ману электротех. 1 Ток, напряжение, мощность

• Название: 1 Ток, напряжение, мощность
• Анкор: ману электротех.docx
• Дата: 24.03.2018
• Размер: 5.71 Mb.
• Имя файла: ману электротех.docx
• Тип: Документы; #17155
• страница: 3 из 15

Преобразования электрических схем

 

Воснове различных методов преобразования электрических схем лежит принцип эквивалентности,согласно которому напряжения и токи в ветвях схемы, не затронутых преобразованием, остаются неизменными. Преобразования электрических схем применяются для упрощения расчетов. Рассмотрим наиболее типичные преобразования, основанные на принципе эквивалентности.

Последовательное соединение элементов.Согласно ЗТК при последовательном соединении элементов через них протекает один и тот же ток (рис. 1.14). Согласно ЗНК напряжение, приложенное ко всей цепи,





Таким образом, цепь из ппоследовательно соединенных резистивных, индуктивных или емкостных элементов может быть заменена одним эквивалентным резистивным, индуктивным или емкостным элементом с параметрами, определяемыми формулами (1.22) —(1.24). Причем, при нахождении эквивалентного сопротивления или эквивалентной индуктивности необходимо суммировать сопротивления и индуктивности отдельных резистивных и индуктивных элементов, а для нахождения эквивалентной обратной емкости — суммировать величины, обратные емкости отдельных емкостных элементов. В частности, при п= 2

C=C₁C₂/(C₁+C₂).(1.25)

При последовательном соединении независимых источников напряжения они заменяются одним эквивалентным источником напряжения с задающим напряжением м_г, равным алгебраической сумме задающих напряжений отдельных источников. Причем со знаком «+» берутся задающие напряжения, совпадающие с задающим напряжением эквивалентного источника, а со знаком «—» —несовпадающие (рис. 1.15).

Параллельное соединение элементов.При параллельном соединении элементов согласно ЗНК к ним будет приложено одно и то же напряжение (рис. 1.16). Согласно ЗТК для тока каждой из схем, изображенных на рис. 1.16, можно записать



На основании этого,  уравнения с учетом формул (1.6),  (1.9) и(1.12) получаем:

для параллельного соединения резистивных элементов





Следовательно, цепь из ппараллельно соединенных резистивных, индуктивных или емкостных элементов можно заменить одним эквивалентным резистивным, индуктивным или емкостным элементом с параметрами, определяемыми формулами (1.27) — (1.29).

Таким образом, при параллельном соединении резистивных, емкостных и индуктивных элементов для нахождения эквивалентных проводимостей и емкости цепи проводимости или емкости отдельных элементов складываются. Эквивалентная обратная индуктивность цепи находится суммированием обратных индуктивностей отдельных индуктивных элементов. В частности, при п=2



Параллельно соединенные независимые источники тока можно заменить одним эквивалентным источником тока с задающим током, равным алгебраической сумме задающих токов отдельных источников. Причем со знаком «+» берутся задающие токи, совпадающие по направлению с задающим током эквивалентного источника, а со знаком «—» — не совпадающие (рис. 1.17).

При расчете электрических цепей часто возникает необходимость преобразования источника напряжения с параметрами и_Ги R_Г(см. рис. 1.5, д)в эквивалентный источник



тока с параметрами i_г и G_r (см. рис. 1.5, е),или наоборот — преобразование источника тока в эквивалентный источник напряжения. Эти преобразования осуществляются в соответствии с формулами



 которые  могут  быть  получены  из   ЗНК  и   ЗТК для  схемы  на рис. 1.5, д, еи принципа эквивалентности.

 

1.6. Принцип наложения

 

Принцип наложения (суперпозиции) имеет важнейшее значение в теории линейных электрических цепей. Подавляющее число методов анализа линейных цепей базируется на этом принципе. Если рассматривать напряжения и токи источников как задающие воздействия,а напряжение и токи в отдельных ветвях цепи как реакцию(отклик) цепи на эти воздействия, то принцип наложения можно сформулировать следующим образом: реакция линейной цепи на сумму воздействий равна сумме реакций от каждого воздействия в отдельности.

Принцип наложения можно использовать для нахождения реакции в линейной цепи, находящейся как под воздействием нескольких источников, так и при сложном произвольном воздействии одного источника.

