Лекции 1-4. Лекции 14 Е. А. Бунимович, В. А. Булычев Е. А. Бунимович, В. А. Булычев, 2005 Педагогический университет Первое сентября
 Скачать 0.58 Mb.
|
|
Москва «Педагогический университет «Первое сентября» 2005 ВЕРОЯТНОСТЬ И СТАТИСТИКА В КУРСЕ МАТЕМАТИКИ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ Лекции 1—4 Е.А. БУНИМОВИЧ, В.А. БУЛЫЧЕВ © Е.А. Бунимович, В.А. Булычев, 2005 © Педагогический университет «Первое сентября», 2005 Е.А. Бунимович, В.А. Булычев. Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы: лекции 1—4. — М. : Педагогический университет «Первое сентября», 2005. – 128 с. Учебное-методическое пособие Р е д а к т о р Л.О. Рослова К о р р е к т о р Л.А. Громова К о м п ь ю т е р н а я в е р с т к а О.В. Сухарева Подписано в печать 10.09.2005. Формат 60х90/16. Гарнитура «Таймс». Печать офсетная. Печ. л. 8,0. Тираж 300 экз. Заказ № Педагогический университет «Первое сентября», ул. Киевская, д. 24., Москва, 121165 http://edu.1september.ru Е.А. Бунимович, В.А. Булычев Учебный план курса № брошюры Учебный материал 1 Лекция № 1. Случайные события и вероятность 1 Лекция № 2. Комбинаторика в вычислении вероятностей 1 Лекция № 3. Свойства вероятностей 1 Лекция № 4. Случайные величины и их распределения. Контрольная работа № 1 «Вычисление вероятностей» 2 Лекция № 5. Анализ данных 2 Лекция № 6. Случайная выборка и ее представление 2 Лекция № 7. Числовые характеристики случайной выборки. Контрольная работа № 2 «Анализ случайной выборки» 2 Лекция № 8. Испытания Бернулли Итоговая работа. Итоговая работа должна представлять собой разработ- ку урока по теме «Вероятность и статистика», созданную на основе мате- риалов данного курса лекций. Подробный конспект урока, сопровождае- мый справкой из образовательного учреждения, подтверждающей факт его проведения, должен быть представлен в Педагогический университет Лекция 1 Случайные события и вероятность В нашей первой лекции мы поговорим о том, что такое вероятность и научимся ее вычислять. В толковом словаре русского языка С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой читаем: «Вероятность — возможность исполнения, осуществимости чего- нибудь». Мы часто употребляем в повседневной жизни «вероятно», «ве- роятнее», «невероятно», вовсе не имея в виду конкретные количествен- ные оценки этой возможности исполнения. Основатель современной теории вероятностей А.Н. Колмогоров пи- сал о вероятности так: «Вероятность математическая — это числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определен- 4 ного события в тех или иных определенных, могущих повторяться не- ограниченное число раз условиях». Итак, в математике вероятность измеряется числом. Совсем скоро мы выясним, как именно это можно сделать. Но начнем мы с обсужде- ния того, у каких событий бывает «математическая вероятность» и что представляют собой эти «определенные, могущие повторяться неогра- ниченное число раз условия». Именно поэтому наша первая лекция начинается с рассмотрения случайных событий и случайных экспери- ментов. 1. Случайные события. Случайный эксперимент. Элементарные исходы Нужно сказать, что теория вероятностей, как никакая другая об- ласть математики, полна противоречий и парадоксов. Объяснение это- му очень простое — она слишком тесно связана с реальной, окружаю- щей нас действительностью. Долгое время ее вместе с математической статистикой даже не хотели причислять к математическим дисципли- нам, считая их сугубо прикладными науками. Только в первой половине прошлого века, в основном благодаря трудам нашего великого соотечественника А.