная знаковая форма, а не само оно как смысл некоторого предложения. Аналогичным образом дело обстоит и для высказываний вида (Л v В). Следует обратить внимание на некоторые особенности выражения суждений в естественном языке. Во-первых, мы можем иметь здесь сложные суждения, составные смысловые части которых не выделены как особые части знаковой формы этого суждения. Пример такого рода мы уже приводили (относительно различения протонов и нейтронов — § 29). Во-вторых, особенности высказываний в естественном языке проявляются ив том, что одни и те же логические константы могут иметь разные смыслы в различных ситуациях. Например, знаку « v » формализованного языка в естественном соответствует слово или, но взятое в некотором определенном смысле — образованное сего помощью высказывание или В указывает на наличие какой- нибудь из двух ситуаций Аи Вне исключая возможность наличия той и другой (слабая дизъюнкция. Однако мы употребляем в естественной речи дизъюнкцию ив таком смысле, при котором высказывание Лили означает Имеет место ситуация Лили В ноне обе вместе (сильная, или строгая, дизъюнкция. Правда, в русском языке чаще в таких случаях употребляют слово либо, то есть вместо Лили В» употребляют фразу Л либо В (а иногда даже — либо А, либо В. Высказывание с сильной дизъюнкцией может быть выражено через слабую с использованием отрицания. А именно Л либо В выражает туже информацию, что и следующие конъюнктивные высказывания А или Вине- верно, что Ли В, Лили В и неверно А или неверно В. Используя, как это часто делается в формализованных языках, для сильной дизъюнкции знаки знак « = » для отношения квивалентности (равнозначности, равносильности) между высказываниями, мы можем выразить приведенные эквивалентности точным образом Таким образом, утверждение с сильной дизъюнкцией является более сильным, то есть информативным, поскольку представляет собой конъюнкцию утверждений. Ничто не мешает нам, конечно, употреблять слабую дизъюнкцию, утверждая А или В, когда ситуации Аи в действительности исключают друг друга. Мы можем это делать, когда тим выразить информацию лишь о том, что есть лишь две эти возможности, оставляя открытыми вопрос о том, совместимы или несовместимы Аи В (нас это не только может не интересовать, номы можем даже этого и не знать. Если для решения той или иной задачи достаточно этого, то нецелесообразно даже употреблять более сильное утверждение «А либо В, поскольку при этом к существенному для решения именно этой задачи добавляется несущественное для него. А это затрудняет понимание рассуждения и утверждающему это больше вероятности ошибиться. К тому же, чем больше утверждается, тем больше надои доказывать. Поэтому в таких ситуациях справедливым представляется принцип Не утверждай больше, чем нужно!» А и А вместе, например, истинными быть не могут, ноне могут быть оба и ложными. Однако два эти утверждения «разводятся» в логике и выражаются в виде двух различных законов. Один из них — закон исключенного третьего — говорит, что для любого высказывания А верно А или v А. Другой — закон противоречия — указывает неверно, что Аи (А & А)). По смыслу ясно, что как для сильной, таки для слабой дизъюнкции высказывание А или В эквивалентно Вили А, то есть или оба истинны или оба ложны. Это свойство дизъюнкции называется коммутативностью (пере- становочностью) Разные употребления имеют и союзы и, если, то...», соответствующие конъюнкции («&») и импликации в формализованных языках. Для конъюнкции, например, имеет место эквивалентность Однако явно неэквивалентны высказывания Человек М совершил правонарушение и понес наказание и Человек М понес наказание и совершил правонарушение. Здесь употребляется так называемая конъюнкция, для которой существенное значение имеет последовательность описания событий. Употребляя в формализованных языках мы отвлекаемся от порядка событий в действительности и, конечно, это правомерно лишь в тех случаях, когда в самой действительности последовательность не является существенной. Конъюнкция в таком случае обладает свойством коммутативности как и дизъюнкция. То есть Ли В эквивалентно В и (Л & В В & А). Этим свойством не обладает логическая связка, рассматриваемая ниже — импликация (ID). В русском языке вместо слова и для обозначения конъюнктивной связи высказываний А В употребляются также Ли В имеют место одновременно Как Атаки В Л, хотя и Не только А но и В»; А несмотря на В Авто время, как В и т. д. Ясно по смыслу связки и, — что вместо одного сложного высказывания Аи В мы можем высказать одно за другим два высказывания Аи В (то есть А, В. Эти два случая в естественном языке часто даже трудно