М. Г. Валишев а. А. Повзнер

• Название: М. Г. Валишев а. А. Повзнер
• Анкор: Valishev_M_G_Povzner_A_A_Kurs_obshei_fizik.pdf
• Дата: 15.12.2017
• Размер: 10.33 Mb.
• Имя файла: Valishev_M_G_Povzner_A_A_Kurs_obshei_fizik.pdf
• Тип: Документы; #11559
• страница: 56 из 73

445
Следует отметить, что этот закон является приближенным, это связано с квантованием энергии вращательного и колебательного движения молекул. В отличие от энергии поступательного движения, энергия которого принимает непрерывный набор значений (риса, энергии вращательного и колебательного движения молекул квантуются, то есть принимают дискретный набор значений. Причем расстояние между соседними уровнями энергии для колебательного движения существенно превышает расстояние между соседними уровнями энергии для вращательного движения) кол
>
DW
(n,n+1)вращ
, рис. 12.12а).
Указанные особенности энергетического спектра молекул приводят к зависимости числа степеней свободы молекулы от температуры. Наглядным подтверждением этому являются экспериментально полученные зависимости теплоемкости идеальных газов от температуры.
Рассмотрим температурную зависимость молярной теплоемкости идеального газа c
MV
при постоянном объеме (c
MV
= iR/2, см. формулу (12.70 б. Одноатомная молекула В области низких температур, превышающих температуру кипения (например для аргона она составляет 87,3 К, молекулы газа участвуют только в тепловом поступательном движении, для них число степеней свободы молекулы равно трем. При дальнейшем нагревании это число не изменяется, поэтому для одноатомного газа c
MV
= 3R/2, что согласуется с экспериментом. Двухатомная молекула (молекула водорода. При низких температурах К) молекулы газа участвуют только в тепловом поступательном движении, поэтому c
MV
= 3R/2. Это подтверждает экспериментальная зависимость от температуры для водорода (рис. б, температура кипения для водорода составляет 20,55 КВ этой области температур энергии теплового движения еще недостаточно, чтобы возбудить вращательное и колебательное движение молекул.
При дальнейшем повышении температуры у молекул начинают возбуждаться вращательные степени свободы. При температуре T = 350 К все молекулы принимают участие во вращательном движении, это приводит к плавному увеличению c
MV
до значения 5R/2.
а
б
Рис. 12.12

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
Возбуждение колебательного движения в молекулах требует существенно большей энергии теплового движения, и только при температуре порядка К и выше начинается заметное участие молекул в колебательном тепловом движении и c
MV
приближается к значению Итак, на температурной зависимости c
MV
(T) имеются участки, на которых значение c
MV
остается неизменными участки, где происходит рост Такое поведение теплоемкости газов находится в резком несоответствии с классической теорией теплоемкости газов, утверждающей независимость теплоемкости идеальных газов от температуры.
12.2.7.
ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРВОГО И ВТОРОГО
ЗАКОНА ТЕРМОДИНАМИКИ К ИЗОПРОЦЕССАМ
В ИДЕАЛЬНОМ ГАЗЕ.
ПОЛИТРОПИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
Запишем формулы, которые будут использоваться при рассмотрении изо процессов в идеальном газе 2 3 1 2 3 1
1 3 4 5
2 12 12 12 1
2 2
1 1
1
1
1
2
34 2
3 4 5
678 9
2 5 ;
(12.68 а 1
2 3
2 2 4 2
4 5
2 12 1
1 1
2
1
2
2
3
4
5
67
89
89
9
9
1
(12.68 б)
К этим формулам добавлено уравнение состояния идеального газа (12.37) уравнение Менделеева–Клапейрона.
1. Изотермический процесс (T = const, m = const). Уравнение процесса const.
1 2 3 4 1 2 3 4 1 1
2 3 1
1 1 2 3 1
5 5
1 1
23 1
4
1
2
2
3
45 3
4 5
6
1
45
781
81
45
9
6
1
1
1 12 2
2 2
12 12 1
1 0
2 2
(12.69 а 1
2 2 3 4 2
2 5 6 2 5 6 5 6 7
2 1
2 12 1
2 1
1 23 23 4
1
1
21
3
4
4
5
6
7
8
91
1
5
3
(12.69 б)
Отметим, что молярная теплоемкость при этом процессе равна бесконечности, так как любой подвод тепла идет на совершение газом работы, и при этом температура системы не изменяется. Изохорический процесс (V = const, m = const). Уравнение процесса = const.
1 23 4 1 2 4 1 2 4 1 2 4
1 1
1 4 5
2 12 12 12 1
0 2
2 2
1 1
1
12
2
3
3
3
4
56 4
5 6
2 7
8
6 9
2
4 ; (12.70 а 2
3 3
3 4 3
2 4 2 4 2
2 2
1
1
21
3
45
6 748 6
9
7
48
48
48
;
(12.70 б 2
3 3 4 5 3 4 5 3 4 5 6
6 2
2 2
2 12 1
1 1
1 2
2 2
12 12 3
1
2
3
4
5
64 5
5
7
8
8
8
4
4
4
2
(12.70 в

