Логика - Учебник - Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. (PDF). Учебник для студентов высших учебных заведений
 Скачать 3.83 Mb.
|
|
ЛОГИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ КАТЕГОРИЧЕСКИМИ СУЖДЕНИЯМИ Обычно особо выделяют логические отношения между категорическими суждениями, ибо в традиционной логике при анализе отношений между суждениями имели ввиду в основном категорические суждения, то есть суждения следующих видов: Все 5 суть Р (тип А). Ни одно S не суть Р (тип Е). Некоторые 5 суть Р (тип Некоторые S не суть Р (тип О, как говорят, с одинаковой материей, то есть с одними и теми же субъектами и предикатами. Эти отношения изображают посредством так называемого логического квадрата По верхней горизонтали суждения типа Аи Е контрарно противоположны, то есть несовместимы по истинности они не могут быть одновременно истинными (но могут быть одновременно ложными сравни Все люди курят и Ни один человек не курит»). По нижней горизонтали суждения типа / и О находятся в отношении перекрещивания (обычное название — «суб- контрарность»). Они несовместимы по ложности, то есть не могут быть одновременно ложными (но могут быть одновременно истинными). По обеим вертикалям — отношение логического нения: суждение типа А подчиняет /, а / подчинено А аналогично для суждений типа Е и О соответственно. Для этого отношения характерно два свойства 1) если истинно общее суждение, то истинно и подчиненное ему частное 2) если ложно частное суждение, то ложно и соответствующее ему общее. Отношение между суждениями, находящимися в концах диагоналей, — между Аи О, Е и I — отношение контрадикторной противоположности (противоречия. Читатель без труда может охарактеризовать это отношение как такое, в котором эти суждения не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными. • У пр аж не ни я Используя правила «пронесения отрицания, укажите суждения, эквивалентные следующим: а) не все существительные изменяются по падежам; б) неверно, что ни один студент нашей группы не имеет высшего образования; в) неверно, что некоторые люди прочитали все художественные произведения гнет дыма без огня; д) неверно, что все юристы и только они способны правильно составить текст договора; е) неверно, что все люди, кроме лгунов, являются честными. Используя правила пронесения отрицания, сформулируйте суждения, находящиеся в отношении противоречия к следующим: а) все существительные изменяются по падежам; б) встречаются люди, не прочитавшие за всю свою жизнь ни одной книги по логике; в) если не совершишь преступления, тоне будешь и наказан г) если предприятие нерентабельно, тона нем плохо организована работа или устарело оборудование; д) если слово является именем существительным, то оно изменяется по падежами по числам; е) либо каждый любит кого-нибудь и ни один не любит всех, либо некто любит всех и кто-то не любит никого; ж) ни один человек, кроме спортсмена, не может пробежать марафонскую дистанцию. Установите, являются ли эквивалентными следующие высказывания: а) сын работает на заводе, а дочь учится в школе. Неверно, что сын не работает на заводе или дочь не учится в школе; б) если слово ставится вначале предложения, то оно пишется с большой буквы. Неверно, что слово ставится вначале предложения и при этом не пишется с большой буквы; в) если на улице не идет дождь, тона улице не сыро. Если на улице не сыро, тоне идет дождь; г) если Н. является следователем, то он является юристом. Если Н. не является следователем, то он не юрист. д) если человек лжет, то он не является честным. Если человек является честным, то он не лжет Глава IX ВЫВОДЫ (УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ) Общая характеристика Вывод (умозаключение — это способ получения нового знания на основе некоторого имеющегося Он представляет собой переход от некоторых высказываний, (п > фиксирующих наличие некоторых ситуаций в действительности, к новому высказыванию В и соответственно к знанию о наличии ситуации, которую описывает это высказывание. Например, в механике известно, что у всякого тела, плотность которого одинакова во всех его частях, геометрический центр и центр тяжести совпадают. Известно также (в результате астрономических наблюдений, что у Земли эти центры не совпадают. Отсюда естественно заключить, что плотность Земли не является одинаковой во всех ее частях. Едва ли нужно специально говорить о значении этой операции в познавательной и практической деятельности. Посредством умозаключений мы получаем приращение знаний, не обращаясь к исследованию