Н. Колмогорова, имя кото- рого уже упоминалось выше, были построены математические основа- ния теории вероятностей, которые позволили отделить собственно науку от ее приложений. Подход, предложенный Колмогоровым, теперь при- нято называть аксиоматическим, поскольку вероятность в нем (а точнее, вероятностное пространство) определяется как некая математическая структура, удовлетворяющая определенной системе аксиом. Именно на этом подходе построен современный вузовский курс те- ории вероятностей, через который прошли в свое время все нынешние учителя математики. Однако в школе такой подход к изучению вероят- ности (да и математики в целом) вряд ли разумен. Если в вузе основ- ной акцент делается на изучении математического аппарата для иссле- дования вероятностных моделей, то в школе ученик должен научить- ся эти модели строить, анализировать, проверять их адекватность реальным ситуациям. Такую точку зрения разделяют сегодня большин- ство ученых, занимающихся проблемами школьного математического образования. Лекция 1 5 * * * В современных школьных учебниках, включающих с недавнего вре- мени вероятностно-статистический материал, вы найдете примерно сле- дующее определение: событие называется случайным, если при одних и тех же условиях оно может как произойти, так и не произойти. Слу- чайным будет, например, событие «При подбрасывании игрального ку- бика выпадет 6 очков». В приведенном определении неявно подразумевается одно важное требование, которое необходимо подчеркнуть: мы должны иметь воз- можность неоднократно воспроизводить одни и те же условия, в ко- торых наблюдается данное событие (например, подбрасывать ку- бик), — иначе невозможно судить о его случайности. Стало быть, говоря о любом случайном событии, мы всегда имеем в виду наличие определенных условий, без которых об этом событии во- обще не имеет смысла говорить. Этот комплекс условий называют слу- чайным опытом или случайным экспериментом. В дальнейшем мы будем называть случайным любое событие, свя- занное со случайным экспериментом. До эксперимента, как правило, невозможно точно сказать, произойдет данное событие или не про- изойдет — это выясняется лишь после его завершения. Но неспроста мы сделали оговорку «как правило»: в теории вероятностей принято считать случайными все события, связанные со случайным экспери- ментом, в том числе: • невозможные, которые никогда не могут произойти; • достоверные, которые происходят при каждом таком эксперименте. Например, событие «На игральном кубике выпадет 7 очков» — не- возможное, а «На игральном кубике выпадет меньше семи очков» — достоверное. Разумеется, если речь идет о кубике, на гранях которого написаны числа от 1 до 6. * * * Рассмотрим несколько наиболее излюбленных в теории вероятнос- тей примеров случайных экспериментов. Опыт 1. Подбрасывание монеты. Этот эксперимент в некотором смыс- ле можно считать простейшим случайным опытом. В результате такого эксперимента монета может упасть на одну из двух своих сторон — «орел» или «решка». Случайные события и вероятность 6 Напомним, что «решкой» называется лицевая сторона монеты (аверс), на которой выбит ее номинал — например, 1 рубль. «Орлом» называет- ся обратная сторона монеты (реверс). На российских монетах на этой стороне изображен герб Российского государства — двуглавый орел. Считается, что при подбрасывании монеты она с равными шансами мо- жет выпасть на «орла» или «решку». Для реальных монет это может быть не совсем так — ведь, в конце концов, стороны монеты не совсем одинаковые. Кроме того, монета может упасть на ребро или вообще за- катиться в щель под пол… Однако в теории вероятностей, говоря об эксперименте с монетой, имеют в виду некую идеальную монету, для которой шансы «орла» и «решки» в каждом эксперименте равны, и других исходов быть не может. Опыт 2. Подбрасывание кубика. Это следующий по популярности после монеты случайный эксперимент. Речь в нем идет об игральном кубике (или игральной кости), на гранях которого выбиты точки, симво- лизирующие количество очков от 1 до 6. Если кубик симметричный, то при его подбрасывании он может с равными шансами выпасть на любую из шести граней. Именно с таки- ми идеальными кубиками мы и будем иметь дело в дальнейшем. В ре- Лекция 1 7 альных кубиках шансы граней могут сильно отличаться. Иногда этого добиваются специально, запаивая внутрь кубика дробинку, смещен- ную к одной из его граней. Если, например, сместить такую дробинку к грани с 1, то на кубике будет чаще выпадать 6 (см. развертку играль- ного кубика). Опыт 3. Выбор перчаток. В коробке лежит 3 пары одинаковых перча- ток. Из нее, не глядя, вытаскивают две перчатки. Говоря «не глядя», мы лишний раз подчеркиваем непредсказуемость результатов данного опы- та. Более точно: мы считаем, что все шесть перчаток имеют одинаковые шансы быть вынутыми из коробки. Последний пример имеет в теории вероятностей далеко идущее обоб- щение и носит название «урновой схемы». Имеется в виду коробка (ме- шок, урна) в которой находится M одинаковых на ощупь шаров. Из нее, не глядя, вынимают N шаров. На шарах могут быть написаны числа, буквы, они могут быть окрашены в разные цвета и т.