ЧАСТЬ 12. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА. Изобарический процесс (p = const, m = const). Уравнение процесса = const.
1 23 4 1 2 4 1 4 1 2 4
1 1 4 1 23 4 5
2 12 1
2 2
2 1
1
12
3
3
3
4
56 4
5 6
7 2
8
6 9
7 2 7 2
5 6; (12.71 а+ A
12
;
(12.71 б 2 3 4 5 3 4 6
5 6 7
7 7
7 5
3 4 3 4 3 4 12 12 2
1 2
1 2 3
1
21
3
456
456
7
58
9
3
4
56
56
56
; (12.71 в 2 1 2 1 2 3
4 5
5 6 7 8 5
6 7 8 5
6 7 8 9
9 2
2 2
2 12 1
1 1
1 1
1 1
2 2
2 12 12 3
1
2
3
4
5
63
5
5
7
8
8
8
3
3
3
4
(12.71 г)
Отметим, что разность теплоемкостей c
MP
и c
MV
для идеального газа составляет Это уравнение получило название уравнения Майера.
4. Адиабатический процесс (изоэнтропийный процесс, S = const) — это процесс, происходящий в системе без теплообмена с внешними телами, или это изоэнтропийный процесс, при его протекании энтропия системы не изменяется 4
5 6
5 6
7
2
8
; (12.73 а 2
2 3
2 4 5 12 0
0 1
2
12
3
4
2
56
(12.73 б)
Выведем формулу уравнения адиабатического процесса 1
2 3 4 5 6 2
4 4 5 6 7
4 2
4 5 6 7
7 4
2 2
2 4
5 2
8 9
2 2
4 7
6 4


1 6 2
4 4 7 4 const
1 1
2 3
2 31 2
3 1
1 245 3 245 3 1 2452 33 6
12
12
12
12
12
12
34
5
6 37 832
82
97
3 82
832 238
937
6
37
832 238
832 238
832
9
9
38
6
6
6
9
832
238
9
9
82
6
8
3
2
3
8
3
82
82
0 0
1 0
1 1
0 0
0 Итак, уравнение адиабаты в параметрах состояния (p, V) принимает вид const,
(12.74 а)
а для других параметров идеального газа запишется таким образом const, P
1–
g
T
g
= const.
(12.74 б)
При выводе был введен коэффициент Пуассона g, который равен отношению молярной теплоемкости идеального газа при постоянном давлении к молярной теплоемкости газа при постоянном объеме 2 3 он выражается через число степеней свободы молекулы идеального газа