предметов и явлений самой действительности, имеем возможность открывать такие связи и отношения действительности, которые невозможно усмотреть непосредственно То, что в современной логике называют процедурой вывода, в традиционной логике обозначали термином умозаключение. Последнее менее точно, поскольку подразумевает фактически психологическую трактовку процедур. Нов ряде случаев мы сохраняем это обозначение, так как для многих — начавших изучение логики с традиционной — является более привычным Переход от некоторых высказывание (посылок умозаключения) к высказыванию В в умозаключении может совершаться на основе интуитивного усмотрения какой-то связи между (ли В — такие умозаключения называют содержательными или путем логического выведения одного высказывания из других это умозаключения формально- логического характера. В первом случае оно представляет собой, по существу, психический акт. Во втором случае его можно рассматривать как определенную логическую операцию. Последняя и является предметом изучения логики. Содержание умозаключения может быть более или менее развернутым. Так, из того, что над землей низко летают ласточки, люди заключают часто, что завтра будет плохая погода. Это умозаключение можно развернуть, выясняя, в чем именно состоит связь между ситуацией, которая фиксируется в посылке, и той, на которую указывает заключение. А именно, если объяснить, почему одно из наблюдаемых явлений (низкий полет ласточек) указывает на существование другого (будет плохая погода. В результате анализа получаем последовательность переходов от одних явлений к другим ласточки летают низко потому, что мошкара, за которой они охотятся, летает низко над землей. А это происходит в свою очередь потому, что в воздухе имеется повышенная влажность, от которой насекомые намокают и опускаются к земле. Наличие же повышенной влажности предвещает дождь, а, следовательно, и ненастье. Как видим, при развертывании исходного умозаключения появляются новые посылки. Кстати, полезно обратить внимание, что в данном случае движение мысли идет в основном от следствий явлений к их причинам. Это полезно заметить потому, что в учебниках по логике нередко можно найти утверждение, что в наших содержательных рассуждениях движение мысли происходит от причин к их следствиям. Как видим, это не всегда так. Таким образом, отношение между посылками и заключением отличается от отношения причина — следствие (см. § В содержательных умозаключениях мы оперируем, по существу, нес самими высказываниями, а прослеживаем связь между ситуациями действительности, которые эти высказывания представляют. Это и отличает содержательные умозаключения от умозаключений как операций логического характера, называемых иногда формализованными умозаключениями. В этих умозаключениях операции совершаются именно над высказываниями самими по себе, причем по правилам, которые вообще не зависят от конкретного содержания высказываний, то есть от значения дескриптивных терминов. Для их применения необходимо учитывать лишь логические формы высказываний (см. Исчисление высказываний и Исчисление предикатов — §§ 10, 11). Благодаря этому для умозаключений подобного типа мы имеем также четкие критерии их правильности или неправильности. Тогда как для содержательных умозаключений нет никаких определенных критериев этого рода и всегда возможен спор — рассуждает ли человек правильно или нет. Именно формализованные умозаключения являются предметом изучения логики. И именно их мы имеем ввиду в дальнейшем. Переход от содержательного умозаключения к формаль- нологическому, то есть формализация чений, осуществляется посредством выявления — и явной фиксации ее в виде высказываний — всей информации, которая явно или неявно используется в содержательном рассуждении. Так, в примере с ласточками неявно используемая информация может быть выражена в общих суждениях: «Всегда, когда мошкара опускается к земле, опускаются и ласточки, охотящиеся за ней, Всегда, когда намокает волосяной покров насекомого, то оно опускается к земле и т. п. При решении того или иного уравнения, процесс которого представляет собой содержательное рассуждение, также подразумеваются какие-либо посылки — общие утверждения специально-математического, а не логического характера, например Если к обеим частям уравнения прибавить (или вычесть) одно и тоже число, то равенство сохраняется. Равенство сохраняется также приумножении обеих частей на одно и тоже число и при делении их на одно и тоже число, отличное от нуля». Структура и основные виды умозаключений. Умозаключение