Учебник логики со сборником задаче издание, переработанное
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
§ 8. РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ Разделительным называется умозаключение, в котором одна или несколько посылок — разделительные (дизъюнктивные) сужения. Существуют чисто разделительные и разделительнокатегорические умо заключения. В чисто разделительном умозаключении обе (или все) посылки являются разделительными суждениями В традиционной логике принята следующая его структура есть A, или Вили С. А есть или A 1 , или A 2 S есть или A 1 , или A 2 , или Вили СВ первом разделительном суждении каждое из трех простых суждений S есть A, S есть Весть С — называется альтернативой. Из суждения «S ecть A» образуются еще две альтернативы, которые составляют два члена новой дизъюнкции. Например: Всякая философская система есть или идеализм, или материализм. Идеалистическая система является или объективным, или субъективным идеализмом. Всякая философская система есть или объективный идеализм, или субъективный идеализм, или материализм. В разделительнокатегорическом умозаключении одна посылка — разделительное суждение, другая — простое категорическое суждение. Этот вид умозаключения содержит два модуса модус — утверждающеотрицающий (modus ponendo Данный глагол может стоять или в настоящем, или в прошедшем, или в будущем времени. Данный глагол стоит в настоящем времени. Данный глагол не стоит нив будущем, нив прошедшем времени. Заменив конкретные высказывания в посылках и заключения переменными, получим запись этого модуса (с двумя членами дизъюнкции) в терминах символической логики в виде правила вывода b, или b, В этом модусе союз или употребляется в смысле строгой дизъюнкции. Формулы, соответствующие этому модусу, имеют вида. а b) a) o Обе эти формулы выражают законы логики. Если в этом модусе союз или взят в смысле нестрогой дизъюнкции, то формулы (3) и (4), сооветствующие этому модусу, не будут выражать закон логики (а b) a) o b ¯ 4. (а b) b) o Доказательство формул (1) и (3) дано в табл. 12. Таблица а b а b) a а b) a) o а b а b) a а b) a) o b ¯ И И Л И И Л Л Л И И Л И И И И И И И Л И Л И Л И И Л И Л Л И Л Л И Л Л И Ошибки происходят изза смешения в этом модусе соединитель норазделительного и строго разделительного смысла союза «или». Нельзя, например, рассуждать таким образом: Учащиеся в контрольной работе по математике допускают или вычислительные ошибки, или ошибки в эквивалентных преобразованиях, или ошибки в применении изученных алгебраических правил. Учащийся Сидоров допустил в контрольной работе вычислительные ошибки. Сидоров не допустил в работе ни ошибок в эквивалентных преобразованиях, ни ошибок в применении изученных алгебраических правил. Заключение не является истинным суждением, так как Сидоров мог допустить все три вида ошибок модус — отрицающееутверждающий (modus tollendo Приведем пример. Минеральные удобрения бывают или азотными, или фосфорными, или калийными. Данное минеральное удобрение не является ни азотным, ни фос% форным. Данное минеральное удобрение является калийным. Приведем второй пример. Для этого воспользуемся рассказом «Пестрая лента А. Конан Дойла. Шерлок Холмс рассказал Ватсону: «Вначале я пришел к совершенно неправильным выводам, мой дорогой Ватсон, — и это доказывает, как опасно опираться на неточные данные. Присутствие цыган, слово банда, сказанное несчастной девушкой, всего этого было достаточно, чтобы навести меня на ложный след. Но когда мне стало ясно, что в комнату невозможно проникнуть ни через дверь, ни через окно, что не оттуда грозит опасность обитателю этой комнаты, я сразу понял свою ошибку, и это может послужить мне оправданием. Как я уже говорил вам, внимание мое сразу привлекли венти * В английском языке слово «band» означает и банда, и лента 139 лятор и шнур от звонка, висящий над кроватью. Когда обнаружилось, что звонок фальшивый, а кровать прикреплена к полу, у меня сразу зародилось подозрение, что шнур служит лишь мостом, соединяющим вентилятор с кроватью. Мне сразу пришла мысль о змее, а, зная, как доктор любит окружать себя всевозможными индийскими тварями, я понял, что, пожалуй, напал на верный след. Именно такому хитрому, жестокому злодею, прожившему много лет на Востоке, могло прийти в голову употребить яд, который нельзя обнаружить химическим путем». Отрицающееутверждающий модус (для случая двучленной разделительной посылки) в виде правила вывода в алгебре логики может быть записан следующим образом: Логический союз или здесь может употребляться в двух смыслах как строгая дизъюнкция ( ) и как нестрогая дизъюнкция (), т.