Количественное описание неопределенностиQUAM2012_P1_RU. Руководство еврахимситак количественное описание неопределенности в аналитических измерениях Третье издание
 Скачать 1.93 Mb.
|
|
E.2.4 . В предположении, что результат y является функцией четырех параметров p, q, r, и s основная таблица строится следующим образом. i) Вносят значения p, q, и т.д. и формулу для вычисления y в столбец A of the таблицы. Копируют столбец A в последующие столбцы, последовательно для каждой переменной, от которой зависит y (см. Рисунок E2.1). Удобно разместить значения неопределенностей u(p), u(q) и т. д. в строке 1, как это показано в таблицах. ii) Прибавляют u(p) к p в ячейке B3, u(q) к q в ячейке C4 и т.д., как это показано на рисунке E2.2. После пересчета таблицы ячейка B8 дает f(p+u(p), q ,r..) (обозначено как f (p’, q, r, ..) на рисунках E2.2 и E2.3), ячейка C8 дает f(p, q+u(q), r,..) и т.д. iii) В строку 9 вносят строку 8 за вычетом A8 (например, в ячейке B9 будет B8-A8). Это дает значения u(y,p) в виде u(y,p)=f (p+u(p), q, r ..) - f (p,q,r ..) и т.д. ПРИМЕЧАНИЕ Это даст разность с определенным знаком; ее величина определяется оцененной стандартной неопределенностью, а знак обозначает направление изменения. iv) Для получения стандартной неопределенности y эти отдельные составляющие возводят в квадрат, суммируют и затем извлекают квадратный корень, при этом u(y,p) 2 вносят в строку 10 (рисунок E2.3) а квадратный корень суммы – в A10. То есть ячейка A10 устанавливается на формулу SQRT(SUM(B10+C10+D10+E10)) что дает стандартную неопределенность в y. E.2.5 Ячейки B10, C10 и т.д. показывают возведенные в квадрат вклады u(y,x i ) 2 =(c i u(x i )) 2 индивидуальных составляющих неопределенности в y и поэтому легко видеть, какие составляющие существенны, а какие нет. E.2.6 По мере того как изменяются значения отдельных параметров или уточняются неопределенности, можно легко провести новые вычисления. На стадии i) вместо копирования столбца A в столбцы B-E, копируют значения от p до s путем отсылки, т. е. ячейки B3−E3 относят к A3, ячейки B4−E4 относят к A4 и т.д. Горизонтальные стрелки на рисунке E2.1 показывают это для строки 3. Заметьте, что ячейки В8-Е8 должны все равно служить основой для отнесения значений в столбцах от В до Е соответственно, как это показано на рисунке E2.1 вертикальными Количественное описание неопределенности Приложение E − Статистика QUAM:2012.P1-RU Стр. 127 стрелками для столбца В. На стадии ii) добавляют отсылки к строке 1 (см. рисунок E2.1). Например, ячейка B3 становится A3+B1, ячейка C4 становится A4+C1 и т.д. При таком подходе изменения параметров и неопределенностей будут немедленно отражены в общем результате (ячейка А8) и в суммарной стандартной неопределенности (ячейка A10). E.2.7 Если какие-либо из переменных являются коррелированными, к SUM в А10 добавляется необходимый в таких случаях дополнительный член. Например, если p и q коррелируют и коэффициент корреляции равен r(p,q), то тогда до того, как извлекается квадратный корень, к вычисленной сумме добавляется дополнительный член 2r(p,q) u(y,p)u(y,q). Поэтому корреляцию можно легко включать в рассмотрение, добавляя в таблицу соответствующие дополнительные члены. Количественное описание неопределенности Приложение E − Статистика QUAM:2012.P1-RU Стр. 128 Рисунок E2.1 A B C D E 1 u(p) u(q) u(r) u(s) 2 3 p p p p p 4 q q q q q 5 r r r r r 6 s s s s s 7 8 y=f(p,q,..) y=f(p,q,..) y=f(p,q,..) y=f(p,q,..) y=f(p,q,..) 9 10 11 Рисунок E2.2 A B C D E 1 u(p) u(q) u(r) u(s) 2 3 p p+u(p) p p p 4 q q q+u(q) q q 5 r r r r+u(r) r 6 s s s s s+u(s) 7 8 y=f(p,q,..) y=f(p’,...) y=f(..q’,..) y=f(..r’,..) y=f(..s’,..) 9 u(y,p) u(y,q) u(y,r) u(y,s) 10 11 Рисунок E2.3 A B C D E 1 u(p) u(q) u(r) u(s) 2 3 p p+u(p) p p p 4 q q q+u(q) q q 5 r r r r+u(r) r 6 s s s s s+u(s) 7 8 y=f(p,q,..) y=f(p’,...) y=f(..q’,..) y=f(..r’,..) y=f(..s’,..) 