Термодинамика. Терм. Техническая термодинамика
 Скачать 1.67 Mb.
|
|
5.13.1. Необратимое расширение газа Явление изменения температуры газа при необратимом адиабатном расширении называется эффектом Джоуля – Томсона и связано с неидеальностью свойств реального газа. Обратимся к рис. 5.5. Рис. 5.5. Необратимое адиабатное расширение газа Пусть в адиабатно изолированном цилиндре газ из области с большим давлением p 1 =const пропускается в область с меньшим давлением p 2 =const через пористую перегородку. При этом происходит изменение температуры газа, которое и называется эффектом Джоуля – Томсона. При небольшом перепаде давления 1 p p ∆ � явление изменения температуры называется ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ЭФФЕКТОМ ДЖОУЛЯ – ТОМСОНА, величину которого удобно характеризовать коэффициентом Джоуля – Томсона: T p ∆ ν = ∆ или dT dp ν = , (5.89) где Δp и dp – разность давлений по обе стороны перегородки, ΔT и dT – соответствующая разность температур. p 1 V 1 p 2 V 2 93 Рассмотрим некоторый объем газа. При необратимом расширении объем газа слева от перегородки изменяется от V 1 до нуля, а справа от нуля до V 2 Из первого закона термодинамики Q dU pdV δ = + , (5.90) интегрируя по соответствующим пределам и учитывая, что процесс адиабатный ( 0 Q δ = ), получаем 2 2 1 1 0 Q dU pdV = + = ∫ ∫ (5.91) Находя первый интеграл в (5.91) и расписывая второй интеграл на два, имеем 2 1 0 2 1 1 2 0 0 V V U U p dV p dV − + + = ∫ ∫ (5.92) Интегрируя (5.92), получим 2 1 1 1 2 2 0 U U p V p V − − + = или 2 2 2 1 1 1 U p V U p V + = + (5.93) Используя соотношение для энтальпии, окончательно имеем H 1 =H 2 Процесс адиабатного необратимого дросселирования газа является изоэнтальпическим, т.е. H=const. Рассмотрим энтальпию H как функцию температуры T и давления p и найдем коэффициент Джоуля – Томсона. В этом случае 0 p T H H dH dT dp T p ∂ ∂ = + = ∂ ∂ (5.94) Из (5.94) коэффициент Джоуля – Томсона T H p H p T H p T ∂ ∂ ∂ ν = = − ∂ ∂ ∂ (5.95) Но из уравнения dH TdS Vdp = + (5.96) следует, что T T H S T V p p ∂ ∂ = + ∂ ∂ и p p p H Q c T T ∂ ∂ = = ∂ ∂ (5.97) 94 В то же время из соотношения для дифференциала энергии Гиббса dG SdT Vdp = − + (5.98) следует p T S V p T ∂ ∂ = − ∂ ∂ (5.99) Первое выражение из (5.97) с учетом (5.99) перепишем в виде p T H V T V p T ∂ ∂ = − + ∂ ∂ (5.100) Учитывая (5.100) и второе соотношение из (5.97), согласно (5.95) коэффициент Джоуля – Томсона p p V T V T c ∂ − ∂ ν = (5.101) Производную p V T ∂ ∂ можно легко вычислить из термического уравнения состояния. Рассмотрим примеры. Пример 1. Идеальный газ. Из уравнения состояния выразим объем V и найдем частную производную по температуре: RT V p = , p V R V T p T ∂ = = ∂ (5.102) С учетом (5.102) соотношение (5.101) принимает вид 0 H T p ∂ ν = = ∂ , 0 dT = , (5.103) что выражает закон Джоуля. Пример 2. Газ Ван-дер-Ваальса. Запишем уравнение состояния: ( ) 2 a p V b RT V + − = (5.104) Возьмем от (5.104) производную по температуре T при const p = : ( ) 3 2 2 p p a V a V V b p R V T V T ∂ ∂ − − + + = ∂ ∂ (5.105) 95 Выразим из (5.105) частную производную ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 2 p R V b V R a a a T RT V b p V b V V V − ∂ = = ∂ − − + − − (5.106) Предполагая, что газ не очень плотный, и поэтому пренебрегая в уравнении (5.106) членами второго порядка относительно a и b, получим ( ) 2 2 1 2 2 1 1 1 p R V b V V b a a T RT T V RTV V b a V b a T V RTV T V RTV − ∂ − ≈ = ≈ ∂ − − ≈ − + ≈ − + (5.107) Подставив производную p V T ∂ ∂ из (5.107) в (5.101), окончательно для коэффициента Джоуля – Томсона имеем 2 p H a b T RT p c − ∂ ν = = ∂ (5.108) Из (5.108) видно, что изменение температуры газа обусловлено его неидеальностью ( a ≠ 0, b ≠ 0) и коэффициент Джоуля – Томсона зависит от температуры. Причем существует такая температура, при которой ν=0,и газ ведет себя подобно идеальному газу. Эта температура называется ТЕМПЕРАТУРОЙ ИНВЕРСИИ. В рассмотренном примере для газа Ван-дер- Ваальса в принятом приближении 2 i a T Rb = (5.109) При температурах газа, меньших температуры инверсии, 0 ν > и происходит охлаждение газа. При температурах газа выше температуры инверсии 0 ν < , и газ будет нагреваться, так как dp<0. У водорода и инертных газов температуры инверсии низки. У водорода, например, T i = –57 ºC , а самая низкая температура инверсии у гелия T i He = –239 ºC. 96 Чтобы произвести сжижение газа по методу Джоуля – Томсона, необходимо понизить его температуру ниже температуры инверсии. В общем случае ν и T i зависят от давления. 