е. характер дизъюнкции на необходимость заключения поэтому модусу не влияет. Выводы поэтому модусу выражаются четырьмя формулами, которые являются законами логики (а b) a ¯ ) o b. 2. (а b) b ¯ ) o a. 3. (а b) a ¯ ) o b. 4. (а b) b ¯ ) o Можно привести относительно новую разновидность структуры разделительнокатегорического умозаключения, построенного по от рицательноутверждающему модусу. Например, в рассказе Агаты Кристи «Двойная улика мистер Пуаро расследует похищение ряда драгоценностей из коллекции Хардмана (жемчужины, рубины, изумрудное ожерелье. Подозрение могло касаться четверых. Вот их диалог, в котором сформулировано умозаключение Понимаю, — произнес задумчиво Пуаро. — Ивы безоговорочно ему доверяете У меня не было причин для недоверия Мистер Хардман, кого вы сами подозреваете из этой четверки О, мсье Пуаро, что за вопрос Ведь я вам уже сказал, что это мои друзья. Я ни одного из них не подозреваю или, если вам угодно, всех в одинаковой мере 140 — Не могу с вами согласиться. Я уверен, что вы когото из них подозреваете. Это не графиня Росакова. Это не мистер Паркер. Кто же тогда леди Ранкорн или мистер Джонстон?» Обязательным условием при выводах по разделительнокатегори ческому умозаключению является соблюдение правила о том, что враз делительной посылке должны быть предусмотрены всевозможные альтернативы, те. деление должно быть полным. Это правило для от рицающееутверждающего модуса обязательно. Пожар мог произойти или в результате небрежного обращения согнем, или в результате поджога, или по причине неисправной электро% проводки. Данный пожар не произошел нив результате небрежного обращения согнем, ни по причине неисправной электропроводки. Данный пожар произошел в результате поджога. Заключение недостоверное, а вероятное, так как впервой разделительной посылке перечислены не всевозможные причины возникновения пожара (например, в результате взрыва или в результате загорания от молнии и т.д.). § 9. УСЛОВНОNРАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЕ (ЛЕММАТИЧЕСКИЕ) УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ Условноразделительное умозаключение — это такое умозаключение, в котором одна посылка состоит из двух или более условных суждений, а другая является разделительным суждением. В зависимости от числа членов в разделительной посылке это умозаключение может быть дилеммой (если разделительная посылка содержит два члена), трилеммой (если разделительная посылка содержит три члена) и вообще полилеммой (число разделительных членов больше двух). Формализация дилеммы Дилеммы бывают двух видов конструктивные и деструктивные; обе формы дилеммы в свою очередь могут быть простыми и сложными. Простая конструктивная дилемма Это умозаключение состоит из двух посылок. Впервой посылке утверждается, что из двух различных оснований вытекает одно тоже следствие. Во второй посылке, которая является дизъюнктивным суждением, утверждается, что одно или другое из этих оснований истинно. В заключении утверждается следствие В традиционной формальной логике простую конструктивную дилемму обычно представляют в виде следующей схемы: Если A есть В, то Сесть, если Е есть F, то Сесть есть Вили Е есть Сесть Приведем пример простой конструктивной дилеммы. В романе В. Шукшина Я пришел дать вам волю написано так: «Давай думать, как быть. Две дороги домой Кумой или Волгой. Обои закрыты. Там и тут надо пробиваться силой. Добром нас никакой дурак не пропустит. А раз такое дело, давай решим где легче». Простая конструктивная дилемма представлена в такой форме: Если плыть Кумой (а, то надо пробиваться силой (Если плыть Волгой (сто надо пробиваться силой (Можно