различить, какой из них имеет место. Часто это приходится решать по контексту. Многообразные аналоги имеются в естественном языке также и для импликации Основная знаковая форма, соответствующая высказыванию А В в естественном языке Если А, то В, хотя часто употребляют такие Поскольку А, постольку В Коль скоро А, то В В, если А»; «А достаточно для В В необходимо для А или просто, опуская логическую связку, говорят Назвался груздем полезай в кузов Сказал А — говори В. Во всех таких случаях подразумевается Если А, то В. Эти случаи надо отличать от тех, когда словосочетание если, то ...» употребляется вместо союза ив совокупности с некоторым противопоставлением, например, Если вчера было жарко, то сегодня хоть пальто надевай». Однако и сама логическая связка если, то может иметь разные смыслы в естественном языке. Обычно указанный союз выражает связь между некоторыми свойствами предметов или связь между явлениями, событиями, процессами и т. п. (детерминированность, обусловленность одного другими истинность всего сложного суждения (в отличие оттого, когда если, то представляет определенную ранее импликацию, которая называется материальной импликацией) не зависит от истинностных значений составляющих его простых. Например, одинаково истинными будут утверждения Если сумма цифр числа 357 делится на то и само это число делится на 3» и Если сумма цифр числа делится на то и само это число делится на 3». Оба эти суждения истинны, поскольку оба они выражают действительно имеющуюся связь между указанными свойствами чисел (представленных в десятичной системе. При замене условной связи материальной импликацией, то есть при истол- если, то как материальной импликации, оба эти суждения также будут истинными. Но истинным окажется также и утверждение Если сумма цифр числа 457 делится на 3, то это число делится на 5», — хотя ясно, что нет никакой связи между делимостью суммы цифр числа на 3 и делимостью самого числа на 5. Данное же высказывание истинно согласно приведенным ранее (см. § 10) условиям истинности импликативных высказываний в нашем случаев силу ложности антецедента высказывания. Утверждение условной связи сильнее, чем утверждение Если А, то В в смысле материальной импликации всегда, когда истинно первое — истинно и второе, ноне наоборот. Употребляя материальную импликацию, мы отвлекаемся от связи между высказываниями по содержанию, то есть от связей между ситуациями, которые описывают эти высказывания. Это обусловливает некоторые странности, которые иногда даже характеризуют как парадоксы материальной импликации. Однако, несмотря на это упрощение рассматриваемой логической связки, а именно даже благодаря этому упрощению, она оказывается весьма полезной для описания различных форм дедуктивных выводов. Заметим, что в настоящее время в логике построены и такие формализованные языки и аппарат дедукции, в которых импликация (обозначаемая обычно « ») адекватна указанной связке, если, то...». Языки этого рода полезны для выражения именно таких высказываний, где необходимо отразить наличие связей между ситуациями действительности, например, в формулировках законов науки. Логические исчисления указанных типов получили название релевантной логики См, например Е. К Символическая логика. Классическая и релевантная. — Высшая школа, 1989. 302 Упражнения. Определите, какие из указанных высказываний являются сложными, и переведите их на язык логики высказываний, обозначив простые составляющие сложного суждения отдельными буквами: а) Кто любит трудиться, тому без дела не сидится; б) Они рад бы косить, да некому косу носить; в) Если некоторое число N оканчивается на 0 или на 5, то оно делится на 5 и если число не делится на 5, то оно не оканчивается ни на 0, ни наг) Есть ложь, не заслуживающая порицания; д) Если на приговор подана жалоба или принесен протест, дело подлежит передаче в вышестоящий суде) Кончив дело — гуляй смело или продолжай работать; ж) Если какой-то человек сказал неправду, то он или не знает действительного положения делили умышленно вводит в заблуждение других, но ни то и другое вместе; з) Ни один прокурор не является адвокатом; и) Какая бы ни была работа, если взялся за нее, то доводи до конца. к) Если еще в прошлом веке автомобиль был роскошью, то в нынешнем — это средство передвижения 31. Понятие необходимого и достаточного условия Условная связь если, то будучи средством выражения законов науки, полезна также для выяснения важных сточки зрения логической культуры понятий необходимого и достаточного условия чего-либо. Мы говорим, что обстоятельство А (признак, событие, явление и т. п) является достаточным условием