Guide to Lightning
 Скачать 6.3 Mb.
|
|
Эту книгу хорошо дополняют: Удовольствие от х Стивен Строгац Moneyball Майкл Льюис Гибкое сознание Кэрол Дуэк Braniac Кен Дженнингс SECRETS OF MENTAL MATH: The Mathemagician's Guide to Lightning Calculation and Amazing Math Tricks Three Rivers Press Arthur Benjamin and Michael Shermer МАГИЯ ЧИСЕЛ Моментальные вычисления в уме и другие математические фокусы Артур Бенджамин и Майкл Шермер Москва «Манн, Иванов и Фербер» 2015 Перевод с английского Владислава Ласкавого УДК 512 ББК 22.1я9 Б46 Н а у ч н ы й р е д а к т о р Александр Минько На русском языке публикуется впервые Издано с разрешения Three Rivers Press, an imprint of the Crown Publishing Group, a division of Random House LLC, a Penguin Random House Company, и литературного агентства Synopsis Бенджамин Артур Б46 Магия чисел. Ментальные вычисления в уме и другие математические фоку- сы / Артур Бенджамин и Майкл Шермер ; пер. с англ. В. Ласкавого. — М. : Манн, Иванов и Фербер, 2015. — 320 с. ISBN 978-5-00057-270-2 Каждый из нас способен умножать, делить, возводить в степень и произво- дить другие операции над большими числами в уме и с большой скоростью. Для этого не нужно решать десятки тысяч примеров и учиться годами — достаточно использовать простые приемы, описанные в этой книге. Они доступны для людей любого возраста и любых математических способностей. Эта книга научит вас считать в уме быстрее, чем на калькуляторе, запоминать большие числа и получать от математики удовольствие. УДК 512 ББК 22.1я9 Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав. Правовую поддержку издательства обеспечивает юридическая фирма «Вегас-Лекс». © Arthur Benjamin and Michael Shermer, 2006 © Перевод на русский язык, издание на русском языке, ISBN 978-5-00057-270-2 оформление. ООО «Манн, Иванов и Фербер», 2015 Оглавление Предисловие .........................................................11 Пролог .....................................................................19 Введение .................................................................23 Глава 0. Быстрые трюки: простые (и впечатляющие) вычисления .......25 Глава 1. Небольшой обмен любезностями: устное сложение и вычитание .........................35 Глава 2. Произведения растраченной юности: основы умножения ..............................................52 Глава 3. Усовершенствованные произведения: умножение среднего уровня ............................76 Глава 4. Разделяй и властвуй: деление в уме ............ 101 Глава 5. Искусство приближенной оценки ............... 128 Глава 6. Математика с ручкой и бумагой ................... 154 Глава 7. Запоминающаяся глава для запоминания чисел .................................... 174 Магия чисел Глава 8. Сложное делаем легким: продвинутое умножение ................................ 187 Глава 9. Искусство математической магии ................ 223 Глава ∞. Эпилог: как математика помогает задуматься о странных вещах ...................... 247 Ответы .................................................................................. 259 Библиография ..................................................................... 300 От авторов .......................................................................... 304 Об авторах .......................................................................... 305 Я посвящаю эту книгу моей жене Дине и дочерям Лорел и Ариэль. Артур Бенджамин Посвящается Ким — моей жене и самому доверенному личному советчику и помощнику. Майкл Шермер 11 Предисловие Мне нравится размышлять о тех людях, которым первым при- шла в голову мысль считать вещи. Наверное, они сразу за- метили, что счет на пальцах отлично работает. Может быть, какой-нибудь древний человек по имени Ог (родившийся еще до потопа) или один из его приятелей сказал: «Нас тут один, два, три, четыре, пять. Значит, нам нужно пять кусочков фрук- та. — И добавил: — Смотри-ка, ты на своих пальцах можешь сосчитать количество человек у костра, птиц на дереве, камней в ряду, поленьев в костре, виноградин в грозди». Так было по- ложено отличное начало для развития математики. Вы, веро- ятно, тоже впервые встретились с числами подобным образом. Должно быть, вы слышали, что математика — это язык науки, а природа говорит на языке математики. Что ж, это правда. Чем больше мы понимаем Вселенную, тем больше математических связей в ее устройстве обнаруживаем. Цветы располагаются на стебле по винтовой линии, причем их ко- личество на разной высоте совпадает с определенной после- довательностью чисел (чисел Фибоначчи), которую несложно понять; к тому же любой самостоятельно ее высчитает. Узоры на раковине образуют совершенные математические кривые (логарифмические спирали), появившиеся вследствие опреде- ленных химических процессов. Скопления звезд тянутся друг за другом в математическом танце, и его можно наблюдать на расстоянии миллионов и даже миллиардов километров. 