Рассмотрим вначале случай, когда в линейной цепи действует несколько источников. В соответствии с принципом наложения для нахождения тока iили напряжения ив заданной ветви осуществим поочередное воздействие каждым источником и найдем соответствующие частные реакции i_kи и_kна эти воздействия. Тогда результирующая реакция в соответствии с принципом наложения определится как



где п —общее число источников.

Если в линейной цепи приложено напряжение сложной формы, применение принципа наложения позволяет после разложения это-



го воздействия на сумму простейших найти реакцию цепи на каждое из них в отдельности с последующим наложением полученных результатов. Следует отметить, что принцип наложения является следствием линейности уравнений, которые описывают цепь,  поэтому его можно применить к любым физическим величинам, которые связаны между собой линейной зависимостью (например, ток и напряжение). В то же время этот принцип нельзя использовать при вычислении мощности, так как она связана с напряжением и током квадратичной зависимостью (1.7).

Принцип наложения лежит в основе большинства временных и частотных методов расчета линейных цепей, которые рассматриваются в последующих главах. В отличие от линейных для нелинейных цепей принцип суперпозиции неприменим — и это обстоятельство часто служит критерием оценки линейности или нелинейности электрической цепи.

Для оценки линейности электрической цепи подадим на ее вход воздействие x(t)в виде напряжения или тока (рис. 1.18) и будем наблюдать реакцию y(t)на выходе. Если при воздействииkx(t)(где k— вещественное число) реакция равна ky(t),то данная цепь будет линейной. Если такой пропорциональности нет, то цепь является нелинейной.

Многие нелинейные цепи в режиме малых сигналов также могут считаться линейными и к ним может быть применен принцип суперпозиции. Все это свидетельствует о чрезвычайно важном месте, который занимает принцип наложения в теории электрических цепей.

Большая часть радиотехнических устройств и систем относится к классу линейных цепей: это усилители, фильтры, корректоры, интеграторы, дифференциаторы, другие цепи, предназначенные для линейной обработки сигналов. В то же время имеется значительное количество устройств, которые нельзя отнести к классу линейных цепей и для их анализа необходимо использовать специальные методы (см. гл. 10, 11,15).

 

1.7. Теорема замещения

 

При обосновании некоторых методов анализа электрических цепей используется теорема замещения,которую можно сформулировать следующим образом: значение всех токов и напряжений в цепи не изменится, если любую ветвь цепи с напряжением и и токомi(рис. 1.19, а) заменить источником напряжения с задающим напряжениемu_Г— и(рис. 1.19, 6)или источником тока с задающим током i_г (рис. 1.19, в).



 

Докажем эту теорему на примере источника напряжения (рис. 1.19, б). Для этого включим в ветвь с R(рис. 1.19, а) два источника напряжения с задающим напряжением и направленные навстречу друг другу (рис. 1.19, г).

Приняв потенциал узла Vo ⁼ 0,найдем потенциалы узлов Vз> V₂,V₁:

V₃= Ri, V₂= V₃-u₂= Ri-Ri =0;V_x= V₂+ u₁= Ri.

Таким образом, потенциал узла I в схеме рис. 1.19, аи в схеме рис. 1.19, гоказывается одинаковым. А так как V₂= 0 и Vo = 0, то закорачивая их между собой, приходим к схеме рис. 1.19, б, что и доказывает теорему. Аналогично доказывается и теорема замещения источником тока (рис. 1.19, в).

Теорема замещения справедлива как по отношению к линейным, так и нелинейным цепям, так как при ее доказательстве не накладывается на выделенную ветвь никаких ограничений, кроме того, что она обменивается энергией с остальной частью цепи только через зажимы 1—0с помощью тока i.

 

1.8. Теорема об активном двухполюснике

 

Теорема об активном двухполюснике используется обычно в случае, когда надо найти реакцию цепи (ток или напряжение) в одной ветви. При этом удобно всю остальную часть цепи, к которой подключена данная ветвь, рассматривать в виде двухполюсника (на рис. 1.20, а) показана резистивная ветвь). Двухполюсник называют активным,если он содержит источники электрической энергии, и пассивным —в противном случае. На рисунках активный двухполюсник будем обозначать буквой А,а пассивный — П.Более подробно определение и общая теория двухполюсников излагается в гл. 4.