плыть Кумой (а) или Волгой (с). Надо пробиваться силой (Выразим суждение А есть В переменной а, суждение Сесть D» — переменной b, суждение Е есть F» — переменной с. Тогда схема простой конструктивной дилеммы выразится в виде следующего правила вывода c b a c b o В данном случае формула указанного вида будет такова o b) (с o b) (а c)) o Доказательство тождественной истинности этой формулы можно провести табличным методом. Приведем еще один пример простой конструктивной дилеммы: Если я пойду через речку помосту, меня могут заметить враги; если я пойду через речку вброд, меня тоже могут заметить враги. Я могу идти через речку помосту или вброд. Меня могут заметить враги. Сложная конструктивная дилемма Это умозаключение строится из двух посылок. Впервой посылке имеются два основания, из которых вытекают соответственно два следствия во второй посылке, которая представляет собой дизъюнктивное суждение, утверждается истинность одного или другого основания в заключении утверждается истинность одного или другого след ствия. Сложная конструктивная дилемма отличается от простой конструктивной дилеммы только тем, что оба следствия ее условной посылки различны, а не одинаковы. Этот вид дилеммы значительно чаще встречается в мышлении людей, в сознании литературных героев, исторических деятелей, поэтому мы приведем пример из художественной литературы. Т. Тэсс в рассказе Поединок в море описывает такую ситуацию. Танкер Ростов взял около десяти тысяч тонн автомобильного бензина и уже готовился в Туапсе к отплытию Сейчас танкер должен сняться с якоря Якорь уже вышел из воды На лапе якоря висит авиабомба, пролежавшая на дне моря двадцать лет. Капитан танкера Ростов Александр Котляров думал не только о своем судне, аи о других танкерах, тоже залитых бензином и нефтью, стоящих неподалеку от причалов. «Сколько времени пройдет, пока из Севастополя в Туапсе придут минеры Бомба может взорваться каждую минуту. Двадцать лет она пролежала под водой, а сейчас может взорваться от любой случайности». Перед капитаном встала очень сложная дилемма: Если я оставлю танкер в порту до прибытия минеров, то бомба может взорваться и повредить много судов если я уведу танкер в море, тов случае взрыва пострадает только один танкер. Я могу оставить танкер в порту до прибытия минеров или увести в море. Могут пострадать много судов в порту или в случае взрыва пострадает только один танкер. Капитан принимает такое решение Немедленно, не дожидаясь прибытия из Севастополя минеров, уйти из порта в море. Уйти, чтобы обезопасить другие суда, отплыть на такое расстояние, чтобы в случае взрыва опасность грозила только одному его танкеру. Уйти в море и там утопить бомбу. Танкер ушел из порта, и со второй попытки бомбу удалось утопить в море, а танкер не пострадал. Так как дилемма означает сложный выбор из двух альтернатив одной, причем обе они нежелательны для субъекта (такая ситуация характеризуется выражением из двух зол выбирать наименьшее, тов древности о дилемме говорили Посадить на рога дилеммы. В нашей речи встречается выражение Передо мной стоит дилемма» (т.е. сложный выбор Схема сложной конструктивной дилеммы c d a c b d o Формула o b) (с o d) (а c)) o (b Данная формула выражает закон логики, что можно доказать табличным способом. Простая деструктивная дилемма В этом умозаключении первая (условная) посылка указывает на то, что из одного итого же основания вытекают два различных следствия вторая посылка представляет собой дизъюнкцию отрицаний обоих этих следствий в заключении отрицается основание. Пример: Если человек болен сыпным тифом, тона день болезни у него будет высокая температура и появится сыпь. У больного нет высокой температуры или нет сыпи. Этот человек не болен сыпным тифом. Схема этой дилеммы c b Этой схеме соответствует формула o(b с (b ¯ c ¯ )) o Простая деструктивная дилемма может быть построена и подругой схеме a c b c a o Этой схеме соответствует формула o b) (a o с (b ¯ c ¯ )) o Сложная деструктивная дилемма Дилемма такого вида содержит одну посылку, состоящую из двух условных суждений с разными основаниями и разными следствиями; вторая посылка есть дизъюнкция