д. Понятно, что наш опыт с шестью перчатками можно рассматривать как частный случай «урновой схемы», в которой три шара покрашены, например, в белый цвет (левые перчатки) и три шара — в черный (правые перчатки). Эксперимент с выбором шаров можно проводить по-разному, полу- чая при этом принципиально различные случайные опыты. Наиболее ча- сто используются три схемы выбора. I. Выбор с возвращением. После извлечения очередного шара ин- формация о нем записывается, и он возвращается обратно в урну. Шары перемешиваются, после чего извлекается следующий шар. Такая про- цедура повторяется N раз. Понятно, что в таком опыте один и тот же шар может быть вынут многократно. Отметим, что в этом случае число N может быть как меньше, так и больше или равно M. II. Выбор без возвращения. На этот раз каждый вынутый шар уже не возвращается обратно и, следовательно, повторно вынут быть не мо- жет. В этом случае, очевидно, N M ? III. Одновременный выбор. В таком эксперименте все N шаров вынимаются из урны сразу, одновременно. Позже мы увидим, что прин- ципиальной разницы между моделями II и III нет — во многих задачах можно принять как ту, так и другую схему выбора. Опыт 4. Тетрадный лист. На тетрадный лист в линейку наудачу броса- ется монета. Но на этот раз интересуются не тем, какой стороной упала монета, а тем, сколько линеек она при этом пересекла. Случайные события и вероятность 8 Приведенные в этом разделе примеры интересны еще и тем, что ог- ромное количество случайных экспериментов, в которых нет ни монет, ни кубиков, ни шаров, могут быть сведены к одной из рассмотренных моделей. Чуть позже вы убедитесь в этом сами, когда начнете решать задачи на вычисление вероятностей. * * * В дальнейшем, говоря о случайном опыте, мы всегда будем подразу- мевать выполнение двух требований: его непредсказуемости и возмож- ности многократного повторения приблизительно в одних и тех же условиях. Если хотя бы одно из этих требований не выполняется, то го- ворить о таких экспериментах мы не будем. Понятно, что все четыре рассмотренных выше эксперимента удовлетворяют этим свойствам. А вот пример эксперимента другого сорта. Опыт 5. Можно ли считать случайным экспериментом поступление абитуриента Вити Малеева на механико-математический факультет МГУ? Непредсказуемость здесь налицо, а вот возможность многократного повторения — проблематична. Многократно повторить этот эксперимент именно с Витей не представляется возможным даже теоретически, по- этому довольно бессмысленно задаваться вопросом, с какой вероятно- стью он поступит в университет. Если этот опыт рассмотреть в более общем контексте — поступление произвольного (случайно выбранного) абитуриента на механико-мате- матический факультет МГУ, — то он приобретает некоторые черты слу- чайного эксперимента, хотя во многом вопрос о неизменности условий остается дискуссионным. Вообще, в примерах из реальной жизни ра- зобраться далеко не всегда так просто, как в идеальных моделях, подоб- ных монете или кубику. Отметим еще, что за термином «эксперимент» может скрываться и какое-то природное явление, которое происходит само собой, без наше- го участия, без «постановки эксперимента». Можно считать, что в этом случае опыт повторяет сама природа. Опыт 6. Будем считать, что случайный эксперимент состоит в регист- рации количества солнечных дней в июле месяце в районе города Задон- ска. Исход такого опыта заранее непредсказуем, и проводить его мы мо- жем ежегодно. Поскольку глобальное изменение климата на Земле