и отношение логического следования В умозаключении, как мы уже говорили, различают посылки высказывания, представляющие исходное знание, и заключение высказывание, к которому мы приходим в результате умозаключения. ззо В естественном языке существуют слова и словосочетания, указывающие как на заключение (значит, следовательно, отсюда видно, поэтому, из этого можно сделать выводит. п, таки на посылки умозаключения (так как, поскольку, ибо, принимая во внимание, что...», «ведь» и т. п. Представляя суждение в некоторой стандартной форме, в логике принято указывать вначале посылки, а потом заключение, хотя в естественном языке их порядок может быть произвольным вначале заключение — потом посылки заключение может находиться между посылками». В приведенном вначале главы примере посылками служат два первых высказывания, а заключением — третье высказывание (плотность Земли неодинакова во всех ее частях»). Понятие умозаключения как логической операции тесно связано с понятием логического следования (см. §§ Учитывая эту связь, мы различаем правильные и неправильные умозаключения Умозаключение, представляющее собой переход от посылок к заключению В является правильным если между посылками и включением имеется отношение логического следования, то есть В является логическим следствием (л > 1). В противном случае — если между посылками и заключением нет такого отношения — умозаключение неправильно Естественно, что логику интересуют лишь правильные умозаключения. Что же касается неправильных, то они привлекают внимание логики лишь сточки зрения выявления возможных ошибок. В делении умозаключений на правильные и неправильные мы должны различать отношение логического следования двух видов — дедуктивное (рассмотренное выше — §§10, 11) и индуктивное (см. часть II этой главы). Первое гарантирует истинность заключения при истинности посылок. Второе — при истинности посылок — обеспечивает лишь некоторую степень правдоподобия заключения (некоторую вероятность его истинности. Соответственно этому умозаключения делятся на дедуктивные и индуктивные. Первые иначе еще называют демонстративными (достоверными, а вторые — правдоподобными (проблематичными. Заметим, что в приводившемся примере с ласточками переход от наличия высокой влажности к выпадению осадков является лишь вероятностным умозаключе- нием. Выше (§§ 10, 11) мы рассмотрели связь отношения дедуктивного логического следования с понятием логического закона, а также и логического вывода. Напомним, наличие логического вывода А, ..., В указывает на то, что логическим законом является высказывание вида Л, & Таким образом оказывается, что основу правильных дедуктивных умозаключений составляют определенного вида законы логики. Логический вывод можно охарактеризовать как некоторую последовательность умозаключений, хотя — поскольку речь идет о выводах в формализованных языках — его определяют просто как последовательность высказываний, избегая возможности привнесения психологических моментов в предмет логического анализа. В естественных языках мы имеем также некоторые подобия выводов, представляющих собой именно последовательности умозаключений. Обычно эти выводы не являются формализованными. Это проявляется в том, что в них могут опускаться и лишь подразумеваться некоторые посылки и логические переходы от одного к другому. Подобные выводы мы имели, например, в доказательствах теорем геометрии, при решении уравнений и т. д. Вообще, применяя термин умозаключение, мы имеем ввиду выводы именно в естественных языках. При этом выделяем именно такие умозаключения, которые являются так или иначе логически обоснованными Часть ДЕДУКТИВНЫЕ ВЫВОДЫ Следуя сложившейся в логике традиции, мы выделяем в качестве видов умозаключений лишь некоторые основные правильные формы таковых, наиболее часто встречающиеся в повседневной практике мышления. Один из этих видов так называемые выводы из сложных высказываний — по существу представляют собой правила вывода, рассмотренные уже в логике высказываний (см. § 10). Другие — выводы из категорических высказываний — в логике предикатов (и представляют собой, как мы уже отмечали, специфические формы выводов в естественных языках. Те и другие формы по упоминавшейся традиции называют силлогизмами (от греческого названия дедуктивных умозаключений 35. Выводы из сложных высказываний (выводы на основе свойств логических связок) К подобным высказываниям относятся следующие простые формы (схемы) умозаключений Простое умозаключение — это умозаключение, неразложимое на ка- кие-то другие умозаключения