отрицаний обоих следствий заключение является дизъюнкцией отрицаний обоих оснований. В форме, обычной для традиционной логики, сложную деструктивную дилемму можно представить в виде следующей схемы: Если А есть В, то Сесть, если E есть F, то К есть МС не есть D или К не есть Мне есть Вили Е не есть Примером рассуждения по форме сложной деструктивной дилеммы может быть следующий вывод: Если Петров честен, тоне выполнив задания сегодня, он признается в этом, а если Петров добросовестен, то он выполнит задание к следующему разу. Но Петровне признался в том, что он сегодня не выполнил задание или не сделал его к следующему разу. Петров нечестен или недобросовестен. Схема сложной деструктивной дилеммы такая c d b d a c o Этой схеме соответствует формула o b) (c o d) (b ¯ d ¯ )) o (a ¯ которая является законом логики. В предыдущих схемах, соответствующих четырем видам дилеммы, во второй (разделительной) посылке союз или взят в соедини тельноразделительном смысле, те. взята нестрогая дизъюнкция (Будут ли формулы алгебры логики, соответствующие дилеммам (четыре вида, тождественноистинными, если союз или употребляется в строго разделительном смысле, те. если взята строгая дизъюнкция Являются ли законами логики следующие формулы (a o b) (c o b) (a c) o b. 2. (a o b) (a o c) (b ¯ c ¯ ) o a ¯ 3. (a o b) (c o d) (a c) o (b d). 4. (a o b) (c o d) (b ¯ d ¯ ) o (a ¯ Так как конъюнкция связывает теснее, чем импликация, то скобки можно опустить Автором этой книги показано, что независимо оттого, такая дизъюнкция (строгая или нестрогая) входит в соответствующие формулы, простым дилеммам (конструктивной и деструктивной) соответствуют законы логики. Сложным дилеммами конструктивной, и деструктивной) соответствуют законы логики лишь в том случае, если союз или рассматривается как нестрогая дизъюнкция. Нов ходе рассуждения, построенного в форме сложной дилеммы, человек употребляет именно строгую дизъюнкцию, ибо передним две взаимоисключающие возможности (причем обе они нежелательны. Это несоответствие возникло изза отсутствия полного совпадения смысла союза «если… то» и смысла материальной импликации (в двузначной логике). Некоторые логики под дилеммой понимают такое умозаключение: Если А есть В, то Сесть если Е есть F, то G есть Но Сне есть D и G не есть Н. Следовательно, Ане есть Вине есть F. Пример. Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль. Если бы я был бесчестен, то я украл бы таковой. Но я его не купили не украду. Я небогат и не бесчестен. Но здесь вторая посылка и заключение являются конъюнктивными, а не дизъюнктивными суждениями (как это должно быть по правилам построения дилеммы, поэтому приведенное выше умозаключение не является дилеммой, так как в нем нет разделительной посылки, характерной для дилеммы. Это умозаключение есть простая сумма двух условнокатегорических умозаключений, построенных по правилу modus tollens, который дает истинное заключение. Формула modus tollens такая ((a o b) b ¯ ) o a ¯ . 1. Если бы я был богат, то я бы купил автомобиль. Я не куплю автомобиль. Я небогат. Если бы я был бесчестен, то я украл бы автомобиль. Я не украду автомобиль. Я не бесчестен. Итак, перед нами условноконъюнктивное, а не условнодизъ юнктивное (лемматическое) умозаключение 146 Трилемма Трилеммы, также как и дилеммы, могут быть конструктивными и деструктивными каждая из этих форм в свою очередь может быть простой или сложной. Простая конструктивная трилемма состоит из двух посылок и заключения. Впервой посылке констатируется то, что из трех различных оснований вытекает одно и тоже следствие вторая посылка представляет собой дизъюнкцию этих трех оснований в заключении утверждается следствие. Если у больного грипп, то рекомендуется обратиться к врачу если у больного острое респираторное заболевание, то рекомендуется обратиться к врачу если у больного ангина, то рекомендуется обратиться к врачу. У данного больного или грипп, или острое респираторное заболевание, или ангина. Данному больному рекомендуется обратиться к врачу. В сложной конструктивной трилемме первая посылка состоит из трех различных оснований и трех различных вытекающих