про- исходит, к счастью, не столь быстро, то условия проведения нашего опыта Лекция 1 9 можно считать приблизительно одинаковыми. Так что необходимые тре- бования к случайному эксперименту в этом примере выполнены. К рассмотренным здесь случайным опытам мы будем неоднократно возвращаться на протяжении всей лекции. * * * Кроме случайного события, с опытом связано еще одно важное по- нятие — элементарного исхода. Исходом (или элементарным исхо- дом, элементарным событием) называется один из взаимоисключаю- щих друг друга вариантов, которым может завершиться случайный экс- перимент. В результате эксперимента всегда происходит один и только один из его исходов. То есть, с одной стороны, не могут произойти сра- зу два исхода, с другой — эксперимент не может завершиться вообще без какого-либо исхода. Попробуем определить число возможных исходов в каждом из рас- смотренных выше опытов: • в опыте 1 — 2 исхода: «орел» и «решка»; • в опыте 2 — 6 исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6; • в опыте 3 — 2 исхода: «перчатки на одну руку», «перчатки на раз- ные руки»; • в опыте 4 — количество исходов зависит от размеров монеты и расстояния между линейками; • в опыте 5 — 2 исхода: «поступил», «не поступил»; • в опыте 6 — 32 исхода: 0, 1, 2, …, 31 солнечных дней. Пожалуй, только в опытах 1 и 2 приведенные ответы не вызывают сомнений. В опыте 3 можно предложить более детальное описание исходов: • «обе перчатки на левую руку»; • «обе перчатки на правую руку»; • «перчатки на разные руки». А можно пойти еще дальше — перенумеровать все шесть перчаток (хотя бы мысленно), Случайные события и вероятность 10 и тогда число исходов возрастет до 15: 12, 13, 14, 15, 16, 23, 24, 25, 26, 34, 35, 36, 45, 46, 56 (для каждого исхода мы указываем здесь номера вынутых из коробки перчаток). Чтобы найти количество исходов в опыте 4, условимся для опреде- ленности считать, что расстояние между линейками равно 8 мм (это дей- ствительно так для стандартного тетрадного листа), а диаметр монеты — 20 мм (такой диаметр имеет 1 рубль). Тогда легко сообразить, что моне- та может пересечь 2 или 3 линейки (докажите!). Значит, у этого опыта два возможных исхода. Но, с другой стороны, каждый исход опыта и здесь можно описы- вать более детально: например, фиксировать расстояние от центра моне- ты до ближайшей линейки. В этом случае каждый исход будет описы- ваться действительным числом x, где 0 ? x ? 4, и количество возможных исходов станет бесконечным! Аналогичная «детализация» исходов возможна и в опыте 5 (если, как уже было сказано выше, превратить его в случайный эксперимент): можно взять в качестве исхода сумму набранных баллов или даже сами баллы по каждому из экзаменов. Все сказанное можно завершить следующим правилом: при рассмот- рении возможных исходов опыта следует выбирать их как можно более «элементарными», неделимыми дальше на более мелкие собы- тия. Использование этого правила позволит в дальнейшем избежать многих ошибок при вычислении вероятностей случайных событий. * * * Таким образом, исход — это тоже случайное событие. Как и любое другое, оно может произойти или не произойти в результате случайного эксперимента. Однако в отличие от остальных событий исходы называ- ют еще элементарными событиями, желая тем самым подчеркнуть, что эти события состоят только из одного исхода и неделимы на более мелкие. Лекция 1 11 А вот любое неэлементарное событие будет состоять из некоторого множества исходов, которые называются благоприятными для этого события. Благоприятны они в том смысле, что приводят к наступлению данного события. Если обозначить множество всех возможных исходов опыта бук- вой ? 