лекции. Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия
 Скачать 0.55 Mb.
|
|
Оглавление 1 Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия. 4 1.1 Определение положения равновесия. Условия равновесия голономных систем (в терминах обобщенных сил). . . . . . 4 1.2 Условия равновесия системы с идеальными связями (прин- цип виртуальных перемещений). . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Определение устойчивости, асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия. . . . . . . . . . . . 7 1.4 Первый метод Ляпунова исследования устойчивости. . . . . 9 1.4.1 Общие теоремы об устойчивости линейных систем. . 10 1.4.2 Устойчивость линейных систем с постоянной мат- рицей. Критерий Рауса-Гурвица. 12 1.4.3 Теорема Ляпунова об устойчивости по линейному приближению. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Теоремы прямого метода Ляпунова для автономных систем. 17 1.6 Устойчивость равновесия консервативных механических си- стем. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6.1 Теорема Лагранжа-Дирихле об устойчивости равно- весия консервативных механических систем. Влия- ние гироскопических и диссипативных сил на устой- чивость равновесия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6.2 Условия неустойчивости консервативных систем по квадратичной части потенциальной энергии. 24 1.7 Понятие о бифуркации. Случаи потери устойчивости для систем с потенциалом, зависящим от параметра. Два сце- нария потери устойчивости: дивергенция и флаттер. . . . . 25 1.8 Малые колебания консервативных систем вблизи устойчи- вого положения равновесия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.8.1 Уравнение частот. Общее решение. . . . . . . . . . . 28 1 1.8.2 Свойства амплитудных векторов. Использование сим- метрии системы для нахождения мод колебаний. . . 30 1.8.3 Главные (нормальные) координаты. Случай крат- ных корней. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.9 Вынужденные колебания линейной стационарной системы под действием гармонических сил. Частотные характери- стики. Явление резонанса. Реакция линейной стационар- ной системы на негармоническое воздействие. . . . . . . . . 34 2 Уравнения Гамильтона, вариационные принципы, инте- гральные инварианты. 39 2.1 Основы Гамильтоновой механики. . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1 Переменные Гамильтона. Функция Гамильтона. Ка- нонические уравнения Гамильтона. Преобразование Лежандра уравнений Лагранжа в уравнения Гамиль- тона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.2 Функция Гамильтона для консервативной системы. . 42 2.2 Первые интегралы гамильтоновых систем. . . . . . . . . . . 43 2.2.1 Скобки Пуассона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2 Теорема Якоби-Пуассона. . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.3 Типичные первые интегралы Гамильтоновых систем. 46 2.2.4 Понижение порядка уравнений Гамильтона в случае циклических координат. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.5 Понижение порядка уравнений Гамильтона для обоб- щенно консервативных систем. Уравнения Уиттекера. 48 2.3 Действие по Гамильтону. Вариация действия по Гамильтону. 50 2.4 Вариационный принцип Гамильтона. . . . . . . . . . . . . . 