ману электротех. 1 Ток, напряжение, мощность

• Название: 1 Ток, напряжение, мощность
• Анкор: ману электротех.docx
• Дата: 24.03.2018
• Размер: 5.71 Mb.
• Имя файла: ману электротех.docx
• Тип: Документы; #17155
• страница: 15 из 15

Требования к цепи, этапы синтеза.Требования к электрической цепи можно разделить на основные и дополнительные. Основные требования определяют целевое назначение синтезируемой цепи. Электрические свойства линейной цепи полностью описываются во временной области переходной g(t)или импульсной h(t)характеристиками, а в частотной области — амплитудно- и фазо-частотными характеристиками. Поэтому основные требования предъявляются либо к частотным, либо к временным характеристикам будущей цепи.

Дополнительные требования зависят от условий работы создаваемых устройств. К ним относятся ограничения на массу и габариты, чувствительность характеристик к изменению элементов, температурную нестабильность, элементный базис (например, в ряде случаев нежелательно применение катушек индуктивности), а также требования простоты процесса настройки в условиях производства и т. д. Часть дополнительных требований носит обязательный характер, а часть подлежат оптимизации (минимизации или максимизации) при прочих равных условиях. Так, возможен случай, когда требования по чувствительности должны выполняться безусловно, а габариты и масса минимизируются.

В классической постановке задача синтеза разбивается на два этапа: задачу аппроксимации и задачу реализации.

Решение задачи аппроксимациизаключается в нахождении такой функции, которая, с одной стороны, удовлетворяет поставленным требованиям, а с другой — удовлетворяет условиям физической реализуемости характеристик (временных или частотных) электрических цепей.

Решение задачи реализациизаключается в нахождении электрической цепи, временная или частотная характеристика которой совпадает с функцией, найденной в результате решения задачи аппроксимации.

 

5.7. Условия физическойреализуемости

 

Синтез электрических цепей можно выполнить во временной области, когда требования задаются к переходной или импульсной характеристике, и в частотной области, когда требования задаются к амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) и ФЧХ цепи. При этом требования часто задаются только к АЧХ цепи, а ФЧХ не контролируется. Очевидно, не любая вещественная функция может быть реализована в виде временной характеристики цепи и не любая комплексная функция может быть реализована в виде входной или передаточной функции.

Условия, при выполнении которых заданная функция может быть реализована как характеристика цепи, называются условиями физической реализуемости(УФР). Данные условия зависят от того, из каких элементов предполагается синтезировать цепь, т. е. УФР зависят от элементного базиса. Ниже будут рассматриваться линейные активные и пассивные -RLC-цепи с сосредоточенными и независящими от времени параметрами. Рассмотрим УФР данных цепей.

Условия физической реализуемости передаточных функций.В гл. 7 показано, что входные или передаточные функции являются дробно-рациональными функциями с вещественными коэффициентами (7.41):



Для того, чтобы дробно-рациональная функция с вещественными коэффициентами являлась с точностью до постоянного множителя передаточной функцией четырехполюсника, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условиям, описанным в § 7.4:

1)  полином знаменателя должен быть полиномом Гурвица;

2)  степень полинома числителя не должна превышать степени полинома знаменателя.

В терминах нулей и полюсов эти два условия могут быть сформулированы следующим образом:

1)  полюсы передаточной функции должны находиться в левой полуплоскости;

2) отсутствуют полюсы в нуле и бесконечности.

На положение нулей никаких ограничений не накладывается. Эти два условия определяют условия устойчивой цепи.

Если некоторая дробно-рациональная функция удовлетворяет приведенным условиям, то говорят, что она удовлетворяет условиям физической реализуемости.

Структура четырехполюсника может накладывать дополнительные ограничения. Так часто представляют интерес четырехполюсники, не содержащие взаимных пидуктивностей и имеющие общий провод между входным и выходным зажимами, т. е. трехполюсники или неуравновешенные четырехолюсники. Такие цепи должны Дополнительно удовлетворять условиям Фиалкова — Герста,формулируемым следующим образом: для трехполюсных цепей без взаимной индуктивности коэффициенты числителя передаточной функции не отрицательны и не превышают соответствующих коэффициентов знаменателя.Это означает, что отсутствуют нули на положительной вещественной полуоси.

Дальнейшие ограничения, накладываемые на структуру четырехполюсника, приводят к дополнительным ограничениям на положение нулей. Так, нули лестничных схем могут находиться только в левой полуплоскости комплексной переменной р.Ограничения на свойства передаточных функций вызываются также видом элементов. Так, в RC-цепях полюсы могут располагаться только на отрицательной вещественной полуоси. В лестничных RC-цепях на отрицательной вещественной полуоси располагаются как полюсы

так и нули.

