Менеджмент 3-е издание - Глухов В.В.. Учебник для вузов. 3е изд. Спб. Питер, 2008. 608 с. ил. Серия Учебник для вузов
 Скачать 3.25 Mb.
|
|
Рис. 8.13. Схема поэтапного распределения ресурсов Глава 8. Методы решения управленческих задач 174 174 174 174 174 первого и второго периодов при условии, что начальные для каждого периода ре сурсы распределялись наилучшим образом. Иначе 2 1 0 ( ) max{ ( ) ( ) [ ( )]}. y x F x g y h x y F a y b x y ≤ ≤ = + − + ⋅ + − (2) Это уравнение устанавливает связь между функциями F 1 (x) и F 2 (x). Рассматривая n шаговый процесс, приходим к основному функциональному уравне нию Беллмана 1 0 ( ) max{ ( ) ( ) [ ( )]}, n n y x F x g y h x y F a y b x y − ≤ ≤ = + − + ⋅ + − (3) устанавливающему связь между F n (x) и F n – 1 (x). Определив F 1 (x), пользуясь рекуррентным уравнением, можно вычислить F 2 (x), затем F 3 (x) и т. д. Значение F n (x) является доходом, полученным за n шагов. Пример. Распределяем ресурсы. Как руководителю предприятия вам выделено 10 млн руб. для увеличения вы пуска продукции. Четыре ваших заместителя (по производству, технологии, капи тальному строительству, снабжению) предлагают набор мероприятий, ориентиро ванных на различный прирост выпуска продукции и требующих соответствующих капитальных затрат. Каждый из ваших заместителей готов взяться за реализацию любого, но лишь одного мероприятия из своего набора. Вам необходимо решить проблему распределения выделенных средств, обеспечив максимальный прирост выпуска продукции на предприятии. Обобщенную совокупность результатов пред ложенных мероприятий можно представить в виде табл. 8.14. Вы можете выделить 10 млн руб. третьему заместителю и ориентироваться на прирост выпуска продукции в 830 тыс. т/год. Можно выделить 5 млн руб. перво му заместителю и 5 млн руб. — третьему, что обеспечит прирост выпуска продук ции в количестве 410 + 472 = 882 тыс. т/год. Второй вариант оказывается явно выгоднее первого. Если вы попытаетесь перебрать все возможные варианты рас пределения 10 млн руб. между заместителями или угадать лучший вариант, то такие действия практически обречены на неудачу. Необходимо применение ма Таблица 8.14 Результаты мероприятий, направленных на прирост выпуска продукции Прирост выпуска продукции Потребные затраты, млн руб. первый заместитель второй заместитель третий заместитель четвертый заместитель 1 93 108 104 105 2 182 198 203 210 3 262 282 293 240 4 341 358 387 260 5 410 411 472 – 6 479 475 557 – 7 – – 629 – 8 – – 703 – 9 – – 766 – 10 – – 830 – 175 175 175 175 175 8.13. Динамическое программирование тематического метода решения задачи, и такой метод существует. Его идея за ключается в поэтапном наращивании числа рассматриваемых сфер использова ния распределяемого ресурса. Этапами решения вашей задачи могут стать: 1. Рассмотрение предложений первого и второго заместителей. 2. Дополнение предложениями третьего заместителя. 