9 u(y,p) u(y,q) u(y,r) u(y,s) 10 u(y) u(y,p) 2 u(y,q) 2 u(y,r) 2 u(y,s) 2 11 Количественное описание неопределенности Приложение E − Статистика QUAM:2012.P1-RU Стр. 129 E.3 Оценивание неопределенности с использованием моделирования по методу Монте-Карло E.3.1 Введение Рабочая группа 1 (WG1) Объединенного комитета по руководствам в области метрологии (JCGM) в 2008 году опубликовала Дополнение 1 (GS1) к Руководству по выражению неопределенности в измерениях GUM [H.23]. Дополнение 1 описывает общий подход, названный “трансформирование распределений” для оценивания неопределенности измерений. Этот подход реализуется численно как метод имитационного моделирования Монте-Карло. При наличии подходящего программного обеспечения этот метод является простым и легким для использования. Он применим практически во всех случаях, в которых можно использовать GUM и подход Краггена; кроме того, его можно использовать, когда результат измерений вычисляется с помощью итерационной процедуры. Этот раздел дает краткое описание данного метода. E.3.2 Основные положения Как и метод, изложенный в приложении E.2, метод Монте-Карло требует наличия модели измерения, в которой описан измерительный процесс в зависимости от всех индивидуальных факторов, влияющих на результат. Модель измерений может быть выражена в виде уравнения, как в приложении E.2, компьютерной программы или функции, которая дает результат измерения. Кроме того, для входных величин требуется информация о распределении вероятностей в виде плотности распределения (PDF), например, нормальное, треугольное или прямоугольное распределения, описанные в приложении E.1. Раздел 8.1. описывает, как эти плотности распределения вероятностей могут быть получены из обычно доступной информации о входных величинах, например, верхнем и нижнем пределе, оценках величин и связанных с ними стандартных неопределенностях; документ GS1 дает также дополнительное руководство и для других случаев. В методе Монте-Карло вычисляется результат, соответствующий значению каждой входной величины, взятому случайным образом из его плотности распределения вероятностей, и это вычисление повторяется большое число раз (число испытаний), обычно от 10 5 до 10 6 . Этот процесс дает набор смоделированных результатов, которые, при определенных допущениях, формируют приближенную функцию плотности распределения вероятностей для значения измеряемой величины. Из этого набора смоделированных результатов получают среднее значение и стандартное отклонение. В Дополнении 1 к GUM они используются как оценка измеряемой величины и связанная с ней стандартная неопределенность соответственно. Этот процесс проиллюстрирован на Рисунок E.3.1B в сравнении с обычной процедурой GUM, показанной на Рисунок E.3.1A. Согласно GUM суммируют стандартные неопределенности оценок входных величин и получают стандартную неопределенность, связанную с Рисунок E.3.1 Приведено сравнение закона распространения неопределенности (А) и распространения распределений (В) для трех независимых входных величин. g(ξ i ) − плотность распределения вероятностей, связанная с x i и g(η) − плотность распределения вероятностей результата. Количественное описание неопределенности Приложение E − Статистика QUAM:2012.P1-RU Стр. 130 оценкой измеряемой величины; Процедура, описанная в Дополнении 1 (рисунок 1B) использует распределения входных величин для вычисления распределения выходной величины. E.3.3 Связь между методом Монте-Карло, GUM и подходом Крагтена В большинстве случаев методы GUM, Крагтена и Монте-Карло дают практически одно и то же значение для стандартной неопределенности, связанной с оценкой измеряемой величины. Различия становятся заметными, когда распределения далеки от нормального и в случаях, когда зависимость результата измерения от одной или нескольких входных величин нелинейна. Базовый