из них следствий, те. содержит три условных суждения. Вторая посылка является дизъюнктивным суждением, в котором утверждается (по крайней мере) одно из трех оснований. В заключении утверждается (по крайней мере) одно из трех следствий. Приведем пример сложной конструктивной трилеммы. В некоторых сказках говорится о надписях на перекрестках трех дорог, которые содержат, например, такого рода трилемму: Кто поедет прямо, будет в холоде и голоде кто поедет направо, тот сам останется цела конь будет убит кто поедет налево, тот сам будет убита конь останется цел. Человек может поехать либо прямо, либо направо, либо налево. Он или будет в холоде и голоде, или сам останется цела конь будет убит, или сам будет убита конь останется цел. Приведем еще пример трилеммы. В своих воспоминаниях о Великой Отечественной войне ЛИ. Барко% вич пишет об истории Ладожской дороги. Ладожская дорога, Дорога жизни, была фронтом. Направляясь в Ленинград по Ладожскому озеру, Иван Игнатьевич Баркович, будучи шофером грузовой машины, взял с собой сына Леонида, так как вторую машину — полуторку вести было некому. В автоколонне сын двигался за машиной отца. Дорога была опасна. Враг держал ее подогнем, лед расходился, образуя просветы. Вдруг машина отца остановилась — оказалось, кончился бензин. Леонид Баркович рассуждает: «У моей машины горючее тоже было на исходе. Переливать половину оставшегося бензина в бак отцовского газика было глупо горючее могло кончиться раньше, чем мы добрались бы до берега. Поехать вперед, сообщить, что тут стоит машина Но помощь может прийти поздно… Взять на буксир его машину — лед мог не выдержать». Леонид принял решение Давай трос На буксире у меня пойдешь Добрались благополучно. Деструктивные трилеммы, также как и деструктивные дилеммы, бывают простые и сложные. Структура их аналогична структуре дилеммы, только предусматриваются не две, а три возможные альтер нативы. Приведем пример простой деструктивной трилеммы. Если в ближайшее время погода ухудшится, то у него будут болеть суставы, повысится артериальное давление и будет ломить поясница. Известно, что у него или не болят суставы, или не повысилось артериальное давление, или не ломит поясница. В ближайшее время погода не ухудшится. В математике структура трилеммы используется тогда, когда возникают три возможных варианта решения задачи, доказательства теоремы и предстоит выбор одного из них. Сокращенные условные, разделительные и условноNразделительные умозаключения Категорический силлогизм в мышлении часто употребляется в сокращенной форме — в форме энтимемы. Сокращенными могут быть не только простые категорические силлогизмы, но и условные, и разделительные, и условноразделительные умозаключения, в которых может быть пропущена либо одна из посылок, либо заключение. Рассмотрим типы таких сокращенных умозаключений. В умозаключении заключение в явном виде может не формулироваться. Если данное тело — металл, то оно при нагревании расширяется. Данное тело — металл. Заключение Данное тело при нагревании расширяется не формулируется в явном виде, а просто подразумевается в этом условнокатегорическом умозаключении В приводимом ниже разделительнокатегорическом умозаключении также пропущено заключение. Многоугольники делятся на правильные и неправильные. Данный многоугольник неправильный. Заключение Данный многоугольник не является правильным опущено; оно легко может быть восстановлено. В дилеммах и трилеммах заключение также может явно не формулироваться, а подразумеваться. Например, в приведенной ниже сложной деструктивной дилемме заключение явно не присутствует: «Если соблюдать правила хранения зерна, тоне произойдет его самозагорания, а если организовать хорошую охрану зернохранилища, то не произойдет умышленного поджога. Данный пожар произошел либо от самозагорания зерна, либо от умышленного поджога. Заключение — В данном зернохранилище либо не соблюдаются правила хранения зерна, либо не налажена охрана — подразумевается, а не высказывается в явной форме. В умозаключении пропущена одна из посылок. В умозаключениях может быть пропущена первая посылка она может подразумеваться, если выражает известное положение, теорему, закон и т.