1 , то каждый исход можно рассматривать как элемент этого мно- жества: ? ?? , а любое случайное событие A — как его подмножество: A ? ? . При этом невозможное и достоверное события получаются как два частных случая этого включения: • невозможному событию соответствует пустое множество исходов { } ? ; • достоверному событию соответствует множество всех исходов опы- та ?. Именно такой язык — теоретико-множественный — принят в аксио- матическом построении теории вероятностей. Иногда такой подход будет полезен и для нас, но следовать ему на протяжении всего курса мы не будем. Опыт 2. Подбрасывание кубика. Множество всех исходов опыта {1, 2, 3,4, 5, 6} ? = . Приведем примеры случайных событий, связанных с этим опытом: A = {выпадет четное число} = {2, 4, 6}; B = {выпадет число меньше 3} = {1, 2}; C = {выпадет простое число} = {2, 3, 5}. Отметим, что иногда разные словесные описания могут приводить к одному и тому же подмножеству исходов, т.е. фактически к одному и тому же событию: D = {выпадет делитель числа 14} = {1, 2}. Мы видим, что D = B. 1 Использование греческих букв ? и ? («омега большое» и «омега маленькое») — историческая традиция, сложившаяся в теории вероятностей. Случайные события и вероятность 12 Опыт 3. Выбор перчаток. Возможные исходы этого опыта мы догово- рились обозначать номерами выбранных перчаток: {12, 13, 14, 15, 16, 23, 24, 25, 26, 34, 35, 36, 45, 46, 56} ? = Приведем примеры событий, связанных с этим опытом (см. нумера- цию перчаток на приведенном ранее рисунке): A = {обе перчатки на левую руку} = {13, 15, 35}; B = {обе перчатки на правую руку} = {24, 26, 46}; B = {перчатки на одну руку} = {13, 15, 35, 24, 26, 46}; C = {перчатки на разные руки} = {12, 14, 16, 23, 25, 34, 36, 45, 56}. Опыт 4. Тетрадный лист. Возможные исходы этого опыта, как вы по- мните, действительные числа из отрезка [0; 4]: { : 0 4} x x ? = ? ? , где в качестве x мы договорились брать расстояние от центра монеты до ближайшей линии. Глядя на рисунок, несложно описать множества благоприятных ис- ходов для каждого из следующих событий: A = {монета пересекла 2 линии} = { : 2 4} x x < ? ; B = {монета пересекла 3 линии} = { : 0 2} x x ? ? Итак, мы ввели три важнейших понятия, лежащих в основе всех ве- роятностных моделей: случайный эксперимент, случайное событие, ис- ход (элементарное событие). Теперь можно переходить к определению того, что же такое вероятность. 2. Вероятность как предельное значение частоты Выше уже говорилось, что вероятность случайного события — это числовая мера его правдоподобия. Как можно было бы такую меру вве- 8 мм 20 мм Лекция 1 13 сти? Понятно, что самые правдоподобные события — достоверные. Так что у них эта мера должна быть максимальна. Самые неправдоподоб- ные — невозможные. Соответственно, их мера правдоподобия должна быть минимальна. Удобно измерять степень достоверности случайных событий числа- ми из отрезка [0; 1]. Тогда достоверным событиям будет соответство- вать вероятность 1 (максимально возможная), невозможным — вероят- ность 0 (минимально возможная). А как измерять вероятность осталь- ных (т.е. собственно случайных) событий? Весь наш жизненный опыт подсказывает, что любое событие считает- ся тем более вероятным, чем чаще оно происходит. Значит, вероятность должна быть каким-то образом связана с частотой. Определение 1. Абсолютной частотой случайного события A в се- рии из N случайных опытов называется число N A , которое показывает, сколько раз в этой серии произошло событие A. Абсолютная частота всегда выражается целым числом 0 A N N ? ? При этом: • для невозможного события N A = 0; • для достоверного события N A = N. Определение 2. Относительной частотой случайного события A в серии из N случайных опытов называется число F(A), которое показы- вает, какая доля опытов в этой серии завершилась наступлением собы- тия A: ( ) = A N F A N Относительная частота (иногда говорят просто частота) выражается числом от 0 до 1. При этом: • для невозможного события F(A) = 0; • для достоверного события F(A) = 1. Из последнего определения видно, что относительная частота обла- дает всеми нужными нам свойствами, которые мы хотели бы видеть у величины, измеряющей степень достоверности случайного события: • • • • • относительная частота изменяется от 0 до 1; • • • • • для невозможных событий она равна 0, а для достоверных — 1; • • • • • для любого случайного события его относительная частота тем боль- ше, чем чаще оно происходит при повторении опытов. Случайные события и вероятность 14 |