обстоятельства В если и только если Ли связны между собой таким образом, что в каждом случае, когда имеется А, имеется и В то есть для каждого случая истинно высказывание Если Л, то Обстоятельство А является необходимым условием обстоятельства В если и только если А В связаны между собой таким образом, что в каждом случае при отсутствии А отсутствует В то есть в каждом случае истинно вы- зоз сказывание Если неверно Л, то неверно В (это высказывание эквивалентно высказыванию Если В, то А»). Из сказанного видно, что если А — необходимое условие В, то В — достаточное условие Аи наоборот. А из приведенного выше примера видно, что делимость суммы цифр числа наесть достаточное условие делимости на 3 самого числа. Естественно в этом случае, как и во всех подобных, ставить вопрос, является ли оно необходимым Известно из арифметики, что это действительно так. С понятиями необходимых и достаточных условий в математике связаны понятия прямой и обратной теорем. Формулируя теорему вида Если А, то В, устанавливают достаточность условия А для В. Установление же того, что имеет место и обратная теорема Если В, то А» означает указание того, что А является и необходимым условием для В (поскольку Если В, то А равносильно Если не- А, то не-В»). Имея теорему вида Для всякого объекта некоторого класса (геометрических фигур, чисел и т. п) верно, что если он обладает свойством А, то он обладает свойством В», ставят обычно вопроса верно ли обратное — Если В, то А»? Если так, то мы имеем также и обратную теорему по отношению к первой. Подобные рассуждения относятся не только к математике. Теорема математики — это некоторый закон математики, аналогичные вопросы возникают по отношению к законам любой науки. Будучи выраженным либо в форме Всякое S суть Р (всякий предмет некоторого класса М, обладающий свойством S, обладает свойством Р) или в виде Для всякого предмета класса М верно, что если он обладает свойством S, то он обладает свойством Р, он — при условии правильной формулировки закона — содержит указание достаточного условия 5 для существования Р. И, конечно, не лишен при этом познавательного значения вопрос: не верно ли и обратное Естественно, само S может быть сложным свойством, хотя бы в том смысле, что оно является объединением множества свойств, и достаточным условием Р является именно совокупность свойств. Вспомним, например, закон классической механики Всякое тело на которое не действует никакая сила или равнодействующая всех сил равна нулю (5), находится в покое или движется равномерно и прямолинейно (Р. Но полезно, конечно, знать, что верно обратное Всякое тело, которое находится в покое или движется равномерно и прямолинейно, есть тело, на которое не действует никакая сила или равнодействующая всех сил равна нулю. Таким образом, признак, состоящий в том, что на тело не действует никакая сила или равнодействующая всех сил равна нулю (S(x)), является достаточными необходимым для признака тело покоится или движется равномерно и прямолинейно [Р{х)). Ш Упражнения. Выясните, является ли достаточными необходимым условием для указанного выше признака Р признак На тело не действуют никакие силы (Точнее Р{х) и поскольку знаковыми формами признаков, как помнит читатель, являются предикаты. Аналогичную задачу решите для признака равнодействующая всех сил, действующих на тело, равна нулю» Заметим, что вообще для любых двух признаков S(x) и Р{х) (относящихся к некоторому классу предметов М — области значений переменной х справедлива классификация) Один из них является достаточными необходимым условием для другого или) достаточным, ноне необходимым, или) недостаточным, но необходимым, или, наконец) недостаточными не необходимым. Выше уже приведены примеры признаков достаточных и необходимых читатель, только что выполнивший упражнение, наверное установил, каковы отношения между и Р(х), а также между и Р(х). Для некоторых подскажем, что как и достаточен для Р{х), ноне необходим. Аналогично, незаконное хранение оружия достаточно для привлечения к уголовной ответственности, но, конечно, не является необходимым для этого. Но гласность, являясь необходимым условием демократии, не является в тоже время достаточным, как и, например, повышение производительности труда для повышения уровня благосостояния общества. Между тем рост человека, его возрасти, конечно, пол не являются ни достаточными и ни необходимыми условиями для усвоения логики И, наконец, вспомним определение основного содержания понятий. Его составляет совокупность признаков, каждый из которых необходима все вместе они достаточны для решения вопроса о том, относится ли какой-нибудь предмет