12 Магия чисел В течение многих столетий подтверждается и открывается математическая сущность Природы. Однако с каждым новым открытием кто-то должен взять на себя труд удостовериться, что числа не лгут. Эта книга поможет вам разобраться в этом. Освоив вычисления, вы узнаете ряд математических секретов природы, и трудно представить, куда это может вас привести! При знакомстве с числами вы поймете: ответ на самом деле лежит на кончиках ваших пальцев. Это не шутка: именно с этого все и начинается. Поскольку у человека десять паль- цев, математическая наука взяла за основу цифры от 1 до 10. По сути, мы называем и числа, и пальцы словом «цифры» * Совпадение? Вряд ли. Нашим далеким предкам очень скоро стало недоставать пальцев для счета. То же самое, вероятно, произошло и с вами. Мы не можем просто игнорировать боль- шие числа и пенять при этом на свои руки (шутка!). Мы нуждаемся в числах, так как они часть повседневной жизни, хотя порой мы этого даже не замечаем. Подумайте о телефонной беседе с другом: чтобы позвонить, нужен но- мер телефона; время, потраченное на разговор, тоже измеря- ется в числах (в часах и минутах). Каждая историческая дата, включая такую важную, как ваш день рождения, обозначает- ся цифрами. Числа мы используем и для презентации идей, которые на первый взгляд не имеют ничего общего с расче- тами. Например, выражение «Как молодо вы выглядите!» не- явно подразумевает информированность о вашем возрасте, выраженном в числовом эквиваленте, а также оценку вашего внешнего вида тоже в виде числа. Люди часто описывают друг друга с помощью чисел, отображающих рост и вес человека. * В английском языке слово digit имеет два значения: «палец» и «цифра». Прим. пер. 13 Предисловие И конечно, мы все хотим знать, сколько денег у нас есть или сколько стоит та или иная вещь в числовом выражении: в дол- ларах, песо, юанях, рупиях, рублях, евро или иенах. Если по какой-то причине вы пока еще не влюблены в ма- тематику, читайте эту книгу. Конечно, как человек науки я на- деюсь, что вам понравится эта дисциплина. Хотя больше всего мне хотелось бы, чтобы вы ее полюбили. Что бы вы ни чувство- вали по отношению к ней (ненависть или любовь), я все равно готов поспорить: вы часто будете ловить себя на мысли, что хотите узнать ответ сразу, без того чтобы сначала старатель- но все записать и усердно работать (или даже не тратя время на то, чтобы взять калькулятор). Вы мечтаете, чтобы ответ появился «по мановению волшебной палочки». Оказывается, множество математических задач решаются именно таким магическим образом. И книга продемонстрирует вам, как это делается. Что делает любую магию столь интригующей и увлекатель- ной? Зрители не часто могут похвастаться тем, что понимают, как выполняется трюк. «Как она это сделала? Не знаю, но это круто!» Так вот, приемы и методы из этой книги сродни вол- шебству. Публика редко бывает осведомлена о секретах трю- ков — она просто ценит их. Заметьте, что магия вряд ли чего- то стоит, если никто не смотрит представление. Но знание того, как работает магия чисел, не лишает вас увлекательной интри- ги. Простая арифметика не позволит вам увязнуть в вычисле- ниях, и вы сможете сосредоточиться на прекрасной природе чисел. В конце концов, математика — двигатель Вселенной. Доктор Бенджамин занялся быстрыми вычислениями ради забавы. Полагаю, этим он поразил своих учителей и од- ноклассников. Иллюзионисты могут заставить публику ду- мать, что они обладают сверхъестественными способностями. 