3. Дополнение предложениями четвертого заместителя. Рассмотрим варианты, предложенные первым и вторым заместителями, на время забыв про остальные. Однако будем иметь в виду всю совокупность вари антов распределения предоставленных денежных средств. Если на первых двух заместителей выделить 1 млн руб., то появляются два варианта их использования: 1) отдать 1 млн руб. первому заместителю, что обеспечит 93 тыс. т/год; 2) отдать 1 млн руб. второму заместителю, что обеспечит 108 тыс. т/год. Пред почтительным оказывается второй вариант, который следует запомнить. Если рассмотреть аналогичным образом распределение 2 млн руб., то следу ет сравнить три варианта: • 2 млн руб. — первому заместителю (182 тыс. т/год); • 2 млн руб. — второму заместителю (198 тыс. т/год); • разделить по 1 млн руб. между первым и вторым заместителями (201 тыс. т/год). Лучшим в этом случае является третий вариант, который следует запомнить. Таким образом, можно продолжить рассмотрение вариантов использования ресурсов от 3 до 10 млн руб. Итоговые выводы этих иссле дований представим в следующей таблице (табл. 8.15). Таблица 8.15 Обобщенная характеристика мероприятий первого и второго заместителей Выделяемая сумма, млн руб. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Прирост выпуска, тыс. т/год 108 201 291 380 464 544 623 699 768 837 Следует выделить второму заместителю 1 1 2 2 3 3 3 4 4 4 Эту таблицу можно назвать обобщенной характеристикой мероприятий пер вого и второго заместителей (назовем их обобщенным заместителем). Рассмотрим варианты использования средств, предложенные третьим и обоб щенным заместителями. Алгоритм исследований будет таким же, как и на первом этапе, только пара заместителей будет другая. Если на третьего и обобщенного заместителей выделить 1 млн руб., то имеются два варианта их использования: 1) отдать 1 млн руб. обобщенному заместителю (108 тыс. т/год); 2) отдать 1 млн руб. третьему заместителю (104 тыс. т/год). Лучшим оказывается первый вариант, который следует запомнить. Распреде ление 2 млн руб. имеет три варианта: 1) 1 млн руб. третьему заместителю (203 тыс. т/год); 2) 2 млн руб. обобщенному заместителю (201 тыс. т/год); 3) Разделить по 1 млн между третьим и обобщенным заместителями (212 тыс. т/год). Лучшим оказывается третий вариант, который следует запомнить. Глава 8. Методы решения управленческих задач 176 176 176 176 176 Рассмотрев таким образом все варианты от 3 до 10 млн руб., получим итого вую таблицу (табл. 8.16). Таблица 8.16 Обобщенная характеристика мероприятий первого, второго и третьего заместителей Выделяемая сумма, млн руб. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Прирост выпуска, тыс. т/год 108 212 311 407 500 590 679 767 852 937 Средства, выделяемые третьему заместителю 0 1 2 3 3 3 3 4 5 6 Эту таблицу можно назвать обобщенной характеристикой мероприятий пер вого, второго и третьего заместителей. По аналогии с предшествующим этапом вычислений мы снова получили обобщенного заместителя и можем рассмотреть его возможные действия совместно с четвертым заместителем. Не повторяя изло женного на первом и втором этапах процесса рассуждений, приведем итоговый результат распределения ресурсов между четвертым и обобщенным (три замес тителя) заместителями (табл. 8.17). Таблица 8.17 Распределение ресурсов между четвертым и обобщенным заместителем Если бы количество заместителей было больше четырех, то мы продолжили бы расчеты по выработанному алгоритму. В нашем примере все необходимые вычис ления завершены. Остается выбрать ответ из полученных таблиц, содержащих варианты решений сформулированной задачи. Исходя из данных табл. 8.17 в последнем столбце (с объемом выделенной суммы в 10 млн руб.). находим, что четвертому заместителю выделяется 2 млн руб., следовательно, на первых трех остается 8 млн руб. В табл. 8.16 находим столбец с объемом 8 млн руб., из которо го видим, что третьему заместителю выделяется 6 млн руб. На первых двух за местителей остается 4 млн руб. Из первой таблицы видим, что в этом случае вто рому заместителю следует выделить 2 млн руб. и первому заместителю остается 2 млн руб. В результате получен ответ исходной задачи. 