к объему понятия, то есть к классу обобщаемых предметов. Знание самих понятий, необходимых и достаточных условий может быть весьма полезным для образования тех или иных понятий, для выяснения смыслов имен. При этом оно может избавить человека от хаотического и излишнего перечисления признаков предметов, способствовать минимизации тех данных, которые характеризуют тот или иной предмет или предметы некоторого вида. Именно требование указанной минимизации подразумевается обычно в обращении учителя к ученику или вообще к тому или иному человеку: «Выделяйте существенное, Ненужно второстепенного, не идущего к делу и т. п. Требования такого рода часто означают укажите достаточные и необходимые признаки предметов данного класса. • У пр аж не ни я. К какому виду — сточки зрения необходимости и сточки зрения достаточности — принадлежат следующие условия: а) делимость числа на 2 и на 3 для делимости его наб) активное участие общественности в борьбе с преступностью для ликвидации преступности; в) мутации для естественного отбора; г) круглая тень Земли на поверхность Луны для признания истинности утверждения о шарообразности Земли; д) нагревание металлического стержня для его расширения е) наличие тренировок для установления рекордов; ж) наличие дыма для огня; з) знание предмета для получения отличной оценки по нему на экзамене; и) истинность одного члена дизъюнкции для истинности всей дизъюнкции; к) истинность обоих членов дизъюнкции для истинности всей дизъюнкции л) ложность антецедента для истинности импликации; м) ложность обоих членов дизъюнкции для ложности всей дизъюнкции; н) ложность консеквента для истинности импликации. Пользуясь определениями необходимого и достаточного условий, сформулируйте соответствующие суждения с употреблением связки если, то (« а) А есть необходимое условие для б Весть необходимое условие для А; в) А есть необходимое, ноне достаточное условие для г Весть достаточное, ноне необходимое условие для Ад) Ане достаточное и не необходимое условие для е) неверно, что А достаточное и необходимое условие для ж) неверно, что Ане достаточное условие для Вили Вне необходимое условие для А. Какие суждения относительно достаточности или необходимости условий можно сформулировать исходя из истинности высказываний вида: а) б) р -, д в р где 32. Связь между простыми суждениями со сложными субъектами и предикатами и сложными суждениями. Преобразование категорических суждений за счет расширения субъектов Собственно, мы уже рассматривали примеры простых суждений со сложными субъектами или предикатами (возможно, конечно, и то и другое, то есть дизъюнкция здесь слабая. Это случаи, когда субъект или предикат суждения есть понятие, основное содержание которого составляет сложный предикат (сложную выска- зывательную форму. Таковым является суждение о каждом теле, на которое не действуют никакие силы или равнодействующая всех сил равна нулю, — субъект суждения, и для которого верно что оно находится в покое или движется равномерно и прямолинейно предикат суждения. Другие примеры Всякое число, которое оканчивается на 0 или на 5, делится на 5»; Всякое число, которое делится на делится на 2 и на 3»; Для всякого числа верно, что если оно оканчивается на 5 или на 0, то оно делится на Едва ли надо разъяснять, что в этих суждениях субъект или предикат являются сложными. Возможно, стоит обратить внимание читателя лишь на последний пример. Субъект здесь, очевидно, общее имя — число, а предикат является сложным — импликативным: Если оно (некоторое число х оканчивается на 5 или на 0, то оно (это же число х) делится на 5». Читатель может, безусловно, сам убедиться, что все эти суждения являются простыми, поскольку нив каком из них нельзя выделить такую часть, не совпадающую совсем суждением, которая в свою очередь была бы суждением. Однако для некоторых из этих суждений мы можем указать эквивалентные им сложные суждения. Так, суждение Всякое число, которое оканчивается на 0 или на 5, делится на 5» эквивалентно конъюнкции двух суждений Всякое число, которое оканчивается на 0, делится на 5» и Всякое число, которое оканчивается на 5, делится на Простое суждение Всякое число, которое делится на делится на 2 и на 3» также эквивалентно конъюнкции двух суждений: «Всякое число, которое делится на делится на 2» и Всякое число, которое делится на 6, делится на 3». Имеющиеся здесь отношения эквивалентности имеют общий характер, то есть справедливы для всех суждений, имеющих те же логические формы. (Всякий предмет х из некоторой области D, имеющий свойство А или Весть С (иначе, есть предмет х обладающий свойством (Всякий предмет х из некоторой