14 Магия чисел Волшебники от математики создают иллюзию своей гениаль- ности. Способность обратить внимание окружающих на то, что вы делаете, представляет собой часть обмена идеями. Если вы произвели на людей впечатление, они будут слушать то, что вы говорите. Так что попробуйте немного поупражняться в магии чисел. Вы можете произвести впечатление на друзей? Отлично! Но вы также будете «выступать для себя» и пойме- те, что в состоянии решать задачки, которые, как вы полагали раньше, вам не по зубам. Вы придете в восторг от самого себя. Но счет на пальцах — совсем другое дело. Вы когда-нибудь замечали, что считаете вслух, или что-то шепчете, или издае- те еще какие-то звуки во время вычислений? Это почти всегда упрощает расчеты. Проблема, однако, в том, что окружаю- щие думают, будто вы ведете себя немножко странно. Так вот, в «Магии чисел» доктор Бенджамин научит вас использовать функцию «говорю вслух» так, чтобы сделать решение задач более простым и быстрым, а ответы — точными (что удиви- тельно). И все это будет «выдаваться» вашим мозгом в процес- се обдумывания задачи (как будто вы думаете вслух). Вы станете перемещаться по математическим задачкам так же, как мы читаем: слева направо. Вы будете щелкать слож- ные задания как орешки, выдавая результат с погрешностью в пределах процента или около того. Вы научитесь быстро вы- полнять арифметические действия. Таким образом, вы сможе- те приятно провести время, размышляя о том, что означают цифры. Ог задумался над вопросом: «Достаточно ли у нас фруктов для каждого человека, сидящего у костра? Если нет, то могут возникнуть проблемы». Теперь вы можете спросить: «Достаточно ли места на этом компьютере, чтобы отслежи- вать мои музыкальные файлы или банковский счет? Если нет, то могут возникнуть проблемы». 15 Предисловие Это книга больше о секретах математики, чем просто о под- счетах. Например, вы научитесь определять, на какой день не- дели придется или приходилась та или иная дата. Это просто фантастика, почти волшебство, когда вы в состоянии сказать кому-либо, в какой день недели он родился. Это действительно невероятно, если вы способны вычислить, что Соединенные Штаты Америки отмечали свой первый День независимости в четверг 4 июля 1776 года; что 15 апреля 1912 года — день гибели «Титаника» — был понедельник; что первый человек ступил на Луну 20 июля 1969 года, в воскресенье. Вы никогда не забудете, что террористическая атака на США произошла 11 сентября 2001 года. С помощью магии чисел вы всегда суме- ете доказать, что это случилось во вторник. Существующие в природе взаимосвязи лучше всего опи- сывают именно числа. Один, два, три и далее до десяти — эти числа вы можете посчитать на пальцах. Но между ними есть еще бесконечное количество чисел. Это дроби. Некоторые числа никогда не заканчиваются. Они становятся настолько большими, насколько вы пожелаете, и настолько маленькими, что их трудно себе представить. Вы, должно быть, знакомы с ними. «Магия чисел» позволит вам так быстро доставать их из ума, что у вас в нем останется еще достаточно места для размышлений о сложившемся устройстве мира. В общем эта книга покажет вам, что все в природе имеет смысл. Билл Найя, Science Guy® 16 Магия чисел * * * Математика — прекрасный, элегантный и чрезвычайно полез- ный язык с собственными лексикой и синтаксисом, глаголами, существительными и определениями, диалектами и местными наречиями. Он с блеском используется одними людьми и с тру- дом — другими. Многие из нас боятся исследовать скрытые возможности его применения, тогда как некоторые пускают его в ход, словно меч, чтобы атаковать и покорять налоговые декларации или массивы данных, сопротивляющиеся менее храбрым людям. Возможно, эта книга не превратит вас в Лейб- ница, не возведет в ранг профессора алгебры, но, надеюсь, по- способствует появлению у вас нового, волнующего и даже за- нимательного взгляда на то, что можно делать с числами. Мы все думаем, что знаем достаточно об арифметике, что- бы сводить концы с концами, и, конечно, не чувствуем вины за то, что при каждом удобном случае обращаемся к карман- ному калькулятору, который стал неотъемлемой частью на- шей жизни. Но так же, как фотография может скрыть истин- ную красоту картины Вермеера, а электронная клавиатура — стать причиной того, что мы забудем великолепное исполне- ние Горовица, чрезмерное доверие к технологиям способно лишить удовольствия, которое вы получите при изучении математики на этих страницах. Я помню, какое наслаждение испытал в детстве, когда мне открылось, что можно умножать на 25, просто прибавляя два нуля к исходному числу и деля это новое число на 4. Метод сравнений по модулю 9 для проверки результатов умноже- ния был следующим захватывающим этапом. А когда я узнал о перекрестном умножении, то уже был на крючке и ненадол- го превратился в невыносимого одержимого математикой. 