Условно- категорический силлогизм включающий два правильных модуса (разновидности утверждающий модус ус- ловно-категорического силлогизма отрицающий модус услов- но-категорического силлогизма Одна из посылок, как мы видим, здесь — условное высказывание. Согласно традиционной терминологии, высказывание А в его составе есть основание данного условного высказывания В — его следствие (по современной терминологии это соответственно антецедент и консеквент условного высказывания. В соответствии с этим само умозаключение в первом случае характеризуют как движение мысли от утверждения основания условного высказывания (посылка А) к утверждению его следствия (заключение В Второй модус согласно той же терминологии представляет собой движение мысли от отрицания следствия условного высказывания (посылка не-В) к отрицанию его основания (заключение не-А). Аи В здесь в свою очередь какие-то высказывания, ноне обязательно категорические, как предполагалось в традиционном учении (откуда и произошло название данных модусов). Эти высказывания могут быть любыми, в том числе и сложными. • П р им еры bЯслиi по (некоторому данному) проводнику проходит ток (А), то проводник нагревается (В). По проводнику проходит ток (А) Проводник нагревается (В) Если по (некоторому данному) проводнику проходит ток (А), то проводник нагревается (В) Данный проводник не нагревается (не-В) По проводнику ток не проходит (не-А) 334 Рассмотрим умозаключение: «Если сумма цифр числа 346 не делится на 3, то оно не делится на 3. Сумма цифр числа 346 не делится на 3. Следовательно, число 346 не делится на 3». Это умозаключение также представляет собой утверждающий модус, несмотря на отрицательный характер второй посылки, ведь она является утверждением основания условного высказывания, которое, как можно увидеть, носит отрицательный характер. Проанализируем еще одно умозаключение Если число является простым, то оно не делится на 3. Число делится на 3. Следовательно, число 3576 не является простым оно тоже представляет собой отрицающий модус, несмотря на утвердительный характер второй посылки, поскольку она эквивалентна отрицанию следствия условного высказывания Число 3576 не делится на 3». Строго говоря, мы принимаем здесь еще и правило двойного отрицания, то есть осуществляем переход от неверно, что не-В» кВ В более формализованном виде — по сравнению сданным вначале схемы этих умозаключений соответственно таковы: Очевидно, что возможно бесконечное множество вариаций (конкретизаций) исходных схем. • У пр аж не ни е Установите, к каким из указанных модусов (утверждающему или отрицающему) относятся умозаключения следующих видов, приведите примеры умозаключений таких видов: Используя введенную ранее символику (см. Язык логики высказываний — § 10) и рассматривая Если, то как ма- Вспомните закон де Моргана неверно (Аи В эквивалентно неверно А или неверно В (А & В A v 335 териальную импликацию (« »), исходные схемы утверждающего и отрицающего модуса условно-категорического силлогизма можем представить в виде: Очевидно, что им соответствует отношение логического следования А Я, В и логические законы В & Аи (А В) & -. А. Убедитесь в этом, используя данный ранее табличный метод (см. Имея ввиду выработку навыков правильных умозаключений, полезно обратить внимание и на неправильные формы условно-категорического силлогизма, тем более, что в практике рассуждений нередко встречаются ошибки, связанные сними. Таковыми являются заключения от отрицания основания условного высказывания к отрицанию следствия, а также от утверждения следствия к утверждению основания условного высказывания. То есть, неправильны, не гарантируют истинность заключения при истинности посылок такие формы умозаключений: Неправильно, например, рассуждать так Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6. Число 456 делится на 6. Следовательно, оно делится на 2 и на 3». Рассуждение здесь, очевидно, идет от утверждения следствия к утверждению основания, то есть неправильно по форме, хотя заключение здесь (в данном конкретном случае, как нетрудно убедиться, является истинным. Но дело в том, что эта истин Возможность такой проверки дает современная символическая логика в традиционной логике не было способа доказательства правильности описываемых умозаключений ность заключения не гарантирована истинностью посылок. Умозаключение кажется здесь правильным, потому что известна истинность условного высказывания, обратного данному Если число делится наб, то оно делится на 2 и на Взяв эту посылку вместо данной в нашем примере, мы