5.13.2. Обратимое адиабатное расширение Рассмотрим обратимое адиабатное расширение с отдачей внешней работы. Устройство в холодильных машинах, где отдается эта работа, называется ДЕТАНДЕРОМ. Его главная часть – поршень или турбина – приводится в движение охлаждаемым газом. Академик П.Л. Капица с сотрудниками впервые преодолели технические трудности и создали ТУРБОДЕТАНДЕР оригинальной конструкции с КПД более 85 %. В турбодетандере удается сжижать газы при низком давлении (6–8 атм.) вместо нескольких сот атмосфер в поршневых машинах. При обратимых адиабатных расширениях коэффициент Джоуля – Томсона равен обр S T p ∂ ν = ∂ . Найдем его. Из дифференциала энтальпии dH TdS Vdp = + (5.110) выразим TdS и учтем, что процесс адиабатный: 0 TdS dH Vdp = − = (5.111) Полагая H=H(T,p), 0 p T H H dT V dp T p ∂ ∂ + − = ∂ ∂ , (5.112) преобразуем (5.111). В соответствии с определением (5.89), учитывая (5.112), находим обр T S p H V p T H p T ∂ − ∂ ∂ ν = = − ∂ ∂ ∂ (5.113) С учетом (5.100) и (5.97) для (5.113) окончательно запишем обр p p V T T c ∂ ∂ ν = (5.114) 97 Поскольку всегда 0 p V T ∂ > ∂ , то при обратимом адиабатном расширении независимо от температуры и давления всегда будет иметь место охлаждение газа. В этом состоит преимущество обратимого расширения перед необратимым. 5.14. Т ЕРМОДИНАМИКА ИЗЛУЧЕНИЯ Законы термодинамики применимы к тепловому излучению. Не следует путать тепловое равновесное излучение с различного рода неравновесными видами излучений, например люминесценцией, которые непосредственно не связаны с температурой источника света. ТЕПЛОВЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ называется излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с окружающими телами. Спектр данного лучеиспускания является сложным, т.е. энергия сложным образом распределена по длинам волн. Тепловое излучение характеризуется температурой T, давлением p и объемом V. Если два тела находятся в тепловом контакте, то в тепловом равновесии их температуры одинаковы. Поскольку излучение – это вид материи, то, находясь в тепловом равновесии с окружающими телами, оно имеет ту же температуру. ИСПУСКАТЕЛЬНОЙ СПОСОБНОСТЬЮ E λ тела называется энергия, испускаемая с единицы площади поверхности в единицу времени в интервале длин волн единичной ширины. Она характеризует распределение энергии излучения по длинам волн и является функцией длины волны и температуры: ( ) , E E T λ λ = λ (5.115) Величина ( ) , E T λ λ имеет физический смысл удельной мощности лучистого потока. ИНТЕГРАЛЬНЫМ ПОТОКОМ, или ПЛОТНОСТЬЮ ПОТОКА ИЗЛУЧЕНИЯ называется полное количество энергии, испускаемое с единицы площади поверхности в единицу времени во всем диапазоне длин волн: 0 E d I ∞ λ λ = ∫ (5.116) 98 Световая энергия, падающая на поверхность тела, может частично поглощаться и отражаться этим телом. ПОГЛОЩАТЕЛЬНОЙ СПОСОБНОСТЬЮ ( ) , A A T λ λ = λ тела называется отношение количества поглощенной энергии к падающей на поверхность тела за одно и то же время. Опытным путем установлено, что A λ является функцией температуры и длины волны. Для теплового излучения справедливы законы Кирхгофа и Стефана ‒ Больцмана, которые мы рассмотрим в следующих параграфах. 