17 Предисловие Прививки против такого недуга не существовало. Приходи- лось лечить себя самому. Так что будьте осторожны! Вы не держали бы сейчас в руках эту книгу, если бы у вас не было желания улучшить свои математические навыки либо удовлетворить любопытство по отношению к этому увлека- тельному предмету. Так же как и при использовании любой инструкции, вы сможете удерживать в памяти и применять только определенный процент разнообразных трюков и мето- дов, описанных здесь. Но даже это оправдает время, потрачен- ное на чтение этой забавной книги. Я знаю обоих авторов довольно хорошо. Арт Бенджамин не только один из числа тех одаренных детей, на которых учителя постоянно ворчали в школе, но, как известно, и ак- тер «Волшебного замка» в Голливуде, где он демонстрирует свои навыки (однажды Арт отправился в Токио, чтобы там в прямом эфире помериться математическими способностя- ми с женщиной-ученым). Майкл Шермер, с его специальны- ми научными познаниями, имеет отличное представление о практическом применении математики (о том, как она ис- пользуется в реальном мире). Если это ваше первое знакомство с такого рода полезным математическим материалом, то я вам завидую. Открывая каждый восхитительный способ по-новому атаковать циф- ры, вы обнаружите, что упустили что-то в школе. Матема- тика, в особенности арифметика, — мощный и надежный инструмент для повседневного использования, позволяю- щий нам управляться с жизнью более уверенно и точно. По- звольте Арту и Майклу показать вам, как округлить некото- рые из углов и срезать неровности на вашем практическом пути. Вспомните слова доктора Сэмюэля Джонсона, человека Магия чисел в высшей степени практичного во всех отношениях: «Изуче- ние арифметики служит развлечением в моменты одиноче- ства благодаря процессу решения и способствует укреплению репутации на публике благодаря эффектности». В общем наслаждайтесь книгой. Пусть она развлечет и раз- веселит вас. Все, чего вы можете желать от жизни, — это со- вершать хорошие поступки время от времени и иногда съесть кусочек пиццы (без анчоусов!) в компании добрых друзей. Ну, или почти все… Может быть, еще «Феррари». Джеймс Рэнди 19 Пролог Мой хороший друг доктор Артур Бенджамин, профессор математики в колледже Harvey Mudd в Клермонте, выходит на сцену под шквал аплодисментов публики «Волшебного замка», знаменитого клуба магов в Голливуде, где он собира- ется демонстрировать «магию чисел» или, как он это называ- ет, искусство быстрых устных вычислений. Арт никоим обра- зом не выглядит как профессор математики из престижного колледжа. Удивительно находчивый, он похож на остальных молодых иллюзионистов и магов, которые представляют именитый клуб. Особенным Арта делает то, что он может вы- ступать перед любой группой людей, в том числе перед про- фессиональными математиками и магами, потому что умеет то, на что мало кто способен. Артур Бенджамин складывает, вычитает, умножает и делит числа в уме быстрее, чем кальку- лятор. Он может возводить в квадрат двузначные, трехзнач- ные и четырехзначные числа, а также находить квадратные и кубические корни, не записывая ничего на бумаге. А еще он готов научить вас выступать с собственной математической магией. Традиционно маги отказываются раскрывать свои се- креты, считая, что если вы будете их знать, таинственность и очарование их искусства будут утрачены. Но Арт стремит- ся вызвать у людей интерес к математике. Он понимает, что лучший способ сделать это — посвятить читателей в секреты 20 Магия чисел «математического гения». С этими навыками любой человек сможет повторить то, что демонстрирует Артур Бенджамин на сцене. Это особая ночь в «Волшебном замке». Арт начинает с во- проса о том, есть ли у кого-нибудь в аудитории калькулятор. Группа инженеров поднимает руки и присоединяется к Арту на сцене. Предлагая проверить калькуляторы, чтобы убедить- ся в том, что они работают, Арт просит человека из зала на- звать двузначное число. «Пятьдесят семь!» — кричит тот. Арт указывает на другого, который произносит: «Двадцать три». Обращаясь к людям на сцене, Арт говорит: «Умножьте 57 на 23 с помощью калькулятора и убедитесь, что получилась 1311, иначе устройство работает