получим, конечно, правильное умозаключение. Условно-категорические выводы описанного вида надо отличать что не всегда делается — от выводов, в которых вместо условной посылки имеется общее суждение субъективно-предикат- ного типа с условным предикатом (см. § 32). Среди них могут быть выделены две формы, аналогичные двум основным формам услов- но-категорического силлогизма: Утверждающий модус Для всякого предмета С верно, что если он обладает свойством А то он обладает свойством В. Предмет а из класса С обладает свойством А Предмет а из класса С обладает свойством В Отрицающий модус Для всякого предмета С верно, что если он не обладает свойством Л, то он не обладает свойством В. Предмет а из класса Сне обладает свойством В Предмет а из класса Сне обладает свойством А • Пример Для всякого проводника верно, что если по нему проходит ток, то он нагревается По проводнику а проходит ток Проводник а нагревается Умозаключения этого типа легко сводятся к рассмотренным если учесть, что из общих суждений, которые являются их посылками, выводимы условные высказывания. Например, из того, что для всякого проводника верно, что если по нему проходит ток, то он нагревается, выводимо: если по проводнику а проходит ток, то он нагревается. В этом выводе применяется правило, подобное правилу исключения квантора общности в исчислении предикатов (см. § 11). Будем говорить, что это есть правило перехода от общего к единичному случаю этого общего УСЛОВНО-РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЙ (ЛЕММАТИЧЕСКИЙ) СИЛЛОГИЗМ Умозаключения этого вида есть выводы из трех и более высказываний, причем две или более посылок — условные высказывания, а одна — дизъюнктивная посылка, которая традиционно называется разделительным суждением. Причем разделительное суждение может быть как со слабой, таки со строгой дизъюнкцией (см. § 30). Мы рассмотрим случай, когда употребляется слабая дизъюнкция, как более общий случай. В ситуации двух условных высказываний эти силлогизмы называются дилеммами. Причем различают два вида дилемм конструктивные и деструктивные. Конструктивная (утверждающая) дилемма имеет вид: Если А, Если С, А или В или С D В D Д ест рук т ив на я (отрицающая) дилемма: Если А, то В Если Стоили или Пример конструктивной дилеммы. Студент, не готовившийся заранее к экзамену, накануне экзамена оказывается перед дилеммой: Если я лягу нормально спать, тоне подготовлюсь к экзамену. Если же я буду заниматься ночью, то приду на экзамен с головной болью. Но мне остается только или ложиться спать или заниматься ночью. Следовательно, я приду на экзамен неподготовленным или с головной болью Пример деструктивной дилеммы: Если Иванов работает, то он получат зарплату. Если же Иванов учится, то получает стипендию. Но Ивановне получает зарплату или не получает стипендию. Следовательно, он не учится или не работает. 1 Однако имеется и третья форма лемматических умозаключений, существование которой обычно не отмечается в учебниках. Это смешанный условно- разделительный силлогизм конструктивно-деструктив- ный силлогизм или все равно, что деструктивно-конструк- тивный. Некоторые из членов разделительной посылки в этих умозаключениях указывают на наличие оснований ка- ких-нибудь из условных суждений, а иные — представляют собой отрицание следствий (консеквентов) условных сужде- ний. Так, например, конструктивно-деструктивной является дилемма вида: Возникает вопрос возможно ли правильное умозаключение, если, по крайней мере, один член разделительной (дизъюнктивной) посылки отрицает основание или утверждает Вероятно, читатель почувствовал, что пример здесь довольно надуманный. И это неслучайно, ибо если выводы такого рода и встречаются в практике, то, по-видимому, очень редко. Чаще встречаются формы, когда вместо дизъюнктивной посылки дается конъюнкция, члены которой являются отрицаниями следствий данных условных суждений и заключение в этом случае представляет собой конъюнкцию отрицаний их оснований (антецеден- тов. Именно эту форму часто принимают за деструктивную дилемму. В нашем случае посылка могла бы быть Ивановне получает зарплату и не получает стипендию. А заключением было бы тогда суждение Ивановне работает и не учится (хотя допустимо, вообще говоря, и более слабое высказывание Ивановне работает или Ивановне учится, ибо р & g р v g. 339 следствие условных посылок Ответ на этот вопрос становится очевидным, если учесть возможность сведения лемма- тических выводов к условно-категорическим. Здесь имеется ввиду особый способ рассуждения, так называемое рассуждение по случаям. Он