подход GUM, рассмотренный в главе 8., плохо применим там, где есть существенная нелинейность. Нелинейность учитывается в GUM включением в рассмотрение членов более высокого порядка (в [H.2] это описано подробно). Если эта проблема имеет место, подход Крагтена (Приложение E2), вероятно, даст более реалистичную оценку неопределенности, чем уравнение первого порядка в разделе 8.2.2., поскольку подход Крагтена учитывает действительные изменения результата при изменении входных величин на величину стандартной неопределенности. Метод Монте-Карло (при достаточно большом числе имитаций) даст все же лучшее приближение, потому что он дополнительно исследует экстремумы входных и выходного распределений. В тех случаях, когда распределения существенно отличаются от нормального, подход Крагтена и основной подход GUM дают оценку стандартной неопределенности, в то время как метод Монте-Карло может предоставить информацию о виде распределения и, соответственно, лучше обозначить действительный ‘интервал охвата’, чем просто интервал y±U. Главными недостатками метода Монте-Карло являются: большая сложность расчетов и время вычислений, особенно когда требуется получить надежные интервалы; рассчитываемые неопределенности изменяются от одного испытания к другому из-за заведомо случайного характера моделирования; трудно определить наиболее значимые вклады в суммарную неопределенность без повторения моделирования. Тем не менее, совместное применение базового метода GUM, подхода Крагтена и метода Монте-Карло почти всегда полезно в разработке подходящей стратегии, так как каждый из трех подходов освещает разные стороны проблемы. Существенные различия между результатами, полученными по GUM и методу Крагтена, часто указывают на заметную нелинейность, в то время как большие различия между подходами Крагтена или GUM, с одной стороны, и методом Монте- Карло, с другой − может свидетельствовать о значительных отклонениях от нормальности. Если различные методы дают существенно разные результаты, то причина этого различия должна быть исследована. E.3.4 Реализация с помощью электронных таблиц Метод Монте-Карло лучше всего реализуется с помощью специально разработанного программного обеспечения. Однако можно использовать функции электронных таблиц, указанные, например, в Таблица E3.1, для получения оценок Монте-Карло при небольшом числе имитаций. Эта процедура вычислений иллюстрируется с помощью следующего простого примера, в котором значение y вычисляется из значений входных величин a, b и c в соответствии с уравнением c b a y (Это может быть, например, массовая доля, вычисляемая из измеренной массы аналита a, общей массы b и массы тары c соответственно). Значения параметров, стандартные неопределенности и приписанные распределения приведены в строках 3 и 4 Таблица E3.2. Таблица E3.2 также иллюстрирует процедуру вычислений. i) В строки 3 и 4 электронной таблицы вводят значения входных параметров и их стандартные неопределенности (или, в Количественное описание неопределенности Приложение E − Статистика QUAM:2012.P1-RU Стр. 131 случаях прямоугольного или треугольного распределений, полуширину интервала). ii) Вычисление результата y вводят в строку 3, справа от набора входных значений. iii) Начиная с подходящей строки ниже строки значений и неопределенностей (строка 8 является начальной в Таблица E3.2), необходимые формулы для каждого распределения вводят под каждым входным параметром. Полезные формулы электронных таблиц для генерирования случайных выборок с использованием различных видов плотности распределения приведены в Таблица E3.1. Заметим, что формулы должны содержать фиксированные ссылки на строки, содержащие значения параметра и неопределенности (они обозначены в формуле знаком $). iv) Вычисление результата y копируется в первую строку случайных значений, справа от набора