Условия физической реализуемости модуля и аргумента комплексной передаточной функции.Если переменная рпринимает только мнимые значения р =jω, то операторные функции превращаются в комплексные функции вида:



(16.6)

В синтезе цепей часто пользуются понятием квадрата ыацу№передаточной функции  Это позволяет избавиться от иррациональных функций. На основании формул (16.1) —(16.4) легко показать, что квадрат модуля передаточной функции в общем виде может быть представлен следующим образом (7.45):



Функция D(ω) называется функцией угла или тангенс-функцией. УФР тангенс-функцииследует из УФР операторных функций. Тангенс-функция должна удовлетворять следующим условиям:

1) D(ω) — нечетная дробно-рациональная функция;

2) коэффициенты D(ω) должны быть вещественными.

Условия физической реализуемости временных функций цепи.

Как уже отмечалось, в зависимости от конкретно решаемой задачи, электрические цепи удобно описывать либо частотными характеристиками, либо временными. Так, при построении многоканальных систем передачи с частотным разделением каналов удобно пользоваться частотными характеристиками, а в цифровых системах связи, где применяется временное разделение каналов, удобно описывать электрические цепи временными характеристиками. К временным характеристикам относятся (см. § 8.1) переходная g(t)и импульсная h(t)характеристики. Напомним, что переходная характеристика численно равна отклику (реакции) цепи на единичное воздействие 1(t), в качестве которого может быть либо ток, либо напряжение. Отклик также может быть либо током, либо напряжением, поэтому, как и в случае передаточных функций существует

четыре типа переходных характеристик (гл. 8) g_u(t),g_i(t),g_Y(t)g_z(t).Первые две характеристики являются безразмерными, третья имеет размерность проводимости,  а четвертая — сопротивления .

Импульсная характеристика численно равна отклику цепи на Функцию. Существует также четыре типа импульсных характеристик (гл. 8): Как показано в гл. » импульсная и переходная характеристики выражаются одна через другую, поэтому они не являются независимыми (см § 8.1). Для описания цепи достаточно знать одну из них. Применение того или другого описания цепи зависит от конкретной задачи.

Условия физической реализуемости данных характеристик следует из свойств операторных передаточных функций. Действительно, так как изображение по Лапласу переходной и импульсной характеристик имеет соответственно вид



Функция h(t),кроме перечисленных слагаемых, может содержать слагаемое δ(t) (см. (8.3)).

Слагаемое, приведенное в первой строке (16.7) соответствует простым вещественным, во второй строке — простым комплексно-сопряженным, в третьей кратным вещественным, а в четвертой -кратным комплексно-сопряженным полюсам передаточной функции H(p).

На основании изложенного легко сформулировать УФР переходных и импульсных характеристик: еслиh(t) иg(t) могут быть представлены в виде суммы перечисленных выше слагаемых и при этом все коэффициенты являются вещественными,а α > 0, то h(t)и g(t) будут удовлетворять УФР.

Условия физической реализуемости входных функций(входных сопротивлений Zip)и проводимостей Y(p)).

Возникает вопрос: всякому ли выражению Z(p)можно сопоставить реальный, т. е. физически осуществимый двухполюсник. Очевидно, если синтезируется реактивный двухполюсник то функция Z(p)должна отвечать свойствам входного сопротивления реактивных двухполюсников: быть дробно-рациональной с вещественными коэффициентами и степенями числителя » знаменателя, отличающимися не более чем на единицу; нули и полюсы этой функции должны чередоваться на мнимой оси плоскости р(см. § 4.5).

При синтезе RLC-двухполюсников функция Z(p)должна обладать свойствами входного  сопротивления этих двухполюсников. Входные  функции таких четырехполюсников относятся к классу называемых положительных вещественных функций(ПБФ),которые  удовлетворяют   следующему  дополнительному  условию:

Re[Z(p)]≥0 или Re[Y(p)]≥0 при α>0.

Можно показать, что положительные вещественные функции всегда представляют собой отношение двух полиномов Гурвица, пени которых отличаются не более, чем на единицу, т. е. нули и полюсы расположены в левой полуплоскости. Кроме того, если ПВФ имеет полюсы или нули на мнимой оси (включая р= 0 и p = ∞), то эти полюсы и нули являются вещественными и положительными.