состоит в том, что при наличии разделительного суждения для осуществления выводов из него в сочетании с какими-то другими суждениями поочередно рассматривается каждый из случаев, на которые указывает разделительное высказывание. В нашем случае, когда с разделительной посылкой мы имеем условные, вывод каждый раз осуществляется потому или иному правильному модусу условно-категорического силлогизма. Так, имея, например, условные суждения. Если А, то В Если Сто Если М то Фи разделительное А или не или М рассуждаем по случаям положим, истинно А, тогда modus из этого утверждения и первого условного получаем далее, полагая истинность не, выходим modus — и, наконец, в предположении, что имеет место М заключаем Ф. Поскольку рассматриваемую возможности составляют дизъюнкцию, то таким же образом объединяем и следствия, то есть имеем заключение или или Ф». Среди дилемм различают еще простые и сложные. Приведенные выше были сложными. Дилемма является сложной, когда как основания, таки следствия условных суждений различны. В простой дилемме, если она конструктивная, основания различны, а следствие в условных суждениях одно и то же. В деструктивной же дилемме основание одно и тоже, а следствия различны. Если Если А, В, А или С В С С Если А, то С Если А, то В не-С или не-А 340 Так, приведенное выше рассуждение относительно нерадивого студента можно преобразовать в простую конструктивную дилемму: Если я лягу спать, тоне сдам экзамен. Если буду заниматься ночью, то также не сдам экзамен (ибо приду с больной головой). Но я или буду заниматься ночью или лягу спать. Следовательно, я не сдам экзамен. Условно-разделительные силлогизмы называют лемма- т и чески ми умозаключениями, имея ввиду возможность обобщения дилемм за счет увеличения числа условных высказываний и соответственно — членов разделительного суждения. Так, умозаключение вида: называется сложной конструктивной три леммой Читателю должно быть ясно, как можно продолжить обобщения. Однако случаи, когда число условных суждений (высказываний) более трех являются весьма уникальными. Чисто-условный силлогизм Это выводы из любого количества посылок, представляющих собой условные высказывания. Наиболее типичны выводы из двух условных выска- зываний: Выводы этого вида характеризуют как выводы на основании транзитивности импликации. Ясно, конечно, что можно иметь сколь угодно длинную цепь транзитивности • Пример Если студент занимается не систематически, то он не имеет прочных знаний. Если же он не имеет прочных знаний, то он не будет хорошим специалистом. Если студент занимается не систематически, то он не будет хорошим специалистом. К числу чисто-условных силлогизмов относится также и умозаключение вида: которое называют просто правилом контрапозиции. • Пример Если человек знает геометрию, то он знает теорему Пифагора. Если он не знает теорему Пифагора, то он не знает геометрию. Разделительно-категорический силлогизм Это умозаключение из двух или более посылок, в которых, по крайней мере, одна — разделительное суждение. Основными формами являются А А не-А В либо А В В — модус tollendo ponens (отрицаю- ще-утверждающий). Дизъюнкция здесь может быть как слабой, таки сильной модус ponendo tollens (утвержда- юще-отрицающий), где либо — сильная Понятно, что дизъюнкция (разделительная) посылка может содержать и более двух членов. Однако формы выводов с такими посылками можно сводить к указанным, если учесть, что дизъюнкция ассоциативна и коммутативна (см то есть в дизъюнктивном высказывании с более чем двумя членами возможна любая расстановка скобок, асами члены дизъюнкции можно переставлять в любом порядке, получая при этом высказывания, равносильные исходному. Например, умозаключение вида: сводится к виду то есть к виду: А или В не-А В А или Вили iВiiАi или С или (А или не-В А или С модус С tollenc Вообще, все формы выводов этого вида могут быть сведены к двум общим правилам 1. Если из всех возможностей, на которые указывает разделительное высказывание, какие-то не имеют места, то имеют место все остальные — обобщение модуса tollendo ponens. 