области D, который имеет свойство А, есть и (Всякий предмет х из некоторой области который имеет свойство Весть С. (Всякий предмет х из области D, обладающий свойством А, есть предмет х обладающий свойствами В и = (Всякий предмет х из области D, обладающий свойством А, есть В и (Всякий предмет х из области D, обладающий свойством А, есть С). Аналогичным образом могут разлагаться на сложные суждения не только категорические, которые мы только что рассмотрели, но и суждения об отношениях. Например, суждение вида Ах v В(х}) Су & Впрочем, если учесть, что суждение об отношении может быть истолковано как атрибутивное, то этот случай сводится к первой из указанных эквивалентностей. Так, суждение об отношении Для Оно будет эквивалентным & R(x, у) & V* (В(х) (Су) & R(x, у всякого предметах который обладает свойствами А или В существует предмету обладающий свойством С, такой, что для них верно R{x, мы сводим к атрибутивному со сложным объектом: «Всякий предмет х обладающий свойством А или Весть предмет такой, что существует предмету обладающий свойством С к которому х находится в отношении Теперь оно разлагается как категорическое суждение со сложным дизъюнктивным субъектом (см. эквивалентность Упражнения. Покажите, как можно разложить на сложные суждения приведенное выше простое суждение отеле, на которое не действуют никакие силы или равнодействующая всех сил равна нулю, и обратное ему. Осуществите операцию разложения на сложные в отношении простого суждения Всякое слово, которое является существительным или прилагательным, изменяется по падежами лицам По существу, как мы видим, разложению на сложные поддаются общие категорические суждения с дизъюнктивными субъектами или конъюнктивными предикатами (или здесь — слабая дизъюнкция. Ноне может быть разложено на сложное простое суждение вида Ах есть С{х)), например, Всякое число, делящееся на 2 и на 3, делится на Суждение вида Некоторые А или В суть С эквивалентно дизъюнктивному сложному суждению Некоторые А суть С или Некоторые В суть С. Суждение же вида Некоторые А суть Вили С эквивалентно Некоторые А суть Вили Некоторые А суть С». Эти эквивалентности справедливы и для соответствующих отрицательных суждений, то есть частные суждения разлагаются на сложные лишь в случаях сложных дизъюнктивных субъектов или предикатов. Далее, полезно иметь ввиду следующие эквивалентности для категорических суждений (субъекты и предикаты которых есть понятия и при этом субъекты их не являются пустыми понятиями). Суждение вида Всякий предмет х из области D, обладающий свойством S, суть предмет из этой же области, обладающий свойством Р эквивалентно Всякий предмет D таков, что если он обладает свойством 5, то он обладает также и свойством Р. Эта эквивалентность используется при переводах категорических суждений вида Все 5 суть Р на язык логики предикатов в котором оно получает форму выражения (S(x) Но при таком переводе мы подразумеваем некоторую область возможных значений х — D, которая, естественно, должна подразумеваться ив исходном переводимом — суждении. Суждение, получаемое при переводе, также категорическое, с субъектом — D и импликатив- ным предикатом S(x) Общеотрицательное суждение Ни один предмет из области обладающий свойством не есть предмет из D, обладающий Р» эквивалентно Для всякого предмета D верно, что если он обладает свойством S, то он не обладает свойством Р. Соответственно этому суждение Ни одно 5 не суть Р на ЯЛП выражается (S{x) при условии опять-таки, что область значений х подразумевается в формулировке исходного суждения. Для частных суждений имеем Некоторые предметы из области обладающие свойством S, суть предметы, обладающие свойством Р эквивалентно Некоторые предметы из области D таковы, что они обладают свойством S и Р». «Некоторые предметы из области обладающие свойством не суть предметы, обладающие свойством Р эквивалентно Некоторые предметы D таковы, что они обладают свойством 5 и не обладают свойством Р». На основе этих эквивалентностей совершаются следующие переводы частных суждений на ЯЛП: Некоторые 5 суть Р г {S(x) & Р(х)). Некоторые S не суть (S(x) & при этом — как и для общих суждений — область значений х должна подразумеваться в исходных суждениях Таким образом, при указанных преобразованиях категорические суждения остаются категорическими, нос более широкими субъектами (область D) и при этом предикаты общих суждений преобразуются в импликативные, а частных — в конъ- юнктивные. Однако такие преобразования, как уже было замечено, правомерны лишь при определенном условии, а именно в том случае, когда понятие, играющее роль субъекта исходного категорического