52 2.5 Преобразование лагранжиана при замене координат и вре- мени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.6 Основы теории групп Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.6.1 Понятие группы Ли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.6.2 Однопараметрические группы Ли. Теорема единствен- ности. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2.6.3 Ряд Ли. Инвариант группы. . . . . . . . . . . . . . . 60 2.6.4 Дифференциальный и интегральный инварианты груп- пы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.7 Теорема Эмми Нётер. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.8 Интегральные инварианты Пуанкаре-Картана и Пуанкаре. 66 2.9 Теорема Лиувилля о сохранении фазового объема. Сохра- нение фазового объема гамильтоновой системы. . . . . . . . 68 2.10 Обратные теоремы теории интегральных инвариантов. . . . 70 2 2.11 Теорема Ли Хуа-чжуна об интегральных инвариантах пер- вого порядка гамильтоновых систем. . . . . . . . . . . . . . 73 3 Канонические преобразования. Уравнение Гамильтона-Якоби. 79 3.1 Канонические преобразования. Критерий каноничности пре- образования. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 3.2 Свободные преобразования. 82 3.3 Полусвободные преобразования. . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.4 Фазовый поток гамильтоновых систем как однопараметри- ческое семейство канонических преобразований. . . . . . . . 85 3.5 Уравнение Гамильтона-Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 3.6 Полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби и его ис- пользование в задаче интегрирования уравнений движения гамильтоновой системы. Случаи разделения переменных. . 87 3 Глава 1 Равновесие, устойчивость, движение вблизи устойчивого положения равновесия. 1.1 Определение положения равновесия. Усло- вия равновесия голономных систем (в тер- минах обобщенных сил). Положением равновесия называется такое положение механической системы, в котором система будет находиться все время, если в началь- ный момент времени она находилась в этом положении и скорости всех ее точек были равны нулю. Из определения ясно, что равновесие существенно зависит от системы координат, связанной с наблюдателем. Рассмотрим склерономную механическую систему в обобщенных ко- ординатах: − → 𝑟 = − → 𝑟 (− → 𝑞 ). Критерий равновесия стационарной механической системы: неко- торое положение − → 𝑞 = − → 𝑞 0 стационарной механической системы явля- ется положением равновесия тогда и только тогда, когда все обобщен- ные силы в этом положении равны нулю: 𝑄 𝑘 (𝑡, − → 𝑞 0 , − → 0 ) = 0, 𝑘 = 1, . . . , 𝑛 4 Доказательство Необходимость Для стационарной системы кинетическая энергия имеет только квадра- тичную форму: 𝑇 = 𝑇 2 = 1 2 𝑛 ∑︁ 𝑖,𝑗=1 𝑎 𝑖𝑗 (− → 𝑞 ) ˙ 𝑞 𝑖 ˙ 𝑞 𝑗 , тогда 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝑇 𝜕 ˙ 𝑞 𝑘 = 𝑑 𝑑𝑡 (︃ 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑎 𝑘𝑖 ˙ 𝑞 𝑖 )︃ = 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑎 𝑘𝑖 ¨ 𝑞 𝑖 + 𝑛 ∑︁ 𝑖,𝑗=1 𝜕𝑎 𝑘𝑖 𝜕𝑞 𝑗 ˙ 𝑞 𝑖 ˙ 𝑞 𝑗 , 𝜕𝑇 𝜕𝑞 𝑘 = 1 2 𝑛 ∑︁ 𝑖,𝑗=1 𝜕𝑎 𝑖,𝑗 𝜕𝑞 𝑘 ˙ 𝑞 𝑖 ˙ 𝑞 𝑗 Теперь уравнения Лагранжа 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝑇 𝜕 ˙ 𝑞 𝑘 − 𝜕𝑇 𝜕𝑞 𝑘 = 𝑄 𝑘 примут вид 𝑛 ∑︁ 𝑖=1 𝑎 𝑘𝑖 ¨ 𝑞 𝑖 + 𝑛 ∑︁ 𝑖,𝑗=1 (︂ 𝜕𝑎 𝑘𝑖 𝜕𝑞 𝑗 − 1 2 𝜕𝑎 𝑖,𝑗 𝜕𝑞 𝑘 )︂ ˙ 𝑞 𝑖 ˙ 𝑞 𝑗 = 𝑄 𝑘 (𝑡, − → 𝑞 , ˙ − → 𝑞 ) По условию, − → 𝑞 = − → 𝑞 0 — положение равновесия. Тогда левая часть по- следнего уравнения обращается в ноль, и для любого 𝑘 выполняется 𝑄 𝑘 (𝑡, − → 𝑞 0 , − → 0 ) = 0 Достаточность Пусть нашлось такое положение − → 𝑞 = − → 𝑞 0 , что для любого 𝑘 выполняется 𝑄 𝑘 (𝑡, − → 𝑞 0 , − → 0 ) = 0 5 Тогда − → 𝑞 0 — решение полученных выше уравнений Лагранжа, которое, в силу теоремы Коши, единственно. Теорема доказана. Отметим, что хотя рассматриваемая система склерономна, действующие на нее обобщенные силы могут зависеть от времени, причем сама система останется склерономной. Если обобщенная сила потенциальна 𝑄 𝑘 = − 𝜕Π(𝑡, − → 𝑞 ) 𝜕𝑞 𝑘 , то 𝜕Π(𝑡, − → 𝑞 ) 𝜕𝑞 𝑘 ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ ⃒ − → 𝑞 =− → 𝑞 0 = 0, то есть система имеет стационарную точку. 1.2 Условия равновесия системы с идеаль- ными связями (принцип виртуальных пе- ремещений). Рассмотрим голономную систему в обобщенных координатах: − → 𝑟 = − → 𝑟 (𝑡, − → 𝑞 ) Критерий равновесия системы с идеальными связями: некото- рое положение − → 𝑟 = − → 𝑟 0 механической системы с идеальными связями является положением равновесия тогда и только тогда, когда в этом положении суммарная работа всех сил на любых виртуальных переме- щениях системы равна нулю. Доказательство Необходимость Рассмотрим элемент массы 𝑑𝑚 механической системы. Обозначая − → 𝑤 , − → 𝑓 , − → 𝑛 соответственно ускорение элемента массы, плотность силы и плот- 6 ность реакции связей, действующих на элемент массы, запишем общее уравнение динамики для системы с идеальными связями: ˆ (︁ − → 𝑤 − − → 𝑓 )︁ 𝛿− → 𝑟 𝑑𝑚 = 0 Если система находится в равновесии, то − → 𝑤 ≡ 0 и 𝛿𝐴 = ˆ − → 𝑓 𝛿− → 𝑟 𝑑𝑚 = 0 Достаточность Пусть суммарна работа всех сил на любых виртуальных перемещениях системы равна нулю. Выражая виртуальное перемещение в обобщенных координатах как полный дифференциал, получим 𝛿𝐴 = ˆ − → 𝑓 𝛿− → 𝑟 𝑑𝑚 = ˆ − → 𝑓 (︂ ∑︁ 𝜕− → 𝑟 𝜕𝑞 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 )︂ 𝑑𝑚 = ∑︁ (︂ˆ − → 𝑓 𝜕− → 𝑟 𝜕𝑞 𝑖 𝑑𝑚 )︂ 𝛿𝑞 𝑖 = = ∑︁ 𝑄 𝑖 𝛿𝑞 𝑖 = 0 Но по условию равенство верно на любом виртуальном перемещении, то есть 𝛿𝑞 𝑖 — независимая и произвольная. Тогда 𝑄 𝑖 = 0. Отсюда и из крите- рия равновесия стационарной механической системы следует требуемое. Теорема доказана. 1.3 Определение устойчивости, асимптотиче- ской устойчивости и неустойчивости по- ложения равновесия. Рассмотрим уравнения Лагранжа: 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝑇 𝜕 ˙ 𝑞 𝑖 − 𝜕𝑇 𝜕𝑞 𝑖 = 𝑄 𝑖 Уравнения Лагранжа второго рода разрешимы относительно старшей производной, поэтому можно записать 7 ¨ − → 𝑞 = 𝑓 (𝑡, − → 𝑞 , ˙ − → 𝑞 ) Заменой ˙ − → 𝑞 = − → 𝑢 получим ˙ − → 𝑢 = 𝑓 (𝑡, − → 𝑞 , − → 𝑢 ), то есть уравнения Лагранжа второго рода есть частный случай систем вида ˙ − → 𝑥 = − → 𝐹 (𝑡, − → 𝑥 ), которые мы и будем рассматривать. Для механической системы − → 𝑥 = (︂ − → 𝑞 ˙ − → 𝑞 )︂ — фазовый вектор. Вектор − → 𝑎 будем считать положением равновесия последней системы, если − → 𝐹 (𝑡, − → 𝑎 ) = 0. Заменой − → 𝑥 → − → 𝑥 − − → 𝑎 всегда можно переместить положение равновесия в начало координат, поэтому далее будем считать, что − → 𝑎 = − → 0 . Решение − → 𝑥 (𝑡 0 , 𝑥 0 ) последней системы называется