неправильно», и терпеливо ждет, пока добровольцы закончат ввод чисел. После того как каждый участник подтверждает, что его калькулятор выдал результат 1311, аудитория издает вздох. Удивительный Арт обыграл калькуляторы в их собственной игре! Далее Арт сообщает, что возведет в квадрат четыре дву- значных числа быстрее, чем «кнопкодавы» сделают это на сво- их калькуляторах. Аудитория просит его возвести в квадрат числа 24, 38, 67 и 97. Крупно и четко, чтобы все было видно, Арт пишет на доске цифры: 576, 1444, 4489 и 9409 — и развора- чивается к инженерам-добровольцам с просьбой огласить ре- зультаты, полученные на калькуляторах. Их ответ вызывает удивление, а затем аплодисменты аудитории: «576, 1444, 4489, 9409». Женщина рядом со мной сидит с открытым от изумле- ния ртом. После этого волшебник Арт предлагает возвести в ква- драт трехзначное число, даже не записывая ответ. «Пятьсот семьдесят два!» — выкрикивает мужчина из зала. Ответ Арта доносится меньше чем через секунду: «572 в квадрате будет 21 Пролог 327 184». Он незамедлительно указывает на другого предста- вителя аудитории, который называет число «389», и невозму- тимо произносит: «389 в квадрате равно 151 321». Кто-то еще выпаливает «262». «68 644», — оперативно выдает Арт. И, чув- ствуя, что затянул на какое-то мгновение с последним отве- том, обещает компенсировать это со следующим числом. Вы- зов поступил: 991. Без паузы Арт возводит это число в квадрат: «982 081». Звучит еще несколько трехзначных чисел, и Арт отвечает безупречно. Зрители в аудитории качают головами, не в силах поверить в происходящее. Покорив аудиторию, Арт заявляет, что предпримет по- пытку возвести в квадрат четырехзначное число. Женщина выкрикивает: «1306», и Арт мгновенно отвечает: «1 073 296». Аудитория смеется, а Арт объясняет: «Нет-нет. Это слишком просто. Я не рассчитываю на то, что одержу победу над каль- куляторами в этом упражнении. Давайте попробуем другой пример». Мужчина предлагает «2843». Делая небольшую пау- зу между цифрами, Арт отвечает: «Итак, квадрат этого числа должен составлять 8 миллионов… 82 тысячи… 649». Он прав, конечно, и публика взрывается аплодисментами так же гром- ко, как и во время выступления предыдущего мага, который распилил женщину пополам и заставил исчезнуть собаку. Так происходит везде, где бы Артур Бенджамин ни появился: в классе старшей школы, колледже, на профессиональной кон- ференции, в «Волшебном замке» или телевизионной студии. Профессор Бенджамин выступал со своей магией особо- го рода по всей стране и в прямом эфире многочисленных телевизионных ток-шоу. Он был предметом исследования по когнитивной психологии Университета Карнеги—Меллона и отмечен в научной книге Стивена Смита The Great Mental Calculators: The Psychology, Methods, and Lives of Calculating Магия чисел Prodigies, Past and Present. («Великие ментальные вычислите- ли: психология, методы и жизнь вундеркиндов вычислений, прошлое и настоящее»). Арт родился в Кливленде 19 марта 1961 года (по его подсчетам, в воскресенье; этому навыку он обучит вас в главе 9). Он был гиперактивным ребенком, до- водил учителей до исступления своими выходками, зачастую сводившимися к исправлению математических ошибок, до- пускаемых ими время от времени. На протяжении всей книги параллельно с обучением математическим секретам Арт вспо- минает, когда и где он узнал об этих секретах. Так что я предо- ставлю возможность поведать эти увлекательные истории ему самому. Арт Бенджамин — личность экстраординарная. Он приду- мал необыкновенную программу обучения методам быстрых устных вычислений. Я утверждаю это без тени сомнения и прошу помнить: эта информация поступает не от парочки ребят, сулящих вам чудеса, «если только вы позвоните по на- шей горячей линии». Мы с Артом — дипломированные специ- алисты в области самых консервативных академических дис- циплин: Арт в математике, я в истории науки. И мы никогда не подвергли бы себя риску оконфузиться (или что-нибудь похуже), делая столь громкие заявления, если бы не были уверены в них на сто процентов. Словом, метод работает, и практически каждый может ему научиться, потому что ма- стерство «математического гения» — навык приобретаемый. Итак, вы можете рассчитывать на то, что разовьете свои мате- матические способности, произведете впечатление на друзей, улучшите свою память и изрядно повеселитесь! Майкл Шермер 23 |