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
В координатах (p, V) адиабата изменяется более резко, чем изотерма, так как коэффициент Пуассона g больше единицы (g > 1, рис. 12.13а).
Использование уравнения адиабаты, помимо формулы (12.73 а, позволяет получить следующую формулу для работы идеального газа при адиабатическом процессе 12 1
1 3
4 3
4 5
3 4
3 4
6 6
6 2
6 2
7 8
7 8
7 8
7 8
7 8
7 8
1 2 1 2 9
9 9
9


1
1 2 32
1 2
2
45
2
6
132
2
2
2
2 2
1 1
1 1
1 1
1 1
1 12 2
2 1
1 1
1 1
1
(12.76)
5. Политропический процесс Это процесс, при протекании которого теплоемкость системы остается постоянной (c
M
= const). Уравнение политропы здесь не выводится, но его можно найти по аналогии с выводом уравнения адиабаты (12.74 а, при этом необходимо записать уравнение первого закона термодинамики в следующем виде = n × c
M
dT
= dU Уравнение политропы имеет вид 2
3 1 3 2
const
1 где b — показатель политропы.
Все рассмотренные выше процессы относятся к политропным. Для них показатель политропы принимает следующие значения 1) изотермический процесс c
M
=
¥ Þ b = 1; 2) изохорический процесс c
M
= c
MV
Þ b = ¥; 3) изобарический процесс c
M
= c
MP
Þ b = 0; 4) адиабатический процесс c
M
= 0
Þ b =
= Графики изопроцессов приведены на рис. 12.13а.
Политропные процессы широко используются в технической термодинамике при исследовании термодинамических рабочих циклов тепловых дви гателей.
12.2.8.
КПД ИДЕАЛЬНОГО ТЕПЛОВОГО ДВИГАТЕЛЯ.
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ИЗМЕНЕНИЯ ЭНТРОПИИ
ДЛЯ НЕРАВНОВЕСНЫХ ПРОЦЕССОВ
КПД идеального теплового двигателя. Если взять круговые процессы,
для которых разность между максимальной и минимальной температурой будет одинаковой, то среди них максимальный КПД будет у теплового двигателя, работающего по циклу Карно. Такой двигатель назвали идеальным.
а
б
в
г
Рис. 12.13

ЧАСТЬ 12. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА
449
Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат, его графики в координатах) и (T, S) приведены на рис. б, в.
Рассчитаем КПД идеального теплового двигателя. Для этого выделим отдельные вклады в изменение энтропии рабочего тела (газ) и учтем, что изменение энтропии рабочего тела (газа) на замкнутом цикле равно нулю 1
2 3 2 4 2 4 2 4 2 3
4 4 4 3 4
3 5 5
3 5 6 3 7 3 7 8
8 2
4 12 23 34 41 1
3 0
0 0
1 1
охл н
круг н
охл охл охл охл охл
Карно н
н н
н
1 1
1 Покажем, что КПД цикла Карно является наибольшим. Для этого в координатах) приведем графики произвольного замкнутого цикла и цикла Карно (рис. г. Для этих циклов максимальные температуры нагревателя и охладителя совпадают. Тогда тепло, полученное от нагревателя и отданное охладителю, в цикле Карно 1
2 3
1 1
2 4
5 5
2 4
1 1
2 1
4 1
3 0
0
нагр охл
З
З
3 1
2 3
1 2
4
1
2 34 2 4
4
1
2 34 2 Эти количества теплоты в координатах (T, S) представляют собой площади прямоугольников 1–2–5–6–1 (Q
нагр
) и 3–4–6–5 (Q
охл
).
КПД произвольного цикла и цикла Карно определяются формулами 2
3 4 2 3 4 1 1
1
охл охл
Карно нагр нагр
1 1
1 1
2 в которых 1
2 3
2 4
1 2
нагр нагр охл охл
1 1
1
1
2 где q
1
и q
2
— площади фигур, ограниченных прямоугольником и произвольным циклом a1b + b2c, q
2
= c3d + Тогда КПД для произвольного цикла можно записать в следующем виде 1 2
3 4 5 1 5
5 5 4 6
3 1
4 1
1 1 6 4 5 5 4 1
1 4 1
1 1
1 1
2 1
1 2
2 1
1 1
1 1
1
нагр охл охл нагр охл
Карно нагр нагр нагр
Карно нагр охл
Карно
Карно нагр нагр нагр
1 1
1 1
2 1
1 1
1 1
1 3
4 5
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
1
2 Второе и третье слагаемые в полученной формуле будут положительными, это означает, что h < Карно. Равенство будет наблюдаться только в том случае, если произвольный цикл будет совпадать с циклом Карно.
Расчет изменения энтропии для произвольного неравновесного процесса перехода системы из одного состояния в другое. Если необходимо рассчитать изменение энтропии произвольного неравновесного процесса перехода системы (идеальный газ) из одного состояния (параметры состояния p
1
, V
1
)