5.14.1. Закон Кирхгофа Закон Кирхгофа: при тепловом равновесии отношение испускательной способности тел к их поглощательной способности есть величина постоянная для данной длины волны, не зависящая от природы тел, а зависящая только от температуры. Рис. 5.6. Закон Кирхгофа Этот закон можно вывести из простейших термодинамических соображений. Пусть имеются два тела из различных материалов с небольшими полостями. Соединим эти полости трубкой, так чтобы они и, соответственно, тела могли обмениваться излучением (рис. 5.6) Если первоначально температуры обоих тел были разными, то обмен излучением приведет их в состояние теплового равновесия, так что температуры тел и поток излучения с длиной волны от λдоλ+Δλ будут одинаковыми. Для количества энергии, излучаемой и поглощенной телами 1 и 2, можно соответственно записать: 1 1 2 2 , E A I E A I λ λ λ λ λ λ ∆λ = ∆λ = (5.117) 1 2 I λ I λ 99 В (5.117) E λ – количество энергии, испускаемое с единицы поверхности твердого тела в единицу времени в интервале длин волн от λ до λ+Δλ. I λ – количество энергии, падающей на единицу площади поверхности тела в единицу времени в интервале длин волн от λ до λ+Δλ. Разделив первое равенство в (5.117) на второе и воспользовавшись основным свойством пропорции, получим 1 2 1 2 E E A A λ λ λ λ = (5.118) Аналогично можно рассмотреть сколько угодно большое количество тел, поэтому справедливо: ( ) 1 2 1 2 , n n E E E T A A A λ λ λ λ λ λ = = = = ε λ (5.119) Физический смысл функции ε(λ,T) нетрудно выяснить. Известно, что абсолютно черным телом называется тело, способное поглощать лучи всевозможных длин волн, для него A=1. Но абсолютно черное тело также обладает возможностью испускать лучи волн разной длины. Поэтому, согласно (5.119), ε(λ,T) будет испускательной способностью абсолютно черного тела. 5.14.2. Существование светового давления Экспериментально существование светового давления было доказано П.И. Лебедевым в 1901 году. В 1876 году А. Бартоли доказал существование светового давления следующим мысленным экспериментом. Рассмотрим два абсолютно черных тела A и B с постоянными температурами T a и T b соответственно, причем T a >T b ( рис. 5.7). Рис. 5.7. Доказательство светового давления Пусть оба эти тела являются донышками цилиндра с зеркальными адиабатными стенками. Также имеются два зеркальных поршня, которые мы T a A B T b 100 можем вставлять в цилиндр, не изменяя состояния системы. Вставим вначале один поршень вблизи тела В и переместим его к телу А. В результате весь объем цилиндра заполнится излучением от тела В. Затем вставим второй поршень вплотную к телу B, первый поршень извлечем из цилиндра и второй поршень переместим к телу А. В результате излучение от тела В полностью поглотится телом А. Эту операцию можно повторить несколько раз, при этом можно перевести любое количество энергии от менее нагретого тела к более нагретому, вследствие чего тело А будет нагреваться, а тело В охлаждаться. Поскольку, согласно принципу Клаузиуса, это можно осуществить только в процессе работы, то передвижение поршня должно сопровождаться затратой работы против сил давления. Отсюда видно, что излучение производит давление на поршень, причем, чем больше температура излучения, тем это давление больше. 5.14.3. Закон Стефана – Больцмана Вычислить величину светового давления, основываясь на принципах термодинамики, невозможно. Однако из курса электродинамики известно соотношение для светового давления: 3 U p = , (5.120) где U U V = – плотность внутренней энергии излучения, или внутренняя энергия, приходящаяся на единицу объема излучения. Найдем явный вид зависимости ( ) U U T = , которая представляет собой закон Стефана – Больцмана. Применим к равновесному излучению связь между термическим и калорическим уравнениями состояния: V T p U T p T V ∂ ∂ = + ∂ ∂ (5.121) Подставляя в (5.121) соотношения (5.120) и U UV = , получаем дифференциальное уравнение для плотности внутренней энергии: 101 3 3 V T U U U T ∂ = + ∂ (5.122) или 4 V U T U T ∂ = ∂ (5.123) Разделив переменные в дифференциальном уравнении (5.123), получим 4 dU dT U T = (5.124) Интегрируя (5.124), обозначив константу интегрирования σ и применяя свойства логарифмов, получим закон Стефана – Больцмана: плотность внутренней энергии равновесного излучения пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры. 4 U T = σ (5.125) Величину постоянной σ термодинамическим путем определить не удается. В статистической физике данная константа определена: 16 4 3 Дж 7, 64 10 град. м − σ = ⋅ ⋅ (5.126) Напомним, что константа, определяющая количество равновесного излучения, испускаемого в единицу времени с единицы поверхности абсолютно черного тела 8 0 2 4 Вт 5, 67 10 м К − σ = ⋅ ⋅ (5.127) |