бесконечно продол- жимым вправо, если оно существует для любого 𝑡 ∈ [𝑡 0 , ∞). Положение равновесия − → 𝑥 = − → 0 называется устойчивым по Ляпу- нову, если ∀𝜀 > 0 ∃𝛿 > 0 : ∀− → 𝑥 (𝑡) : ‖− → 𝑥 (𝑡 0 )‖ < 𝛿 ⇒ ‖− → 𝑥 (𝑡)‖ < 𝜀 ∀𝑡 ∈ [𝑡 0 , ∞), где ‖− → 𝑥 ‖ = √︀∑︀ 𝑥 2 𝑖 — норма вектора − → 𝑥 . Из определения непосредственно следует, что в достаточно малой окрест- ности устойчивого положения равновесия любые решения бесконечно продолжаемы вправо. Из последнего определения получим: положение равновесия − → 𝑥 = − → 0 называется неустойчивым по Ляпунову, если ∃𝜀 > 0 : ∀𝛿 ∃− → 𝑥 (𝑡) и ∃𝑡 * : ‖− → 𝑥 (𝑡 0 )‖ < 𝛿, ‖− → 𝑥 (𝑡 * )‖ > 𝜀, 8 или иначе, положение равновесия называется неустойчивым по Ляпу- нову, если найдется хотя бы одно непродолжаемое бесконечно вправо решение в сколь угодно малой окрестности положения равновесия. Положение равновесия − → 𝑥 = − → 0 называется асимптотически устой- чивым, если: 1. оно устойчиво по Ляпунову; 2. ∃∆ < 𝛿 : ∀− → 𝑥 (𝑡) : ‖− → 𝑥 (𝑡 0 )‖ < ∆ ⇒ lim 𝑡→∞ − → 𝑥 (𝑡) = − → 0 Несложно показать, что если некоторое положение равновесия − → 𝑥 = − → 0 системы ˙ − → 𝑥 = − → 𝐹 (𝑡, − → 𝑥 ) устойчиво для некоторого момента времени 𝑡 0 , то оно устойчиво и для любого последующего момента времени 𝑡 1 > 𝑡 0 , принимаемого за начальный. 1.4 Первый метод Ляпунова исследования устой- чивости. Под первым методом Ляпунова понимают совокупность приемов и средств исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравне- ний, основанных непосредственно на анализе общих или частных реше- ний этих систем, а также использующих определенные характеристики указанных решений. Заметим, что к исследованию устойчивости положения равновесия всегда можно свести исследование устойчивости любого частного реше- ния. Действительно, пусть − → 𝑥 = − → 𝜓 (𝑡) — некоторое частное решение системы ˙ − → 𝑥 = − → 𝐹 (𝑡, − → 𝑥 ). Выполним в этой системе замену переменных − → 𝑥 → − → 𝑦 : − → 𝑥 = − → 𝑦 + − → 𝜓 (𝑡). Тогда в новых переменных система имеет вид ˙ − → 𝑦 = − → 𝐹 [𝑡, − → 𝑦 + − → 𝜓 (𝑡)] − − → 𝐹 [𝑡, − → 𝜓 (𝑡)] с положением равновесия − → 𝑦 ≡ − → 0 Решение − → 𝑥 = − → 𝜓 (𝑡) называется устойчивым по Ляпунову (асимпто- тически устойчивым) если устойчивым по Ляпунову (асимптотически устойчивым) будет это положение равновесия. Если все частные решения 9 системы устойчивы, то говорят, что сама эта система является устойчи- вой. 1.4.1 Общие теоремы об устойчивости линейных си- стем. Рассмотрим линейную систему ˙ − → 𝑥 = 𝐴(𝑡)− → 𝑥 + − → 𝑓 (𝑡) Теорема об устойчивости линейной системы: линейная система (с любым свободным членом) устойчива тогда и только тогда, когда устойчиво тривиальное решение соответствующей однородной систе- мы. Доказательство Пусть − → 𝑥 = − → 𝜓 (𝑡) — исследуемое на устойчивость решение неоднород- ной системы. Сведем задачу к исследованию устойчивости положения равновесия: − → 𝑥 → − → 𝑦 : − → 𝑥 = − → 𝑦 + − → 𝜓 (𝑡) Подстановка в систему дает ˙ − → 𝜓 + ˙ − → 𝑦 = 𝐴(𝑡)[ − → 𝜓 (𝑡) + − → 𝑦 ] + − → 𝑓 (𝑡) Поскольку ˙ − → 𝜓 ≡ 𝐴(𝑡) − → 𝜓 (𝑡) + − → 𝑓 (𝑡), то для − → 𝑦 получаем систему ˙ − → 𝑦 = 𝐴(𝑡)− → 𝑦 , которая не зависит от того, какое именно частное решение рассматрива- ется. Теоерема доказана. 