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
в другое (параметры состояния p
2
, V
2
), следует использовать тот факт, что энтропия является функцией состояния системы, и рассчитать изменение энтропии для равновесного процесса перехода. Выбирается процесс, состоящий из нескольких изопроцессов (например изобарический 1–3 и изохорический, рис. 12.14), что позволяет использовать формулы, приведенные в п. 12.2.4 при V
3
= V
2
, p
3
= p
1
:
1 2 3
4 3 5 3 4
5 6 5 6 2
2 12 13 32 1
1 1
2 2
равн
12 12 Если в процессе теплообмена системы с внешними телами в ней происходит нагревание (охлаждение, плавление (кристаллизация) вещества, превращение жидкости в парили конденсация, то необходимые для расчета изменение энтропии
DS и количество теплоты Q рассчитываются по формулам, (В качестве примера рассмотрим процесс,
происходящий в системе за счет теплообмена с внешними телами — процесс нагревания льда массы m от температуры T
1
до температуры (при этой температуре лед превращается вводу К, T
2
> 273 К).
Тогда для расчета изменения энтропии системы используем равновесные процессы и рассчитываем
DS следующим образом 2 1 3 1 3 1 2
4 4
5 2
3 3
2 3
3 6
6 2
1 273 2
1 273 273 273 273 273
равн нагрева льда плавл нагрева воды нагрева нагрева льда воды 12 Расчет изменения энтропии замкнутой системы для процесса расширения идеального газа в пустоту. Покажем, что протекание неравновесного процесса в замкнутой системе приводит к возрастанию энтропии системы. Для этого рассмотрим процесс расширения газа в пустоту. Пусть в первоначальном состоянии водной половине цилиндра, разделенного неподвижным поршнем на две равные части, находится идеальный газ, термодинамические параметры которого равны T, P и V (равновесное состояние, а в другой половине цилиндра создан вакуум. Если поршень отпустить, то состояние газа будет уже неравновесным, газ начинает расширяться,
занимая в итоге весь объем цилиндра. При таком расширении работа газа равна нулю (внешнее давление на поршень отсутствует, трением при движении поршня можно пренебречь. После расширения начинается процесс перехода (процесс релаксации) газа из неравновесного состояния в равновесное состояние 2. В конечном состоянии термодинамические параметры состояния газа будут равны T, P/2 и 2V. Это следует из того, что для замкнутой системы теплообмен отсутствует и поэтому внутренняя энергия газа не изменяется:
Рис. 12.14

