ману электротех. 1 Ток, напряжение, мощность

• Название: 1 Ток, напряжение, мощность
• Анкор: ману электротех.docx
• Дата: 24.03.2018
• Размер: 5.71 Mb.
• Имя файла: ману электротех.docx
• Тип: Документы; #17155
• страница: 13 из 15

Фильтры Баттерворта. Если в выражениях, описывающих квадрат АЧХ фильтра (17.4) и его рабочее ослабление (17.5), в качестве функции фильтрации используются полиномы Баттерворта (по имени автора, предложившего использовать их для «конструирования» частотных характеристик фильтра), то такие фильтры называютсяфильтрами Баттерворта.

Из формул (17.4) и (17.5) следует, что для фильтров Баттерворта на частоте Ω = 0 значение квадрата АЧХ равно единице, а рабочего ослабления — нулю. С ростом частоты квадрат АЧХ фильтра Баттерворта уменьшается и падает до нуля на бесконечно большой частоте. Рабочее ослабление плавно растет до бесконечно большого значения. Таким образом, выражения (17.4) и (17.5) приближенно воспроизводят характеристики идеального фильтра.

Чтобы эти характеристики «вписывались» в предъявляемые к фильтру требования (см. рис. 17.3), необходимо иметь рабочее ослабление (17.5) в полосе пропускания меньшее А_ртах,а в полосе непропускания большее А_рmin.Первому условию можно удовлетворить, если потребовать на граничной частоте полосы пропускания (Ω = 1) выполнения равенства Ap(Ω)_Ω=1⁼ А_ртахили Отсюда с учетом (17.5) или (17.4) имеем Вычисленный таким способом коэффициент Е:



называется коэффициентом неравномерности ослабленияв полосе пропускания фильтра.

В формуле (17.6) величина А_ртахимеет размерность непер. Если воспользоваться значениями А_ртахв децибелах, то



С учетом введенных обозначений квадрат АЧХ фильтра Баттер-ворта запишется в виде



Эта функция удовлетворяет свойствам квадрата АЧХ реальных четырехполюсников, и поэтому ей можно сопоставить физически осуществимый электрический фильтр.

Рабочее ослабление фильтра Баттерворта:





Половина полюсов функции Нр(р)Нр(—р)лежит в левой полуплоскости комплексной переменной ри может быть отнесена к передаточной функции реализуемого фильтра Нр(р).Другая половина полюсов, являясь зеркальным отражением первой, располагается в правой полуплоскости и относится к Нр(—р).

Построенная из полюсов, лежащих в левой полуплоскости, передаточная функция фильтра Баттерворта является полиномиальной передаточной функцией типа (17.1):





Используя введенное ранее обозначение B_m(Ω) = Ω'"полинома Баттерворта, можно представить частотные характеристики (17.8) и (17.9) фильтра Баттерворта в следующей форме:



Фильтры Баттерворта называют также фильтрами с максимально плоским ослаблением в полосе пропускания (см. рис. 17.4, а).

Полиномиальные фильтры Чебышева.Если в качестве функции фильтрации в (17.4) и (17.5) использовать полином Чебышева, обозначаемый то формулы (17.14) примут вид:





где T_m(Ω)— полином Чебышева степени (порядка) т; ε —коэффициент неравномерности, определяемый (17.6) или (17.7).

Фильтры с частотными характеристиками (17.15) называются фильтрами Чебышева.Проанализируем частотные характеристики фильтра Чебышева. Для этого вначале рассмотрим свойства полиномов T_m(Ω). Ниже приведены шесть первых полиномов Чебышева:



Анализ поведения полиномов Чебышева показывает, что в интервале —1 ≤Ω≤1 угол Θ = arccosΩ изменяется от —π (приΩ = —1) до 0 (при Ω = 1), поэтому полином T_m(Ω) =cosmΘровнотраз принимает значения, равные нулю, и  т +1 раз достигает значений, равных +1 пли —1 и чередующихся друг с другом. Вне интервала —1 ≤Ω≤ 1 полином Тm(Ω)согласно формуле (17.16 в) монотонно возрастает.