Различают две модификации теоремы об активном двухполюснике: теорема об эквивалентном источнике напряжения (теорема Тевенина) и теорема об эквивалентном источнике тока (теорема Нортона).

Теорема об эквивалентном источнике напряжения.Согласно теореме Тевенина ток в любой ветви линейной электрической цени не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником (генератором) напряжения с задающим напряжением, равным напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви и внутренним сопротивлением, равным эквивалентному входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви(рис. 1.20, б).

Для доказательства этой теоремы предположим, что цепь не содержит зависимых источников. Тогда, разомкнув ветвь с элементом R,определим расчетным или экспериментальным путем напряжение холостого хода u_хх (рис. 1.21, а).Затем включим в эту ветвь навстречу друг другу два источника напряжения с задающим напряжением u_Г= м_Хх (рис. 1.21, б). Ток в ветви с Rпри этом (рис. 1.21, б) не изменится по сравнению с током iв исходной схеме (рис. 1.20, а).Результирующий ток в выделенной ветви найдем в соответствии с принципом наложения: i= i_А+i₁+i₂,где i_А — частичный ток, обусловленный активным двухполюсником; i₁— ток, обусловленный действием источника u_Г1;1₂— ток, обусловленный действием источника и_Г2.Однако напряжение активного двухполюсника и задающее u_Г2действует навстречу друг другу, поэтому i_А +i₂=0.Следовательно, ток в цепи i= i₁будет обусловлен только действием источника с u_Г1=u_Хх (см. рис. 1.20, б). Частичный ток i₁может быть найден, если положить все задающие напряжения и токи активного двухполюсника равными нулю. Получившийся при этом пассивный двухполюсник полностью характеризуется своим эквивалентным сопротивлением R_э=R_Готносительно выделенных зажимов. Таким образом, приходим к схеме, изображенной на рис. 1.20, б и теорема доказана.

Теорема об эквивалентном источнике тока (теорема Нортона):ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока с задающим током, равным току короткого замыкания этой ветви, и внутренней проводимостью, равной эквивалентной входной проводимости со стороны разомкнутой ветви(см. рис. 1.20, в).

Доказательство этой теоремы проще всего осуществить путем преобразования эквивалентного источника напряжения (см. рис. 1.20, б) в эквивалентный источник тока (рис. 1.20, в)с параметрами,



где i_Кз — ток короткого замыкания рассматриваемой ветви.

Из (1.33) следует формула, которую можно положить в основу экспериментального определения параметров пассивного двухполюсника:



Теорема об активном двухполюснике существенно упрощает расчет сложной цепи, так как позволяет ее представить в виде простейшей схемы эквивалентного источника напряжения или тока с конечным внутренним сопротивлением R_Гили внутренней проводимостью G_Г. В отличие от идеальных источников напряжения и тока (см. § 1.2) напряжение и ток этих источников зависят от сопротивления Rветви.

Теорема об активном двухполюснике справедлива и для случая, когда последний содержит зависимые источники с ограниченными задающими напряжениями и токами. При этом при нахождении параметров эквивалентного генератора следует положить равными нулю задающие напряжения и токи лишь независимых источников.

 

1.9. Принцип дуальности

 

Анализ уравнений для напряжений и токов, полученных в предыдущих разделах, позволяет сформулировать важный принцип теории электрических цепей— принцип дуальности(двойственности). Этот принцип гласит: если для данной электрической цепи

справедливы некоторые законы, уравнения или соотношения, то они будут справедливы и для дуальных величин в дуальной цепи.Этот принцип проявляется, например, в сходстве законов изменения напряжения в одной цепи и законов изменения токов в другой цепи (дуальной). Табл. 1.2 иллюстрирует двойственный характер основных законов и соотношений в электрических цепях.

 



Использование принципа дуальности в ряде случаев позволяет существенно упростить расчет. Так, если найдены уравнения для одной цепи, то используя дуальные соотношения можно сразу записать законы изменения дуальных величин в дуальной цепи.