суждения, не является пустым, то есть имеет какое-то предметное значение. В противном случае не получается приведенных эквивалентностей. Например, суждение Всякий человек, который не нуждается в пище, может жить не работая (в стандартной форме Всякий человек, который не нуждается в пище, суть человек (лицо, который может жить, не работая) при указанном преобразовании приобретает форму Для всякого человека верно, что если он не нуждается в пище, то он может жить, не работая». Последнее суждение является, очевидно, истинным (тем более при понимании если, то как материальной импликации в этом случае оно истинно в силу ложности, невыполнимости антецедента, то есть высказывательной формы человек, не нуждающийся в пище, для любого человека. Исходное же суждение скорее всего нельзя признать истинным или ложным. Истинность и ложность есть соответствие или несоответствие нашей мысли действительности, а в действительности нет таких предметов, к которым относится утверждение. В логике, правда, есть различные точки зрения относительно истинностных оценок высказываний с пустыми субъектами. Одна из них, которая приписывается Аристотелю, такова утвердительные суждения с пустыми субъектами ложны, а отрицательные истинны независимо от их содержаний. Согласий другой, всеобщие суждения с пустыми субъектами истинны, а частные ложны, опять-таки независимо от их содержаний. Но обе эти, как и другие, концепции представляют собой, по существу, произвольные соглашения ив каких-то случаях оказываются явно несостоятель- ными. Например, вечный двигатель, по определению, есть двигатель, который работает без затраты энергии. Но, согласно первой концепции, суждение Все вечные двигатели работают без затраты энергии — ложно, хотя согласно второй, — оно истинно Скорее всего такие суждения (с пустыми субъектами) следует считать неосмысленными, лишенными реального содержания, а в практике научного познания едва ли кто-нибудь будет высказывать такие суждения. Может, правда, оказаться, что мы не знаем, является ли некоторое понятие (и соответствующее общее имя) пустым или непустым. В физике, например, встречается такое понятие как «анти- атом (атом, устроенный наоборот по сравнению с обычным — с отрицательно заряженным ядром и вращающимися вокруг него положительно заряженными частицами, позитронами, вместо электронов. Ноне зная, есть ли такие частицы, ни один ученый не скажет, например, что всякий антиатом при ионизации — при потере внешних позитронов — становится отрицательно заряженной частицей. Для выражения той мысли, которая фактически здесь имеется ввиду, есть адекватная форма выражения, а именно форма выражения категорического суждения с импликативным предикатом Для всякой частицы верно, что если она является антиато- мом, то при ионизации она становится отрицательно заряженной». Надо, конечно, заметить, что в науке для определенных целей, например, для обеспечения определенных обобщений, исключения мнимых оговорок употребляются суждения по-видимому и с пустыми субъектами. Так, в проективной геометрии вводятся понятия «бесконечно удаленной точки, бесконечно удаленной прямой» и т. п. Многие имена, не обеспечивающие никаких реальных предметов, играют определенную инструментальную роль в науке. Таковы системы координат, небесные и земные полюса, оси вращения и т.д. (см. § 12). Осмысленность суждений, относящихся кво- ображаемым объектом указанных типов, обусловлена тем, что они вводятся в определенной системе знаний и исходя из этой системы определяются условиями их истинности или ложности. А, соответственно, истинность или ложность во многих таких случаях не представляет собой соответствие или несоответствие действительности. Это — так называемые истины по соглашению. Носами соглашения, конечно, так или иначе научно обоснованы. Строго говоря, термины указанных типов, включенные в определенные системы знания, неправомерно уже считать пустыми, поскольку имеются определенные условия истинности или ложности утверждений, включающих такие термины. • У пр аж не ни я. Для каждого из следующих простых суждений укажите сложное, эквивалентное ему: а) всякое число, оканчивающееся на 0, делится на 6 и наб) некоторые числа, которые делятся на 2 или на делятся на в) некоторые люди, не выполняющие своих обещаний, являются безвольными или непорядочными. Укажите, как можно преобразовать следующие категорические суждения путем расширения их субъектов: а) ни одно сражение, которое дал Суворов, не было проиграно; б) многие реки текут с юга на север; в) все имена прилагательные изменяются по падежам; г) имелись подозреваемые, не проходившие по дактилоскопическим учетам. |