ЧАСТЬ 12. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА 2 3 4 2 1 1 5 1
1 1 5 1
4 4
1 1
12 12 2
2 2
2 1
1 1 1 1
2 2
1 0
2 2
2 2
2 1
1 2 3
1
1
1
1
2
3 4
3
3
56
7 8
3
56
7 8
6 6 Энтропия является функцией состояния системы, поэтому она не зависит от пути перехода из состояния 1 в состояние 2. Это позволяет для расчета изменения энтропии использовать процесс равновесного перехода из состояния в состояние 2. В данном случае это будет изотермический процесс, так как температуры газа в состоянии 1 и 2 одинаковы 2 1 2 3 2 3 4
12 12 2
1 2
0
неравн равн
123 4
12 5
1
1
2
3 что и требовалось показать.
12.2.9.
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ.
СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПОНЯТИЯ ЭНТРОПИИ.
ОЦЕНКА ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
НЕРАВНОВЕСНОГО И РАВНОВЕСНОГО СОСТОЯНИЙ
Энтропия системы сточки зрения статистической физики. Итак, втер модинамике было выяснено, что энтропия определяет направление протекания процессов в замкнутых системах.
В статистической физике энтропия системы раскрывается с другой стороны, ее можно связать с тепловым движением молекул. Рассуждения при этом будут следующими.
Если система самопроизвольно переходит из неравновесного состояния в равновесное, то это означает, что она самопроизвольно переходит из состояний менее вероятных в состояния более вероятные, причем равновесное состояние обладает наибольшей вероятностью, так как в нем система может находиться сколь угодно долго при неизменных внешних условиях.
Следовательно, необратимость процессов связана с переходом системы
из состояний менее вероятных в состояния более вероятные. Конечно, возможно протекание и обратных процессов, при которых система переходит из более вероятных состояний в менее вероятные, но вероятность осуществления таких процессов чрезвычайно мала. Так, например, сточки зрения молекулярной физики стакан, который упал со стола и разбился, имеет неравную нулю вероятность подняться на стол и стать снова целым. Но вероятность такого процесса будет чрезвычайно малой, и на практике такие процессы не наблюдаются.
Для того чтобы количественно оценить вероятность различных состояний системы, вводят понятие термодинамической вероятности (статистического веса — это числа микросостояний системы, которые соответствуют данному макросостоянию системы.
Причем по определению
W ³ В статистической физике принята гипотеза о том, что все микросостояния данной системы являются равновероятными. Это означает, что вероятность
макросостояния пропорциональна е термодинамической вероятности
W.
Молекулы, участвуя в тепловом движении, со временем хаотично движутся и непрерывно изменяют свои координаты и скорости. Поэтому данному макросостоянию системы будет соответствовать чрезвычайно большое

МГ. ВАЛИШЕВ, А. А. ПОВЗНЕР. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ
число микросостояний, которое не так просто оценить. Это будет сделано в разделе, посвященном физике твердого тела (см. п. Относительно термодинамической вероятности можно отметить следующее. Аналогично энтропии возрастает при переходе замкнутой системы из неравновесного состояния в состояние равновесия является наибольшей в состоянии равновесия является функцией состояния системы.
Также характеризует степень хаотичности в движении молекул по координатами скоростями, в отличие от энтропии, является мультипликативной функцией состояния системы, то есть для системы, состоящей из двух невзаимодействующих подсистем равна произведению термодинамических вероятностей этих подсистем (
W = W
1
× Энтропия же является аддитивной функцией состояния системы, то есть энтропия системы, состоящей из двух невзаимодействующих частей, равна сумме энтропий этих частей (S = S
1
+ Сравнивая свойства энтропии и термодинамической вероятности, можно заметить между ними много общего. Больцман показал, что введенное втер модинамике понятие энтропии связано с термодинамической вероятностью формулой где k — постоянная Больцмана.
Отметим, что входящее в формулу выражение ln
W также, как и энтропия, является аддитивной величиной.
Записанная формула раскрывает статистический смысл энтропии, а именно энтропия системы является мерой хаотичности в движениях молекул
по координатами скоростям Формула (12.81) позволяет также провести оценку энтропии для неравновесных состояний.
Приведем формулировку второго начала термодинамики сточки зрения статистической физики — в замкнутой системе вероятнее всего протекают процессы с увеличением энтропии, процессы с уменьшением энтропии маловероятны Эта формулировка носит вероятностный смысл она не запрещает протекание процессов, происходящих с уменьшением энтропии, они могут протекать в замкнутой системе, но они будут маловеро ятными.

1   ...   52   53   54   55   56   57   58   59   ...   73