ФУНКЦИИ. Тема Функции

• Название: Тема Функции
• Дата: 15.11.2022
• Размер: 1.59 Mb.
• Имя файла: ФУНКЦИИ.docx
• Тип: Документы; #789352
• страница: 6 из 32

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Тема 1. Производная

3.1. Производная

Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна на (a, b), пусть x₀ ∈ (a, b). Дадим в точке х₀ приращение аргументу  х так, что точка х₀ +  х ∈ (a, b). Тогда функция получит соответствующее приращение Δ у = f(x₀ +  x) - f(x₀).

Определение 4.1. Производной функции в данной точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и конечен. Функция называется дифференцируемой в точке х₀.



Определение 4.2. Функция называется дифференцируемой на множестве А   R, если она дифференцируема в каждой точке множества А.

3.2. Геометрический смысл производной

Определение 4.3. Касательной к плоской кривой называется предельное положение секущей, когда вторая точка пересечения неограниченно приближается по кривой к первой точке (рис. 4.1).



Рис. 4.1.

Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна на (a, b), x₀ ∈ (a, b).

Дадим приращение аргументу   х так, что точка х₀ +  х ∈ (a, b). Функция получит приращение

у = f(x₀ +  x) - f(x₀).

Проведем секущую к графику (рис. 4.2) через точки А(х_0, f(x₀)), В(x₀ +  x , f(x₀ +  x)).



Рис. 4.2

Рассмотрим  ABC; 

При x   0 A   B, секущая стремится к касательной, a  , tg   tg , 

Переходя к пределу при x   0 в равенстве   получим 

Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в данной точке.

3.3. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Теорема 4.1.(необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х₀. Дадим в этой точке аргументу приращение  х. Функция получит приращение  у. Найдем 



Следовательно, у = f(x) непрерывна в точке х₀.

Утверждение, обратное теореме, не верно. Из непрерывности не следует дифференцируемость.

Следствие. Если х₀ — точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Пример 4.1. у = |х|, х₀ = 0.







В точке х₀ = 0 функция непрерывна, но производной не существует.

3.4. Свойства производных

Теорема 4.2.Производная постоянной функции равна нулю.

Доказательство. 



Теорема 4.3.Если функции u, v, w дифференцируемы в некоторой точке, то и их алгебраическая сумма также дифференцируема в этой точке, причем производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных и выполняется равенство



Теорема 4.4.Если функции u и v дифференцируемы в некоторой точке, то и их произведение также дифференцируемо в этой точке, причем выполняется равенство



Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.



Теорема 4.4.Если функции u и v дифференцируемы в некоторой точке и функция v в этой точке отлична от нуля, то существует производная частного в этой точке, причем



3.5. Производные от элементарных функций

Справедливы следующие формулы:



Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 41–44, 45.

7.13. Найти производные функции:

а ) y = 2x⁵ – 5   2^x+ 4x – 7 log₂ x – ln2;

б ) y = (1 + x²)   arctg x;

Решение:

а) Используя правила дифференцирования и формулы, получим:

y' = (2x⁵)' – (5   2^x)' + (4x)' – (7log₂ x)' – (ln 2)' =

= 2 × (x⁵)' – 5   (2^x)' + 4 (x)' – 7   (log₂ x)' – 0 =



б) Используя правила дифференцирования и формулу, получим:

y' = (1 + x²)'   arctg x + (1 + x²)   (arctg x)' =

=2 x   arctg x + (1+x²)   (1/ (1+x²)) =

=2 x   arctg x + 1

в Используя правила дифференцирования и формулы, получим:



Цит. по: Высшая математика для экономистов:
Практикум для студентов вузов,
обучающихся по экономическим специальностям /
[Н.Ш. Кремер и др]; под ред. проф.Н.Ш. Кремера. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. —
(Серия «Золотой фонд российских учебников») — С. 188.

3.6. Дифференциал

Определение 4.4. Главная линейная относительно  х часть малого приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается dy.

Если приращение функции можно представить в виде y = k x  (x), где  ( x) — б. м. функция более высокого порядка, чем  х при x   0 

dy = k x.

Пример 4.2. y = x².





Теорема 4.8. Функция не может иметь двух различных дифференциалов.

3.7. Дифференциал независимой переменной

Рассмотрим функцию у = х, dy = dx. Из теорем о связи производной и дифференциала следует, что:

dy = 1    x,

dx = dy =  x.

Дифференциал независимой переменной равен малому приращению этой переменной.

Таким образом, получена формула для вычисления дифференциала функции:

dy = f ^'(x₀) dx.

Дифференциал функции равен произведению производной функции в данной точке на дифференциал независимой переменной.



Цит. по: Математика для экономистов: учебное пособие /
С.И. Макаров. — 2-е изд., стер. — М.: КНОРУС, 2008. — С. 45, 48.

Пример 9

Найти среднюю скорость движения тела, совершаемого по закону S = 6t² + 1, для промежутка времени от t₁ = 1 до t₂ = 3.

План решения

1. Найти мгновенную скорость v(t) = S'(t) в момент времени t, воспользовавшись формулами:

1. (u ± v)' = u' ± v';

2. (Cu)' = Cu', C = const;

3. C' = 0.

4. (xⁿ)' = nx^n– 1.

2. Найти значение скорости в момент времени t₁ и t₂, т.е. v(t₁) и v(t₂).

3. Найти среднее значение скорости 

Решение

v(t) = S'(t) = (6t² + 1)' = (6t²)' + 1' = 12t.

v(t₁) = v(1) = 12   1 = 12.

v(t₂) = v(3) = 12   3 = 36.



Цит. по: Методическое пособие-тренажер решения задач по высшей математике /
Н.С. Знаенко. — Ульяновск: ИНФОФОНД, 2008. — С. 34–36.