2. Если из исключающих друг друга возможностей, на которые указывает разделительное суждение со строгой дизъюнкцией, какая-то имеет место, тоне имеют места остальные tollens. • Пример Суждение Риск — благородное дело (которое, очевидно, является простым) является единичным, или общим, или частным. Но оно не является единичным. Следовательно, это суждение общее или частное. Вместо употребленной здесь посылки со слабой дизъюнкцией можно было бы, очевидно, взять и со строгой, сильной дизъюнкцией, поскольку в действительности члены данной посылки исключают друг друга. Тогда правильным был бы следующий вывод: Суждение Риск — благородное дело является либо единичным, либо частным, либо общим. Это суждение — частное (если иметь в виду его истинность). Следовательно, данное суждение не является единичными не является общим. Ко всему сказанному надо добавить, во-первых, что перечисленные формы умозаключений — это, по существу, правила довольно простых умозаключений. Однако умозаключения, как мы уже говорили, могут быть и сложными, представляющими собой последовательности нескольких простых умозаключений, каждое из которых осуществляется по одному правилу. Обратимся, например, к примеру чисто условного силлогизма о студенте, который не занимается систематически. Проницательный читатель мог заметить, что заключение о нем может быть ложным, если имеется ввиду, к примеру, студент с выдающимися способностями (который может иметь прочные знания, даже не занимаясь систематически. В чем же, спрашивается, состоит причина того, что в правильном умозаключении заключение оказывается ложным Для выяснения ее можем построить следующий вывод: Известно, как мы уже подчеркивали, что если дедуктивное умозаключение правильно и посылки его истинны, то заключение его тоже истинно. В рассмотренном умозаключении заключение неистинно, значит неверно, что оно правильно и посылки его истинны (по модусу tollens условно-ка- тегорического силлогизма если Аи В то С Следовательно, не-(Л и В. Но это означает, что это умозаключение неправильно или какая-то из его посылок неистинна (по правилу отрицания конъюнкции. Однако умозаключение правильно. Следовательно, какая-то из посылок этого умозаключения неистинна 1 (модус tollendo ponens разделительно-кате- горического силлогизма не-А или А следовательно Заметим, что ради упрощения мы пропустили здесь еще одно звено, а именно от высказывания умозаключение правильно к значит, неверно, что оно неправильно (снятие двойного отрицания). Из этого примера видно уже, что перечисленных в данном параграфе правил недостаточно для того, чтобы в любом случае осуществить вывод из некоторого множества посылок высказывания В при наличии логического следования В Полную систему правил, позволяющую построить вывод, соответствующий любому отношению логического следования в языке логики высказываний (ЯЛВ), указывают рассмотренные выше натуральные системы исчисления высказываний (см. § 10). А логика высказываний вообще, как и логика предикатов, дает нам также критерии и способы проверки правильности умозаключений из сложных высказываний. Поскольку задача наша здесь состояла в том, чтобы выделить наиболее типичные, практически важные формы умозаключений, следует добавить к перечисленным две формы выводов — правила так называемых косвенных рассужде- Очевидно, таковой является первая — Если студент занимается не систематически, то он не имеет прочных знаний ний, — которые небыли замечены как специальные правила вывода в традиционной логике и получили точные формулировки в рамках символической логики (как правила выводов в логике высказываний — см. § 10). Этими формами нередко пользуются в процессах аргументации (см. § 47), в частности, как средствами доказательств и опровержений. Неслучайно сами их названия связаны именно с процессами этого рода. Одна из них — доказательство от противного, другая — опровержение путем сведения, каб сур д у » . Сразу следует заметить, что эти формы вывода, вероятно, известны читателю из школьных курсов математики и геометрии. Однако обычно при употреблении этих способов рассуждения не выявляют структуру этих выводов, в силу чего они не рассматриваются как особые правила рассуждения. Это сделано лишь в рамках логики высказываний. Рассуждение по первой из этих форм — от противного имеет рассмотренную ниже структуру. Дано некоторое множество посылок — высказываний Г и подлежащее доказательству некоторое высказывание Л. Рассуждая от противного, предполагаем, что Л неверно (не-Л). Задача теперь состоит в том, чтобы прийти к противоречию, а именно попытаться из множества высказываний Г и не-Л вывести некоторое высказывание и из тех же самых посылок Г и не-Л — также Наличие двух таких выводов позволяет заключить, что если все высказывания, содержащиеся в Г, истинны, то истинно и Л (что и требовалось доказать, — как обычно говорят использующие этот метод. В логике высказываний это правило умозаключения представляется в виде: В качестве примера такого рассуждения можно взять известное доказательство