8.14. 8.14. 8.14. 8.14. 8.14. Стохастическое программирование Стохастическое программирование Стохастическое программирование Стохастическое программирование Стохастическое программирование Общая постановка задачи линейного программирования имеет вид: 1 1 max(min) ; ( 1... ); ( 1... ), n j j j n ij j i j j j j L c x a x b i m d x D j n = = = ≤ = ≤ ≤ = ∑ ∑ Выделяемая сумма, млн руб. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Прирост выпуска, тыс. т/год 108 213 318 422 521 617 710 800 899 977 Следует выделить четвертому заместителю 0 1 2 2 2 2 2 2 2 2 177 177 177 177 177 8.14. Стохастическое программирование где заданы величины c j , a ij , b i , d j , D j . Часто на практике величины c j , a ij , b j могут быть случайными. Если b i — ресурс, то он зависит от ряда факторов. Аналогично c j — цены — будут зависеть от спроса и предложения, a ij — расходные коэффици енты — от уровня техники и технологии. Задачи, в которых c j , a ij , b i — случайные величины, относят к задачам стоха стического программирования. Случайный характер величин указывают различными способами: а) реализа цией случайных величин; б) законом распределения случайных величин. Стохастическая постановка целевой функции может быть двух видов: М по становка и Р постановка. При М постановке случайная величина заменяется ее математическим ожиданием: max(min) , j j j L c x = ∑ где j c — математическое ожидание случайной величины c j При Р постановке целевая функция будет иметь вид: • при максимизации целевой функции (ЦФ) max j j j L P c x r ⎡ ⎤ = ≥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ обозначает максимизацию вероятности того, что случайная величина j j j c x ∑ будет не меньше некоторого значения r; • приминимизации целевой функции (ЦФ) min j j j L P c x r ⎡ ⎤ = ≤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ обозначает максимизацию вероятности того, что случайная величина j j j c x ∑ будет не больше некоторого значения r. Математическое описание ограничивающих условий опирается на оценки ве роятности их выполнения: 1 ; ; n i ij j i i j P a x b α α = ⎡ ⎤ ≥ ⎧ ≤ = ⎢ ⎥ ⎨≤ ⎢ ⎥ ⎩ ⎣ ⎦ ∑ 1 ; , n i ij j i i j P a x b α α = ⎡ ⎤ ≥ ⎧ ≥ = ⎢ ⎥ ⎨≤ ⎢ ⎥ ⎩ ⎣ ⎦ ∑ где a ij , b i — случайные величины; a i — заданные уровни вероятности. Так, ограни чение (а) означает, что вероятность соблюдения неравенства должна быть не меньше, чем a i . Аналогичен смысл и других ограничений. Для случая, когда вероятностные ограничения представлены в виде типа (а), задачу стохастического программирования можно записать: • при М постановке 1 max(min) ; n j j j L c x = = ∑ (а) (б) (в) (г) Глава 8. Методы решения управленческих задач 178 178 178 178 178 α = ⎡ ⎤ ≤ ≥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ i 1 ( 1... ); n ij j i j P a x b i m (*) ( 1... ); j j j d x D j n ≤ ≤ = • при P постановке: в случае максимизации целевой функции 1 max ; n j j j L P c x r = ⎡ ⎤ = ≥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ α = ⎡ ⎤ ≤ ≥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ i 1 ( 1... ); n ij j i j P a x b i m (**) ( 1... ); j