Часто рассматриваются цепи, содержащие элементы только двух видов: LC-,RC-и .RL-цепи. Ограничения на вид используемых элементов накладывают дополнительные ограничения на входные функции. Так, нули и полюсы входных функций LC-цепей находятся на мнимой оси и чередуются. Аналогичным свойством обладают входные функции RC-и RL-цепей с той лишь разницей, что их нули и полюсы находятся на отрицательной вещественной полуоси.

 

5.8. Нормирование элементов и частоты

 

В синтезе электрических цепей часто прибегают к нормированию элементов и частоты. Нормирование частоты уже встречалось ранее, когда рассматривались частотные характеристики колебательных контуров (гл. 4). Целесообразность применения нормирования ясна из следующего примера. Пусть необходимо рассчитать частотную характеристику сопротивления последовательного RLC-контура с параметрами элементов L= 10^-5 Гн, С = 10^-9 Ф, R=  5 Ом. Данный контур имеет добротность Q=20, характеристическое сопротивление ρ = 100Ом и резонансную частоту ω_p = 10⁷c^-1. При расчете сопротивления данного контура приходится оперировать с величинами от 10^-9 до 10⁷, что не всегда удобно. Выполним нормирование сопротивлений и частоты. Для этого запишем выражение сопротивления данного контура:



Разделим левую и правую часть равенства на некоторое норми-у^^{1466 значение} сопротивления R_H,а второе и третье слагаемое умножим и разделим на некоторое нормирующее значение частоты ω_н:

 





— нормированное резистивное сопротивление. Величины ω_н и R_H,вообще говоря, можно выбирать произвольно. В данном случае удобно положить ω_н =ω _р и R_н = ρ. Тогда параметры нормированных элементов принимают следующие значения:



Выполнение расчетов с такими числовыми значениями удобней, чем с ненормированными величинами.

Существует вторая, более важная причина, по которой применяют нормирование. Она проявляется в синтезе цепей. Допустим, что в результате сложных процедур получена некоторая цепь с нормированными значениями элементов. Истинные значения элементов определяются из формул (16.8) —(16.10) следующим образом:



Изменяя ω_н и R_Hможно без выполнения сложных процедур получить схемы устройств, работающих в различных диапазонах частот и при различных нагрузках. Введение нормирования позволило создать каталоги фильтров, что во многих случаях сводит сложную проблему синтеза фильтра к элементарным действиям.

 

5.9. Чувствительность характеристик электрических цепей

 

Предположим, что каким-то образом синтезирован четырехполюсник. Его характеристики (частотные, или временные) выражаются через его элементы. Например, на рис. 16.2 показана простейшая схема фильтра. Его операторная передаточная функция имеет вид

 





Как видно, характеристики цепи зависят от параметров ее элементов. В процессе производства и эксплуатации радиоэлектронных устройств значения параметров элементов неизбежно отличаются от расчетных значений, что приводит к изменению их характеристик. Изменения характеристик должны быть такими, при которых работа устройства не нарушается. Поэтому, чем меньше изменения характеристик при одном и том же отклонении величин параметров элементов, тем лучше это устройство. Для оценки влияния изменений характеристик устройств к изменению параметров элементов вводится понятие чувствительности. Пусть          х_ii-й элемент (параметр) цепи, a F(х_i)—характеристика, зависящая от этого элемента. Чувствительностьюнекоторой характеристики F(х_i) к изменению некоторого параметра х_iназывается предел отношения относительного изменения функции к относительному изменению параметра:



Кроме чувствительности временных и частотных характеристик в теории цепей рассматриваются также чувствительность полюса и добротности полюса к изменению (параметров) элементов. Для операторной передаточной функции (16.14) полюсы определяются выражением



Здесь предполагается, что полюсы являются комплексно-сопряженными числами. На рис. 16.3 показано положение этих полюсов на комплексной плоскости.

Добротностью полюсаназывают отношение его модуля (расстояние от полюса до начала координат) к удвоенной вещественной части:



Интересно, что добротность полюса совпадает с добротностью контура на резонансной частоте (см. (4.25)). В предельных случаях, когда полюс находится на мнимой оси, то Q= ∞,а когда на вещественной оси — Q = 0,5.

Чувствительность k-гополюса определяется как



где p_k—полюс передаточной функции цепи. Эта чувствительность показывает приращение полюса при изменении параметров элементов цепи.   В данном случае S— это не функция, а комплексное число.

Чувствительность добротности полюса вычисляется по формуле



Исследование чувствительности при синтезе цепей помогает создать цепь характеристики которой наименее, подвержены воздействию различных дестабилизирующих факторов (например, температуры, влажности, старения элементов и др.).