теоремы в эвклидовой геометрии: «Из точки на плоскости можно опустить лишь один перпендикулярна прямую, лежащую на этой же плоскости (это наше Л. Рассуждая от противного, предположим, что данное утверждение неверно, то есть не-Л Теперь из Г, представляющего в данном случае множество аксиом эвкли- 346 довой геометрии, и не-А выводят, что существует треугольник с суммой внутренних углов больше (наше то есть осуществляют вывод ГАВ С другой стороны, известно, что из одних только аксиом геометрии выводима теорема о равенстве внутренних углов треугольника именно (наше В то есть имеет место вывод Г В На основании полученного противоречия (В и В заключают об истинности А. Однако при этом не учитывается, что второй член противоречия — высказывание В — выводимо не только из Г, но и из Г и не-Л (Г В согласно логическому принципу если что-то выводимо из некоторого множества высказываний, то оно выводимо и из любого расширения этого множества. Применение этого принципа в данном случае дает выводимость Г A В фигурирующую в составе правила. Имея обе нужные выводимости Г В и Г, В заключаем, что А выводимо из Г (Г Л). Правило рассуждения путем сведения к абсурду имеет вид: Выводимость, стоящая под чертой, дает право считать ложным суждение А при истинности всех высказываний Г. Таким образом, два известных способа рассуждения структурируются здесь в два точно формулируемые правила рассуждения одно из них дает возможность доказательства А, другое — опровержения А, то есть доказательства не-А. Строгое проведение рассуждений этих видов предполагает, что точным образом выделяется множество истинных высказываний (посылок) Г, что в практике рассуждений этого типа отнюдь не всегда делается. Без этого доказательство или опровержение не является строгими не гарантирует истинность заключительного высказывания А или не-А, поскольку какие-то невыявленные явно посылки могут оказаться ложными. • У пр аж не ни я. Используя описанные в данном параграфе формы выводов, решите вопрос, являются ли правильными следующие умозаключения если — да, то покажите, как оправдать их; если — нет, объясните, почему а) Если число рационально, то оно вещественно. Если число натурально, то оно рационально. Значит, если число является натуральным, то оно вещественно. б) Если прямая касается окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к ней. Таким образом, радиус окружности не перпендикулярен к этой прямой, поскольку она не касается окружности. в) Потерпевшим признается лицо, которому преступлением нанесен моральный, физический или имущественный вред. Ни моральный, ни физический вред потерпевшему не нанесен. Следовательно, ему нанесен имущественный вред. г) Если человек является последовательным материалистом, то он признает познаваемость мира. Если человек признает познаваемость мира, то он не является агностиком. Следовательно, если человек не является последовательным материалистом, то он — агностик. д) Если человек говорит неправду, то он заблуждается или сознательно вводит в заблуждение других. Этот человек говорит неправду, но явно не заблуждается (в этом вопросе). Следовательно, он сознательно вводит в заблуждение других. е) Если в мире есть справедливость, то злые люди немо- гут быть счастливы. Если мир есть создание злого гения, то злые люди могут быть счастливы. Значит, если в мире есть справедливость, то мир не может быть созданием злого ге- ния. ж) Если бон был умен, то он увидел бы свою ошибку. А если бон был искренен, то признался бы в ней. Однако прошлое его поведение показывает, что он или неумен, или неискренен, а может быть и то, и другое. Таким образом, следует ожидать, что он или не увидит ошибку, или не признается в ней. з) Практика показывает, что если отпечатки пальцев, обнаруженные на месте преступления, не состоят на дактилоскопическом учете, то это существенно затрудняет оперативное расследование преступлений, совершенных особо опасными рецидивистами. В таком случае требуется дополнительное привлечение сотрудников оперативно-розыскного аппарата. Однако в данном случае, думаю, что этого не потребуется, ведь полученные отпечатки пальцев имеются в нашей дактилоскопической картотеке. Сделайте вывод по правилу контрапозиции из суждений а) Если слово ставится вначале предложения, то его положено писать с большой буквы. б) Если слово изменяется по падежами по числам, то оно является существительным. в) Дело подлежит передаче в вышестоящий суд, если на приговор подана жалоба или принесен протест. г) Число 253 не оканчивается на 0 или назначит оно не делится на 5. |