В качестве примера на рис. 17.6, аизображен график полинома Чебышева T₄(Ω),т. е. полинома четвертого порядка.

В соответствии с (17.15) рабочее ослабление А_р(Ω.)фильтра Чебышева на тех частотах Ω, где полином Т_m(Ω)обращается в нуль, также обращается в нуль. На частотах, на которых T_m(Ω)равен ±1, рабочее ослабление достигает величины:

 

С ростом значений полинома Т_m(Ω)на частотах Ω > 1 рабочее ослабление А_Р(Ω)также монотонно растет. На рис. 17.6, 6приведен   график   рабочего   ослабления фильтра Чебышева четвертого порядка.

Фильтры Чебышева называют также фильтрами с равноволновой характеристикой ослабления в полосе пропускания.

На рис. 17.7 показаны частотные зависимости квадрата АЧХ фильтра Чебышева для различных значений т,полученные для |Hp(jΩ)|² из (17.15). Подобные зависимости могут быть построены для рабочего ослабления фильтра.

Чтобы характеристики фильтра отвечали требованиям в полосе непропускання, необходимо выбрать порядок фильтра т.из условия



Сравнивая частотные характеристики фильтров Баттерворта и Чебышева, следует указать, что полиномы Чебышева являются полипомами наилучшего приближения. Это означает, что при одинаковом значении тиз всех полиномиальных фильтров, ослабления которых в полосе пропускания не превышают A_pmax,наибольшие значения ослабления в полосе непропускання имеет фильтр Чебышева. В частности, рабочее ослабление фильтра Чебышева в полосе испропускания может превышать (п весьма значительно) рабочее ослабление фильтра Баттерворта при равных значениях ти А_pmax.Однако характеристика рабочего ослабления фильтра Баттерворта имеет в полосе пропускания монотонный характер и легче поддается корректированию для устранения искажений передаваемых сигналов.

Выбор типа полиномиальных фильтров определяется конкретными условиями их применения в аппаратуре связи и радиотехнических устройствах.

Для получения передаточной функции фильтра Чебышева поступим аналогично тому, как делали это для фильтров Баттерворта. Заменим оператор jΩ на оператор ри перейдем от функции  к функции:



 







В заключение отметим, что для полиномиальных фильтров в справочниках составлены весьма полные таблицы полюсов и коэффициентов передаточных функций для различных величииA_pmax и т.Порядок же фильтров топределяется по специальным графикам, исходя из заданных величин _Арmax,A_pminи Ω₃₎.

Фильтры со всплесками ослабления (на основе дробей Чебышева и Золотарева).Частотные характеристики полиномиальных фильтров, описываемые выражениями (17.1) —(17.3), имеют монотонный характер в полосе непропускания. В частности, рабочее ослабление таких фильтров монотонно возрастает по мере удаления от полосы пропускания (рис. 17.4, аи 17.6, б).

При «жестких» требованиях к частотным характеристикам (малая переходная область между полосами пропускания и непропускания и большая величина рабочего ослабления в полосе непропускания) порядок фильтра тможет получиться очень большим даже в случае применения полинома Чебышева. Это приведет к существенному усложнению фильтра и к излишнему «расходу» элементов.

В таких случаях целесообразно применять фильтры со всплесками рабочего ослабленияв полосе непропускания (рис. 17.8, а).На частотах всплеска Ω_∞1, Ω_∞2 и т. д. рабочее ослабление фильтра стремится к бесконечности; за счет этого возрастает крутизна характеристики ослабления в переходной области. Соответственно AЧХ фильтра на частотах Ω_∞1, Ω_∞2 и т. д. будет обращаться в нуль (рис. 17.8, б).

Для выполнения указанных условий в выражениях (17.2) — (17.3) используют рациональные дроби вида:



Фильтры со всплесками рабочего ослабления называют еще фильтрами с нулями передачи.

