Методические указания по выполнению лабораторных работ по механике и молекулярной физике, входящих в первую часть физического практикума по дисциплине "Физика"

• Название: Методические указания по выполнению лабораторных работ по механике и молекулярной физике, входящих в первую часть физического практикума по дисциплине "Физика"
• Дата: 04.04.2022
• Размер: 2.35 Mb.
• Имя файла: mu_1_lab.doc
• Тип: Методические указания; #441829
• страница: 7 из 17

Определение моментов инерции методом колебаний

Цель работы: экспериментально определить момент инерции однородного стержня относительно двух параллельных осей, результат сопоставить с теоремой Штейнера.

Т


Рис.1
еоретическое описание

В данной работе методом колебаний определяем моменты инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс, J_c, и относительно параллельной ей оси, проходящей через конец стержня, J_A. Для определения момента инерции J_c наблюдаем малые колебания стержня на бифилярном подвесе (рис.1,2). Для определения момента инерции стержня J_A наблюдаем малые колебания, подвесив его за конец (рис.3).

З


Рис.2
а счет трения в точках подвеса энергия колебаний стержня уменьшается. Однако если ограничится наблюдением нескольких колебаний (в пределах 10-20 колебаний), то работа сил трения будет невелика, Ее можно не учитывать и при малых углах отклонения (6-8°) колебания считать гармоническими:

(1)

где ₀ – угловая амплитуда; T – период колебаний. Так как работой сил трения пренебрегаем, то полная механическая энергия стержня остается неизменной. При прохождении положения равновесия стержень обладает только кинетической энергией: , где  – максимальная угловая скорость.

При отклонении стержня от положения равновесия на максимальный угол его полная механическая энергия (потенциальная) U = mgh, где h – максимальная высота поднятия центра масс стержня.

Запишем закон сохранения энергии

(2)

Формулы (1) и (2) позволяют найти момент инерции J, если измерен на опыте период колебаний T.

1. Определение J_c – момента инерции стержня относительно оси симметрии.

Стержень на бифилярном подвесе совершает крутильные колебания (см. рис.1). Определяем его максимальную угловую скорость , продифференцировав (1) по времени:

; (3)

Максимальная высота подъема центра масс стержня определяется углом ψ₀ (см.рис.2):

,

где b – длина нити подвеса; ψ₀ – максимальный угол отклонения нити, однозначно связанный с максимальным углом отклонения стержня от положения равновесия ₀. При малых значениях ₀ и ψ₀ конец стержня проходит путь AA₁, который приближенно можно считать равным длине дуги AA₁:

, .
Теперь выразим h через угол φ_o:

(4)

Подставляя (3) и (4) в (2), получаем

(5)

2


Рис.3
. Определение J_A момента инерции стержня относительно оси, перпендикулярной ему и проходящей через конец.

В формулу (2) подставляем соответствующие значения максимальной скорости при прохождении положения равновесия  из (3) и максимальной высоты поднятия центра масс h (рис.3). Из рис.3 получаем связь между h и углом ₀:

(6)

Из равенства (20) с учетом (3) и (6) получаем

(7)

Таким образом, измеряя на опыте периоды колебаний стержняT_c иT_A, длину нити подвеса, длину стержня, можно вычислить моменты инерции J_c и J_A стержня относительно параллельных осей, а результат сопоставить с теоремой Штейнера.

Момент инерции

Момент инерции является мерой инертности твердого тела при его вращении.

Момент инерции твердого тела зависит от распределения масс относительно оси вращения и равен сумме моментов инерции составляющих его материальных точек:

или

где ∆m_i или dm – масса элементарной точки, а r² или – квадрат расстояния от этой точки до оси вращения.
Терема Штейнера

Момент инерции тела J относительно произвольной оси О равен моменту инерции J_c этого тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс С, сложенному с произведением массы тела m на квадрат расстояния d между осями:


Порядок выполнения

1. Подвесить стержень на нитях строго горизонтально, расположив его между направляющими.

2. Взяться за правую направляющую, подвести к стержню и повернуть его на угол 4°. Затем резко развернуть направляющую планку от стержня, предоставив ему возможность совершать крутильные колебания относительно оси CC' (см.рис.1).

3. Измерить секундомером время t_c полных n₁ колебаний (n₁ = 10, отсчет времени начинать при прохождении маятником любого крайнего положения). Рассчитать период колебаний . Опыт повторить 9 раз и определить среднее значение периода < T_c >.

4. Измерить l – расстояние между точками подвеса стержня А и В; b - длину нитей подвеса. Масса стержня указана на нем (в граммах).

5. Подвесить стержень за конец А и привести в колебание в вертикальной плоскости. Угол отклонения не должен превышать 4°.

6. Определить время 10 колебаний стержня и вычислить T_Ai. Опыт проделать 9 раз и определить < T_A >.

7. По формулам (5) и (7) вычислить моменты инерции стержня относительно перпендикулярных ему, но параллельных друг другу осей, проходящих через центр масс (J_c) и конец стержня (J_A), подставляя в них средние значения и .

8. Случайные отклонения каждого измерения периодов равны соответственно , , а средние квадратичные отклонения: , . Погрешности результатов измерения периодов , .

9. Относительные и абсолютные погрешности подсчитать по формулам

; .

; .

10. Вычислить величины и . Сравнить их значения.

11. Данные измерений и вычислений занести в табл. 1-4.
Таблица 1 Таблица 2

n1	tci,с	Tci,с		tАi,с	TАi,с
	. . .			. . .
< Tc > = ∆Tc=				< TА > = ∆TА=

Таблица 3.

m, кг	∆m, кг	l, м	∆l, м	b, м	∆b, м

Таблица 4.

Jc, кг·м2	∆Jc, кг·м2	JA, кг·м2	∆JA, кг·м2	, кг·м2	, кг·м2

Контрольные вопросы

1. Каков физический смысл момента инерции материальной точки, твердого тела?
2. Как вычислить момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс?
3. Сформулировать теорему Штейнера.
4. получить связь между максимальной угловой скоростью стержня и амплитудой его колебаний.
5. Получить формулу для расчета момента инерции шара, кольца, стержня относительно оси, проходящей через центр масс.

1.Савельев И.В. Курс общей физики. т.1. М:Наука, 1986.- гл.V, §39, 41, гл.VII, §54.

Лабораторная работа №6