Матан. Ответы на вопрсы к экзамену 1 сем. Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф
 Скачать 1.68 Mb.
|
Вопросы к экзамену по математическому анализу, 1 семестр, факультет Ф1. Множества, операции над множествами, примеры. 2. Аксиомы вещественных чисел и их следствия. 3. Понятие функции. Сюръективные, инъективные и биективные отображения числовых множеств. Обратные функции. Примеры. 4. Понятие точной верхней и нижней граней числового множества. Теорема о существовании точной верхней и нижней грани ограниченного числового множества. 5. Система вложенных отрезков. Теорема о не пустоте их пересечения. Система Стягивающихся, вложенных отрезков. Теорема об единственности точки их пересечения. 6. Последовательности и способы их задания, примеры. Ограниченные, монотонные последовательности. Предельные точки (частичные пределы) последовательности. Теорема о существовании предельных точек ограниченных последовательностей. 7. Предел последовательности. Теорема о единственности предела. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности. 8. Понятие подпоследовательности. Предельная точка последовательности, как предел сходящейся ее подпоследовательности . Понятие верхнего и нижнего предела последовательности. Теорема о принадлежности верхнего и нижнего пределов множеству предельных точек последовательности. 9. Фундаментальная последовательность. Теорема о сходимости фундаментальной последовательности. 10. Бесконечно малые последовательности. Теорема о связи сходящейся и бесконечно малой последовательностями. 11. Бесконечно большие последовательности. Теорема о связи бесконечно большой и бесконечно малой последовательностями. 12. Арифметические теоремы о бесконечно малых последовательностях. 13. Арифметические теоремы о пределах. 14. Теорема о переходе к пределу в неравенствах. 15. Теорема о промежуточной последовательности. 16. Число е. 17. Определение предела функции по КОШИ и ГЕЙНЕ и их эквивалентность. 18. Ограниченность функции в окрестности точки. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел. 19. Теорема об единственности предела функции. 20. Теорема о переходе к пределу в неравенствах. 21. Теорема о промежуточной функции. 22. Критерий Коши для функции в окрестности точки. Теорема об эквивалентности критерия существованию у функции предела. 23. Бесконечно малые функции, теорема о связи функций, имеющих предел, и бесконечно малых функций. 24. Бесконечно большие функции, теорема об их связи с бесконечно малыми функциями. 25. Арифметическая теорема о пределах функций. 26. Первый замечательный предел. 27. Второй замечательный предел и его следствия. 28. Понятия и . Примеры. 29. Эквивалентные бесконечно малые функции, таблица эквивалентности (с доказательством). 30. Теорема о замене бесконечно малой на эквивалентную. Теорема о связи эквивалентных бесконечно малых функций. 31. Непрерывность функции в точке. Теорема о непрерывности арифметических операций. Классификация точек разрыва. Примеры. 32. Непрерывные функции на отрезке. Теорема об ограниченности непрерывной Вопрос 11. Множества, операции над множествами, примеры. Определение. Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается . Определение. Множество А называется конечным, если оно состоит из конечного числа элементов. 1. Алгебра множеств. Операции над множествами. Объединение множеств. Пересечение множеств. Разность множеств. Симметрическая разность. Отрицание множеств. . НАВСЯК: Разностью между множествами А и В называется множество, обозначаемое АВ либо пустое, либо состоящее из тех элементов множества А, которые не принадлежат множеству В. Определение. Пусть АX. Дополнением множества А в X называется XА. оно обозначается СхА=СА= XА. Пусть задана совокупность множества Аα, где {α}=y – совокупность индексов. Определение. Объединением Аα множеств Аα, αy называется множество, каждый элемент которого (если он существует) принадлежит хотя бы одному Аα, т.е. либо Аα =, либо условие x Аα равносильно условию – существует αy такое, что xАα. Определение. Пересечением множеств Аα, αy, называется множество, каждый элемент которого (если он существует) принадлежит каждому множеству Аα, αy. Обозначается пересечение множеств Аα, αy через . |