10 Теорема об устойчивости линейной однородной системы: линей- ная однородная система устойчива тогда и только тогда, когда каждое ее решение ограничено. Доказательство Необходимость Допустим, что система устойчива, то есть все ее частные решения устой- чивы, но у нее есть неограниченное решение − → 𝑥 = − → 𝜓 (𝑡). Очевидно, − → 𝜓 (𝑡 0 ) ̸= − → 0 (𝑡 0 — начальный момент времени), так как иначе решение − → 𝑥 = − → 𝜓 (𝑡) неустойчиво по определению в силу неограниченности, поэтому мы мо- жем построить решение − → 𝑥 = − → 𝜓 (𝑡) ‖ − → 𝜓 (𝑡 0 )‖ · 𝛿 2 , обладающее свойством ‖− → 𝑥 (𝑡 0 )‖ < 𝛿. Но ‖− → 𝑥 (𝑡)‖ 𝑡→+∞ −−−−→ +∞, т.е. это реше- ние неустойчиво по определению, а значит неустойчива и сама система, что противоречит условию. Достаточность Пусть любое решение ограничено. Но тогда фундаментальная матрица решений Φ(𝑡, 𝑡 0 ), столбцы которой составлены из линейно независимых частных решений, также ограничена. Если эти решения выбраны так, что Φ(𝑡 0 , 𝑡 0 ) = 𝐸, то общее решение линейной однородной системы можно записать как − → 𝑥 (𝑡) = Φ(𝑡, 𝑡 0 )− → 𝑥 (𝑡 0 ) Тогда ‖− → 𝑥 (𝑡)‖ ≤ 𝑀 ‖− → 𝑥 (𝑡 0 )‖ Теперь для любого 𝜀 > 0 будем выбирать 𝛿 = 𝜀 𝑀 и все частные решения системы устойчивы по определению, а значит устойчива и сама система. Теорема доказана. 11 1.4.2 Устойчивость линейных систем с постоянной мат- рицей. Критерий Рауса-Гурвица. Теорема об устойчивости линейной системы с постоянной мат- рицей: линейная система с постоянной матрицей ˙ − → 𝑥 = 𝐴− → 𝑥 асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда вещественные части корней характеристического уравнения системы 𝑑𝑒𝑡 (𝐴 − 𝜆𝐸) = 0 отрицательны: 𝑅𝑒𝜆 𝑘 < 0 ∀𝑘 ∈ [1, 𝑛] Доказательство Из теории линейных систем дифференциальных уравнений известно, что произвольная компонента вектора решения − → 𝑥 линейной системы состоит из суммы функций следующего вида: 𝑒 𝛼 𝑘 𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝛽 𝑘 𝑡), если корни 𝜆 𝑘 = 𝛼 𝑘 + 𝑖𝛽 𝑘 не являюются кратными. Если же среди корней есть крат- ные, то в решении появляются слагаемые вида (𝐶 0 + 𝐶 1 𝑡 + . . . + 𝐶 𝑝 𝑡 𝑝 )𝑒 𝛼 𝑘 𝑡 𝑐𝑜𝑠(𝛽 𝑘 𝑡) Если 𝛼 𝑘 < 0, то все такие слагаемые стремятся к нулю при 𝑡 → ∞, а значит решения линейной системы ограничены. По теореме об устойчи- вости линейной однородной системы, исходная система устойчива, а в силу экспоненциального затухания решений — и асимптотически устой- чивой. Теорема доказана. Таким образом, чтобы установить асимптотическую устойчивость ли- нейной системы, достаточно убедиться, что все корни ее характеристи- ческого уравнения 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐸) ≡ 𝑎 0 + 𝑎 1 𝜆 + . . . + 𝑎 𝑛 𝜆 𝑛 = 0 12 обладают отрицательными вещественными частями. Полиномы с таким свойством называют устойчивыми. Несложно показать, что устойчивый полином имеет все коэффициенты одного знака. Это следует из разложения полинома на множители и усло- вия отрицательности действительных частей его корней. Критерий Рауса-Гурвица: для устойчивости полинома 𝑃 (𝜆) = 𝑎 0 + 𝑎 1 𝜆 + . . . + 𝑎 𝑛 𝜆 𝑛 , 𝑎 0 > 0 необходимо и достаточно, чтобы матрица Гурвица 𝑀 = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ 𝑎 1 𝑎 0 0 0 𝑎 3 𝑎 2 𝑎 1 0 0 . . . . . . . . . . 𝑎 𝑛 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ была положительно определена. Критерий Льенара-Шипара: для устойчивости полинома |