д. В условнокатегорическом умозаключении Сумма цифр данного числа делится на 3, следовательно, данное число делится на 3» опущена первая посылка, формулирующая известную математическую закономерность Если сумма цифр данного числа делится на 3, то все число делится на В приводимом ниже разделительнокатегорическом умозаключении также пропущена первая посылка Существительное в русском языке может быть женского, мужского или среднего рода, а все умозаключение сокращенно формулируется так Данное существительное русского языка не является существительным ни женского рода, ни среднего рода. Следовательно, данное существительное мужского рода». В приведенном ниже примере сложной конструктивной дилеммы Если я пойду через болото, то могу попасть в трясину, а если я пойду в обход, тоне успею вовремя доставить донесение. Следовательно, я могу попасть в трясину или не успею вовремя доставить донесение — вторая посылка не формулируется, а лишь подразумевается Я могу идти через болото или в обход». Можно было бы привести и другие примеры сокращенных умозаключений чисто условных, условнокатегорических, чисто разделительных, разделительнокатегорических, условноразделительных (дилемм, трилемм) с пропущенной первой или второй посылкой, — но предоставляем это самостоятельно сделать читателю Итак, рассмотренные нами прямые выводы, такие, как чисто условные, чисто разделительные, условнокатегорические, разделительно категорические и условноразделительные (лемматические) умозаключения, сформулированные полностью и сокращенные (те. в которых пропущена либо одна из посылок, либо включение, широко используются в процессе научного и обыденного мышления, в процессе обучения в школе ив вузе. Поэтому знание правил построения этих видов умозаключений предостережет от логических ошибок в мышлении, поможет доказательнее, аргументированнее строить свод рассуждения и сделать более эффективным обучение учащихся и студентов. Прямые выводы, кроме рассмотренных выше форм, включают такие виды. Простая контрапозиция. Правило простой контрапозиции имеет следующий вид Это правило читается так Если а имплицирует b, то отрицание b имплицирует отрицание а. Здесь аи переменные, обозначающие произвольные высказывания, или пропозициональные переменные. Примеры. а) Если данный треугольник равносторонний, то он равноугольный. Если данный треугольник не равноугольный, то он не равносто ронний. б) Если это вещество фосфор, то оно непосредственно с водородом не соединяется. Если вещество непосредственно с водородом соединяется, то это вещество не является фосфором. Заметим, что в логике высказываний __ a Формула (a o b) { (b ¯ o a ¯ ) называется законом простой контр апозиции. 2. Сложная контрапозиция. o o a b c a c b — правило сложной контрапозиции. Пример рассуждения по правилу сложной контрапозиции: Если у меня будут деньги и я буду здорова, то я поеду домой на кани кулы. Если у меня были деньги и я не поехала на каникулы домой, то, следовательно, я не была здорова. Правило импортации (конъюнктивного объединения условий). П.С. Новиков называет его правилом соединения посылок b c o Это правило читается так Если а имплицирует, что b имплици рует сто аи имплицируют с». В.А. Сухомлинский писал Если учитель стал другом ребенка, если эта дружба озарена благородным увлечением, порывом к чему то светлому, разумному, в сердце ребенка никогда не появится зло. На основании правила соединения посылок мы можем это высказывание В.А. Сухомлинского записать иначе, но оно будет эквивалентно прежнему его высказыванию. Заключение Если учитель стал другом ребенка и эта дружба озарена благородным увлечением, порывом к чему то светлому, разумному, тов сердце ребенка никогда не появится зло. Правило экспортации (разъединения условий b c a b c o Это правило читается так Если аи имплицируют сто а импли цирует, что b имплицирует с. Правило это обратно предыдущему. Поэтому в качестве иллюстрации можно взять те же мысли В.А. Сухом линского, только сначала прочитать наше полученное заключение, из которого можно прийти к высказыванию самого В.А. Сухомлинского. |