j j d x D j n ≤ ≤ = в случае минимизации целевой функции 1 min ; n j j j L P c x r = ⎡ ⎤ = ≤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ α = ⎡ ⎤ ≤ ≥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ i 1 ( 1... ); n ij j i j P a x b i m (***) ( 1... ), j j j d x D j n ≤ ≤ = где c j , a ij , b i — случайные величины. Для решения задачи стохастического программирования в Р постановке и с ве роятностными ограничениями переходят к детерминированному эквиваленту. Для целевой функции детерминированный эквивалент имеет вид: при минимизации при максимизации 1 2 2 1 min n j j j n j j j c x r L x σ = = − = ∑ ∑ 1 2 2 1 max , n j j j n j j j r c x L x σ = = − = ∑ ∑ где σ j 2 — дисперсия случайной величины c j Детерминированный эквивалент вероятностного ограничения типа (а) 1 n ij j i i j P a x b α = ⎡ ⎤ ≤ ≥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∑ может быть сведен к виду 2 2 2 1 1 , i n n ij j ij j i i j j a x t x b α σ θ = = + + ≤ ∑ ∑ 179 179 179 179 179 8.14. Стохастическое программирование где , ij i a b — математические ожидания; σ ij 2 , q i 2 — дисперсии случайных величин a ij , b i ; t αi =Ф *–1 ( α i ) — обратная функция нормального распределения при функции распределения: 2 * 2 1 ( ) , 2 t t t e dt π − −∞ Φ = ∫ где α i — заданный уровень вероятности (табл. 8.18). Таблица 8.18 Заданный уровень вероятности α i 0,5 0,6 0,7 0,77 0,84 0,89 0,93 0,96 0,98 0,987 0,994 α i t 0,0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2,0 2,25 2,5 Обычно решают задачи при α i ≥ 0,5. Пример. Рассмотрим задачу распределения двух видов ресурсов для выпуска двух наименований изделий. Решение. Математическая постановка задачи имеет вид: max L = c 1 x 1 + c 2 x 2 ; a 11 x 1 + a 12 x 2 ≤ b 1 ; a 21 x 1 + a 22 x 2 ≤ b 2 ; d 1 ≤ x 1 ≤ D 1 ; d 2 ≤ x 2 ≤ D 2 , где a ij , b i , c j — случайные. При М постановке модель запишется: max L = M [c 1 x 1 + c 2 x 2 ]; P(a 11 x 1 + a 12 x 2 ≤ b 1 ) ≥ α 1 ; P(a 21 x 1 + a 22 x 2 ≤ b 2 ) ≥ α 2 ; d 1 ≤ x 1 ≤ D 1 ; d 2 ≤ x 2 ≤ D 2 , где α 1 , α 2 — заданные уровни вероятности соблюдения каждого ограничения. Для того чтобы решить задачу в М постановке, необходимо перейти к ее детер минированному эквиваленту: 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 11 1 12 2 1 11 1 12 2 1 2 2 2 2 2 21 1 22 2 2 21 2 22 2 2 1 1 1 2 2 2 max ; ; ; ; L c x c x a x a x b t x x a x a x b t x x d x D d x D α α σ σ θ σ σ θ = + ⎧ ⎪ + ≤ − + + ⎪⎪ ⎨ ⎪ + ≤ − + + ⎪ ≤ ≤ ≤ ≤ ⎪⎩ Исходные данные, необходимые для решения этой задачи (табл. 8.19, 8.20). Глава 8. Методы решения управленческих задач 180 180 180 180 180 Таблица 8.19 Таблица 8.20 Если задать уровни вероятности α 1,2 = 0,6, для которых t α = 0,25, то получим после подстановки исходных данных детерминированный эквивалент: 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 max 5 8 ; 10 15 100 0,25 4 9 81; 20 14 150 0,25 36 16 120; 2 6; 3 9. L x x x x x x x x x x x x = + ⎧ ⎪ + ≤ − + + ⎪⎪ ⎨ ⎪ + ≤ − + + ⎪ ≤ ≤ ≤ ≤ ⎪⎩ Результаты решения этой задачи для детерминированного случая x 1 = 0 и при α i = 0,6 приведены в табл. 8.21, где 2 2 2 1 i n i ij j i j t x α ξ σ θ = = + ∑ Рассмотрим теперь, как повлияют на результат решения задачи величины, определяющие ее вероятностный характер. К таким величинам относят: задан ный уровень вероятности α i и дисперсий σ ij 2 и θ i 2 . Начнем с анализа влияния α i (табл. 8.22). Таблица 8.21 |