 

1.10. Теорема Телледжена . Баланс мощности

 

Теорема Телледжена является одной из наиболее общих теорем теории электрических цепей. Рассмотрим граф произвольной электрической цепи, содержащей n_В ветвей и п_уузлов. Для согласованных направлений напряжений и токов ветвей теорема Телледженагласит: сумма произведений напряженийu_kи токовi_kвсех ветвей графа, удовлетворяющих законам Кирхгофа, равна нулю.



так как выражения, стоящие в скобках, равны нулю согласно ЗТК, что и доказывает теорему. Необходимо подчеркнуть, что поскольку теорема Телледжена следует непосредственно из законов Кирхгофа, то она справедлива для любых электрических цепей: линейных и нелинейных, активных и пассивных; цепей, параметры которых изменяются во времени {параметрических цепей).В общем случае эта теорема справедлива и для случая попарных произведений и_kи i_l разных ветвей, если для них выполняются ЗНК и ЗТК.

Из теоремы Телледжена вытекает ряд следствий, важнейшим из которых является баланс мощности. Действительно, произведение Ukikсогласно формуле (1.5) представляет собой мгновенную мощность p_kk-ветви, поэтому в соответствии с (1.35) алгебраическая сумма мощностей всех ветвей цепи равняется нулю. Если в (1.35) выделить ветви с независимыми источниками, то баланс мощностиможно сформулировать следующим образом: алгебраическая сумма мощностей, отдаваемых независимыми источниками, равняется алгебраической сумме мощностей, потребляемых остальными ветвями электрической цепи.

Пример. Составить баланс мощности для цепи, изображенной на рис. 1.23. Алгебраическая сумма мгновенных мощностей, развиваемых источниками на-



 

 

пряжения и тока Потребляемая мощность с учетом закона Ома



В соответствии с балансом мощностей



Следует отметить, что при определении р_псТпроизведение щгберется со знаком «+», если направления задающего напряжения и_Ти тока iнаправлены навстречу друг другу, и со знаком «—» в противном случае. Аналогичное правило знаков для источников тока: если напряжение на зажимах источника направлено навстречу задающему току г_г, берется знак «+», а если напряжение совпадает с током — знак «—». Баланс мощности выражает не что иное, как закон сохранения энергии в электрической цепи.

 

1.11.Метод законов Кирхгофа

 

В электрических цепях, содержащих активные элементы (электронные лампы, транзисторы, операционные усилители и другие зависимые источники) важным режимом работы является статический. В статическом режимена электроды активного элемента подаются постоянные токи и напряжения, обеспечивающие заданные условия работы того или иного устройства. Статический режим характеризуется зависимостями между постоянными токами и напряжениями в отдельных частях электрической цепи и является одним из основных режимов работылюбого электрического устройства. Поэтому анализ цепей в режиме постоянного тока играет важную роль в общей теории электрической связи.

Как отмечалось в § 1.2 при постоянном токе и напряжении индуктивность эквивалентна короткозамкнутому участку (рис. 1.1, а),емкость — разрыву цепи. Таким образом, в режиме постоянного тока в модели цепи будут отсутствовать реактивные элементы, и она приобретет чисто резистивный характер. Линейные резистивные цепи полностью описываются системой линейных алгебраических уравнений, составляемых на основании закона Кирхгофа. В этой главе рассмотрим основные методы анализа линейных резистивных цепей, находящихся под воздействием постоянных токов и напряжений. Постоянные токи и напряжения в дальнейшем будем обозначать прописными буквами I и Uсоответственно.

Метод расчета электрических цепей, основанный на законах Кирхгофа, в которых независимыми переменными являются токи в ветвях, называют методом токов ветвей.В соответствии с этим методом для нахождения токов или напряжений ветвей составляются (п_у—1) уравнений (1.16) по ЗТК и (n_B — n_у + 1) уравнений (1.17) по ЗНК. В результате получаем систему из (n_у — 1) + (n_B —  n_у + 1) = n_Bлинейно-независимых уравнений, число которых равно числу токов ветвей. Совместное решение этой системы позволяет найти все токи.

При выборе независимых контуров необходимо руководствоваться топологией электрической цепи (§ 1.3): составить граф цепи, выбрать дерево, дополнить его хордой, при этом образуется контур. Путем последовательного дополнения хордами дерева до исходного графа получаем (n_B — п_у+1) независимых контуров.