значений входных величин. v) Строка, содержащая формулы для случайных значений и формулу соответствующего вычисленного результата, копируется ниже, чтобы получить желаемое число повторов (500 в Таблица E3.2) vi) Оценка стандартной неопределенности в у, полученная по методу Монте-Карло, − это стандартное отклонение всех смоделированных значений у; оно показано в ячейке G4 Таблица E3.2. Полученное распределение можно исследовать с помощью построения гистограммы, используя встроенные функции электронных таблиц. Для приведенного здесь примера с использованием значений из Таблица E3.2, 500 повторов дают стандартную неопределенность в y, равную 0,23. Повторение моделирования 10 раз (путем пересчета электронной таблицы) дало значения стандартной неопределенности в диапазоне от 0,197 до 0,247. Сравнение со стандартной неопределенностью 0,187, вычисленной с использованием базового подхода GUM, показывает, что моделирование по Монте-Карло обычно дает более высокие оценки стандартной неопределенности. Причину этого можно увидеть на гистограмме смоделированных результатов (Рисунок E3.1); хотя входные параметры имели нормальное распределение, выходная величина обнаруживает заметную положительную асимметрию, что ведет к более высокой стандартной неопределенности, чем ожидалось. Это является следствием существенной нелинейности; Отметим, что неопределенности в b и c составляют значительную долю в знаменателе b-c, что дает пропорционально малые значения в знаменателе и, соответственно, высокие оценки для y. Таблица E3.1: Формулы электронных таблиц для моделирования по методу Монте-Карло Распределение Формула для плотности распределения вероятностей ПРИМЕЧАНИЕ1 Нормальное NORMINV(RAND(),x,u) Прямоугольное заданная полуширина a: x+2*a*(RAND()-0.5) заданная стандартная неопределеннос ть u: x+2*u*SQRT(3) *(RAND()-0.5) Треугольное заданная полуширина a: x+a*(RAND()-RAND()) заданная стандартная неопределеннос ть u: x+u*SQRT(6) *(RAND()-RAND()) t ПРИМЕЧАНИЕ2 x+u*TINV(RAND(),ν eff ) ПРИМЕЧАНИЕ 1. В этой формуле x должен быть заменен значением входной величины x i , u – соответствующей стандартной неопределенностью, a − полушириной соответствующего прямоугольного или треугольного распределения и ν — подходящим числом степеней свободы ПРИМЕЧАНИЕ 2. Эта формула применима, когда задана стандартная неопределенность и известно, что она связана с t-распределением, имеющим ν степеней свободы. Это обычно имеет место для сообщаемой стандартной неопределенности с эффективным числом степеней свободы ν eff Количественное описание неопределенности Приложение E − Статистика QUAM:2012.P1-RU Стр. 132 Таблица E3.2: Реализация моделирования по методу Монте-Карло с помощью электронных таблиц A B C D E F G 1 2 a b c y 3 Значение 1,00 3,00 2,00 =C3/(D3-E3) 4 Стандартная неопределенность 0,05 0,15 0,10 =STDEV (G8:G507) 5 Распределение Нормальное Нормальное Нормальное 6 7 Моделирование a b c y 8 =NORMINV( RAND(), C$3,C$4) =NORMINV( RAND(), D$3,D$4) =NORMINV( RAND(), E$3,E$4) =C8/(D8-E8) 9 1,024702 2,68585 1,949235 1,39110 10 1,080073 3,054451 1,925224 0,95647 11 0,943848 2,824335 2,067062 1,24638 12 0,970668 2,662181 1,926588 1,31957 506 1,004032 3,025418 1,861292 0,86248 507 0,949053 2,890523 2,082682 1,17480 508 Значения параметров вводят во второй строке от С2 до Е2, их стандартные неопределенности - в строке ниже (C3:E3). Расчет результата у вводят в ячейку G3. Необходимые формулы для генерирования случайных чисел вводят в строку 8 вместе с копированием вычисления результата (здесь в графе G8). Следует отметить, что G8 относится к смоделированным значениям в строке 8. Строка 8 копируется ниже, что даст желаемое число повторов; на рисунке показаны результирующие случайные значения (со строки 9 и далее). Стандартная неопределенность в у вычисляется как стандартное отклонение смоделированных значений у. |