Среди фильтров со всплесками ослабления наиболее широкое распространение получили фильтры, построенные на основе дробен Чебышева и Золотарева. Чтобы получить частотные характеристики фильтра на основе дробей Чебышева, нужно в формулах (17.14) пли (17.15) использовать в качестве функции фильтрации дробь Чебышева. Обозначая ее Ф_m(Ω), получим:





Очевидно, что подстановка этой дроби в (17.22) приведет после некоторых преобразований к выражениям общего вида (17.19) и (17.20).

В полосе пропускания дробь Чебышева ведет себя так же, как и полином Чебышева, т. с. рабочее ослабление фильтра носит равноволновый характер. На частотах всплеска Ω_∞1и Ω_∞1дробь Чебышева обращается в бесконечность, что приводит к бесконечно большому рабочему ослаблению.

Следует отметить, что дробь Чебышева является дробью наилучшего приближения. Это означает, что фильтр на основе дроби Чебышева на любой частоте полосы непропускания имеет большее значение рабочего ослабления по сравнению с фильтрами на основе других дробей (и полиномов, как частных случаев дробей) при прочих равных условиях (при одинаковых порядкахт,при таком же количестве и расположении частот всплеска и тех же величинах Артах).

Частным случаем дробей Чебышева являются дроби Золотарева:



Из формул (17.23) и (17.24) следует, что нули функции А_р>(Ω)совпадают с пулями дроби Золотарева, а всплески функции А_р>(Ω) — с полюсами этой же дроби. Нули и полюсы дроби Золотарева можно рассчитывать, однако обычно их определяют но каталогам для операторных передаточных функций ФНЧ. На рис. 17.9 показан график А_р>(Ω)для фильтра Золотарева пятого порядка.



Дроби Золотарева так же, как и полиномы Чебышева, дают равноволновую характеристику рабочего ослабления фильтра в полосе пропускания. Однако в полосе непропускания у фильтров Золотарева значения всех минимумов рабочего ослабления оказываются одинаковыми и равными значению рабочего ослабления на частоте Ω₃.  Такие фильтры называются такжефильтрами с изоэкстре малъиыми характеристикамирабочего ослабления.

Фильтры с характеристиками Золотарева можно рассматривать как частный случай фильтров с характеристиками Чебышева, когда значения минимумов ослабления фильтра в полосе непропускания выравнены, а число всплесков — максимально возможное при выбранном значении т.

 

5.3. Реализация фильтров нижних частот

 

Лестничные полиномиальныеLС-фильтры.Любые из рассмотренных выше фильтров, как полиномиальные, так и со всплесками ослабления могут быть реализованы в виде пассивных LC-цепей.

Пассивные LC-фильтры обычно представляют собой реактивный лестничный четырехполюсник, включенный между генератором с активным внутренним сопротивление R_H п нагрузкой с активным сопротивлением R_Г(рис. 17.10). Входное сопротивление реактивного четырехполюсника, нагруженного па сопротивление R_H,обозначено па рисунке Z_BX1(p).



Если фильтр со стороны зажимов 1 — 1' рассматривать как двухполюсник, образованный реактивным четырехполюсником и нагрузкой R_H,то, зная выражение 2_вх1(р), можно реализовать данный двухполюсник одним из известных в теории цепей методов синтеза двухполюсников. Таким образом, задача реализации фильтра сводится к реализации двухполюсника по его заданному входному сопротивлению. Идея данного подхода принадлежит С. Дарлингтону и метод реализации фильтров называется методом Дарлингтона.

На входе фильтра имеет место несогласованность, которую можно оценить, введя в рассмотрение коэффициент отражения (16.25)



Из (17.27) следует, что знаменатель у σ(р) такой же, как и у Н_р(р):им является полином v(p).Остается найти нули правой части выражения (17.7) и половину из них «приписать» полиному числителя σ(р).Последний формируется из нулей по теореме Виета.